專題21.1 一元二次方程的定義及配方法解一元二次方程(解析版)（八大考點(diǎn)）

專題21.1一元二次方程定義及配方法解一元二次方程【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一一元二次方程的識(shí)別】 1【考點(diǎn)二利用一元二次方程的定義求參數(shù)的值】 3【考點(diǎn)三一元二次方程的一般形式、各項(xiàng)系數(shù)】 5【考點(diǎn)四已知一元二次方程的解求參數(shù)（式子）的值】 6【考點(diǎn)五解一元二次方程——直接開平方法】 8【考點(diǎn)六解一元二次方程——配方法】 10【考點(diǎn)七用配方法解一元二次方程錯(cuò)解復(fù)原】 13【考點(diǎn)八配方法的應(yīng)用】 17【過關(guān)檢測】 21【典型例題】【考點(diǎn)一一元二次方程的識(shí)別】【例題1】（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列方程中屬于一元二次方程的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用一元二次方程的定義，逐一分析四個(gè)選項(xiàng)中的方程，即可得出結(jié)論．【詳解】解：A．方程是二元二次方程，故不符合題意；B．方程是分式方程，故不符合題意；C．方程是一元二次方程，故符合題意；D．當(dāng)時(shí)，方程是一元一次方程，故不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，牢記“只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程”是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·河北石家莊·八年級(jí)石家莊二十三中校考階段練習(xí)）下列方程中，一定是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：A、是一元二次方程，符合題意；B、含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意；C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合題意；D、，即不是一元二次方程，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟知一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵：含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次為2的整式方程叫做一元二次方程．【變式1-2】（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）下列方程中是一元二次方程的是（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．①②④⑥ B．② C．①②③④⑤⑥ D．②③【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義（含有一個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程）進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，不是一元二次方程；②是一元二次方程；③是一元二次方程；④是分式方程；⑤不是一元二次方程；⑥，化簡得：，不是一元二次方程．∴是一元二次方程的是②③．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，解題時(shí)，要注意兩個(gè)方面：1、一元二次方程包括三點(diǎn)：①是整式方程，②只含有一個(gè)未知數(shù)，③所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2；2、一元二次方程的一般形式是．【變式1-3】（2023春·安徽淮北·八年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）下列方程：①；②；③；④；⑤中，屬于一元二次方程的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的定義即可得答案．【詳解】解：①不是整式方程，不是一元二次方程；②，含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程；③，符合一元二次方程定義，是一元二次方程；④化簡為，x的最高次數(shù)是1，不是一元二次方程；⑤，當(dāng)時(shí)，不是一元二次方程．故答案為：A【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的定義，要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對(duì)它進(jìn)行整理．如果能整理為的形式，則這個(gè)方程就為一元二次方程．【考點(diǎn)二利用一元二次方程的定義求參數(shù)的值】【例題2】（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）當(dāng)______時(shí)，關(guān)于的方程是一元二次方程．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，列方程和不等式解答．【詳解】解：∵方程是關(guān)于x的一元二次方程，∴，，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的一般形式是：是常數(shù)且），特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．【變式2-1】（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）關(guān)于x的方程是一元二次方程，則a的值為________．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出，再求出即可．【詳解】解：∵關(guān)于的方程是一元二次方程，∴，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，是一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：①時(shí)整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．【變式2-2】（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m等于_______．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵方程是關(guān)于x的一元二次方程，∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟知定義是解題的關(guān)鍵：一般地，形如（a、b、c是常數(shù)，）的方程叫做一元二次方程．【變式2-3】（2022秋·四川樂山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的一元二次方程，則__________．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，一般地，形如（a、b、c是常數(shù)，且）的方程叫做一元二次方程．【考點(diǎn)三一元二次方程的一般形式、各項(xiàng)系數(shù)】【例題3】（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）若方程的二次項(xiàng)系數(shù)是4，則方程的一次項(xiàng)系數(shù)是______，常數(shù)項(xiàng)是_______．【答案】0【分析】先將方程化為一般形式，然后得出答案即可．【詳解】解：方程化為一般形式為：，∴方程的二次項(xiàng)系數(shù)是4，方程的一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是0．故答案為：；0．