北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊 專題1.6 解直角三角形（知識講解）下冊基

專題1.6解直角三角形（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解解直角三角形的含義，會綜合運用平面幾何中有關(guān)直角三角形的知識和銳角三角函數(shù)的定義解直角三角形；2．會運用有關(guān)解直角三角形的知識解決實際生活中存在的解直角三角形問題．

【要點梳理】要點一、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5個元素，即三條邊和兩個銳角.

設(shè)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則有：

①三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理).

②銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°.

③邊角之間的關(guān)系：

，，，

，，.

④，h為斜邊上的高.

要點詮釋：

(1)直角三角形中有一個元素為定值(直角為90°)，是已知值.

(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).

(3)對這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.

要點二、解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC

兩

邊兩直角邊(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

邊

一

角一直角邊

和一銳角銳角、鄰邊

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，銳角、對邊

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，要點詮釋：

1．在遇到解直角三角形的實際問題時，最好是先畫出一個直角三角形的草圖，按題意標(biāo)明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對邊和鄰邊的順序進行計算.

2．若題中無特殊說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個條件為邊.

【典型例題】類型一、解直角三角形1．在△ABC中，∠C＝90°．（1）已知：c＝8，∠A＝60°，求∠B及a，b的值；（2）已知：a＝3，c＝6，求∠A，∠B及b的值．【答案】（1）∠B＝30°，a＝12，b＝4；（2）∠A＝∠B＝45°，b＝3【分析】（1）先求出∠B的度數(shù)，再結(jié)合三角函數(shù)可以求出a、b的值；（2）先由勾股定理求出b的值，然后求出∠A、∠B的度數(shù)即可．解：（1）∵∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=30°，∵c=8，∴a=c·sin60°=8×=12，b=c·cos60°=8×=4；（2）∵a＝3，c＝6，∴b=3，∴b=a，∴∠A=∠B=45°．【點撥】熟練掌握銳角三角函數(shù)的應(yīng)用．舉一反三：【變式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，a＝2，解這個直角三角形．【答案】b＝2，∠B＝30°，∠A＝60°．【分析】利用勾股定理可求出b＝2，結(jié)合c＝4可得出b＝c，進而可得出∠B＝30°，∠A＝60°．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，a＝2，∴b＝＝2，∴b＝c，∴∠B＝30°，∠A＝60°．【點撥】本題考查了解直角三角形以及勾股定理，利用勾股定理求出b值，找出b＝c是解題的關(guān)鍵．【變式2】.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點P在AB上，點Q在DC的延長線上，連接DP，QP，且∠APD=∠QPD，PQ交BC于點G．（1）求證：DQ=PQ；（2）當(dāng)tan∠APD=時，求：①CQ的長；②BG的長．【答案】（1）見解析；（2）①CQ=；②BG=．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠APD=∠QDP．等量代換得到∠QPD=∠QDP，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）①過Q作QE⊥PD于E，解直角三角形得到AP=1.5，根據(jù)勾股定理得到PD=，DQ=，于是得到結(jié)論；②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論．解：（1）證明：∵四邊形ABDF是正方形，∴AB∥CD，∴∠APD=∠QDP．