專題08三角函數(shù)的概念與誘導(dǎo)公式（知識串講熱考題型專題訓(xùn)練）（原卷版）

專題08三角函數(shù)的概念與誘導(dǎo)公式知識點1任意角的定義1、定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形。2、角的表示：（1）始邊：射線的起始位置．（2）終邊：射線的終止位置．（3）頂點：射線的端點O．（4）記法：圖中的角可記為“角”或“”或“”．3、角的分類：（1）正角：按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；（2）負(fù)角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角；（3）零角：一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角叫做零角知識點2象限角與軸線角1、象限角的定義與表示：在直角坐標(biāo)系中，角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角。象限角集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角2、軸線角的定義與表示：在直角坐標(biāo)系中，角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限，可稱為軸線角。角的終邊位置集合表示軸的非負(fù)半軸軸的非正半軸軸上軸非負(fù)半軸軸非正半軸軸上知識點3角度制與弧度制1、角度制與弧度制的定義（1）規(guī)定周角的為1度的角，這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制.（2）弧度制的定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度，這種用弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制.（3）弧度制與角度制的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別（1）單位不同，弧度制以“弧度”為度量單位，角度制以“度”為度量單位；（2）定義不同.聯(lián)系不管以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個與圓的半徑大小無關(guān)的定值.2、角度制與弧度制的換算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)弧度數(shù)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度數(shù)3、一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0知識點4弧長與扇形面積公式設(shè)扇形的半徑為，弧長為，或°為其圓心角，則弧長公式與扇形面積公式如下：類別/度量單位角度制弧度制扇形的弧長扇形的面積知識點5三角函數(shù)的定義與符號1、三角函數(shù)的定義：設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點，則：叫做的正弦函數(shù)，記作.即；叫做的余弦函數(shù)，記作.即；叫做的正切函數(shù)，記作.即?！狙a充】三角函數(shù)另一種定義設(shè)點（不與原點重合）為角終邊上任意一點，點P與原點的距離為：，則：，，.三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊上點P的位置無關(guān)2、三角函數(shù)的符號：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知識點6同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1、公式：（1）平方關(guān)系：，文字表述：同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1（2）商數(shù)關(guān)系：，文字表述：同一個角α的正弦、余弦的商等于角α的正切2、三角函數(shù)式的化簡技巧①化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化繁為簡的目的．②對于含有根號的，常把根號里面的部分化成完全平方式，然后去根號達(dá)到化簡的目的．③對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造＋＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡的目的．3、三角函數(shù)恒等式證明證明三角恒等式的過程，實質(zhì)上是化異為同的過程，證明恒等式常用以下方法：①證明一邊等于另一邊，一般是由繁到簡．②證明左、右兩邊等于同一個式子(左、右歸一)．③比較法：即證左邊－右邊＝0或eq\f(左邊,右邊)＝1(右邊≠0)．④證明與已知等式等價的另一個式子成立，從而推出原式成立．知識點7誘導(dǎo)公式1、誘導(dǎo)公式（一~六）誘導(dǎo)公式一：，，，其中誘導(dǎo)公式二：，，，其中誘導(dǎo)公式三：，，，其中誘導(dǎo)公式四：，，，其中誘導(dǎo)公式五：，，其中誘導(dǎo)公式六：，，其中【小結(jié)】誘導(dǎo)公式口訣：“奇變偶不變，符號看象限”，意思是說角(為常整數(shù))的三角函數(shù)值：當(dāng)為奇數(shù)時，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)為偶數(shù)時，函數(shù)名不變，然后的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)視為銳角時原函數(shù)值的符號.2、用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡時的注意點：（1）化簡后項數(shù)盡可能的少；（2）函數(shù)的種類盡可能的少；（3）分母不含三角函數(shù)的符號；（4）能求值的一定要求值；（5）含有較高次數(shù)的三角函數(shù)式，多用因式分解、約分等．3、用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟（1）“負(fù)化正”：用公式一或三來轉(zhuǎn)化．