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的一般形式，解題的關(guān)鍵是理解題意，將方程化為二次項(xiàng)系數(shù)是4的一般形式．【變式3-1】（2022秋·海南省直轄縣級(jí)單位·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）將方程化為一般形式為__________，其中________，________，________．【答案】11【分析】根據(jù)等式性質(zhì)將方程化為一般形式，得出a、b、c的值即可．【詳解】解：方程化為一般形式為，∴，，．故答案為：；1；；．【點(diǎn)睛】本題主要考出了一元二次方程的一般形式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的一般形式．【變式3-2】（2022秋·云南昭通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）方程的二次項(xiàng)系數(shù)是______，一次項(xiàng)系數(shù)是______，常數(shù)項(xiàng)是______．【答案】3【分析】將原方程轉(zhuǎn)化為一般形式，進(jìn)而可找出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)．【詳解】解：將原方程轉(zhuǎn)化為一般形式得，∴二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是．故答案為：3；；．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，牢記“一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式．這種形式叫一元二次方程的一般形式”是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023秋·河北廊坊·九年級(jí)統(tǒng)考期末）將方程化成一元二次方程的一般形式后，二次項(xiàng)系數(shù)為，一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為，則______．【答案】【分析】先化為一般形式，根據(jù)一元二次方程的一般形式，得出的值，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：整理得，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵．一元二次方程的一般形式是：（，，是常數(shù)且）．【考點(diǎn)四已知一元二次方程的解求參數(shù)（式子）的值】【例題4】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是0，則的值為______．【答案】1【分析】根據(jù)關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是0，將代入方程即可解出答案．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是0，當(dāng)時(shí)，，解得．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是一元二次方程解的應(yīng)用，其中理解一元二次方程解的概念是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·湖南長沙·?？级＃┤羰且辉畏匠痰囊粋€(gè)根，則m的值是________．【答案】【分析】把代入方程求解即可．【詳解】解：∵是一元二次方程的一個(gè)根，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解得定義，熟練掌握能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023·甘肅平?jīng)觥そy(tǒng)考二模）若m是方程的一個(gè)根，則的值為______．【答案】【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義得到，再把整體代入所求式子中求解即可．【詳解】解：∵m是方程的一個(gè)根，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程解的定義，代數(shù)式求值，熟知一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）若m是一元二次方程的根，則的值為_____【答案】6【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義可得出，從而可求出，，再將整理變形，最后整體代入求值即可．【詳解】解：∵m是一元二次方程的根，∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解的定義，代數(shù)式求值．掌握方程的解就是使方程成立的未知數(shù)的值是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)五解一元二次方程——直接開平方法】【例題5】（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）解關(guān)于的方程：．【答案】，【分析】利用直接開方法求解即可．【詳解】解：整理方程，即得，直接開平方法解方程，得：∴方程兩根為，．【點(diǎn)睛】本題考查直接開方法求解一元二次方程，理解并熟練運(yùn)用直接開方法是解題關(guān)鍵．【變式5-1】（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）解關(guān)于的方程：．【答案】，【分析】整理方程，得，進(jìn)而根據(jù)直接開平方法解一元二次方程JK【詳解】整理方程，得，直接開平方法解方程，得：，即方程兩根為，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）解下列一元二次方程：；【答案】【分析】使用完全平方公式對(duì)方程進(jìn)行變形，再求得結(jié)果．【詳解】解：∴．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，其中準(zhǔn)確使用完全平方公式進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，(2)，(3)(4)【分析】（1）由，得或者，再解一次方程即可；（2）由，得，可得，再解一次方程即可；（3）由，得，從而可得答案；（4）由，得，即，從而可得答案．【詳解】（1）解：∵，∴或者，∴原方程的解為：，；（2）∵，∴，∴，解得：或，所以原方程的解為：，；（3）∵，∴，解得：．∴原方程的解為：；（4）∵，∴，∴，∴原方程的解為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用因式分解法與直接開平方法求解一元二次方程，熟記因式分解法與直接開平方法解一元二次方程的步驟是解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六解一元二次方程——配方法】【例題6】（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）用配方法解關(guān)于的方程：．【答案】，【分析】先移項(xiàng)后，再配方得，再直接開方即可求解．【詳解】解：，移項(xiàng)得：，配方得：，即，，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了用配方法解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023春·北京西城·九年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）解方程：．【答案】【分析】利用配方法求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023秋·廣東東莞·九年級(jí)校聯(lián)考期末）解方程：．【答案】，【分析】根據(jù)配方法先配成：，然后解一元二次方程即可方法不唯一．【詳解】解：，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）用配方法解．