全等三角形專題訓(xùn)練(30)

三角形全等的判定專題訓(xùn)練1.如圖,點(diǎn)E,D是等邊⊿ABC的AC,BC上的點(diǎn),且CD=AE,AD,BE交于P點(diǎn),則∠BPD=____度.ABCDEP2.如圖,D是等邊⊿ABC內(nèi)一點(diǎn),DB=DA,BE=BA,∠DBE=∠DBC,則∠BED=___度.60°30°ABCED3.如圖,AB∥CD,AC∥DB,AD與BC交于O,AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,那么圖中全等的三角形有()A.5對B.6對C.7對D.8對ACDBEFOC4.如圖,在⊿ABC中AB=BC=CA,且AD=BE=CF,但D,E,F不是AB,BC,CA的中點(diǎn),又AE,BF,CD分別交于M,N,P,如果把找出的三個全等三角形叫做一組全等三角形,那么圖中能找出全等三角形有()A.2組B.3組C.4組D.5組DABCDEFPMN5.(荊州)如圖,點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),⊿ACM,⊿CBN都是等邊三角形,直線AN,MC交于點(diǎn)E,直線BM,CN交于點(diǎn)F.(1)求證:AN=BM.(2)求證:⊿CEF是等邊三角形;(3)將繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)900,其他條件不變,在圖(2)中補(bǔ)出符合要求的圖形,并判斷第(1),(2)兩小題結(jié)論是否仍然成立(不要求證明)MACBNEFMACNB6.（天津）如圖，在⊿ＡＢＣ中，ＡＤ是ＢＣ邊上的中線，Ｅ是ＡＤ上一點(diǎn)，且ＢＥ＝ＡＣ，延長ＢＥ交ＡＣ于Ｇ．求證：ＡＧ＝ＥＧ．ＡＢＣＤＧＥ證明：延長ＡＤ至Ｆ，使ＤＦ＝ＡＤ，連結(jié)ＢＦＦ則⊿ＦＤＢ≌⊿ＡＤＣ，得ＦＢ＝ＡＣ＝ＢＥ，∴∠Ｆ＝∠ＢＥＦ＝∠ＡＥＧ，又∠Ｆ＝∠ＤＡＣ．∴∠ＡＥＧ＝∠ＤＡＣ．∴ＡＧ＝ＥＧ7.(天津)如圖,已知∠1=∠2,EF⊥AD于P,交BC延長線于M,求證:∠M=1／2(∠ACB-∠B)ABCDEPFM12先證⊿AEP≌⊿AFP,得∠AEP=∠AFE,而∠AEP=∠B+∠M,∠ACB=∠CFM+∠M=∠AFE+∠M,代人即可證.8.(江蘇)如圖,BD,CE分別是⊿ABC的邊AC和AB上的高,點(diǎn)P在BD的延長上,BP=AC,點(diǎn)Q在CE上,CQ=AB.求證:(1)AP=AQ;(2)AP⊥AQABPCEDQ證明:先證∠ABP=∠ACQ,