（2）“大化小”：用公式一將角化為0°到360°間的角．（3）“角化銳”：用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角．（4）“銳求值”：得到銳角的三角函數(shù)后求值．考點1任意角與弧度制概念理解【例1】（2021·全國·高一課時練習(xí)）下列說法中正確的是（）A．第一象限角都是銳角B．三角形的內(nèi)角必是第一?二象限的C．不相等的角終邊一定不相同D．不論是用角度制還是弧度制度量一個角，它們與扇形的半徑的大小無關(guān)【變式1-1】（2022·全國·高一課時練習(xí)）將分針撥慢5分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角是（）A．B．C．D．【變式1-2】（多選）（2021·廣東·金灣高一階段練習(xí)）下列說法錯誤的是（）A．小于的角是銳角B．鈍角是第二象限的角C．第二象限的角大于第一象限的角D．若角與角的終邊相同，則【變式1-3】（多選）（2021·江蘇省鎮(zhèn)江高一期末）下列說法正確的是（）A．B．1弧度的角比的角大C．用弧度制量角時，角的大小與圓的半徑有關(guān)D．扇形的周長為6厘米，面積為2平方厘米，則扇形的圓心角的弧度數(shù)為4考點2終邊相同的角表示【例2】（2022·全國·高一）下列與的終邊相同的角的集合中正確的是（）A．B．C．D．【變式2-1】（2022·江西省萬載高一階段練習(xí)）已知角，則符合條件的最大負(fù)角為（）A．–22oB．–220oC．–202oD．–158o【變式2-2】（2021·全國·高一課前預(yù)習(xí)）將化為（，）的形式是（）A．B．C．D．【變式2-3】（2022·黑龍江綏化·高一期末）已知集合則角α的終邊落在陰影處(包括邊界)的區(qū)域是（）A．B．C．D．【變式2-4】（2022·全國·高一課時練習(xí)）寫出角的終邊在下列位置時的集合．（1）角α的終邊在如圖（1）所示的陰影中（包括邊界）；（2）角α的終邊在如圖（2）所示的陰影中（包括邊界）．考點3確定n分角與n倍角的象限【例3】（2021·全國·高一課時練習(xí)）若是第一象限角，問，，是第幾象限角？【變式3-1】（2022·全國·高一課時練習(xí)）若是第一象限角，則下列各角中屬于第四象限角的是A．B．C．D．【變式3-2】（2022·全國·高一課時練習(xí)）若是第四象限角，則點在（）A．第二或第四象限B．第一或第三象限C．第三或第四象限D(zhuǎn)．第一或第二象限【變式3-3】（多選）（2022·全國·高一課時練習(xí)）若是第二象限角，則（）A．是第一象限角B．是第一或第三象限角C．是第二象限角D．是第三或第四象限角或軸負(fù)半軸上考點4扇形的弧長與面積計算【例4】（2022·四川遂寧·高一期末）已知扇形的半徑為4cm，面積為8cm2，則扇形圓心角的弧度數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【變式4-1】（2022·江蘇省江浦高級高一階段練習(xí)）磚雕是我國古建筑雕刻中的重要藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細(xì)膩、氣韻生動、極富書卷氣．如圖所示，一扇環(huán)形磚雕，可視為將扇形截去同心扇形所得圖形，已知，則該扇環(huán)形磚雕的面積為（）．A．B．C．D．【變式4-2】（2022·廣東·廣州市第一一三高一階段練習(xí)）古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的部分多為扇環(huán)．已知某扇形的扇環(huán)如圖所示，其中外弧線的長為，內(nèi)弧線的長為，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段均為，則該扇形的中心角的弧度數(shù)為____．【變式4-3】（2022·河北張家口·高一期末）已知扇形的圓心角是，半徑為，弧長為.（1）若，，求扇形的弧長；（2）若扇形的周長為，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大，并求出此時扇形面積的最大值.考點5三角函數(shù)的定義與符號【例5】（2022·江蘇連云港·高一期末）已知角的終邊經(jīng)過點，且，則x的值是（）A．B．C．D．【變式5-1】（2022·江蘇·南京師大附中高一階段練習(xí)）設(shè)是大于0的實數(shù)，角的終邊經(jīng)過點，則的值為（）A．B．C．D．【變式5-2】（2022·江蘇·常州市教科院附屬高級高一階段練習(xí)）已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點，若角的終邊經(jīng)過點，則的值為（）A．B．C．D．【變式5-3】（2022·上?！とA東師范大學(xué)附屬周浦高一期末）已知點在第三象限，則角的終邊在第（）象限．A．一B．二C．三D．四【變式5-4】（2022·上?！とA師大二附中高一期中）設(shè)角屬于第二象限，且，則角屬于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【變式5-5】（2022·內(nèi)蒙古包頭·高一期末）如果點位于第四象限，那么角所在象限為（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限考點6圓上的動點與旋轉(zhuǎn)點【例6】（2022·山東東營·高一期中）圓心在原點，半徑為10的圓上的兩個動點M，N同時從點出發(fā)，沿圓周運動，點M按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，速度為弧度/秒，點N按順時針方向旋轉(zhuǎn)，速度為弧度/秒，則它們第三次相遇時點M轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為（）A．B．C．D．【變式6-1】（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，動點P、Q從點A(1,,0)出發(fā)在單位圓上運動,點P按逆時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，點Q按順時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，則P、Q兩點在第2019次相遇時,點P的坐標(biāo)是A．