【答案】【分析】利用配方法解一元二次方程即可．【詳解】解：，移項(xiàng)得，二次項(xiàng)系數(shù)化成1得，配方得，即∴，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．【變式6-4】（2023春·八年級(jí)單元測試）用配方法解一元二次方程：．【答案】，【分析】根據(jù)完全平方公式的形式進(jìn)行配方，由此即可求解．【詳解】解：方程兩邊都乘，得，移項(xiàng)，得，配方，得，即，開平方，得，∴，，∴原方程的根是，．【點(diǎn)睛】本題主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【變式6-5】（2022春·江蘇南通·八年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可得；（2）先去括號(hào)，再利用配方法解一元二次方程即可得．【詳解】（1）解：，，，，即，，，所以方程的解為，．（2）解：，，，，，即，，，所以方程的解為，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的常用方法（直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法、換元法等）是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)七用配方法解一元二次方程錯(cuò)解復(fù)原】【例題7】（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）以下是圓圓在用配方法解一元二次方程的過程：解：移項(xiàng)得配方：開平方得：移項(xiàng)：所以：，圓圓的解答過程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，請(qǐng)寫出正確的解答過程．【答案】有錯(cuò)誤，過程見解析【分析】直接利用配方法解一元二次方程的方法進(jìn)而分析得出答案．【詳解】解：圓圓的解答過程有錯(cuò)誤，正確的解答過程如下：移項(xiàng)得：，配方：，，開平方得：，移項(xiàng)：，所以：，．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解一元二次方程，正確掌握配方法解方程的步驟是解題關(guān)鍵．【變式7-1】（2023秋·河北滄州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料，并回答問題：佳佳解一元二次方程的過程如下：解：①②③④．問題：(1)佳佳解方程的方法是______；A．直接開平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法(2)上述解答過程中，從______步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤（填序號(hào)），發(fā)生錯(cuò)誤的原因是______；(3)在下面的空白處，寫出正確的解答過程．【答案】(1)B(2)②，等號(hào)右邊沒有加9(3)，．【分析】（1）利用配方法解方程的方法進(jìn)行判斷；（2）第2步方程兩邊都加上4，則可判斷從②步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤；（3）利用配方法解方程的基本步驟解方程．【詳解】（1）解：佳佳解方程的方法為配方法；故選：B；（2）解：上述解答過程中，從②步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤，發(fā)生錯(cuò)誤的原因是方程右邊沒有加上9；故答案為：②；等號(hào)右邊沒有加9；（3）解：正確解答為：解：，移項(xiàng)得，配方得，即，∴，∴或，所以，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程-配方法：熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023秋·山西朔州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下面是某同學(xué)解方程的部分運(yùn)算過程：解：移項(xiàng)，得，…第一步配方，得，………………第二步即，………………第三步兩邊開平方，得，……第四步…(1)該同學(xué)的解答從第______步開始出錯(cuò)；(2)請(qǐng)寫出正確的解答過程．【答案】(1)四(2)解得過程見解析，，．【分析】（1）仔細(xì)檢查分析每一步的運(yùn)算即可得到答案；（2）利用配方法解方程，變形后為，再解方程不要漏解．【詳解】（1）解：該同學(xué)的解答從第四步開始出錯(cuò)．（2）移項(xiàng)，得，配方，得，即，兩邊開平方，得或，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法解方程的步驟”是解本題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·八年級(jí)單元測試）用配方法解一元二次方程：．小明同學(xué)的解題過程如下：解：，小明的解題過程是否正確？若正確，請(qǐng)回答“對(duì)”；若錯(cuò)誤，請(qǐng)寫出你的解題過程．【答案】錯(cuò)誤，見解析【分析】運(yùn)用配方法解答該方程即可判定正誤．【詳解】解：錯(cuò)誤，正確解法如下：解得，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用配方法解一元二次方程，掌握配方法成為解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)八配方法的應(yīng)用】【例題8】（2023秋·甘肅慶陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料：利用公式法，可以將一些形如的多項(xiàng)式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫作“配方法”．運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對(duì)一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，例如．根據(jù)以上材料，解答下列問題：(1)分解因式：．(2)求多項(xiàng)式的最小值．【答案】(1)(2)-23【分析】（1）先利用完全平方公式進(jìn)行配方，再利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可；（2）利用完全平方公式進(jìn)行配方，根據(jù)平方的非負(fù)性即可得出答案．【詳解】（1）解：原式．（2）解：，，，多項(xiàng)式的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查利用完全平方公式進(jìn)行配方以及利用平方差公式進(jìn)行因式分解，熟練掌握兩個(gè)公式及其特點(diǎn)是本題解題關(guān)鍵．【變式8-1】（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）代數(shù)式的最小值為（