又BA=CQ,BP=AC

故⊿ABP≌⊿QCA(SAS),

得AP=AQ,且∠P=∠QAC.∴∠PAQ=∠QAC+∠PAD=∠P+∠PAD=90°

即AP⊥AQ9.(龍巖)如圖,在⊿ABC中,AB=AC,D,E分別在BC,AC邊上,∠1=∠B,AD=DE.求證:⊿ADB≌⊿DECABCDE1證明:∵∠B+∠BAD=∠1+∠CDE,∠1=∠B,∴∠BAD=∠CDE,∵AB=AC,∴∠B=∠C.又AD=DE,∴⊿ADB≌⊿DEC１0、(呼和浩特)如圖,⊿ABC中,∠ACB=2∠B,∠1=∠2,求證:AB=AC+CD.ABCDE證明:延長AC到E,使AE=AB,連結(jié)DE.12１1、如圖,已知AC∥BD,EA,EB分別平分∠CAB,∠DBA,CD過點(diǎn)E.求證:AB=AC+BDABCDEF證明:在AB上截取AF=AC,連結(jié)EF.由⊿ＡＣＥ≌⊿ＡＦＥ，得∠Ｃ＝∠ＡＦＥ，∵ＡＣ∥ＢＤ，∴∠Ｃ＋∠Ｄ＝１８０°．而∠５＋∠ＡＦＥ＝１８０°，則∠５＝∠Ｄ，再證⊿ＢＥＦ≌⊿ＢＥＤ，得ＢＦ＝ＢＤ．∴ＡＢ＝ＡＦ＋ＢＦ＝ＡＣ＋ＢＤ１２３４５１2.如圖，在⊿ABC中，∠ABC=60°，AD，CE分別平分∠BAC，∠ACB，試猜想AC，AE，CD有什么數(shù)量關(guān)系？ABCEDO分析：∠AOC=90°+1／2∠ABC=120°在AC上截取AF=AE，連結(jié)OF，先證⊿AOE≌⊿AOF，得∠AOF=∠AOE=∠DOC=60°，從而∠COF=60°=∠COD再證⊿COF≌⊿COD，得CF=CD∴AC=AF+CF=AE+CDF猜想:AC=AE+CD試一試１．（武漢）如圖,A在DE上,F在AB上,且AC=CE,∠1=∠2=∠3,則DE的長等于()A.DCB.BCC.ABD.AE+ACＤＢＡＥＣ１２３２．(重慶)如圖，在⊿ＡＢＣ中，Ｅ，Ｄ分別是邊ＡＢ，ＡＣ上的點(diǎn)，ＢＤ，ＣＥ交于Ｆ，ＡＦ的延長線交ＢＣ于點(diǎn)Ｈ，若∠１＝∠２，ＡＥ＝ＡＤ．則圖中的全等三角形共有（）A.3對B.5對C.6對D.7對ABCHDEF12CD3.如圖1，ＡＣ，ＢＤ相交于點(diǎn)Ｅ，ＡＣ平分∠ＤＡＢ，且ＡＢ＝ＡＥ，ＡＤ＝ＡＣ，有以下四個結(jié)論：①ＡＣ⊥ＢＤ②ＢＣ＝ＤＥ③∠ＤＢＣ＝１／２∠ＤＡＢ④⊿ＡＢＥ是等邊三角形，其中正確結(jié)論的序號是＿＿＿＿＿．ＤＡＢＣＥ②③圖1例1：如圖2-7-1，△ABC和△DCE均是等邊三角形，B、C、E三點(diǎn)共線，AE交CD于G，BD交AC于F。求證：

①AE=BD

②CF=CG思路①證明△ACE≌△BCD。證明①∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，

∴CB=CA，CD=CE，∠BCA=∠ECD=60°，

∴∠BCD=∠ACE=120°，

∴△BCD≌△ACE，

∴AE=BD。思路②證明△FCD≌△GCE。證明②由△BCD≌△DCE都是等邊三角形可知∴CD=CE，∠BCA=∠ECD=60°∴∠ACD=180°-∠BCA-∠ECD=60°∴△FCD≌△GCE，∴CF=CG

例2：如圖2-7-2，在正方形ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，MN⊥MD，BN平分∠CBE。求證：MD=MN。思路：取AD的中點(diǎn)P，連結(jié)PM，證明△DMP≌△MNB。

證明：取AD的中點(diǎn)P，連結(jié)PM，則有DP=MB。

∵DM⊥MN，

∴∠DMA+∠BMN=90°，又由正方形ABCD知∠A=90°，

∴∠DMA+∠MDA=90°，∴∠BMN=∠MDA又∵BN平分∠CBE，∴∠MBN=135°

又由P、M分別為AD、AB的中點(diǎn)，ABCD是正方形，得△PAM是等腰直角三角形，故∠DPM=135°。

∴∠DPM=∠MBN，∴△DPM≌△MBN，

∴DM=MN。問:若把條件“M是BC的中點(diǎn)”改為“M是BC邊上任意一點(diǎn)”,其他條件不變,結(jié)論還成立嗎?BCADMN答:結(jié)論仍成立.在BA上截取BP=BM,連結(jié)MP.P證⊿APM≌⊿MCN,有條件嗎?例3：如圖2-7-3，△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分線交BC于D。求證：AB+BD=AC思路1：延長AB到E，使BE=BD，證明△AED≌△ACD。證法1：延長AB到E，使BE=BD，連結(jié)ED，則∠E=∠BDE?！唷螦BD=∠E+∠BDE=2∠E又∵∠ABC=2∠C，∴∠C=∠E∵∠AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADC，∴AC=AE。即AC=AB+BE=AB+BD。思路2：在AC上取一點(diǎn)E，使AE=AB，證明△AED≌△ABD。證法2：在AC上取點(diǎn)E，使AE=AB，連結(jié)CD。由AD平分∠BAC得∠1=∠2又∵AD=AD，∴△ADB≌△ADE，∴∠AED=∠ABC，DE=DB，又∵∠ABC=2∠C，∴∠AED=2∠C又∵∠AED=∠EDC+∠C，∴∠EDC=∠C，∴ED=EC，∴EC=BD，∴AB+BD=AE+EC+AC。例4如圖2-7-4，△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，P為AD上任一點(diǎn)，連結(jié)PB、PC。求證：PC-PB<AC-AB。

思路：通過構(gòu)造全等三角形，把PC、PB、AC、AB集中在同一三角形中，利用三角形兩邊之差小于第三邊這一性質(zhì)來證明本題結(jié)論。證明：在AC上取點(diǎn)E，使AE=AB，連結(jié)PE，由AD平分∠ABC得∠1=∠2。又∵AE=AB，AP=AP，

