1989年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及詳細(xì)解析

一．選擇題(本題滿分30分，每小題5分)：1．若A、B是銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，則復(fù)數(shù)z=(cosB－sinA)+i(sinB－cosA)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限2．函數(shù)f(x)=arctanx+eq\f(1,2)arcsinx的值域是()A．(－π，π)B．[－eq\f(3,4)π，eq\f(3,4)π]C．(－eq\f(3,4)π，eq\f(3,4)π)D．[－eq\f(1,2)π，eq\f(1,2)π]三．填空題(本題滿分30分，每小題5分)1．若logaeq\r(2)<1，則a的取值范圍是．2．已知直線l：2x+y=10，過(guò)點(diǎn)(－10，0)作直線l⊥l，則l與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為．3．設(shè)函數(shù)f0(x)=|x|，f1(x)=|f0(x)－1|，f2(x)=|f1(x)－2|，則函數(shù)y=f2(x)的圖象與x軸所圍成圖形中的封閉部分的面積是.4．一個(gè)正數(shù)，若其小數(shù)部分、整數(shù)部分和其自身成等比數(shù)列，則該數(shù)為．5．如果從數(shù)1，2，3，…，14中，按由小到大的順序取出a1，a2，a3，使同時(shí)滿足a2－a1≥3，與a3－a2≥3，那么，所有符合上述要求的不同取法有種．6．當(dāng)s和t取遍所有實(shí)數(shù)時(shí)，則(s+5－3|cost|)2+(s－2|sint|)2所能達(dá)到的最小值為．三．(本題滿分20分)已知a1，a2，…，an是n個(gè)正數(shù)，滿足a1?a2?…?an=1．求證：(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n．四．(本題滿分20分)已知正三棱錐S—ABC的高SO=3，底面邊長(zhǎng)為6，過(guò)點(diǎn)A向其所對(duì)側(cè)面SBC作垂線，垂足為O，在AO上取一點(diǎn)P，使eq\f(AP,PO)=8，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且平行于底面的截面的面積．五．(本題滿分20分)已知：對(duì)任意的n∈N*，有an>0，且eq\s\do4(\o(\s\up12(n),Σ,\s\do6(j=1)))aeq\a(3,j)=(eq\s\do4(\o(\s\up12(n),Σ,\s\do6(j=1)))aj)2．求證：an=n．三．(本題滿分35分)有n×n（n≥4)的一張空白方格表，在它的每一個(gè)方格內(nèi)任意的填入+1與-1這兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)，現(xiàn)將表內(nèi)n個(gè)兩兩既不同行(橫)又不同列(豎)的方格中的數(shù)的乘積稱為一個(gè)基本項(xiàng)．試證明：按上述方式所填成的每一個(gè)方格表，它的全部基本項(xiàng)之和總能被4整除（即總能表示成4k的形式，其中k∈Z）．