）．A． B．0 C．3 D．5【答案】A【分析】利用配方法對(duì)代數(shù)式做適當(dāng)變形，通過計(jì)算即可得到答案．【詳解】代數(shù)式∵，∴即代數(shù)式，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式和不等式的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式和不等式的性質(zhì)，從而完成求解．【變式8-2】（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求M的最小值：解：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，M有最小值5請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添加一個(gè)常數(shù)，使之成為完全平方式；(2)用配方法因式分解；(3)若，求M的最小值．【答案】(1)16(2)(3)【分析】（1）利用完全平方公式，加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即可；（2）利用配方法分解因式即可；（3）利用配方法得到，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定M的最小值．【詳解】（1）解：，故答案為：16；（2）解：；（3）解：∵，∴當(dāng)時(shí)，M有最小值．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解?配方法等，熟練掌握配方法和平方差公式及完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023秋·河南信陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）教材中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式”，如果關(guān)于某一字母的二次多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．例如：分解因式．原式；；例如：求代數(shù)式的最小值．原式．，當(dāng)時(shí)，有最小值是2．根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：(1)分解因式：；(2)求代數(shù)式的最小值；(3)若當(dāng)x＝時(shí)，y有最值（填“大”或“小”），這個(gè)值是．【答案】(1)(2)3(3)；大；1【分析】（1）湊完全平方公式，再用平方差公式進(jìn)行因式分解；（2）湊成完全平方加一個(gè)數(shù)值的形式；（3）和（2）類似，湊成完全平方加一個(gè)數(shù)值的形式；【詳解】（1）解：．（2）解：；∴當(dāng)時(shí)，的最小值是3；（3）解：，，，當(dāng)?shù)臅r(shí)候，有最大值1．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的應(yīng)用，配方法的應(yīng)用以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023春·浙江金華·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列關(guān)于x的方程中，是一元二次方程的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的概念判斷即可．【詳解】解：、，未知數(shù)最高次數(shù)為，不是一元二次方程，不符合題意；、，當(dāng)時(shí)，不是一元二次方程，不符合題意；、，是一元二次方程，符合題意；、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合題意．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的概念，熟練掌握只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為的整式方程叫做一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）將方程化為一元二次方程的一般式，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先利用多項(xiàng)式乘法把括號(hào)去掉，再移項(xiàng)合并同類項(xiàng)即可．【詳解】解：，，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常數(shù)且）特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中叫二次項(xiàng)，叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．3．（2023·安徽阜陽·統(tǒng)考三模）若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為，則的值為（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】利用一元二次方程根的定義，確定出的值即可．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為，∴且，解得：．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定義，一元二次方程的一般形式為為常數(shù)且，理解一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．4．（2020秋·廣東清遠(yuǎn)·九年級(jí)期末）若關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根是0，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把代入得，然后解關(guān)于的一元二次方程即可．【詳解】解：把代入得，解得，即的值為2．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解的定義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．5．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期中）用配方法解方程時(shí)，配方后得到的方程是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先移項(xiàng)得到，再把方程兩邊加上9，然后把方程左邊用完全平方形式表示即可．【詳解】解：，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2020秋·廣東清遠(yuǎn)·九年級(jí)期末）一元二次方程有一個(gè)根為2，則__．【答案】1【分析】把代入方程中得到關(guān)于的方程，然后解關(guān)于的方程即可．【詳解】解：把代入方程得：，解得．故答案是：1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．7．（2022秋·湖北恩施·九年級(jí)校聯(lián)考期中）二元一次方程的二次項(xiàng)系數(shù)是___________，一次項(xiàng)系數(shù)是___________常數(shù)項(xiàng)是___________．【答案】1【分析】方程整理為一般形式后，求出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)的和即可．【詳解】解：方程整理得：，二次項(xiàng)系數(shù)為，一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常數(shù)且特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中叫二次項(xiàng)，叫一次項(xiàng)，是常數(shù)項(xiàng)．其中分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．8．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則__________．【答案】2【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，一元二次方程必須滿足兩個(gè)條件：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項(xiàng)系數(shù)不為0．由這兩個(gè)條件得到相應(yīng)的關(guān)系式，再求解即可．【詳解】∵方程是關(guān)于x的一元二次方程∴，解得，∴，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的概念．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，解題的關(guān)鍵是特別要注意的條件．9．