揚(yáng)州中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2021-2022學(xué)年度第一學(xué)期期中試題高一數(shù)學(xué)2021.11一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題意的.1.已知全集，且，求集合A的子集個(gè)數(shù)是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意先求出集合，然后再用公式求集合A子集的個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)槿?，且，所以，所以集合A的子集個(gè)數(shù)是.故選：C.2.“或”的充要條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充要條件的定義，判斷各選項(xiàng)與“或”是否互為推出關(guān)系即可.【詳解】A：必有且，不合要求；B：必有且，不合要求；C：當(dāng)有或，當(dāng)或有，互為充要條件，符合要求；D：有互為相反數(shù)，不合要求.故選：C3.若“，”是假命題，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題得，，再對(duì)分兩種情況討論得解.【詳解】由題得，，當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，解之得.綜上，.故選：D4.若函數(shù)y=f（x）的定義域是[1，2021]，則函數(shù)的定義域是（）A.[0，1010] B.[0，1）∪（1，1010]C.[0，2021] D.(0，1）∪（1，1010]【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）的定義域是[1，2021]，所以有，故選：B5.若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，，即可解出．【詳解】依題意可知，，所以，解得．故選：B．6.函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為，結(jié)合一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解【詳解】由題意，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，結(jié)合一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得選項(xiàng)B符合.故選：B.7.根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限約為，而可觀測(cè)宇宙中某類物質(zhì)的原子總數(shù)約為.則下列各數(shù)中與最接近的是（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可解出．【詳解】因?yàn)?，所以，，，所以．故選：C．8.設(shè)函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)，又，則的解集是（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)，然后根據(jù)單調(diào)性解出和，再根據(jù)符號(hào)法則即可解出不等式．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為定義在R上奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)，又，所以，且函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)，因此或，或，等價(jià)于或，解得或．故選：D．二?多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知集合，集合，使的實(shí)數(shù)的值可以是（）A.0 B.-2 C.4 D.6【答案】ACD【解析】【分析】結(jié)合數(shù)軸由集合的運(yùn)算可得答案.【詳解】由集合，，要使，所以，實(shí)數(shù)的值可以是0，4，6.故選：ACD.10.一次函數(shù)滿足：，則的解析式可以是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)待定系數(shù)法，設(shè)出，可得，再根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等即可求出．【詳解】設(shè)，則，所以，解得或，即或．故選：AD．11.若，，，則下列命題正確的是（）A.若且，則 B.若，則C.若且，則 D.【答案】BCD【解析】【分析】利用不等式的基本性質(zhì)、作差比較法對(duì)選項(xiàng)逐一進(jìn)行判斷.【詳解】A.當(dāng)，時(shí)，，故錯(cuò)誤；B.因?yàn)椋?，所以，故正確；C.因?yàn)榍?，所以故，所以C正確；D.因?yàn)?，故正確；故選：BCD12.已知函數(shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，那么函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】BC【解析】【分析】函數(shù)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)問題，利用偶函數(shù)的對(duì)稱性，可轉(zhuǎn)化為研究時(shí)根的情況，從而求出定義域上根的個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)闀r(shí)，，時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，令，即，若時(shí)，顯然無解，若時(shí)，，即時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上沒有零點(diǎn)，綜上，由函數(shù)是偶函數(shù)知，時(shí)，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn).故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，原問題可轉(zhuǎn)化為根的個(gè)數(shù)，根據(jù)是偶函數(shù)，先研究時(shí)，根的個(gè)數(shù)情況，再根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，擴(kuò)展到定義域R上根的情況，屬于中檔題.三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.（請(qǐng)將所有填空題答案填到答題卡的指定位置中.）13.已知，為實(shí)數(shù)，設(shè)，則___________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，以及換底公式，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出．【詳解】因?yàn)?，所以，，因此．故答案為?．14.已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值為___________.【答案】-2021【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可解出．【詳解】．故答案為：-2021．15.用一根鐵絲折成面積為的長方形的四條邊，則所用鐵絲的長度最短為___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)長方形的長寬分別為，所以，根據(jù)基本不等式即可求出．【詳解】設(shè)長方形長寬分別為，所以，所用鐵絲的長度為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故答案為：．