∵∠APD=∠QPD，∴∠QPD=∠QDP，∴DQ=PQ；（2）解：①過Q作QE⊥PD于E，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=90°，∵tan∠APD=，AD=2，∴AP=1.5，∴PD==，∵DQ=PQ，∴DE=PE=，∵∠APD=∠QPD，∴tan∠APD==tan∠QPD=，∴QE=，∴DQ==，∴CQ=DQ-CD=；②∵AB=2，AP=1.5，∴PB=，∵CQ∥PB，∴△CQG∽△BPG，∴=，∴=，∴BG=．故答案為：（1）見解析；（2）①CQ=；②BG=．【點撥】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】圖1是一輛在平地上滑行的滑板車，圖2是其示意圖．已知車桿長，車桿與腳踏板所成的角，前后輪子的半徑均為，求把手離地面的高度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位；參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】92.5【分析】過點作于點，延長交地面于點，利用即可進行求解.解：過點作于點，延長交地面于點，∵，∴，∵，∴，∴把手離地面的高度為.【點撥】此題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形構(gòu)造直角三角形進行求解.類型二、解非直角三角形2．某校綜合實踐小組要對一幢建筑物的高度進行測量.如圖，該小組在一斜坡坡腳處測得該建筑物頂端的仰角為，沿斜坡向上走到達處，（即）測得該建筑物頂端的仰角為.已知斜坡的坡度，請你計算建筑物的高度（即的長，結(jié)果保留根號）.【答案】建筑物的高度為.【分析】過點作，根據(jù)坡度的定義求出AB，BD,AD，再利用三角函數(shù)的定義列出方程求解.解：過點作，垂足為.過點作，垂足為.∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，，.∵，∴，∴設(shè)，，∴，∴，∴，.根據(jù)題意，，，在中，設(shè)，∵，∴，∴，∴，在中，∵，.又∵，∴，解得，∴.答：建筑物的高度為.【點撥】此題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟知三角函數(shù)的定義.舉一反三：【變式1】如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=4，CD=8．（1）求∠ADC的度數(shù)；（2）求四邊形ABCD的面積．【答案】(1)150°；(2)【分析】（1）連接BD，首先證明△ABD是等邊三角形，可得∠ADB=60°，DB=4，再利用勾股定理逆定理證明△BDC是直角三角形，進而可得答案；（2）過B作BE⊥AD，利用三角形函數(shù)計算出BE長，再利用△ABD的面積加上△BDC的面積可得四邊形ABCD的面積．解：（1）連接BD，∵AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ADB=60°，DB=4，∵42+82=（4）2，∴DB2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=60°+90°=150°；（2）過B作BE⊥AD，∵∠A=60°，AB=4，∴BE=AB?sin60°=4×=2，∴四邊形ABCD的面積為：AD?EB+DB?CD=×4×2+×4×8=4+16．【變式2】.如圖，△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的長.【答案】2+2【解析】本題注意考查的就是利用三角函數(shù)解直角三角形，過點C作CD⊥AB于D點，然后分別根據(jù)Rt△ADC中∠A的正弦、余弦值和Rt△CDB中∠B的正切值得出AD和BD的長度，從而得出AB的長度.試題解析：過點C作CD⊥AB于D點，在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=4，∴CD=AC=×4=2，∴AD=，在Rt△CDB中，∠B=45°，CD=2，∴CD=DB=2，∴AB=AD+DB=2+2．【變式3】如圖所示，A、B兩地之間有一條河，原來從A地到B地需要經(jīng)過橋DC，沿折線A→D→C→B到達，現(xiàn)在新建了橋EF（EF=DC），可直接沿直線AB從A地到達B地，已知BC=12km，∠A=45°，∠B=30°，橋DC和AB平行．（1）求橋DC與直線AB的距離；（2）現(xiàn)在從A地到達B地可比原來少走多少路程？（以上兩問中的結(jié)果均精確到0.1km，參考數(shù)據(jù)：≈1.14，≈1.73）【答案】（1）橋DC與直線AB的距離是6.0km；（2）現(xiàn)在從A地到達B地可比原來少走的路程是4.1km．【分析】(1)過C向AB作垂線構(gòu)建三角形，求出垂線段的長度即可；(2)過點D向AB作垂線，然后根據(jù)解三角形求出AD，CB的長，進而求出現(xiàn)在從A地到達B地可比原來少走的路程.解：（1）作CH⊥AB于點H，如圖所示，∵BC=12km，∠B=30°，∴km，BH=km，即橋DC與直線AB的距離是6.0km；（2）作DM⊥AB于點M，如圖所示，∵橋DC和AB平行，CH=6km，∴DM=CH=6km，∵∠DMA=90°，∠B=45°，MH=EF=DC，∴AD=km，AM=DM=6km，∴現(xiàn)在從A地到達B地可比原來少走的路程是：（AD+DC+BC）﹣（AM+MH+BH）=AD+DC+BC﹣AM﹣MH﹣BH=AD+BC﹣AM﹣BH=km，即現(xiàn)在從A地到達B地可比原來少走的路程是4.1km．