揚州中學2021-2022學年高一上學期期中考試數(shù)學試題（解析版）

江蘇省揚州中學2021-2022學年度第一學期期中試題高一數(shù)學2021.11一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每題給出的四個選項中，只有一項是最符合題意的.1.已知全集，且，求集合A的子集個數(shù)是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意先求出集合，然后再用公式求集合A子集的個數(shù).【詳解】因為全集，且，所以，所以集合A的子集個數(shù)是.故選：C.2.“或”的充要條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充要條件的定義，判斷各選項與“或”是否互為推出關系即可.【詳解】A：必有且，不合要求；B：必有且，不合要求；C：當有或，當或有，互為充要條件，符合要求；D：有互為相反數(shù)，不合要求.故選：C3.若“，”是假命題，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題得，，再對分兩種情況討論得解.【詳解】由題得，，當時，，符合題意；當時，，解之得.綜上，.故選：D4.若函數(shù)y=f（x）的定義域是[1，2021]，則函數(shù)的定義域是（）A.[0，1010] B.[0，1）∪（1，1010]C.[0，2021] D.(0，1）∪（1，1010]【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的性質進行求解即可.【詳解】因為函數(shù)y=f（x）的定義域是[1，2021]，所以有，故選：B5.若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質可知，，即可解出．【詳解】依題意可知，，所以，解得．故選：B．6.函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡函數(shù)的解析式為，結合一次函數(shù)的圖象與性質，即可求解【詳解】由題意，函數(shù)，當時，；當時，，即，結合一次函數(shù)的圖象與性質，可得選項B符合.故選：B.7.根據(jù)有關資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限約為，而可觀測宇宙中某類物質的原子總數(shù)約為.則下列各數(shù)中與最接近的是（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化以及對數(shù)的運算法則即可解出．【詳解】因為，所以，，，所以．故選：C．8.設函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，且在內是增函數(shù)，又，則的解集是（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質可知，函數(shù)在內是增函數(shù)，然后根據(jù)單調性解出和，再根據(jù)符號法則即可解出不等式．【詳解】因為函數(shù)為定義在R上奇函數(shù)，且在內是增函數(shù)，又，所以，且函數(shù)在內是增函數(shù)，因此或，或，等價于或，解得或．故選：D．二?多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知集合，集合，使的實數(shù)的值可以是（）A.0 B.-2 C.4 D.6【答案】ACD【解析】【分析】結合數(shù)軸由集合的運算可得答案.【詳解】由集合，，要使，所以，實數(shù)的值可以是0，4，6.故選：ACD.10.一次函數(shù)滿足：，則的解析式可以是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)待定系數(shù)法，設出，可得，再根據(jù)對應項系數(shù)相等即可求出．【詳解】設，則，所以，解得或，即或．故選：AD．11.若，，，則下列命題正確的是（）A.若且，則 B.若，則C.若且，則 D.【答案】BCD【解析】【分析】利用不等式的基本性質、作差比較法對選項逐一進行判斷.【詳解】A.當，時，，故錯誤；B.因為，，所以，故正確；C.因為且，所以故，所以C正確；D.因為，故正確；故選：BCD12.已知函數(shù)是偶函數(shù)，且當時，，那么函數(shù)的零點個數(shù)可能是（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】BC【解析】【分析】函數(shù)零點可轉化為方程根的個數(shù)問題，利用偶函數(shù)的對稱性，可轉化為研究時根的情況，從而求出定義域上根的個數(shù).【詳解】因為時，，時，可得，當時，令，即，若時，顯然無解，若時，，即時，在上有一個零點，當時，在上沒有零點，綜上，由函數(shù)是偶函數(shù)知，時，函數(shù)有4個零點，當時，函數(shù)有6個零點.故選：BC【點睛】關鍵點點睛，原問題可轉化為根的個數(shù)，根據(jù)是偶函數(shù)，先研究時，根的個數(shù)情況，再根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，擴展到定義域R上根的情況，屬于中檔題.三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.（請將所有填空題答案填到答題卡的指定位置中.）13.已知，為實數(shù)，設，則___________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，以及換底公式，對數(shù)的運算性質即可解出．【詳解】因為，所以，，因此．故答案為：1．14.已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，當時，，則的值為___________.【答案】-2021【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可解出．【詳解】．故答案為：-2021．15.用一根鐵絲折成面積為的長方形的四條邊，則所用鐵絲的長度最短為___________.