2.5　等腰三角形的軸對(duì)稱性（3）（分層練習(xí)）解析版

2.5等腰三角形的軸對(duì)稱性（3）分層練習(xí)考查題型一等腰三角形的判定和性質(zhì)綜合運(yùn)用1.(2023·山東省淄博市·期末考試)如圖，已知OC平分∠AOB，CD/?/OB，若OD=3cm，則CD等于(

)

A.3cm B.4cm C.1.5cm D.2cm【答案】A

【解析】解：∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC=∠BOC；

又∵CD/?/OB，∴∠C=BOC，

∴∠C=∠AOC；

∴CD=OD=3cm．

故選A．2.(2023·江西省撫州市·期末考試)如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，ED/?/BC交AB于點(diǎn)E，下列四個(gè)結(jié)論：

①∠BDE=36°；

②點(diǎn)D在AB的垂直平分線上；

③圖中共有5個(gè)等腰三角形；

④△AED≌△BCD；

其中正確的結(jié)論有(

)A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)【答案】A

【解析】解：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=12×(180°-∠A)=12×(180°-36°)=72°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD=36°，

∵DE/?/BC，

∴∠BDE=∠CBD=36°，所以①正確；

∵∠A=∠ABD=36°，

∴DA=DB，

∴點(diǎn)D在AB的垂直平分線上，所以②正確；

∵∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°，

∴∠BDC=∠C，

∴BD=BC，

∵DE/?/BC，

∴∠AED=∠ABC=72°，∠ADE=∠ACB=72°，

∴∠AED=∠ADE，

∴AE=AD，

∴△ADE、△ABC、△BDE、△ADB、△BCD都是等腰三角形，所以③正確；

在△AED和△BCD中，

∠A=∠CBDAD=BD∠ADE=∠C，

∴△AED≌△BCD(ASA)，所以④正確．

故選：A．

3.(2023·河南省安陽市·期末考試)如圖，∠ABC，∠ACB的平分線相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DE/?/BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，那么有下列結(jié)論：

①BD=CE；

②DE=BD+CE；

③△ADE的周長(zhǎng)等于△BDF與△CEF的周長(zhǎng)之和；

④△BDF，【答案】②④【解析】解：∵∠ABC，∠ACB的平分線相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DE/?/BC，

∴∠DBF=∠CBF=∠DFB，∠ECF=∠BCF=∠EFC，

∴BD=DF，EF=EC，

∴△BDF，△CEF都是等腰三角形，

∴DE=DF+EF=BD+EC

故②④正確；①錯(cuò)誤；

∵△ADE的周長(zhǎng)等于AD+DE+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC，△BDF與△CEF的周長(zhǎng)之和為BD+DF+BF+EF+EC+CF=2BD+BF+2EC+CF≠AB+AC，故③錯(cuò)誤；

∵∠ADE=∠BFD+∠BDF≠∠BFD+∠CFE，故⑤錯(cuò)誤；

故答案為：②④．

4.(2023·浙江省杭州市·模擬題)如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，且AB=BD，過點(diǎn)D作BC的垂線交AC于點(diǎn)E．(1)求證：AE=DE；(2)當(dāng)∠ABC=2∠C時(shí)，求證：AB=CD．【解析】(1)證明：在Rt△ABE和Rt△DBE中，

BE=BEAB=DB，

∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL)，

∴AE=DE．

(2)證明：∵Rt△ABE≌Rt△DBE，

∴∠ABE=∠DBE，

∴∠ABC=2∠DBE，

又∵∠ABC=2∠C，

∴∠DBE=∠C，

∴CE=BE，

∵ED⊥BC，

∴CD=BD，

又∵AB=BD，

∴AB=CD．

5.(2023·北京市市轄區(qū)·專項(xiàng)測(cè)試)如圖，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD和CE相交于點(diǎn)O．(1)OB與OC相等嗎？請(qǐng)說明你的理由；(2)連接AO，AO的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，試判斷AF與BC的位置關(guān)系，并說明理由．【解析】(1)解：

