專題16直線與圓的綜合性問題（學(xué)生版）

專題16直線與圓的綜合性問題直線與圓、圓與圓是解析幾何學(xué)中最基本內(nèi)容,也是高考必考查的內(nèi)容,主要考查直線與圓相切、相交、相離.本專題主要研究兩個內(nèi)容：一、直線與圓，針對直線與圓的相切、相交、相離問題，舉例說明處理直線與圓問題的基本方法：直線與圓、圓與圓是解析幾何學(xué)中最基本內(nèi)容,也是高考必考查的內(nèi)容,主要考查直線與圓相切、相交、相離.本專題主要研究兩個內(nèi)容：一、直線與圓，針對直線與圓的相切、相交、相離問題，舉例說明處理直線與圓問題的基本方法：（1）要訣1.關(guān)注圓心到直線距離，利用半徑、半弦、弦心距構(gòu)成直角三角形,這樣可以簡化運(yùn)算；（2）要訣2.關(guān)注直線過定點(diǎn)，知道直線過定點(diǎn),可知直線大致位置，便于分析直線與圓位置關(guān)系；（3）要訣3.關(guān)注代數(shù)式幾何意義，理解代數(shù)式幾何意義，可以借助圖形，達(dá)到以形助數(shù)目的。二、圓與圓，兩圓的位置關(guān)系有5種，題型主要有以下4種類型：（1）判斷兩圓位置關(guān)系；（2）求公切線條數(shù)；（3）求公切線長；（4）研究公共弦。通過本專題學(xué)習(xí)，你能解決以上問題，并獲得基本解題策略?！K省清江中學(xué)高級教師崔緒春探究1：直線、圓的位置關(guān)系【典例剖析】例1.(2022·新高考2卷)設(shè)點(diǎn)A(-2,3)，B(0,a)，直線AB關(guān)于直線y=a的對稱直線為l，已知l與圓C:(x+3)2+(y+2)2=1選題意圖:選題意圖:高考真題,在平時早已熟練掌握的直線與圓相交的問題中，又加入了直線關(guān)于直線對稱問題,凸顯高考命題的創(chuàng)新性，考查了直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).思維引導(dǎo)：首先求出直線AB的斜率,然后根據(jù)B在直線y=a上,且直線l與直線AB關(guān)于直線y=a對稱即可得到直線l【變式訓(xùn)練】練11(2022·江西省撫州市聯(lián)考)已知圓C1:x2+y2-8x-8y+16=0與圓C2:x2+A.相交 B.相離 C.相切 D.不能確定練12(2021·新高考2卷·多選)已知直線l:ax+by-r2=0與圓C:x2+yA.若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切 B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離

