第4.4講對數(shù)函數(shù)新高一數(shù)學(xué)寶典（人教A版2019）

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)第4.4講對數(shù)函數(shù)一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1．通過具體實例，了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，初步理解對數(shù)函數(shù)的概念，重點培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．2．探索對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用，重點提升直觀想象核心素養(yǎng)．3．理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，并能用單調(diào)性比較大小，解不等式，提升邏輯推理核心素養(yǎng)．4．掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和圖像，并能綜合應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)．二、重點難點1、對數(shù)函數(shù)的概念及應(yīng)用2、對數(shù)函數(shù)的圖像問題3、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用三、核心知識對數(shù)函數(shù)的概念我們已經(jīng)知道y＝2x是指數(shù)函數(shù)，那么y＝log2x(x＞0)是否表示y是x的函數(shù)？為什么？提示：是．由對數(shù)的定義可知y＝log2x(x＞0)?x＝2y，結(jié)合指數(shù)的運算可知，在定義域{x|x＞0}內(nèi)對于每一個x都有唯一的y與之對應(yīng)，故y＝log2x(x＞0)表示y是x的函數(shù)，其定義域為(0，＋∞)．一般地，函數(shù)y＝logax稱為對數(shù)函數(shù)，其中a是常數(shù)，a＞0且a≠1.x是自變量．對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)在同一坐標(biāo)系中，對數(shù)函數(shù)y＝log2x，y＝log3x，y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x，y＝logeq\s\do9(\f(1,3))x的圖像如圖所示，說出這四個函數(shù)圖像的特征．提示：(1)這四個圖像都在y軸右側(cè)，即定義域為(0，＋∞)．(2)y＝log2x與y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x的圖像關(guān)于x軸對稱，y＝log3x與y＝logeq\s\do9(\f(1,3))x的圖像關(guān)于x軸對稱．(3)函數(shù)y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x與y＝logeq\s\do9(\f(1,3))x的圖像從左到右是下降的，即函數(shù)的減區(qū)間為(0，＋∞)．(4)這四個圖像均過定點(1，0)對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)a＞10＜a＜1圖像性質(zhì)定義域(0，＋∞)值域(－∞，＋∞)過定點(1，0)，即當(dāng)x＝1時，y＝0單調(diào)性在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)奇偶性非奇非偶函數(shù)三對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像當(dāng)x為何值時，y＝logeq\s\do9(\f(1,5))x大于零？小于零？提示：由logeq\s\do9(\f(1,5))x＞0得0＜x＜1；由logeq\s\do9(\f(1,5))x＜0得x＞1.a＞10＜a＜1x＞1logax＞0logax＜00＜x＜1logax＜0logax＞0三、核心例題題型1對數(shù)函數(shù)的概念及應(yīng)用1．下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】形如的函數(shù)叫作對數(shù)函數(shù)，它的定義域是，對于A，滿足，故A正確；對于B，C，D，形式均不正確，均錯誤.故選：A2．函數(shù)的定義域為（

）．A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題得，解得且.故選：A.3．已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為是偶函數(shù)，所以，因為，所以，因為在，上的單調(diào)遞增，所以，即．故選：B．4．函數(shù)f(x)＝log2(x2＋8)的值域為（

）A．R B．[0，＋∞)C．[3，＋∞) D．(－∞，3]【答案】C【詳解】解：設(shè)t＝x2＋8，則t≥8，又函數(shù)y＝log2t在(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以f(x)≥log28＝3．故選：C．5．已知函數(shù)f(x)＝loga(x－1)＋4(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點Q，則Q點坐標(biāo)是（

）A．(0，5) B．(1，4) C．(2，4) D．(2，5)【答案】C【詳解】解：令x－1＝1，即x＝2．則f(x)＝4．即函數(shù)圖象恒過定點Q(2，4)．故選：C．題型2對數(shù)函數(shù)的圖像問題6．當(dāng)時，在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象是（

