專題4.4比較線段的長短（知識梳理與考點分類講解）-七年級數(shù)學上冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（北師大版）

專題4.4比較線段的長短（知識梳理與考點分類講解）【知識點一】線段的基本事實線段的基本事實：兩點之間的連線中，線段最短；簡單說成：兩點之間線段最短；特別提醒：具有最短性、唯一性、存在性；兩點之間的距離：兩點之間的線段長度，叫做這兩點的距離；特別提醒：兩點之間距離是一個具體的數(shù)量，而線段本身是圖形，因此不能把A、B兩點的距離說成線段AB?！局R點二】線段的比較及長短比較1、線段的長短比較(1)度量法:利用刻度尺分別測量出兩條線段的長度,然后根據(jù)測量結(jié)果進行比較。(2)疊合法:把兩條線段中的一條線段移到另一條線段上使它們有一個端點重合,然后根據(jù)另一個端點的位置進行比較。特別提醒：度量法和疊合法是從“數(shù)”和“形”兩個方面進行比較的,從“度”的方面比較，一般用度量的方面比較，從“形”的方面比較一般用疊合法。2.尺規(guī)作圖：在數(shù)學中,我們常限定用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖,這就是尺規(guī)作圖。【知識點三】線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點,叫做線段的中點.如圖一、如果點M是線段AB的中點,則有AM=BM=AB.圖1圖22.三等分線段：把一條線段分成三條相等的線段的點叫做線段的三等分點如圖2，點M、N是線段AB的三等分點，則有AM=MN=NB==AB特別提醒：線段中點的表示方法：線段中點一定在線段上,表示點M是線段AB的中點有三種方法:AM=BM;(2)AB=2AM=2BM;(3)AM=BM=AB.【考點目錄】【考點一】利用線段（直線）的基本事實解決問題；【考點二】線段的長度比較方法比較線段的長短；【考點三】利用線段中點求線段長；【考點四】求線段的和與差；【考點五】線段上的動點問題?！究键c一】利用線段（直線）的基本事實解決問題【例1】（21·22下·淄博·期中）直線m表示一條公路，公路兩旁分別有兩個村莊A和B，要在公路上建一個臨時車站P，使它到兩個村莊距離之和最小，車站P應建在什么位置？在圖中畫出車站的位置，并說明這樣的理由．【分析】連接AB，則AB與直線m的交點就是車站P的位置．解：如圖，連接AB，則AB與直線m的交點就是車站P的位置，理由：兩點之間線段最短．【點撥】本題考查了兩點之間線段最短的實際應用，掌握兩點之間線段最短是解答本題的關(guān)鍵．【變式1】（22·23上·邢臺·期中）生活中，有下列兩個現(xiàn)象，對于這兩個現(xiàn)象的解釋，正確的是（）A．均用兩點之間線段最短來解釋B．均用經(jīng)過兩點有且只有一條直線來解釋C．現(xiàn)象1用兩點之間線段最短來解釋，現(xiàn)象2用經(jīng)過兩點有且只有一條直線來解釋D．現(xiàn)象1用經(jīng)過兩點有且只有一條直線來解釋，現(xiàn)象2用兩點之間線段最短來解釋【答案】D【分析】直接利用線段的性質(zhì)以及直線的性質(zhì)分別分析得出答案．解：現(xiàn)象1：木板上彈墨線，可用“兩點確定一條直線”來解釋；現(xiàn)象2：把彎曲的河道改直，可以縮短航程可用“兩點之間線段最短”來解釋，故選：D．【點撥】本題考查了兩點確定一條直線，兩點之間線段最短，熟練運用以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式2】（18·19上·南京·期末）下列三個現(xiàn)象：①用兩個釘子就可以把一根木條固定在墻上；②從A地到B地架設(shè)電線，只要盡可能沿著線段AB架設(shè)，就能節(jié)省材料；③植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能使同一行樹在一條直線上．其中可用“兩點之間，線段最短”來解釋的現(xiàn)象有（填序號）．【答案】②【分析】直接利用線段的性質(zhì)進而分析得出答案．解：①用兩個釘子就可以把一根木條固定在墻上，可用“兩點確定一條直線”來解釋；②從A地到B地架設(shè)電線，只要盡可能沿著線段AB架設(shè)，就能節(jié)省材料，可用“兩點之間線段最短”來解釋；③植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能使同一行樹在一條直線上，可用“兩點確定一條直線”來解釋；其中可用“兩點之間，線段最短”來解釋的現(xiàn)象有②．故答案為：②．【點撥】此題考查了線段的性質(zhì)和直線的性質(zhì)，正確應用線段的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【考點二】線段的長度比較方法比較線段的長短【例2】（17·18·常州·期末）如圖，已知CA⊥BA（1）畫圖：①延長BA到D，使AD=BA，連接CD；②過點A畫AE∥BC，AE與CD相交于點E；③過點B畫BF⊥CD，交DC的延長線于點F．思考：圖中有______條線段，它們的長度表示點到直線的距離；（2）度量：①你度量的哪些量？______；②通過度量你發(fā)現(xiàn)：______．（寫一條發(fā)現(xiàn)即可）【答案】（1）詳見分析；（2）7，線段BC、線段CD，BC=CD．