【點撥】做輔助線，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)邊角關(guān)系解三角形，是解答本題的關(guān)鍵.類型三、構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積3．如圖，AB是長為10m，傾斜角為30°的自動扶梯，平臺BD與大樓CE垂直，且與扶梯AB的長度相等，在B處測得大樓頂部C的仰角為65°，求大樓CE的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin65°＝0.90，tan65°＝2.14）【答案】大樓CE的高度是26m．【分析】作BF⊥AE于點F,根據(jù)三角函數(shù)的定義及解直角三角形的方法求出BF、CD即可.解：作BF⊥AE于點F．則BF＝DE．在直角△ABF中，sin∠BAF＝，則BF＝AB?sin∠BAF＝10×＝5（m）．在直角△CDB中，tan∠CBD＝，則CD＝BD?tan65°＝10×2.14=21.4（m）．則CE＝DE+CD＝BF+CD＝5+21.4≈26（m）．答：大樓CE的高度是26m．【點撥】此題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟知三角函數(shù)的定義與性質(zhì).舉一反三：【變式1】問題背景：在△ABC中，AB，BC，AC三邊的長分別為，，，求此三角形的面積．小輝同學(xué)在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長為1)，再在網(wǎng)格中畫出格點△ABC(即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處)，如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積．(1)請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上：________.思維拓展：(2)我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法．如果△ABC三邊的長分別為a，a，a(a＞0)，請利用圖②的正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長為a)畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積．探索創(chuàng)新：(3)若△ABC三邊的長分別為，，(m＞0，n＞0，且m≠n)，試運用構(gòu)圖法畫出示意圖并求出這三角形的面積．【答案】（1）；（2）3a2；（3）7mn【分析】（1）的面積；（2）是直角邊長為，的直角三角形的斜邊；是直角邊長為，的直角三角形的斜邊；是直角邊長為，的直角三角形的斜邊，把它整理為一個矩形的面積減去三個直角三角形的面積；（3）結(jié)合（1），（2）易得此三角形的三邊分別是直角邊長為，的直角三角形的斜邊；直角邊長為，的直角三角形的斜邊；直角邊長為，的直角三角形的斜邊.同樣把它整理為一個矩形的面積減去三個直角三角形的面積.解：(1)；故答案為；(2)如圖1，在邊長為a的正方形網(wǎng)格中，△ABC即為所求作三角形，S△ABC＝2a×4a－×2a×2a－×2a×a－×4a×a＝3a2(3)如圖2，在每個小長方形的長為m、寬為n的網(wǎng)格中，△ABC即為所求作三角形，其中AB＝、AC＝、BC＝，S△ABC＝4m×4n－×m×4n－×3m×2n－×4m×2n＝7mn.【點撥】此題主要考查了勾股定理應(yīng)用、利用了數(shù)形綜合的思想，通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解是解題關(guān)鍵.關(guān)鍵是結(jié)合網(wǎng)格用矩形及容易求得面積的直角三角形表示出所求三角形的面積進行解答.【變式2】.數(shù)學(xué)課外實踐活動中，小林在校園內(nèi)選擇°了道路上的A、B兩點處，利用測角儀對教學(xué)樓的樓頂D處進行了測量，如圖，測得∠DAC=45°，∠DBC=60°,AB=10米，求樓頂D處到道路AC的距離約為多少米？(結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，)【答案】樓頂D處到道路AC的距離約為23.7米.【解析】【分析】作輔助線,在Rt△BDE中利用三角函數(shù)值求出DE的長即可解題解：如圖，過點D作DE⊥AC，垂足為E，設(shè)，則，∴EB=x-10,在Rt△BDE中，DE=tan60°==,解方程并檢驗得：DE=x=15+5,答：樓頂處到道路的距離約為23.7米.【點撥】本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用,屬于簡單題,選用簡單的角表示DE是解題關(guān)鍵.【變式3】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC邊上一點，∠BAD＝45°，AC＝3，AB＝，求BD的長．【答案】BD的長是5．【分析】過D作DE⊥AB于點E，設(shè)DE＝a，用a表示出AE、BE，在Rt△ABC和Rt△B