【答案】【解析】【分析】設長方形的長寬分別為，所以，根據(jù)基本不等式即可求出．【詳解】設長方形長寬分別為，所以，所用鐵絲的長度為，當且僅當時取等號．故答案為：．16.設.若，則=___________；若，則的取值范圍是___________.【答案】①.-4②.【解析】【分析】（1）依題意和為方程的兩根，利用韋達定理得到方程組，即可求出、的值，即可得解；（2）設，則，即可求出的值，所以、，所以0和為方程的根或方程無解，則，即可求出參數(shù)的的取值范圍；【詳解】解：因為的解集為，即和為方程的兩根，所以，即，所以，因為，設，則，所以，所以，令得或，當時，，此時，所以；當時，所以0和為方程的根或方程無解；當為方程的根，即，不符合題意；當為方程的根，即，即，不符合題意；所以0和不是的根，故，解得：，則，綜上所述，的取值范圍是：，即．故答案為：；四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.計算：(1)；(2).【答案】（1）3；（2）520.【解析】【分析】（1）利用指數(shù)冪的運算性質即可得出.（2）利用對數(shù)的運算性質即可得出.【詳解】（1）原式（2）原式18.（1）已知，，，求的最大值；（2）若正數(shù)，滿足，求的最小值．【答案】（1）2；（2）8.【解析】【分析】（1）由基本不等式可求得答案；（2）由已知得，根據(jù)基本不等式可求得答案；【詳解】解：（1），當且僅當即時取等號．故的最大值為2．（2），即，∵，故，當且僅當時等號成立，又，∴時，．19.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，求解下列問題：已知集合.（1）當時，求；（2）若___________，求實數(shù)a取值范圍.注：如果選擇多個條件分別解答按第一個解答計分.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)分式不等式的解法求出集合，再根據(jù)并集的運算即可解出；（2）若選①，則由，可得，再按照子集的定義以及與分類討論即可解出；若選②，根據(jù)補集運算求出，由，可得，再按照子集的定義以及與分類討論即可解出；若選③，按照交集的定義以及與分類討論即可解出．【小問1詳解】當時，，，所以.【小問2詳解】選①，因為，可得.當時，即當時，，合乎題意；當時，即當時，，由可得，解得，此時.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是或；選②，由（1）可得或，因為，則.當時，即當時，，合乎題意；當時，即當時，，由可得或，解得或，此時或.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是或；選③，當時，即當時，，，滿足題意；當時，即當時，，因為，則或，解得或，此時或.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是或.20.設函數(shù).（1）討論函數(shù)的奇偶性，并證明你的結論；（2）若，試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調性，并用單調性的定義加以證明.【答案】（1）答案見解析（2）函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)奇偶性的定義以及與分類討論，即可判斷；（2）根據(jù)單調性證明的步驟，取值、作差、變形、定號等步驟即可判斷和證明．【小問1詳解】①當時，函數(shù)，定義域關于x軸對稱，，所以是奇函數(shù).②當時，函數(shù)，定義域關于x軸對稱，，所以既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù).【小問2詳解】當時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增.證明：在上任取，不妨設，則因為，所以，又，，所以則，即函數(shù)在區(qū)間上單調遞增.21.已知函數(shù).（1）當，且時，求的值；（2）若存在正實數(shù)a?b（）使得函數(shù)的定義域為時，值域為（），求m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調性可知，可等價于，即可解得的值；（2）根據(jù)函數(shù)在上單調性，按照，且，以及分類，即可確定在上的值域，從而建立方程組，根據(jù)方程根與系數(shù)的關系即可解出m的取值范圍．【小問1詳解】∵，∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，由且，可得且，故.【小問2詳解】若存在正實數(shù)a?b（），使得函數(shù)的定義域為時，值域為，.①當a，時，由于在上是減函數(shù)，故.此時得，得與條件矛盾，所以a?b不存在②當，時，易知0在值域內，值域不可能是，所以a?b不存在.③故只有a，.∵在上是增函數(shù)，∴，即，所以a?b是方程的兩個根，即關于x的方程有兩個大于1的不等實根.設這兩個根為?，則，.∴，1-4m>0，∴，即，解得.故m的取值范圍是.22.已知函數(shù)，函數(shù)，實數(shù).（1）當時，解不等式；（2）令函數(shù)，對于給定的正實數(shù)a，方程有三個不同的實根??，且，有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）當時，；當時，；當時，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，去絕對值討論，即可求解；（2）根據(jù)題意，去絕對值轉化為分段函數(shù)，結合圖象交點，即可求解.【小問1詳解】根據(jù)題意，由，得.當時，，即，解得；當時，，即，解得綜上所述，不等式的解集為.【小問2詳解】根據(jù)題意，得.（i）當時，函數(shù)，易知函數(shù)在上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增.當時，直線與函數(shù)的圖象有三個交點，，，，當時，，可知，又，即恒成立；①當時，即當時，令，解得或（舍），此時，，即；②當時，即當時，令，可得（舍）或，此