橢圓幾何性質(zhì)課件高二上學期數(shù)學人教A版選擇性

分母哪個大，焦點就在哪個軸上平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡標準方程相同點焦點位置的判斷不同點圖形焦點坐標定義a、b、c的關(guān)系xyF1F2POxyF1F2POa2-c2=b2|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0)(a＞b＞0,且c2=a2-b2)焦點在x軸上()焦點在y軸上()1.若|MF1|+|MF2|=2a（2a是常數(shù)）2.標準方程求橢圓標準方程的方法：----------待定系數(shù)法.當2a>|F1F2|時，點M的軌跡是________；當2a=|F1F2|時，點M的軌跡是________；當2a<|F1F2|時，點M的軌跡是________.橢圓線段F1F2不存在求橢圓標準方程的步驟：(1)確定焦點位置，設(shè)橢圓的標準方程(2)求a,b（常建立方程組）(3)下結(jié)論1997年初，中國科學院紫金山天文臺發(fā)布了一條消息，從1997年2月中旬起，海爾·波普彗星將逐漸接近地球，4月以后，又將漸漸離去，并預(yù)測3000年后，它還將光臨地球上空。1997年2月至3月間，許多人目睹了這一天文現(xiàn)象。課題引人如何知道:海爾·波普彗星將逐漸接近地球，又將漸漸離去?學習了橢圓的性質(zhì)，我們就可以解釋這一現(xiàn)象。橢圓的幾何性質(zhì)學習目標1.掌握橢圓的幾何性質(zhì)，了解橢圓標準方程中a，b，c的幾何意義.2.會用橢圓的幾何意義解決相關(guān)問題.（重點）下面，我們用橢圓(a>b>0)來研究橢圓的幾何性質(zhì).與利用直線的方程、圓的方程研究它們的幾何性質(zhì)一樣，我們利用橢圓的標準方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，包括橢圓的范圍、形狀、大小、對稱性和特殊點等.1、范圍說明：橢圓位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形框內(nèi)。由即和2、對稱性在橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心之中，以-x代x，以-y代y,以-x，-y代x，y，方程不變。坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心。說明：橢圓關(guān)于x軸對稱；橢圓關(guān)于y軸對稱；橢圓關(guān)于原點對稱；3、頂點在中，令x=0，得y=？，說明橢圓與y軸的交點？令y=0，得x=？說明橢圓與x軸的交點？oxyB1(0,b)B2(0,-b)*頂點：橢圓與它的對稱軸的四個交點，叫做橢圓的頂點。*長軸、短軸：線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸。|A1A2|=2a、|B1B2|=2ba、b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。便于畫橢圓的草圖4、離心率oxy

橢圓的焦距與長軸長的比：叫做橢圓的離心率。[1]離心率的取值范圍：因為a>c>0，所以1>e>0[2]離心率對橢圓形狀的影響：1）e越接近1，c就越接近a，請問：此時橢圓的變化情況？

b就越小，此時橢圓就越扁2）e越接近0，c就越接近0，請問：此時橢圓又是如何變化的？b就越大，此時橢圓就越圓

3）特殊地：當e=0時，即c=0，則a=b，兩個焦點重合，橢圓方程變?yōu)?？離心率：1）離心率e越大，橢圓就越扁（瘦）；2）離心率e越小，橢圓就越圓（胖）；oxyF1F2abcB標準方程圖形范圍對稱性頂點坐標焦點坐標半軸長離心率關(guān)于x軸、y軸成軸對稱；關(guān)于原點成中心對稱a2=b2+c2同左同左同左同左≤≤≤≤,≤b,≤≤≤y-一、橢圓幾何性質(zhì)注意點：(1)橢圓的焦點一定在它的長軸上.(2)橢圓上到中心的距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心的距離最大的點是長軸的兩個端點.(3)橢圓上到焦點的距離最大和最小的點分別是長軸的兩個端點，最大值為a＋c，最小值為a－c.課本例4求橢圓16x2＋25y2＝400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標.因此，橢圓的長軸和短軸的長分別是2a＝10和2b＝8，兩個焦點坐標分別是F1(－3,0)和F2(3,0)，四個頂點坐標分別是A1(－5,0)，A2(5,0)，B1(0，－4)和B2(0,4).用標準方程研究橢圓幾何性質(zhì)的步驟(1)將橢圓方程化為標準形式.(2)確定焦點位置.(焦點位置不確定的要分類討論)(3)求出a，b，c.(4)寫出橢圓的幾何性質(zhì).跟蹤訓練1設(shè)橢圓方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的離心率為

，試求橢圓的長軸長、短軸長、焦點坐標及頂點坐標.∴橢圓的長軸長和短軸長分別是4,2，焦點坐標為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，頂點坐標為A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－

)，B2(0，

).例2分別求適合下列條件的橢圓的標準方程.(1)在x軸上的一個焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為6；如圖所示，△A1FA2為等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，所以c＝b＝3，所以a2＝b2＋c2＝18，二、由幾何性質(zhì)求橢圓的標準方程由題意，得a＝3，由題意，得b＝3，利用橢圓的幾何性質(zhì)求標準方程的步驟(1)確定焦點位置.(2)設(shè)出相應(yīng)橢圓的標準方程.(3)根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程(組)求參數(shù).(4)寫出橢圓的標準方程.跟蹤訓練2

(1)若橢圓的對稱軸為坐標軸，長軸長與短軸長的和為18，一個焦點的坐標是(3,0)，則橢圓的標準方程為____________.(2)已知橢圓的對稱軸是坐標軸，O為坐標原點，F(xiàn)是一個焦點，A是一個頂點，橢圓的長軸長為6，且cos∠OFA＝

，則橢圓的標準方程是_____________________.教材例5

如圖，一種電影放映燈泡的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分。過對稱軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點F1上，片門位于另一個焦點F2上,由橢圓一個焦點F1出發(fā)的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點F2.解：建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)所求橢圓方程為所以，點M的軌跡是長軸、短軸長分別為10、6的橢圓。FlxoyMHd橢圓離心率的幾何意義：橢圓上的點到焦點的距離與到相應(yīng)準線的距離之比教材例6

設(shè)P是橢圓上的一點,F1(-c,0),

F2(c,0)分別是橢圓的左焦點、右焦點,我們把線段PF1,PF2的長分別叫做橢圓的左焦半徑、右焦半徑.焦半徑最大值為，最小值為a+ca-c焦半徑與焦點是相對應(yīng)的過橢圓焦點的直線與橢圓相交所得的弦，叫做焦點弦過橢圓焦點的直線且垂直于長軸的弦，叫做橢圓的通徑通徑長為半通徑長為例3設(shè)橢圓C：

＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓C上的點，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則橢圓C的離心率為______.三、求橢圓的離心率延伸探究1設(shè)橢圓C：

＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓C上的點，∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°，則橢圓C的離心率為______.在△PF1F2中，∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，∴∠F1PF2＝60°，設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，m＋n＝2a，延伸探究2設(shè)橢圓C：

＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓C上的點，橢圓C上存在點P，使∠F1PF2為鈍角，求橢圓C的離心率的取值范圍.由題意，知c>b，∴c2>b2.又b2＝a2－c2，求橢圓的離心率及離心率的取值范圍的兩種方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝

求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝

求解.(2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助于a2＝b2＋c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范圍.跟蹤訓練