【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形即可，根據(jù)點到直線的距離的定義即可解決問題；（2）開放題目，答案不唯一．可以測量線段，也可以測量角.解：（1）線段AD、AE、BF如圖所示；圖中有7條線段，它們的長度表示點到直線的距離，（線段BA，DA，CA，BF，CF，EF，DF）（2）①度量線段BC、線段CD．（開放題目，答案不唯一）②發(fā)現(xiàn)：BC=CD．（開放題，根據(jù)①回答即可）故答案為：7，線段BC、線段CD，BC=CD．【點撥】本題考查作圖復雜作圖、點到直線的距離、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．【變式1】（23·24上·全國·課時練習）如圖，已知三角形，下列比較線段和長短的方法中，可行的有（

）①用直尺度量出和的長度；②用圓規(guī)將線段疊放到線段上，觀察點的位置；③沿點A折疊，使和重合，觀察點的位置．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【分析】①用直尺度量出和的長度，比較長度；②用圓規(guī)將線段疊放到線段上，若點B在線段上，；若點B與點C重合，；若點B在的延長線上，；③沿點A折疊，使和重合，若點B在線段上，；若點B與點C重合，；若點B在的延長線上，．解：比較線段和長短的方法有：①用直尺度量出和的長度，比較長度；②用圓規(guī)將線段疊放到線段上，觀察點的位置，若點B在線段上，；若點B與點C重合，；若點B在的延長線上，；③沿點A折疊，使和重合，觀察點的位置，若點B在線段上，；若點B與點C重合，；若點B在的延長線上，．共3個方法．故選：D．【點撥】本題主要考查了比較三角形兩邊長短的方法，熟練掌握度量法，疊合法，是解決問題的關(guān)鍵，其中疊合法包括疊放法，折疊法．【變式2】（21·22上·全國·課前預習）比較線段的長短的方法和使用場景：方法一：目測法：直接觀察，適用于有的對比對象．若對比數(shù)值接近，使用該方法得到結(jié)果不準確．方法二：度量法：用刻度尺測量對比對象，測量結(jié)果可能是值，得到結(jié)果不準確方法三：疊合對比法：另對比對象的一個端點重合，觀察另一個端點的關(guān)系，得到結(jié)果準確．【答案】明顯差異預計位置【考點三】利用線段中點求線段長【例3】（22·23上·菏澤·期中）已知點D為線段的中點，點C在線段上．（1）如圖1，若，求線段的長；（2）如圖2，若，點E為中點，，求線段的長．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用線段的和差關(guān)系可以先求出的長，再利用中點的定義求出，即可求出的長；（2）根據(jù)線段中點的定義結(jié)合已知求出，進而可得和的長，然后根據(jù)求出即可解決問題．（1）解：∵，∴，∵點D為線段的中點，∴，∴；（2）解：∵點E為中點，∴，∵點D為線段的中點，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點撥】本題主要考查線段的和差計算，熟練掌握中點的定義和線段的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式1】（20·21上·中衛(wèi)·期末）已知線段AB=10cm，點C是直線AB上一點，BC=4cm，若M是AC的中點，N是BC的中點，則線段MN的長度是（

）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm【答案】D【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，再利用線段的中點定義求解即可．解：根據(jù)題意畫圖如下：∵，M是AC的中點，N是BC的中點，∴；∵，M是AC的中點，N是BC的中點，∴．故選：D．【點撥】本題考查的知識點是與線段中點有關(guān)的計算，根據(jù)題意畫出正確的圖形是解此題的關(guān)鍵．【變式2】（18·19上·全國·專題練習）如圖，點C是線段AB上一點，點M、N、P分別是線段AC，BC，AB的中點．AC＝3cm，CP＝1cm，線段PN＝cm．【答案】【分析】根據(jù)線段中點的性質(zhì)求得線段的長度，即可求解．解：∵AP＝AC+CP，CP＝1cm，∴AP＝3+1＝4cm，∵P為AB的中點，∴AB＝2AP＝8cm，∵CB＝AB﹣AC，AC＝3cm，∴CB＝5cm，∵N為CB的中點，∴，∴故答案為：．【點撥】本題考查的是兩點間的距離的計算，掌握線段的中點的性質(zhì)、靈活運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．【考點四】求線段的和與差【例4】（18·19上·泰州·期末）已知：點C，D是直線AB上的兩動點，且點C在點D左側(cè)，點M，N分別是線段AC、BD的中點．（1）如圖，點C、D在線段AB上．①若AC=10，CD=4，DB=6，求線段MN的長；②若AB=20，CD=4，求線段MN的長；（2）點C、D在直線AB上，AB=m，CD=n，且m＞n，請直接寫出線段MN的長（用含有m，n的代數(shù)式表示）．【答案】（1）①12；②12；（2）．【分析】（1）①根據(jù)線段中點的定義可得CM和DN的長，利用線段的和可得＞n結(jié)論；②根據(jù)線段中點的定義可得CM+DN的長，利用線段的和可得結(jié)論；（2）由（1）②得出結(jié)果．