1994年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及詳細(xì)解析

一、選擇題(每小題6分，共36分)1、設(shè)a，b，c是實(shí)數(shù)，那么對(duì)任何實(shí)數(shù)x，不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要條件是(A)a，b同時(shí)為0，且c>0(B)eq\r(a2+b2)=c(C)eq\r(a2+b2)<c(D)eq\r(a2+b2)>c4、已知0<b<1，0<a<eq\f(π,4)，則下列三數(shù)：x=(sina)eq\s\up6(logbsina)，y=(cosa)eq\s\up6(logbcosa)，z=(sina)eq\s\up6(logbcosa)(A)x<z<y(B)y<z<x(C)z<x<y(D)x<y<z5、在正n棱錐中，相鄰兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍是(A)(eq\f(n－2,n)π，π)(B)(eq\f(n－1,n)π，π)(C)(0，eq\f(π,2))(D)(eq\f(n－2,n)π，eq\f(n－1,n)π)6、在平面直角坐標(biāo)系中，方程eq\f(|x+y|,2a)+eq\f(|x－y|,2b)=1(a，b是不相等的兩個(gè)正數(shù))所代表的曲線是(A)三角形(B)正方形(C)非正方形的長(zhǎng)方形(D)非正方形的菱形二、填空題(每小題9分，共54分)

第二試一、(本題滿分25分)x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中,z1，z2，m均是復(fù)數(shù)，且zeq\a(2,1)－4z2=16+20i，設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)根α、β，滿足|α－β|=2eq\r(7),求|m|的最大值和最小值.二、(本題滿分25分)將與105互素的所有正整數(shù)從小到大排成數(shù)列，試求出這個(gè)數(shù)列的第1000項(xiàng)。(1)求m(G)的最小值m0．(2)設(shè)G*是使m(G*)=m0的一個(gè)圖案，若G*中的線段(指以P的點(diǎn)為端點(diǎn)的線段)用4種顏色染色,每條線段恰好染一種顏色.證明存在一個(gè)染色方案,使G*染色后不含以P的點(diǎn)為頂點(diǎn)的三邊顏色相同的三角形．

