2021屆人教a版（理科數(shù)學(xué)）計(jì)數(shù)原理單元測(cè)試

專題18計(jì)數(shù)原理

1.（l+2x2）（l+x）4的展開式中X3的系數(shù)為

A.12B.16C.20D.24

答案A

由題意得％3的系數(shù)為C：+2C；=4+8=12,故選A.

名師點(diǎn)評(píng)本題主要考查二項(xiàng)式定理，利用展開式通項(xiàng)公式求展開式指定項(xiàng)的系數(shù).

2.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶

數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和“，如30=7+23.在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等

于30的概率是

1111

A.—B.—C.—D.—

12141518

答案C

不超過30的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，共有C；）=45

種方法，其和等于30的有3種方法，分別是7和23,11和19,13和17,所以隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),

31

其和等于30的概率為一=一,選C.

4515

3.（x2+^］的展開式中一的系數(shù)為

Ix）

A.10B.20C.40D.80

答案C

由題可得（爐的展開式的通式為&=G（/廣（2）=C>2'7°B■，令10-3廠=4,得r=2,

所以展開式中/的系數(shù)為c；x22=4（）.故選C.

4.安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成I項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有

A.12利?B.18種C24種D.36種

答案D

由題意可得，一人完成兩項(xiàng)工作，其余兩人每人完成一項(xiàng)工作，據(jù)此可得，只要把工作分成三份：有C：

種方法，然后進(jìn)行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有C；xA；=36種.故選D.

名師點(diǎn)評(píng)（1）解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則：①按元素（或位置）的性質(zhì)進(jìn)行分類；②按事情發(fā)生的過

程進(jìn)行分步.具體地說，解排列組合問題常以元素（或位置）為主體，即先滿足特殊元素（或位置），再考慮

其他元素（或位置）.

（2）不同元素的分配問題，往往是先分組再分配.在分組時(shí)，通常有三種類型：①不均勻分組；②均

勻分組；③部分均勻分組.注意各種分組類型中，不同分組方法的求解.

5.（1+二）（1+幻6展開式中一的系數(shù)為

X

A.15B.20C.30D.35

答案C

1

因?yàn)椋╨+e）（l+X）6=l.（l+X）6+-r（1+》）6,而（1+%）6展開式中含爐的項(xiàng)為1.或f=15f,

!<1+尤）6展開式中含V的項(xiàng)為二.《丁=15》2,故所求展開式中/的系數(shù)為］5+15=30,選C.

XX

名師點(diǎn)評(píng)對(duì)于兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的問題，用第一個(gè)二項(xiàng)式中的每項(xiàng)乘以第二個(gè)二項(xiàng)式的每項(xiàng)，分析含犬的

項(xiàng)共有幾項(xiàng)，進(jìn)行相加即可.這類問題的易錯(cuò)點(diǎn)主要是未能分析清楚構(gòu)成這一項(xiàng)的具體情況，尤其是兩

個(gè)二項(xiàng)展開式中的r不同.

6.（x+y）（2x—?的展開式中/J?的系數(shù)為

A.-8（）B.-40C.40D.80

答案C

5

（x+y）（2x—y）s=x（2x-yf+y（2x-y）,由（2x—y7展開式的通項(xiàng)公式Tr+I=C；（2x）~（—可

得：當(dāng)r=3時(shí)，x（2x—y）s展開式中尤3y3的系數(shù)為C；X22X（—1丫=-40；當(dāng)廠=2時(shí)，y（2x—yf展

開式中dy3的系數(shù)為c；x23x（—1/=80,則的系數(shù)為8（）_40=4（）.故選C.

名師點(diǎn)評(píng)（1）二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條

件（特定項(xiàng)）和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)（求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n,r

均為非負(fù)整數(shù)，且佗一，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等）；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所

求解的項(xiàng).（2）求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡(jiǎn)或利用分類加法計(jì)數(shù)原理討論求解.

7.理數(shù)在二項(xiàng)式（、歷+x）9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是；系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是.

答案16夜5

由題意，（、歷+x）9的通項(xiàng)為Im=C：（、歷）9:/（r=0,1,2...9）,當(dāng)，=0時(shí)，可得常數(shù)項(xiàng)為

1=幡（0）9=160；若展開式的系數(shù)為有理數(shù)，則r=1,3,5,7,9,有豈,共5個(gè)項(xiàng).故

答案為：166?,5.

名師點(diǎn)評(píng)此類問題解法比較明確，首要的是要準(zhǔn)確記憶通項(xiàng)公式，特別是“累指數(shù)''不能記混，其次，計(jì)

算要細(xì)心，確保結(jié)果正確.

8.從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有

種.（用數(shù)字填寫答案）

答案16

根據(jù)題意，沒有女生入選有C：=4種選法，從6名學(xué)生中任意選3人有C：=20種選法，

故至少有1位女生入選，則不同的選法共有20—4=16種，故答案為：16.