C.若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離 D.若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切練13(2022·重慶市聯(lián)考)已知點(diǎn)A(-2,3)，B(2,1)，圓C:x2+y2=r2(r>0)與線段AB(【規(guī)律方法】1.直線與圓的位置關(guān)系的判斷直線l:Ax+By+C=0（A,B不全為0）與圓(x-（1）幾何法：圓心(a,b)到直線l:Ax+By+C=0的距離為d，d<r?直線與圓相交；d=r?直線與圓相切；（2）代數(shù)法：由&Ax+By+C=0&(x-aΔ>0?直線與圓相交；Δ=02.圓與圓的位置關(guān)系的判斷（圓C1，圓C2的半徑分別為d>rd=rr1d=r0≤探究2：圓中的弦長與切線問題【典例剖析】例2.(2022·新高考1卷)寫出與圓x2+y2=1和(x-3選題意圖選題意圖：高考真題,該題目考法新穎,開放有度.只需寫出一個正確答案即可，觀察圖象，很容易確定x=-1是其中一條切線方程,另外當(dāng)兩圓相切時,直接把兩圓的方程相減,也可以快速得出答案.著重考查考生的思維引導(dǎo)：方法1:設(shè)直線方程為x+by+c=0，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出b與【變式訓(xùn)練】練21(2022·廣東省深圳市聯(lián)考)寫出一個與直線y=(2-3)x和y=(2+3)x都相切的圓(答案不唯一)練22(2022·天津卷)若直線x-y+m=0(m>0)與圓(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦長為m練23(2022·福建省百校聯(lián)考)已知拋物線y2=2p1x(p1>0)與拋物線x2=2p2y(p2>0)【規(guī)律方法】1.有關(guān)弦長問題的兩種求法設(shè)直線l被圓C截得的弦長為AB，圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則弦長公式：AB=2若斜率為k的直線與圓交于A(x則AB=1+k特別地，當(dāng)k=0時，AB=x12.直線與圓相切問題的解題策略直線與圓相切時利用“切線與過切點(diǎn)的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關(guān)于切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點(diǎn)斜式．過圓外一點(diǎn)求解切線段長的問題，可先求出圓心到圓外點(diǎn)的距離，再結(jié)合半徑利用勾股定理計(jì)算．3.圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2+y2=(2)過圓x-a2+y-b2=(3)過圓x2+y2=4.圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：①內(nèi)含：0條；②內(nèi)切：1條；③相交：2條；④外切：3條；⑤外離：4條．(2)當(dāng)兩圓相交時，兩圓方程(x2，y2項(xiàng)系數(shù)相同)相減便可得公共探究3：與圓有關(guān)的最值問題【典例剖析】例3.(2021·新高考1卷·多選)已知點(diǎn)P在圓(x-5)2+(y-5)2=16上，點(diǎn)A(4,?0)，B(0,?2)A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10 B.點(diǎn)P到直線AB的距離大于2

C.當(dāng)∠PBA最小時，|PB|?=32 D.當(dāng)∠PBA最大時，選題意圖選題意圖：高考真題,此題涉及的考點(diǎn)與圓有關(guān)的最值問題是高考的熱點(diǎn)問題.本題考查了點(diǎn)到直線的距離，及圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)所成角最大或最小問題,需熟練掌握平面幾何知識,數(shù)形結(jié)合才能正確解答.考查了直觀想象、邏輯推理及數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).思維引導(dǎo)：根據(jù)點(diǎn)和圓的距離范圍判斷AB，根據(jù)直線與圓相切判斷CD．【變式訓(xùn)練】練31(2022·廣東省汕頭市一模)點(diǎn)G在圓(x+2)2+y2=2上運(yùn)動，直線x-y-3=0分別與x軸，y軸交于M，NA.10 B.232 C.92 練32(2022·浙江省名校聯(lián)考)設(shè)直線l:(a+2)x-(a-1)y-3a-3=0(a∈R)與圓C:x2(r>0)交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△ABC面積的最大值為2時，a的值為

．練33(2022·北京市一模)在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+mk≠0與x軸和y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，AB=22，若CA⊥CB，則當(dāng)k，m變化時，點(diǎn)C到點(diǎn)1,1的距離的最大值為(

)A.42 B.32 C.22 練34(2022·湖北省武漢市聯(lián)考·多選)畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn):橢圓的兩條切線互相垂直，則兩切線的交點(diǎn)位于一個與橢圓同中心的圓上,稱此圓為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓C:x(a>b>0)的離心率為22,F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)A在橢圓上,直線l:bx+ay-aA.直線l與蒙日圓相切

B.C的蒙日圓的方程為x2+y2=2a2

C.記點(diǎn)A到直線l的距離為d，則d-AF2的最小值為(4【規(guī)律方法】1.借助幾何性質(zhì)求最值：根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解.=1\*GB3①最小圓問題，轉(zhuǎn)化為求半徑最小值問題；=2\*GB3②求圓上點(diǎn)到圓外點(diǎn)距離最值，轉(zhuǎn)化為求圓外點(diǎn)到圓心的距離，加上半徑即為最大值，減去半徑即為最小值；=3\*GB3③形如u=y-bx-a=4\*GB3④形如t=ax+by的最值，轉(zhuǎn)化為直線ax+by-t=0與圓有交點(diǎn)，或者用三角代換