1989年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答第一試一．選擇題(本題滿分30分，每小題5分)：1．若A、B是銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，則復(fù)數(shù)z=(cosB－sinA)+i(sinB－cosA)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】B【解析】0°<A、B<90°<A+B<180°．故90°>A>90°－B>0°，sinA>cosB，cosA<sinB．故cosB－sinA<0，sinB－cosA>0．點(diǎn)Z位于第二象限．選B3．對(duì)任意的函數(shù)y=f(x)，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=f(x－l)與函數(shù)y=f(－x+l)的圖象恒()A．關(guān)于x軸對(duì)稱B．關(guān)于直線x=l對(duì)稱C．關(guān)于直線x=－l對(duì)稱D．關(guān)于y軸對(duì)稱【答案】B【解析】令x－1=t，則得f(t)=f(－t)，即f(t)關(guān)于t=0對(duì)稱，即此二圖象關(guān)于x=1對(duì)稱．選B5．若M={z|z=eq\f(t,1+t)+ieq\f(1+t,t)，t∈R，t≠－1，t≠0}，N={z|z=eq\r(2)[cos(arcsint)+icos(arccost)]，t∈R，|t|≤1}．則M∩N中元素的個(gè)數(shù)為A．0B．1C．2D．4【答案】A【解析】M的圖象為雙曲線xy=1(x≠0，x≠1)N的圖象為x2+y2=2(x≥0)，二者無(wú)公共點(diǎn)．選A．三．填空題(本題滿分30分，每小題5分)1．若logaeq\r(2)<1，則a的取值范圍是．【答案】(0，1)∪(eq\r(2)，+∞)【解析】若0<a<1，則logaeq\r(2)<0，若a>1，則得a>eq\r(2)．故填(0，1)∪(eq\r(2)，+∞)2．已知直線l：2x+y=10，過(guò)點(diǎn)(－10，0)作直線l⊥l，則l與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】（2，6）【解析】直線l方程為(x+10)－2y=0，解得交點(diǎn)為(2，6)．3．設(shè)函數(shù)f0(x)=|x|，f1(x)=|f0(x)－1|，f2(x)=|f1(x)－2|，則函數(shù)y=f2(x)的圖象與x軸所圍成圖形中的封閉部分的面積是.但n∈N*，故n=1，得，α2+α－1=0，∴=eq\f(－1±eq\r(5),2)，由α>0，知，=eq\f(－1+\r(5),2)．∴原數(shù)為eq\f(－1+\r(5),2)．5．如果從數(shù)1，2，3，…，14中，按由小到大的順序取出a1，a2，a3，使同時(shí)滿足a2－a1≥3，與a3－a2≥3，那么，所有符合上述要求的不同取法有種．【答案】120【解析】令a1=a1，a2=a2－2，a3=a3－4，則得1≤a1<a2<a3≤10．所求取法為Ceq\a(3,10)=120．三．(本題滿分20分)已知a1，a2，…，an是n個(gè)正數(shù)，滿足a1?a2?…?an=1．求證：(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n．a(chǎn)1a2+a1a3+…+an－1an≥Ceq\a(2,n)eq\r(Ceq\a(2,n),(a1a2…an)n－1)=Ceq\a(2,n)，……，∴(2+a1)(2+a2)…(2+an)=2n+(a1+a2+…+an)2n－1+(a1a2+a1a3+…+an－1an)2n－2+…+a1a2…an≥2n+Ceq\a(1,n)2n－1+Ceq\a(2,n)2n－2+…+Ceq\a(1,n)=(2+1)n=3n．四．(本題滿分20分)已知正三棱錐S—ABC的高SO=3，底面邊長(zhǎng)為6，過(guò)點(diǎn)A向其所對(duì)側(cè)面SBC作垂線，垂足為O，在AO上取一點(diǎn)P，使eq\f(AP,PO)=8，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且平行于底面的截面的面積．五．(本題滿分20分)已知：對(duì)任意的n∈N*，有an>0，且eq\s\do4(\o(\s\up12(n),Σ,\s\do6(j=1)))aeq\a(3,j)=(eq\s\do4(\o(\s\up12(n),Σ,\s\do6(j=1)))aj)2．求證：an=n．【解析】證明：由已知，a13=a12，a1>0，∴a1=1．設(shè)n≤k(k∈N，且k≥1)時(shí)，由eq\s\do4(\o(\s\up12(n),Σ,\s\do6(j=1)))aeq\a(3,j)=(eq\s\do4(\o(\s\up12(n),Σ,\s\do6(j=1)))aj)2成立可證ak=k成立．當(dāng)n=k+1時(shí)，eq\s\do4(\o(\s\up12(k+1),Σ,\s\do6(j=1)))aeq\a(3,j)=(eq\s\do4(\o(\s\up12(k+1),Σ,\s\do6(j=1)))aj)2=(eq\s\do4(\o(\s\up12(k),Σ,\s\do6(j=1)))aj)2+2ak+1(eq\s\do4(\o(\s\up12(k),Σ,\s\do6(j=1)))aj)+aeq\a(2,k+1)．即eq\f(1,4)k2(k+1)2+aeq\a(3,k+1)=eq\f(1,4)k2(k+1)2+2ak+1·eq\f(1,2)k(k+1)+aeq\a(2,k+1)．∴aeq\a(2,k+1)－ak+1－k(k+1)=0，解此方程，得ak+1=－k或ak+1=k+1．由an>0知，只有ak+1=k+1成立．即n=k+1時(shí)命題也成立．由數(shù)學(xué)歸納原理知對(duì)于一切n∈N*，an=n成立．

第二試一．(本題滿分35分)已知在ΔABC中，AB>AC，A的一個(gè)外角的平分線交ΔABC的外接圓于點(diǎn)E，過(guò)E作EF⊥AB，垂足為F．求證2AF=AB-AC．【解析】證明：在FB上取FG=AF，連EG、EC、EB，于是ΔAEG為等腰三角形，∴EG=EA．又3=180－EGA=180－EAG=180－5=4．1=2．于是ΔEGB≌ΔEAC．∴BG=AC，故證二．已知xi∈R(i=1，2，…，n；n≥2)，滿足eq\s\do4(\o(\s\up12(n),Σ,\s\do6(i=1)))|xi|=1，eq\s\do4(\o(\s\up12(n),Σ,\s\do6(i=1)))xi=0，求證：eq\b\bc\|(eq\s\do4(\o(\s\up15(n),Σ,\s\do6(i=1)))\f(xi,i))≤eq\f(1,2)－eq\f(1,2n)．三．有n×n（n≥4)的一張空白方格表，在它的每一個(gè)方格內(nèi)任意的填入+1與-1這兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)，現(xiàn)將表內(nèi)n個(gè)兩