∴△APE≌△APB，∴PE=PB，在△EPC中，PC-PE<EC，即PC-PB<AC-AE。

∴PC-PB<AC-AB。例5：如圖2-7-5，從等腰Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C向中線BD作垂線，交BD于F，交AB于E，連結(jié)DE。求證：∠CDF=∠ADE。思路1：作∠BCA的平分線交BD于G，證明△CDG≌△ADE。證法1：作∠BCA的平分線交BD于G，∵BC=AC，∠BCG=∠A=45°，∠CBG=90°-∠CDF=∠ACE，∴△BCG≌△CAE，∴CG=AE，在△CDG和△ADE中，∵CD=AD，∠DCE=∠A=45°，CG=AE，∴△CDG≌△ADE，例5：如圖2-7-5，從等腰Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C向中線BD作垂線，交BD于F，交AB于E，連結(jié)DE。求證：∠CDF=∠ADE。思路2：過A作AN⊥AC，交CE延長線于N，證明△ADE≌△ANE。證法2：過A作AN⊥AC，交CE延長線于N。

∵∠ACN=∠CBD，AC=CB，

∴Rt△ACN≌Rt△CBD，

∴∠CDF=∠ANE，CD=AN=AD，又∵∠CAE=∠EAN=45°，AE=AE，

∴△ADE≌△ANE，

∴∠ADE=∠ANE，

∴∠CDF=∠ADE，1、如圖2-7-6，在△ABC和△A′B′C′中，AD和A′D′是高，AD=A′D′，AB=A′B′,BC=B′C′,則AC和A′C′的大小關(guān)系是___________.練一練提示：由AD=A′D′，AB=A′B′，知Rt△ABD≌△A′B′D′，從而∠B=∠B′再結(jié)合AB=A′B′,BC=B′C′,可知△ABC≌△A′B′C′從而AC=A′C′。AC=A′C′2、如圖2-7-7在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上，則圖中能全等的三角形有______對。提示：△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE。33、三角形三邊的長分別為m-1、m、m+1(m>1),則m的最小正整數(shù)值是___。提示：由題意得：(m-1)+m＞m+1∴m＞2故m的最小正整數(shù)值是3。34、如圖2-7-8，D、E分別為等邊△ABC的AB、AC邊上的點(diǎn)，且AD=CE，CD和BE交于點(diǎn)P，則∠BPD的度數(shù)是多少？由AD=CE，∠A=∠BCE=60°，AC=BC，可得△DAC≌△ECB，從而得∠DCA=∠EBC，故∠BPD=∠EBC+∠BCD=∠DCA+∠BCD=∠BCA=60°。5、給定△ABC的三個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的七個點(diǎn)，且這十個點(diǎn)中的任意三點(diǎn)均不共線，則以這十個點(diǎn)為頂點(diǎn)能將△ABC分割為互不重疊的小三角形個數(shù)為______。提示：會聚在△ABC內(nèi)每一點(diǎn)的諸角之和為３６０°，７個點(diǎn)就有７個周角，又⊿ＡＢＣ的內(nèi)角之和為１８０°；所以，所有小三角形的內(nèi)角和為３６０°×７＋１８０°＝２７００°：。又由于每個三角形的內(nèi)角和為１８０°，故小三角形的個數(shù)為：２７００°÷１８０°＝１５。１５6.如圖2-7-9，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，△ACD和△BCE是兩個等邊三角形，點(diǎn)D、E在AB同旁，AE、BD分別CD、CE于G、H，則CG和CH的大小關(guān)系是_____。DACEBGH提示：易證∠ACE=∠DCB=120°，又因?yàn)锳C=DC，EC=BC，從而得△ACE≌△DCB，則∠AEC=∠DBC，又因?yàn)椤螱CE=∠HCB=60°，EC=BC，從而△GEC≌△HBC，故CG=CH。CG=CH問:當(dāng)點(diǎn)A,C,B不在同一條直線上時,上述結(jié)論是否仍成立?7.如圖,在△ABC中AB>AC,AM為角平分線，則BM和MC的大小關(guān)系是_____ABCMBM＞MC提示：如圖，在AB上截取AD=AC，連結(jié)DM，易證△ADM≌△ACM，從而MC=MD，又因?yàn)椤螧DM>∠AMD=∠AMC>∠B,從而BM>MD，所以BM>MC。D8.如圖2-7-10，在△ABC中，經(jīng)過BC的中點(diǎn)M，有垂直相交于M的兩條直線，它們與AB、AC分別交于D、E，求證：BD+CE>DE.ABCMDE延長DM到D′，使D′M=MD,連結(jié)CD′,D′E.