內蒙古赤峰市實驗中學2023-2024學年高二上學期10月月考數學試題

赤峰實驗中學高二年級第一次月考數學試卷一、單選題（共8小題）1.空間直角坐標系中，已知點，則線段的中點坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據中點坐標公式求解即可.詳解】點，由中點坐標公式得中得為：，即.故選A.2.如圖所示,在平行六面體中,,,,是的中點,點是上的點,且,用表示向量的結果是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】在平行六面體中根據空間向量的加法合成法則,對向量進行線性表示,即可求得答案.【詳解】連接可得:又故選:D.【點睛】本題考查了空間向量的加法運算,解題關鍵是掌握向量的加法運算和數形結合,屬于基礎題.3.已知，，，則的夾角是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出向量的坐標，然后利用數量積的夾角坐標公式計算即可.【詳解】因為，，，所以，，所以，又，所以，即的夾角是.故選：C.4.在棱長為的正方體中，則平面與平面之間的距離為A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】建立如圖所示的直角坐標系，求得和平面的一個法向量，利用向量的距離公式，即可求解．【詳解】建立如圖所示的直角坐標系，則，，，，所以，，，設平面的一個法向量，則，即，解得，故，顯然平面平面，所以平面與平面之間的距離．【點睛】本題主要考查了空間向量在求解距離中的應用，對于利用空間向量求解點到平面的距離的步驟通常為：①求平面的法向量；②求斜線段對應的向量在法向量上的投影的絕對值，即為點到平面的距離．空間中其他距離問題一般都可轉化為點到平面的距離求解．著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.5.若直線經過、兩點，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】計算出的取值范圍，結合角的取值范圍可求得結果.【詳解】由題意可得，又因為，故.故選：C.6.過點且與直線平行的直線方程是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設所求直線方程為，代入點，即可求得本題答案.【詳解】因為所求直線方程與直線平行，所以可設為，又因為經過點，代入可得，則所求直線方程為.故選：C【點睛】本題主要考查直線方程的求法，屬于基礎題.7.已知直線:，直線:，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據直線的垂直，即可求出tanα=2，再根據二倍角公式即可求出．【詳解】因為l1⊥l2，所以，所以tanα=2，所以.故選：B．【點睛】本題考查了兩直線的垂直的充要條件，以及正切二倍角公式，屬于容易題.8.已知六棱錐的底面是正六邊形，平面ABC，.則下列命題中正確的有（）①平面平面PAE；②；③直線CD與PF所成角的余弦值為；④直線PD與平面ABC所成的角為45°；⑤平面PAE.A.①④ B.①③④ C.②③⑤ D.①②④⑤【答案】B【解析】【分析】①要判斷面面垂直，需先判斷是否有線面垂直，根據線線，線面的垂直關系判斷；②由條件可知若，可推出平面，則，判斷是否有矛盾；③異面直線所成的角轉化為相交直線所成的角，即根據，轉化為求；④根據線面角的定義直接求解；⑤若平面，則，由正六邊形的性質判斷是否有矛盾.【詳解】∵平面ABC，∴，在正六邊形ABCDEF中，，，∴平面PAE，且面PAB，∴平面平面PAE，故①成立；由條件可知若，平面，則，，可推出平面，則，這與不垂直矛盾，故②不成立；∵，直線CD與PF所成角為，在中，，∴，∴③成立.在中，，∴，故④成立.若平面，平面平面則，這與不平行矛盾，故⑤不成立.所以正確的是①③④故選：B【點睛】本題考查點，線，面的位置關系，重點考查推理證明，空間想象能力，屬于基礎題型.二、多選題（共4小題）9.已知空間中三點、、，則下列結論不正確的有（）A.與是共線向量B.的單位向量是C.與夾角的余弦值是D.平面的一個法向量是【答案】ABC【解析】【分析】利用共線向量的坐標關系可判斷A選項；利用單位向量的定義可判斷B選項；利用空間向量數量積的坐標運算可判斷C選項；利用法向量的定義可判斷D選項.【詳解】對于A選項，，，因為，則、不共線，A錯；對于B選項，的單位向量為，B錯；對于C選項，，，所以，與夾角的余弦值是，C錯；對于D選項，設為平面的法向量，則，取，則，，所以，平面的一個法向量為，D對.故選：D.10.下列說法正確的是（）A.直線與兩坐標軸圍成三角形的面積是2B.直線的傾斜角為C.過，兩點的直線方程為D.直線在軸上截距是【答案】ABD【解析】【分析】A確定直線在坐標軸上截距，再求面積即可判斷；B由斜率確定傾斜角大小即可；C根據兩點式使用前提判斷；D令即可得軸上截距.【詳解】A：由直線方程知：其在x、y軸截距分別為，故該直線與坐標軸所圍成三角形面積為2，對；B：由直線斜率為1，即傾斜角正切值為1，根據傾斜角范圍為，則傾斜角大小為，對；C：僅當時，直線才能表示為，錯；D：令，則，故在軸上截距是，對.故選：ABD11.已知直線，則下列結論正確的是（）A.直線的傾斜角是B.若直線，則C.直線過定點D.過與直線平行的直線方程是【答案】CD【解析】【分析】對選項A，根據，即可判定A錯誤，對選項B，根據斜率相乘不等于1，即可判定B錯誤，對選項C，變形直線方程得到，即可判定C正確，對選項D，設所求直線方程，再代入點，即可判斷D正確.【詳解】對選項A，直線，，，故A錯誤；對選項B，直線，，，故B錯誤；對選項C，直線，，恒過，故C正確.對選項D，設直線平行的直線方程是，把代入得：，解得，所以所求直線方程，故D正確.故選：CD12.在棱長為的正方體中中，點在線段上運動，則下列命題正確的是（）A.異面直線和所成的角為定值B.直線和平面平行C.三棱錐的體積為定值D.直線和平面所成的角為定值【答案】ABC【解析】【分析】由線面垂直的判定可證得平面，由線面垂直性質可知A正確；根據，結合線面平行的判定可得B正確；結合平行關系，可由體積橋得到，由此可得C正確；根據線面角的定義可確定所求角，根據正切值不為定值可知D錯誤.【詳解】對于A，四邊形為正方形，；平面，平面，，又平面，，平面，平面，，異面直線和所成角為定值，A正確；對于B，，平面，平面，平面，又平面，平面即為平面，平面，B正確；對于C，由B知：平面，，平面平面，平面，平面，，，即三棱錐的體積為定值，C正確；對于D，設，由A知：平面，即為直線和平面所成的角，，不是定值，不是定值，即直線和平面所成的角不是定值，D錯誤.