高等數(shù)學(xué)練習(xí)題附答案

第一章自測(cè)題一、填空題（每小題3分，共18分）1..2..3.已知，其中為常數(shù)，則，.4.若在上連續(xù)，則.5.曲線的水平漸近線是，鉛直漸近線是.6.曲線的斜漸近線方程為.二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共18分）1.“對(duì)任意給定的，總存在整數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有”是數(shù)列收斂于的.A.充分條件但非必要條件B.必要條件但非充分條件C.充分必要條件D.既非充分也非必要條件2.設(shè)，則.A.B.C.D.3.下列各式中正確的是.A．B.C.D.4.設(shè)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小，則正整數(shù).A.1B.2C.3D.45.曲線.A.沒(méi)有漸近線B.僅有水平漸近線C.僅有鉛直漸近線D.既有水平漸近線又有鉛直漸近線6．下列函數(shù)在給定區(qū)間上無(wú)界的是.A.B.C.D.三、求下列極限（每小題5分，共35分）1.2．3.4．5.設(shè)函數(shù)，求.6．7．四、確定下列極限中含有的參數(shù)（每小題5分，共10分）1.2．五、討論函數(shù)在處的連續(xù)性，若不連續(xù)，指出該間斷點(diǎn)的類(lèi)型.（本題6分）六、設(shè)，求的間斷點(diǎn)并判定類(lèi)型.（本題7分）七、設(shè)在上連續(xù)，且.證明：一定存在一點(diǎn)，使得.（本題6分）第二章自測(cè)題一、填空題（每小題3分，共18分）1.設(shè)在可導(dǎo)，且，則.2.設(shè)，則.3..4.設(shè)，其中可導(dǎo)，則.5.設(shè)，則.6.曲線在點(diǎn)的切線方程為.二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1.下列函數(shù)中，在處可導(dǎo)的是.A.B.C.D.2.設(shè)在處可導(dǎo)，且，則.A.B.C.D.3.設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，若當(dāng)時(shí)恒有，則是的.A.間斷點(diǎn)B.連續(xù)而不可導(dǎo)的點(diǎn)C.可導(dǎo)的點(diǎn)，且D.可導(dǎo)的點(diǎn)，且4.設(shè)，則在處的導(dǎo)數(shù).A.B.C.D.不存在5.設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，當(dāng)自變量在處取得增量時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)增量的線性主部為，則.A.B.C.D.三、解答題（共67分）1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（每小題4分，共16分）(1)(2)(3)(4)2.求下列函數(shù)的微分（每小題4分，共12分）(1)(2)(3)3.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)（每小題5分，共10分）（1）（2）4.設(shè)在可導(dǎo)，試求與.（本題6分）5.設(shè)，求.（本題6分）6.設(shè)函數(shù)由方程所確定，求.（本題6分）7.設(shè)由參數(shù)方程，求.（本題6分）8.求曲線在處的切線方程和法線方程.（本題5分）第三章自測(cè)題填空題（每小題3分，共15分）1.若均為常數(shù)，則.2..3..4.曲線的凹區(qū)間，凸區(qū)間為.5.若，則在點(diǎn)處取得極小值.二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共12分）1.設(shè)為方程的兩根，在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi).A.只有一個(gè)實(shí)根B.至少有一個(gè)實(shí)根C.沒(méi)有實(shí)根D.至少有兩個(gè)實(shí)根2.設(shè)在處連續(xù)，在的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且時(shí)，，則是.A.極小值B.極大值C.為的駐點(diǎn)D.不是的極值點(diǎn)3.設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，，則.A.是的極大值B.是的極小值C．是曲線的拐點(diǎn)D．不是的極值，不是曲線的拐點(diǎn)4.設(shè)連續(xù)，且，則，使.A.在內(nèi)單調(diào)增加.B.在內(nèi)單調(diào)減少.C.，有D.，有.三、解答題(共73分)1.已知函數(shù)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且，證明在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得.（本題6分）2.證明下列不等式（每小題9分，共18分）（1）當(dāng)時(shí)，.（2）當(dāng)時(shí)，.3.求下列函數(shù)的極限（每小題8分，共24分）（1）（2）（3）4.求下列函數(shù)的極值（每小題6分，共12分）（1）（2）5.求的極值點(diǎn)、單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).（本題6分）6.證明方程只有一個(gè)實(shí)根.（本題7分）第一章自測(cè)題一、填空題（每小題3分，共18分）1.2.3.，4.5.水平漸近線是，鉛直漸近線是6.二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共18分）1.C2.D3.D4.A5.D6．C三、求下列極限（每小題5分，共35分）解：1..2．.3.，又.4．.5..6．，，所以，原式.7．.四、確定下列極限中含有的參數(shù)（每小題5分，共10分）解：1.據(jù)題意設(shè)，則，令得，令得，故．2．左邊，右邊故，則．五、解：，故在處不連續(xù)，所以為得第一類(lèi)（可去）間斷點(diǎn)．六、解：，而，故，都是的間斷點(diǎn)，，故為的第一類(lèi)（可去）間斷點(diǎn)，均為的第二類(lèi)間斷點(diǎn)．七、證明：設(shè)，顯然在上連續(xù)，而，，，故由零點(diǎn)定理知：一定存在一點(diǎn)，使，即．第二章自測(cè)題一、填空題（每小題3分，共18分）1.2.3.4.5.6.或二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1.D2.A3.C4.D5.D三、解答題（共67分）解：1.(1).(2).(3).(4)兩邊取對(duì)數(shù)得，兩邊求導(dǎo)數(shù)得，.2.求下列函數(shù)的微分（每小題4分，共12分）(1).(2).(3).3.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)（每小題5分，共10分）（1），.（2），.4.首先在處連續(xù)，故，故，其次，，，由于在處可導(dǎo)，故，故，.5.，，故，由于在，時(shí)均可導(dǎo)，故.6.方程可變形為，兩邊求微分得，故.7.，.8.，故.當(dāng)時(shí)，.故曲線在處的切線方程為，即，法線方程為，即.第三章自測(cè)題填空題（每小題3分，共15分）1．2．3．4.，5.二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共12分）1．B2．A3．B，提示：由題意得，，當(dāng)時(shí)，；即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而在取得極小值4.C，提示：由定義，由極限的保號(hào)性得，當(dāng)時(shí)，，即三、解答題(共73分)證明：1.令，則在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且；由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)，使得，故，即．2.（1）令，則在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件．由拉格朗日中值定理得，至少存在一點(diǎn)，使得即，又，得到，從而．（2）令，則，從而當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，即，故；令，則，即當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，即，故；從而當(dāng)時(shí)，．解：3.（1）.（2）.（3）.4.⑴函數(shù)的定義域?yàn)?；，令得駐點(diǎn)，不可導(dǎo)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，