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）m＝______時(shí)，關(guān)于x的方程是一元二次方程．【答案】1【分析】利用一元二次方程的定義：含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)最高次數(shù)為2次的整式方程，判斷即可確定出m的值．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程是一元二次方程，∴且，解得：，故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解本題的關(guān)鍵．10．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）若m是方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值為________．【答案】2022【分析】根據(jù)m是方程的一個(gè)根，得到，進(jìn)而得到，代入代數(shù)式計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵m是方程的一個(gè)根，∴，∴，∴；故答案為：2022．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解，熟練掌握方程的解是使方程成立的未知數(shù)的值，是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）已知方程是關(guān)于x的一元二次方程，求a的值．【答案】1【分析】根據(jù)一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項(xiàng)系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個(gè)未知數(shù)，可得答案．【詳解】解：由關(guān)于x的方程是一元二次方程，得．解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．12．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．(1)．(2)．(3)．【答案】(1)，二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為5(2)，二次項(xiàng)系數(shù)為6，一次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為(3)，二次項(xiàng)系數(shù)為2，一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為【分析】（1）通過移項(xiàng)將方程整理為一般形式，找出二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，以及常數(shù)項(xiàng)即可；（2）通過整式乘法運(yùn)算及移項(xiàng)將方程整理為一般形式，找出二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，以及常數(shù)項(xiàng)即可；（3）通過整式乘法運(yùn)算及移項(xiàng)將方程整理為一般形式，找出二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，以及常數(shù)項(xiàng)即可．【詳解】（1）解：方程整理得：，則二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為5；（2）方程整理得：，則二次項(xiàng)系數(shù)為6，一次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為；（3）方程整理得：，則二次項(xiàng)系數(shù)為2，一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常數(shù)且）特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中叫二次項(xiàng)，叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．13．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）用配方法解方程：．【答案】，【分析】由，得，即，再利用直接開平方的方法解題即可．【詳解】解：∵，∴，即，∴，

∴原方程的解為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查用配方法求解一元二次方程的根，掌握配方法的步驟是解本題的關(guān)鍵．14．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)鐵一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）解方程：(1)(2)．【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用直接開平方法解方程即可；（2）利用配方法求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，解得；（2）解：，∴，∴，∴，∴，解得：，；【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．15．（2022春·八年級(jí)單元測試）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）方程運(yùn)用配方法求解即可；（2）方程移項(xiàng)后運(yùn)用直接開平方法求解即可；【詳解】（1），，，，∴；（2），，，∴；【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解法，熟練掌握因式分解法，配方法和直接開平方法是解答本題的關(guān)鍵．16．（2022春·八年級(jí)單元測試）按照指定方法解下列方程：(1)（用直接開平方法）(2)（用配方法）【答案】(1)，(3)，【分析】（1）把15移到右邊，兩邊同時(shí)除以3，然后直接開平方求根；（2）二次項(xiàng)系數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)是6，把7移到右邊，用配方法解方程；【詳解】（1）解：，∴，解得：，．（2），∴∴∴∴解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元二次方程，根據(jù)題目的要求，熟練掌握各種解法．17．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）用配方法解下列方程(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．【分析】（1）根據(jù)配方法的步驟求解即可；（2）根據(jù)配方法的步驟求解即可；（3）根據(jù)配方法的步驟求解即可；（4）根據(jù)配方法的步驟求解即可．【詳解】（1）解：原方程可化為，∴，即，∴，∴，；（2）解：原方程可化為，∴，即，∴，∴，；（3）解：原方程可化為，∴，即，∴，∴，；（4）解：原方程可化為，∴，即，∴，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程：把原方程化為一般形式，方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，方程兩邊再同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)，進(jìn)一步通過直接開平方法求出方程的解．18．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）用配方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】利用配方法求解即可．【詳解】（1）解：3x?5x=2移項(xiàng)得：x-x=，配方得：x-x+=+，合并得：（x-）2=，解得：x1=+=2，x2=-=-；（2）解：x+8x=9配方得：x+8x+16=9+16，合并得：（x+4）2=25，解得x1=1，x2=-9；（3）解：x+12x?15=0移項(xiàng)