16.設(shè).若，則=___________；若，則的取值范圍是___________.【答案】①.-4②.【解析】【分析】（1）依題意和為方程的兩根，利用韋達(dá)定理得到方程組，即可求出、的值，即可得解；（2）設(shè)，則，即可求出的值，所以、，所以0和為方程的根或方程無解，則，即可求出參數(shù)的的取值范圍；【詳解】解：因?yàn)榈慕饧癁?，即和為方程的兩根，所以，即，所以，因?yàn)?，設(shè)，則，所以，所以，令得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，所以0和為方程的根或方程無解；當(dāng)為方程的根，即，不符合題意；當(dāng)為方程的根，即，即，不符合題意；所以0和不是的根，故，解得：，則，綜上所述，的取值范圍是：，即．故答案為：；四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.計(jì)算：(1)；(2).【答案】（1）3；（2）520.【解析】【分析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可得出.（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出.【詳解】（1）原式（2）原式18.（1）已知，，，求的最大值；（2）若正數(shù)，滿足，求的最小值．【答案】（1）2；（2）8.【解析】【分析】（1）由基本不等式可求得答案；（2）由已知得，根據(jù)基本不等式可求得答案；【詳解】解：（1），當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)．故的最大值為2．（2），即，∵，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，∴時(shí)，．19.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中，求解下列問題：已知集合.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若___________，求實(shí)數(shù)a取值范圍.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)分式不等式的解法求出集合，再根據(jù)并集的運(yùn)算即可解出；（2）若選①，則由，可得，再按照子集的定義以及與分類討論即可解出；若選②，根據(jù)補(bǔ)集運(yùn)算求出，由，可得，再按照子集的定義以及與分類討論即可解出；若選③，按照交集的定義以及與分類討論即可解出．【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以.【小問2詳解】選①，因?yàn)?，可?當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，合乎題意；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，由可得，解得，此時(shí).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是或；選②，由（1）可得或，因?yàn)?，則.當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，合乎題意；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，由可得或，解得或，此時(shí)或.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是或；選③，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，則或，解得或，此時(shí)或.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是或.20.設(shè)函數(shù).（1）討論函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（2）若，試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明.【答案】（1）答案見解析（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)奇偶性的定義以及與分類討論，即可判斷；（2）根據(jù)單調(diào)性證明的步驟，取值、作差、變形、定號(hào)等步驟即可判斷和證明．【小問1詳解】①當(dāng)時(shí)，函數(shù)，定義域關(guān)于x軸對(duì)稱，，所以是奇函數(shù).②當(dāng)時(shí)，函數(shù)，定義域關(guān)于x軸對(duì)稱，，所以既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù).【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.證明：在上任取，不妨設(shè)，則因?yàn)?，所以，又，，所以則，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)，且時(shí)，求的值；（2）若存在正實(shí)數(shù)a?b（）使得函數(shù)的定義域?yàn)闀r(shí)，值域?yàn)椋ǎ髆的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知，可等價(jià)于，即可解得的值；（2）根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)性，按照，且，以及分類，即可確定在上的值域，從而建立方程組，根據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系即可解出m的取值范圍．【小問1詳解】∵，∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，由且，可得且，故.【小問2詳解】若存在正實(shí)數(shù)a?b（），使得函數(shù)的定義域?yàn)闀r(shí)，值域?yàn)椋?①當(dāng)a，時(shí)，由于在上是減函數(shù)，故.此時(shí)得，得與條件矛盾，所以a?b不存在②當(dāng)，時(shí)，易知0在值域內(nèi)，值域不可能是，所以a?b不存在.③故只有a，.∵在上是增函數(shù)，∴，即，所以a?b是方程的兩個(gè)根，即關(guān)于x的方程有兩個(gè)大于1的不等實(shí)根.設(shè)這兩個(gè)根為?，則，.∴，1-4m>0，∴，即，解得.故m的取值范圍是.22.已知函數(shù)，函數(shù)，實(shí)數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）令函數(shù)，對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)a，方程有三個(gè)不同的實(shí)根??，且，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，去絕對(duì)值討論，即可求解；（2）根據(jù)題意，去絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，結(jié)合圖象交點(diǎn)，即可求解.【小問1詳解】根據(jù)題意，由，得.當(dāng)時(shí)，，即，解得；當(dāng)時(shí)，，即，解得綜上所述，不等式的解集為.【小問2詳解】根據(jù)題意，得.（i）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，，，，當(dāng)時(shí)，，可知，又，即恒成立；①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，令，解得或（舍），此時(shí)，，即；②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，令，可得（舍）或，此