名師點(diǎn)評(píng)該題是一道關(guān)于組合計(jì)數(shù)的題目，并且在涉及到至多、至少問題時(shí)多采用間接法，即利用總的

減去沒有女生的選法種數(shù)，該題還可以用直接法，分別求出有I名女生和有2名女生分別有多少種選法,

之后用加法運(yùn)算求解.

9.）某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動(dòng)，則恰好選中2名女生的概率為

3

答案2

10

從5名學(xué)生中抽取2名學(xué)生，共有C；=10種方法，其中恰好選中2名女生的方法有C；=3種，因此所

求概率為工3.故答案為：3—.

1010

10.）從1,3,5,7,9中任取2個(gè)數(shù)字，從0,2,4,6中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成個(gè)沒

有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).（用數(shù)字作答）

答案1260

若不取0,則排列數(shù)為C；C；A；：若取0,則排列數(shù)為C；C；A；A；,因此洪可以組成

C；C；A：+C；C；A；A；=1260個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).故答案為：1260.

11.）二項(xiàng)式（孤+工）8的展開式的常數(shù)項(xiàng)是.

2x

答案7

（1-1Y/1Y1—

二項(xiàng)式近+」-的展開式的通項(xiàng)公式為&=c;（叼—=。:3,

I2x）L2xJ2

o_4ri

令H=0得r=2,故所求的常數(shù)項(xiàng)為C〉-V=7.故答案為：7.

2

382

12.在（8-寸）5的展開式中，/的系數(shù)為.

答案工

2

二項(xiàng)式（x—j）5的展開式的通項(xiàng)公式為&=c；產(chǎn)（―十）=（一G/告，令5—|r=2可

得：r=2,則犬的系數(shù)為：（―![C；='xlO=3.故答案為：

t2J5422

13.）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)

中至少有1名女生，共有種不同的選法.（用數(shù)字作答）

.答案660

由題意可得，“從8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)”總的選擇方法

為C；xC；xC；（種）方法，其中“服務(wù)隊(duì)中沒有女生”的選法有C：xC：xC；（,種）方法，則滿足題意

的選法有:C：xC；xC"C：xC：xC；=660（種）.故答案為:660.

名師點(diǎn)評(píng)本題主要考查分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，有關(guān)排列組合的綜合問題，

往往是兩個(gè)原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題

才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、"是排列還是組合“，在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)

加法原理.討論時(shí)，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率.在某些特定問題上，也可

充分考慮“正難則反”的思維方式.

14.用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的?四位數(shù)，這樣的

四位-數(shù)一共有個(gè).（用數(shù)字作答）

答案1080

題中4個(gè)數(shù)字均為奇數(shù)的四位數(shù)有A；種，4個(gè)數(shù)字中含有1個(gè)偶數(shù)，3個(gè)奇數(shù)的四位數(shù)有C；C：A：種,

所以符合題意的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為A；+CC；A：=1080.故答案為：1080.

名師點(diǎn)評(píng)計(jì)數(shù)原理包含分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，本題中組成的四位數(shù)至多有一個(gè)數(shù)字

是偶數(shù)，包括四位數(shù)字有一個(gè)是偶數(shù)和四位數(shù)字全部是奇數(shù)兩類，先利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求每一?類

中的結(jié)果數(shù)，然后利用分類加法計(jì)數(shù)原理求總的結(jié)果數(shù).

15.）已知多項(xiàng)式。+1）3（工+2）2=15+4/4+。4元+。5，則44=，%=-

答案16,4

由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式可得，（X+1）3（X+2）2的展開式的通項(xiàng)為：

CKG'x"'"T"=C；-C7-22-m-Z+m,分別取〃=0,m=1和尸=1,機(jī)=0可得4=4+12=16,取

r—m—Q<可得。5=1x2。=4.故答案為：16,4.

名師點(diǎn)評(píng)本題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.二項(xiàng)展開式定理的問題也是高考命題

熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的

通項(xiàng)公式（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）；（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的

二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.

16“2020年高考山東理數(shù)已知（1+3龍）"的展開式中含有一項(xiàng)的系數(shù)是54,則〃=.

答案4

（1+3幻"的展開式的通項(xiàng)公式為（+1=&（3》）'=（2>3”',，令/'=2,得含有Y項(xiàng)的系數(shù)為

C；-32=54,解得〃=4.故答案為：4.

名師點(diǎn)評(píng)根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，確定二項(xiàng)式系數(shù)或確定二項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)，是二項(xiàng)式定理問題

中的基本問題，往往要綜合運(yùn)用二項(xiàng)展開式的系數(shù)的性質(zhì)、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求解.本題能較好地考

查考生的思維能力、基本計(jì)算能力等.

17.理數(shù)設(shè)（1+幻”=4+4%+42%2-----i-anx",n>4,neN.已知a；=24%.

(1)求〃的值；

(2)設(shè)(l+JJ)"=a+/?百，其中a,buN*,求/一36的值.

答案(1)〃=5；