解：（1）①∵點M，N分別是線段AC、BD的中點，∴CM=AC，DN=BD，∵AC=10，BD=6，∴CM=5，DN=3，∴MN=CM+CD+DN=5+4+3=12；②∵AB=20，CD=4，∴AC+BD=204=16∵點M，N分別是線段AC、BD的中點，∴CM=AC，DN=BD，∴CM+DN==8，∴MN=CM+DN+CD=8+4=12；（2）由（1）②得，MN=．【點撥】本題考查了比較線段的長短．利用中點性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性．同時，靈活運用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系也是十分關(guān)鍵的一點．【變式1】（18·19上·廣安·期末）如圖，C，D，E是線段AB上的三個點，下面關(guān)于線段CE的表示：①CE=CD＋DE；②CE=AB－AC－EB；③CE=CD＋BD－EB；④CE=AE＋BC－AB．其中正確的有（）A．1個 B．2個C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)圖示可以找到線段間的和差關(guān)系．解：由圖可知：①CE＝CD+DE，正確；②CE=AB－AC－EB，正確；③CE=CD＋BD－EB，正確；④CE=AE＋BC－AB，正確．故選D．【點撥】本題考查了兩點間的距離．連接兩點間的線段的長度叫兩點間的距離．【變式2】（18·19下·哈爾濱·期末）已知點B、C為線段AD上的兩點，AB=BC=CD，點E為線段CD的中點，點F為線段AD的三等分點，若BE=14，則線段EF=【答案】2或10．【分析】設(shè)AB=x，則BC=2x，CD=3x，CE=DE=CD=x，由BE=14可求出x的值，由點F為線段AD的三等分點，可得出AF=2x或DF=2x，分AF=2x、DF=2x兩種情況找出EF的長度，此題得解．解：設(shè)AB=x，則BC=2x，CD=3x，CE=DE=CD=x，∵BE=BC+CE=2x+x=14，∴x=4．∵點F為線段AD的三等分點，∴AF=AD=2x或DF=AD=2x．當AF=2x時，如圖1所示，EF=AB+BC+CEAF=x=10；當DF=2x時，如圖2所示，EF=DFDE==2．綜上，線段EF的長為2或10．故答案為2或10【點撥】本題考查了兩點間的距離，分AF=2x、DF=2x兩種情況找出EF的長度是解題的關(guān)鍵．【考點五】線段上的動點問題【例5】（21·22上·廊坊·期末）如圖，P是線段上一點，，C，D兩動點分別從點P，B同時出發(fā)沿射線向左運動，到達點A處即停止運動．（1）若點C，D的速度分別是，．①當動點C，D運動了2s，且點D仍在線段上時，_________cm；②若點C到達中點時，點D也剛好到達的中點，則_________；（2）若動點C，D的速度分別是，，點C，D在運動時，總有，求的長【答案】（1）①12；②；（2）【分析】（1）①先分別求出，再根據(jù)即可得；②設(shè)運動時間為，則，再根據(jù)線段中點的定義可得，由此即可得；（2）設(shè)運動時間為，則，從而可得，再根據(jù)可得，從而可得，由此即可得．（1）解：①依題意得：，，點仍在線段上，∴，故答案為：；②設(shè)運動時間為，則，∵當點到達中點時，點也剛好到達的中點，∴，∴，故答案為：．（2）解：設(shè)運動時間為，則，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點撥】本題考查了與線段有關(guān)的動點問題、線段的和與差、線段的中點，熟練掌握線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式1】（19·20上·臺州·期末）如圖，C為射線AB上一點，AB＝30，AC比BC的多5，P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)．分別以2單位/秒和1單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運動，運動時間為t秒，M為BP的中點，N為QM的中點，以下結(jié)論：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③當PB＝BQ時，t＝12，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)AC比BC的多5可分別求出AC與BC的長度，然后分別求出當P與Q重合時，此時t=30s，當P到達B時，此時t=15s，最后分情況討論點P與Q的位置．解：設(shè)BC＝x，∴AC＝x+5∵AC+BC＝AB∴x+x+5＝30，解得：x＝20，∴BC＝20，AC＝10，∴BC＝2AC，故①成立，∵AP＝2t，BQ＝t，當0≤t≤15時，此時點P在線段AB上，∴BP＝AB﹣AP＝30﹣2t，∵M是BP的中點∴MB＝BP＝15﹣t∵QM＝MB+BQ，∴QM＝15，∵N為QM的中點，∴NQ＝QM＝，∴AB＝4NQ，當15＜t≤30時，此時點P在線段AB外，且點P在Q的左側(cè)，∴AP＝2t，BQ＝t，∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，∵M是BP的中點∴BM＝BP＝t﹣15∵QM＝BQ﹣BM＝15