）．A．

B．

C．

D．

【答案】A【詳解】依題意可將指數(shù)函數(shù)化為，由可知；由指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可得為單調(diào)遞減，且過定點，即可排除BC，由對數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可得為單調(diào)遞增，且過定點，排除D，故選：A7．已知冪函數(shù)的圖象過函數(shù)且的圖象所經(jīng)過的定點，則的值等于（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【詳解】因為函數(shù)為冪函數(shù)，所以，得，即，函數(shù)且的定點為，即.故選：D8．已知，且，則函數(shù)與的圖象只可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時，函數(shù)為增函數(shù)，且直線與y軸的交點的縱坐標(biāo)大于1；當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)，且直線與y軸的交點的縱坐標(biāo)在0到1之間，只有C符合，故選：C．9．華羅庚是享譽世界的數(shù)學(xué)大師，其斐然成績早為世人所推崇．他曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”．告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑．若函數(shù)（且）的大致圖象如圖，則函數(shù)的大致圖象是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，根據(jù)函數(shù)的圖象，可得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合圖象變換向下移動個單位，可得函數(shù)的圖象只有選項C符合.故選：C.10．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由圖象知最上方的圖象是的圖象，過點的是的圖象，過點的是的圖象，因此，，，，，，即，故選：C．題型3對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用11．已知，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為在上遞減，，所以，解得，即的取值范圍是．故選：A．12．設(shè)，若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為，設(shè)，由題意知在上是增函數(shù)，則有，即，于是．又是對數(shù)函數(shù)，故在上恒成立，由前面分析可知，在上是增函數(shù)，所以，解得.綜上，得實數(shù)的取值范圍是.故選：A13．關(guān)于函數(shù)，下列描述不正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)的圖象與x軸有且僅有兩個交點 D．若，但，則【答案】D【詳解】因為，將關(guān)于y軸對稱，可得，將位于x軸下方的部分對折至x軸上方，可得，將向右平移2個單位，可得，據(jù)此可得的圖象，結(jié)合圖象可知：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)的圖象與x軸有且僅有兩個交點，故A、B、C正確；例如：，可得滿足選項D條件，但，故D錯誤；故選：D.14．已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】依題意，函數(shù)的定義域為，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，不等式化為：，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B15．已知函數(shù)，若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】,,所以為奇函數(shù),為單調(diào)增函數(shù),,,恒成立,,.故選：D.當(dāng)堂達(dá)標(biāo)一、單選題1．函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題知：.故選：A.2．若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，，，所以.故選：A3．函數(shù)在區(qū)間上的值域是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】在上是減函數(shù)，，即值域為.故選：A.4．下列函數(shù)中，在上單調(diào)遞減的是（

）．A． B． C． D．【答案】B【詳解】A選項，的圖象如下：故在上單調(diào)遞增，A錯誤；B選項，在上單調(diào)遞減，B正確；C選項，定義域為，在處無意義，C錯誤；D選項，定義域為，在處無意義，D錯誤.故選：B5．函數(shù)（且）恒過定點（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由于（且），則函數(shù)（且）恒過定點．故選：D．6．已知，，則的值域為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】令，則，又，所以原函數(shù)可變?yōu)?，，所以，，所以的值域?故選：A.7．已知函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】當(dāng)時，單調(diào)遞增且，所以當(dāng)時，也單調(diào)遞增，則解得，所以.故選：B.8．已知，則的減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，可得，當(dāng)時，，方程不成立；當(dāng)時，方程顯然不成立；當(dāng)時，，方程不成立；所以，即，可函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，由函數(shù)，則，解得或，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞減，所以函數(shù)的遞減區(qū)間為.故選：C.二、多選題9．給出下列結(jié)論，其中正確的是（）A．函數(shù)的最大值為；B．已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是；C．在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱；D．函數(shù)在上是增函數(shù).【答案】CD【詳解】A中，由，可得，所以函數(shù)的最小值為，所以A錯誤；B中，由函數(shù)在上是減函數(shù)，則滿足，解得，所以B錯誤；C中，函數(shù)與互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于對稱，所以C正確；D中，冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，所以D正確.故選：CD.10．已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)可能值是（

）A． B． C．1 D．【答案】CD【詳解】函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為.在上單調(diào)遞減.要使在上是減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知：，解得，所以CD選項符合，AB選項不符合.故選：CD三、填空題11．設(shè)函數(shù)（且），若，則的值等于．【答案】16【詳解】.故答案為：.12．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的值域是．【答案】【詳解】∵，∴，即，即，則函數(shù)的值域為.故答案為：四、解答題13．已知函數(shù)（，且）(1)求函數(shù)的定義域；(2)判斷函數(shù)的奇偶性并證明.【詳解】（1）由題可得，或，所以函數(shù)定義域為.（2）由（1）知的定義域關(guān)于原點對稱，可得所以為奇函數(shù).14．已知指數(shù)函數(shù)的圖象過點．(1)求的值；(2)求關(guān)于的不等式的解集．【詳解】（1）由題知指數(shù)函數(shù)，則，得或，又，圖象經(jīng)過，則，解得；（2），以2為底的對數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的，∴滿足條件，∴不等式的解集為．15．已知函數(shù)是的反函數(shù)且，且函數(shù)的圖象過點．(1)