(0,0)B．(0,1)C．(-1,0)D．(0,-1)【變式6-2】（2020·江蘇·高一課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓交于點，將角的終邊繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，交單位圓于點，則（）A．B．C．D．【變式6-3】（2021·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)點是以原點為圓心的單位圓上的一個動點，它從初始位置出發(fā)，沿單位圓順時針方向旋轉(zhuǎn)角后到達(dá)點，然后繼續(xù)沿單位圓順時針方向旋轉(zhuǎn)角到達(dá)點，若點的縱坐標(biāo)是，則點的坐標(biāo)是__．【變式6-4】（2022·全國·高一）如圖所示，半徑為1的圓的圓心位于坐標(biāo)原點，點P從點A(1，0)出發(fā)，以逆時針方向等速沿單位圓周旋轉(zhuǎn)，已知P點在1s內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為θ(0°<θ<180°)，經(jīng)過2s達(dá)到第三象限，經(jīng)過14s后又回到了出發(fā)點A處，求θ.考點7sina、cosa、tana知一求二【例7】（2022·北京·北二外附屬高一期中）根據(jù)下列條件，求三角函數(shù)值（1）已知，且為第二象限角，求的值；（2）已知，求的值．【變式7-1】（2022·遼寧·渤海大學(xué)附屬高級高一階段練習(xí)）已知，，則（）A．B．C．D．【變式7-2】（2022·安徽省舒城高一開學(xué)考試）已知，則（）A．B．C．D．【變式7-3】（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，，則（）A．B．C．D．【變式7-4】（2022·安徽·合肥市第五高一階段練習(xí)）已知，，則_____.考點8正、余弦齊次式的應(yīng)用【例8】（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，點在角的終邊上，則（）A．B．C．D．【變式8-1】（2022·上海市香山高一期末）已知，則的值為（）A．B．C．D．【變式8-2】（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，則＝（）A．B．2C．D．6【變式8-3】（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，則_____.【變式8-4】（2022·北京·人大附中高一期中）已知第二象限角滿足是關(guān)于的方程的兩個實根.（1）求的值；（2）求的值.考點9sinacosa、sina±cosa知一求二【例9】（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，則的值等于（）A．B．C．D．【變式9-1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知，且，則____.【變式9-2】（2022·遼寧·東北育才高一階段練習(xí)）若，則___.【變式9-3】（2022·湖南·高一課時練習(xí)）已知，求的值．【變式9-4】（2022·山東·濟(jì)南高一階段練習(xí)）已知，是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，（1）求的值；（2）求m的值；（3）若，求的值.考點10利用誘導(dǎo)公式化簡求值【例10】（2022·江蘇連云港·高一期末）若，則（）A．B．C．D．【變式10-1】（多選）（2022·甘肅·莊浪縣第二高一期末）若角是的三個內(nèi)角，則以下結(jié)論不正確的是（）A．B．C．D．【變式10-2】（2022·天津市南開濱海生態(tài)城高一階段練習(xí)）_______.【變式10-3】（2022·江蘇連云港·高一期末）已知．（1）化簡；（2）若=，求的值．【變式10-4】（2022·遼寧·東北育才高一階段練習(xí)）已知（1）化簡；（2）若是第三象限角，且，求；（3）若角是的內(nèi)角，且，求的值.1．（2022·河北·蠡縣高一階段練習(xí)）800°是以下哪個象限的角（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限2．（2022·陜西·西北農(nóng)林科技大學(xué)附中高一階段練習(xí)）下列命題：第四象限的角可表示為第二象限角大于第一象限角將表的分針撥快分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角為若是第二象限角，則的終邊在第一象限．其中真命題的個數(shù)是（）A．個B．個C．個D．個3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知角的終邊與的終邊重合，則的終邊不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限4．（2022·全國·高一課時練習(xí)）將時鐘撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的弧度是（）A．B．C．D．5．（2022·全國·高一課時練習(xí)）如果角與角x＋45°具有相同的終邊，角與角x－45°具有相同的終邊，那么與之間的關(guān)系是（）A．B．C．D．6．（2022·全國·高一課時練習(xí)）以下式子符號為負(fù)的有（）A．B．C．D．7．（2022·福建·福州高一期末）我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何?”現(xiàn)有一類似問題，不確定大小的圓柱形木材，部分埋在墻壁中，其截面如圖所示.用鋸去鋸這木材，若鋸口深，鋸道，則圖中與弦圍成的弓形的面積為（）A．B．C．D．8．（2022·江西省萬載高一階段練習(xí)）若={α|，B={第一或第四象限角}，則A、B關(guān)系為（）A．A=BB．ABC．ABD．非A、B、C結(jié)論9．（2022·安徽師范大學(xué)附屬高一階段練習(xí)）已知角的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合．若角終邊上一點的坐標(biāo)為，則（）A．B．C．D．10．（2022·四