OB=OC

，理由如下：∵

AB=AC

，∴

∠ABC=∠ACB

，∵

BD

平分

∠ABC

，

CE

平分

∠ACB

，∴

∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠∴

∠OBC=∠OCB，∴

OB=OC

；(2)解：

AF⊥BC

，理由如下：∵

BD

平分

∠ABC

，

CE

平分

∠ACB

，∴點(diǎn)O是

△ABC

三條角平分線的交點(diǎn)，∴

AF

平分

∠BAC

，又∵

AB=AC

，∴

AF⊥BC

．6.(2023·山西省太原市·月考試卷)(1)操作實(shí)踐：△ABC中，∠A=90°，∠B=22.5°，請(qǐng)畫出一條直線把△ABC分割成兩個(gè)等腰三角形，并標(biāo)出分割成兩個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)；(要求用兩種不同的分割方法)

(2)分類探究：△ABC中，最小內(nèi)角∠B=24°，若△ABC被一直線分割成兩個(gè)等腰三角形，請(qǐng)畫出相應(yīng)示意圖并寫出△ABC最大內(nèi)角的所有可能值；(3)猜想發(fā)現(xiàn)：若一個(gè)三角形能被一直線分割成兩個(gè)等腰三角形，需滿足什么條件？(請(qǐng)你至少寫出兩個(gè)條件，無需證明)【解析】解：(1)如圖所示：

(2)設(shè)分割線為AD，相應(yīng)的角度如圖所示：

圖1的最大角=39°+78°=117°，圖2的最大角=24°+180°-2×48°=108°，

圖3的最大角=24°+66°=90°，圖4的最大角=84°，

故△ABC的最大內(nèi)角可能值是117°或108°或90°或84°；

(3)若一個(gè)三角形能被一直線分割成兩個(gè)等腰三角形，需滿足的條件如下：

①該三角形是直角三角形；

②該三角形有一個(gè)角是最小角的2倍；

③該三角形有一個(gè)角是最小角的3倍．

考查題型二直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)1．（2023春·全國·八年級(jí)期中）如圖所示，等腰直角三角尺ABC斜邊緊貼木板邊緣，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，AB=8，則點(diǎn)O與直角頂點(diǎn)C之間的距離為（）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【解析】解：∵∠ACB=90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，AB=8，∴OC=1故選：C．2．（2023春·河北廊坊·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，一架梯子AB斜靠在豎直墻上，點(diǎn)M為梯子AB的中點(diǎn)，當(dāng)梯子底端向左水平滑動(dòng)到CD位置時(shí)，滑動(dòng)過程中OM的變化規(guī)律是（