故選：ABC.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.設點A在x軸上，點B在y軸上，的中點是，則等于________【答案】【解析】【分析】根據點A在x軸上，點B在y軸上，且的中點是，利用中點坐標公式得到A，B的坐標，再利用兩點間的距離公式求解.【詳解】因為點A在x軸上，點B在y軸上，且的中點是，所以，所以，故答案為：【點睛】本題主要考查兩點間的距離公式和中點坐標公式的應用，屬于基礎題.14.已知直線l1經過點A(0，－1)和點B(－，1)，直線l2經過點M(1,1)和點N(0，－2)，若l1與l2沒有公共點，則實數a的值為________．【答案】－6【解析】【分析】分別根據斜率公式求出兩條直線的斜率，再根據兩直線平行，斜率相等即可求出a的值．【詳解】直線l2經過點M（1，1）和點N（0，﹣2），∴==3，∵直線l1經過點A（0，﹣1）和點B（﹣，1），∴==﹣，∵l1與l2沒有公共點，則l1∥l2，∴﹣=3，解得a=﹣6，故答案為﹣6．【點睛】本題考查了兩直線平行的條件，斜率公式，屬于基礎題．15.將正方形沿對角線折起，當以四點為頂點的三棱錐體積最大時，異面直線與所成的角為___________.【答案】【解析】【分析】根據題意可知，當最大時，平面平面，建立空間直角坐標系，求得異面直線夾角.詳解】根據題意可知，當最大時，平面平面，設的中點為，連接建立空間直角坐標系，如圖所示，令，則，，因此所以異面直線與所成的角為故答案為：【點睛】平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．16.如圖所示，在直平行六面體中，，，點在上，且，則點到平面的距離為________.【答案】【解析】【分析】建立如圖所示的空間直角坐標系，利用點到平面的距離計算，即可得答案；【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，∴，.設平面的法向量為，則，令，則，，∴.∴點到平面的距離.故答案為：.【點睛】本題考查利用空間向量法求點到面的距離，考查運算求解能力，求解時注意坐標系的建立.四、解答題（本大題共6小題，共70分）17.已知，，，，，求：（1），，；（2）與所成角的余弦值．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）根據空間向量平行公式與垂直公式求解即可；（2）根據空間向量夾角公式求解即可.【小問1詳解】因為，故，解得，故，.由可得，解得，故.【小問2詳解】，，故與所成角的余弦值.18.如圖，在直三棱柱中，，，，，是的中點.（1）試建立適當的空間直角坐標系，并寫出點，的坐標；（2）求的長（3）求證：.【答案】（1）坐標系見解析，，（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）以為坐標原點，以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，即可得到所求點的坐標.（2）根據空間向量坐標運算即可..（3）根據，即可證明結論.【小問1詳解】以為坐標原點，以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.所以，【小問2詳解】，，，.【小問3詳解】，.，，，所以.19.已知中，點，，.（1）求直線的方程；（2）求邊的高線所在的直線方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出直線斜率，由點斜式寫出直線方程；（2）根據直線垂直的結論和點斜式方程即可得到答案.【小問1詳解】由題意可知，直線的斜率，故直線的方程為即，【小問2詳解】邊的高線的斜率，故直線邊的高線的方程為，即.20.如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求點到面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）依題意可以D為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量共面定理可證明共面，即可證明平面；（2）由空間向量數量積為零可證明，，再由線面垂直的判定定理即可證明平面.（3）利用點到平面距離的空間向量求法即可.【小問1詳解】∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面.以為原點，，，分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，，，，.∵為的中點，∴，則，，，∴，故，，共面.又平面，∴平面.【小問2詳解】，，，∵，∴又，∴又，，平面，∴平面.【小問3詳解】由（2）知為平面的法向量，則點到面的距離.21.（1）過點，且斜率為的直線的一般式方程方程；（2）經過點且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程；（3）經過點且與軸，軸正半軸分別交于點，，為坐標原點，求面積的最小值.【答案】（1）；（2）或；（3）12【解析】【分析】（1）設直線方程為點斜式，化成一般式即可.（2）截距相等分兩種情況討論，截距相等且是0，設為,或者截距相等不是0，設為，代入求解即可.（3）設直線截距式方程，可得，由基本不等式可得，可得的面積最小值.【詳解】（1）利用點斜式可得：直線的方程為：，化為：.（2）截距相等不是0時，可設直線方程為，直線的方程經過點，將點代入上式，得：，∴直線的方程為：.截距相等且是0時，設直線為，直線的方程經過點，將點代入上式，得，即.∴經過點且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為或；（3）設直線方程為，直線的方程經過點，代入，所以，又，所以，所以，當且僅當時，即，時，等號成立，所以.22.如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形是正方形，側面是邊長為的正三角形，且平面底面.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求平面與平面夾角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質證得平面，從而建立空間直角坐標系，再求得平面的一個法