1994年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答第一試一、選擇題(每小題6分，共36分)1、設(shè)a，b，c是實(shí)數(shù)，那么對(duì)任何實(shí)數(shù)x，不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要條件是(A)a，b同時(shí)為0，且c>0(B)eq\r(a2+b2)=c(C)eq\r(a2+b2)<c(D)eq\r(a2+b2)>c【答案】C【解析】asinx+bcosx+c=eq\r(a2+b2)sin(x+φ)+c∈[－eq\r(a2+b2)+c，eq\r(a2+b2)+c]．故選C．2、給出下列兩個(gè)命題：(1)設(shè)a，b，c都是復(fù)數(shù)，如果a2+b2>c2，則a2+b2－c2>0．(2)設(shè)a，b，c都是復(fù)數(shù)，如果a2+b2－c2>0，則a2+b2>c2．那么下述說法正確的是(A)命題(1)正確，命題(2)也正確(B)命題(1)正確，命題(2)錯(cuò)誤(C)命題(1)錯(cuò)誤，命題(2)也錯(cuò)誤(D)命題(1)錯(cuò)誤，命題(2)正確3、已知數(shù)列{an}滿足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n項(xiàng)之和為Sn，則滿足不等式|Sn－n－6|<eq\f(1,125)的最小整數(shù)n是(A)5(B)6(C)7(D)8【答案】C【解析】(an+1－1)=－eq\f(1,3)(an－1)，即{an－1}是以－eq\f(1,3)為公比的等比數(shù)列，∴an=8(－eq\f(1,3))n－1+1．∴Sn=8·eq\f(1－(－eq\f(1,3))n,1+eq\f(1,3))+n=6+n－6(－eq\f(1,3))n，6·eq\f(1,3n)<eq\f(1,125)，n≥7．選C．5、在正n棱錐中，相鄰兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍是(A)(eq\f(n－2,n)π，π)(B)(eq\f(n－1,n)π，π)(C)(0，eq\f(π,2))(D)(eq\f(n－2,n)π，eq\f(n－1,n)π)6、在平面直角坐標(biāo)系中，方程eq\f(|x+y|,2a)+eq\f(|x－y|,2b)=1(a，b是不相等的兩個(gè)正數(shù))所代表的曲線是(A)三角形(B)正方形(C)非正方形的長(zhǎng)方形(D)非正方形的菱形【答案】D【解析】x+y≥0，x－y≥0時(shí)，(一、四象限角平分線之間)：(a+b)x+(b－a)y=2ab；x+y≥0，x－y<0時(shí)，(一、二象限角平分線之間)：(b－a)x+(a+b)y=2ab；x+y<0，x－y≥0時(shí)，(三、四象限角平分線之間)：(a－b)x－(a+b)y=2ab；x+y<0，x－y<0時(shí)，(二、三象限角平分線之間)：－(a+b)x+(a－b)y=2ab．四條直線在a≠b時(shí)圍成一個(gè)菱形(非正方形)．選D．二、填空題(每小題9分，共54分)2．已知x，y∈[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]，a∈R且eq\b\lc\{(\a\ac(x3+sinx－2a=0，,4y3+sinycosy+a=0))則cos(x+2y)=．3．已知點(diǎn)集A={(x，y)|(x－3)2+(y－4)2≤(eq\f(5,2))2}，B={(x，y)|(x－4)2+(y－5)2>(eq\f(5,2))2}，則點(diǎn)集A∩B中的整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))的個(gè)數(shù)為．【答案】7【解析】如圖可知，共有7個(gè)點(diǎn)，即(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，2)共7點(diǎn)．5．已知一平面與一正方體的12條棱的夾角都等于α，則sinα=．【答案】【解析】12條棱只有三個(gè)方向，故只要取如圖中AA與平面ABD所成角即可．設(shè)AA=1，則AC=eq\r(3)，AC⊥平面ABD，AC被平面ABD、BDC三等分．于是sinα=eq\f(\r(3),3)．第二試一、(本題滿分25分)x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中,z1，z2，m均是復(fù)數(shù)，且zeq\a(2,1)－4z2=16+20i，設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)根α、β，滿足|α－β|=2eq\r(7),求|m|的最大值和最小值.【解析】設(shè)m=a+bi(a，b∈R)．則△=z12－4z2－4m=16+20i－4a－4bi=4[(4－a)+(5－b)i]．設(shè)△的平方根為u+vi．(u，v∈R)二、(本題滿分25分)將與105互素的所有正整數(shù)從小到大排成數(shù)列，試求出這個(gè)數(shù)列的第1000項(xiàng)?！窘馕觥坑?05=3×5×7；故不超過105而與105互質(zhì)的正整數(shù)有105×(1－eq\f(1,3))(1－eq\f(1,5))(1－eq\f(1,7))=48個(gè)。1000=48×20+48－8，105×20=2100.而在不超過105的與105互質(zhì)的數(shù)中第40個(gè)數(shù)是86．∴所求數(shù)為2186。由ΔACH為正三角形，易證IC+IA=IH．由OH=2R．∴IO+IA+IC=IO+IH>OH=2R．設(shè)∠OHI=α，則0<α<30°．∴IO+IA+IC=IO+IH=2R(sinα+cosα)=2Req\r(2)sin(α+45°)又α+45°<75°，故IO+IA+IC<2eq\r(2)R(eq\r(6)+eq\r(2))/4=R(1+eq\r(3))四、(本題滿分35分)給定平面上的點(diǎn)集P={P1，P2，…，P1994},P中任三點(diǎn)均不共線,將P中的所有的點(diǎn)任意分成83組，使得每組至少有3個(gè)點(diǎn)，且每點(diǎn)恰好屬于一組，然后將在同一組的任兩點(diǎn)用一條線段相連,不在同一組的兩點(diǎn)不連線段,這樣得到一個(gè)圖案G，不同的分組方式得到不同的圖案，將圖案G中所含的以P中的點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形個(gè)數(shù)記為m(G)．(1)求m(G)的最小值m0．(2)設(shè)G*是使m(G*)=m0的一個(gè)圖案，若G*中的線段(指以P的點(diǎn)為端點(diǎn)的線段)用4種