）A．變小 B．不變 C．變大 D．先變小再變大【答案】B【解析】∵∠AOB=90°，點(diǎn)M為梯子AB的中點(diǎn)，∴OM=1當(dāng)梯子底端向左水平滑動(dòng)到CD位置時(shí)，∵CD=AB，∠COD=90°，∴OM=1∴滑動(dòng)過程中OM不變，故選：B3．（2022秋·浙江·八年級(jí)期中）如圖Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，CE是斜邊AB上的中線，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的有（（1）∠ACD=∠ECB；（2）CD垂直平分線段EB；（3）點(diǎn)E在線段AC的垂直平分線上．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【解析】解：∵Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，CE∴AE=CE=EB，∠A+∠ACD=90°，∠ECB+∠ACE=90°，∴∠A=∠ACE，∴∠ACD=∠ECB，故（1）正確；∵AE=CE∴點(diǎn)E在線段AC的垂直平分線上，故（3）正確；∵不能得出CE=CB，∴（2）錯(cuò)誤；故選：B．4．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如果四邊形中的一條對(duì)角線長(zhǎng)度是另一條對(duì)角線的兩倍，那么稱這個(gè)四邊形為倍長(zhǎng)對(duì)角線四邊形．如圖，四邊形ABCD是倍長(zhǎng)對(duì)角線四邊形，且∠BAD=∠BCD=90°，四邊形ABCD中最小的內(nèi)角的度數(shù)是．【答案】30°【解析】解：如圖，在BD上取中點(diǎn)E，連接AE、CE．∵∠BAD=∠BCD=90°∴AE=12BD，CE=12又∵AC=12BD∴AE=AC=EC，即△AEC為等邊三角形，所以∠AEC=60°，又∵AE=BE=CE，∴∠ABE=∠BAE=12∠AED，∠BCE=∠CBE=12∠∴∠ABC=12∠AEC=30°故答案為：30°．5．（2023秋·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°．求證BC=1①補(bǔ)全證明過程．證明：如圖2，取AB中點(diǎn)D，連接CD．∴BD=AD=1在△ABC中，∠C=90°，∴______；∴CD=BD．又∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=60°．∴△BCD為______三角形．∴BC=BD=1②請(qǐng)用文字概括①所證明的命題：____________．【解析】解：①補(bǔ)全證明過程如下：證明：如圖2，取AB中點(diǎn)D，連接CD．∴BD=AD=1在△ABC中，∠C=90°，∴CD=1∴CD=BD．又∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=60°．∴△BCD為等邊三角形．∴BC=BD=1故答案為：CD=12AB；等邊；在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于6．（2021秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，一位同學(xué)做了一個(gè)斜面裝置進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)，△ABC是該裝置側(cè)面圖，∠ACB=90°,∠B=15°，為了加固斜面，在斜面AB的中點(diǎn)D處連接一條支撐桿CD，量得CD=6．（1）求斜坡AB長(zhǎng)和∠ADC的度數(shù)；（2）該同學(xué)想用彩紙包裹實(shí)驗(yàn)裝置中的△ABC的表面，請(qǐng)你計(jì)算△ABC的面積．【解析】（1）∵∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，∴AB=2CD=2×6=12，∵CD=BD，∴∠DCB=∠B=15°，∴∠ADC=∠DCB+∠B=2∠B=2×15°=30°；（2）如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，∵∠ADC=30°，∴CE=1∴S△ABC7．（2021秋·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，等腰直角三角尺△ABC與30°三角尺△ABD斜邊AB重合，O為AB的中點(diǎn)，連接DC．（1）判斷△OCD的形狀；（2）求∠COD的度數(shù)；（3）若CO＝2，求△OCD的面積．【解析】解：（1）∵△ABC和△ABD都是直角三角形且斜邊AB重合，O為AB的中點(diǎn)，∴OC=OD=12AB∴△OCD為等腰三角形；（2）等腰直角△ABC中，AC=BC，O為AB的中點(diǎn)，∴CO⊥AB，即∠AOC=90°，直角△ABD中，∠BAD=90°-∠ABD=60°，由（1）OD=12AB=OA∴△AOD是等邊三角形，∴∠COD=∠AOC+∠AOD=90°+60°=150°；（3）過點(diǎn)C作CG⊥DO并交DO延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則∠COG=180°-∠COD=30°，OC=OD=2，∴CG=12OC=1∴△OCD的面積=12OD×CG=1（2021秋·廣東中山·八年級(jí)校聯(lián)考期中）（1）已知，如圖1，若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AD=BD，求證：CD=1（2）由（1）可得出定理：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．試用該定理解決以下問題：已知：點(diǎn)P是任意△ABC的邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），點(diǎn)Q是邊AB的中點(diǎn)，分別過點(diǎn)A、B向直線CP作垂線垂足分別為E，F(xiàn)．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，探究QE和QF的數(shù)量關(guān)系；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q不重合時(shí)，探究QE和QF的數(shù)量關(guān)系．

【解析】證明：（1）延長(zhǎng)CD至E，使DE=CD，連接AE，

∵在△ADE和△BDC中AD=BD∴△ADE∴∠DAE=∠B，AE=BC∵在Rt△ABC中，∴∠DAE+∠BAC=90°，即∠CAE=90°∵在Rt△CAE和