專題12 圓的有關(guān)性質(zhì)與計(jì)算【有答案】

決勝2021中考數(shù)學(xué)壓軸題全揭秘精品專題12 圓的有關(guān)性質(zhì)與計(jì)算【考點(diǎn)1】垂徑定理【例1】（2020·廣東廣州·中考真題）往直徑為的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，則水的最大深度為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，根據(jù)垂徑定理即可求得AD的長(zhǎng)，又由⊙O的直徑為，求得OA的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理，即可求得OD的長(zhǎng)，進(jìn)而求得油的最大深度的長(zhǎng)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，由垂徑定理得：，∵⊙O的直徑為，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴油的最大深度為，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理的知識(shí)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意輔助線的作法，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決．【變式1-1】（2020·浙江湖州·中考真題）如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，則CD與AB之間的距離是_____．【答案】3【分析】過(guò)點(diǎn)O作OH⊥CD于H，連接OC，先利用垂徑定理得到CH=4，然后在Rt△OCH中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥CD于H，連接OC，如圖，則CH＝DH＝CD＝4，在Rt△OCH中，OH＝＝3，所以CD與AB之間的距離是3．故答案為3．【點(diǎn)睛】此題主要考查垂徑定理和勾股定理，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（2020·江蘇南通·中考真題）已知⊙O的半徑為13cm，弦AB的長(zhǎng)為10cm，則圓心O到AB的距離為_____cm．【答案】12【分析】如圖，作OC⊥AB于C，連接OA，根據(jù)垂徑定理得到AC=BC=AB=5，然后利用勾股定理計(jì)算OC的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖，作OC⊥AB于C，連接OA，則AC＝BC＝AB＝5，在Rt△OAC中，OC＝＝12，所以圓心O到AB的距離為12cm．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。究键c(diǎn)2】弧、弦、圓心角之間的關(guān)系【例2】（2019·四川自貢中考真題）如圖，⊙中，弦與相交于點(diǎn),,連接.求證：⑴；⑵.【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】【分析】（1）由AB=CD知，即，據(jù)此可得答案；（2）由知AD=BC，結(jié)合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可證△ADE≌△CBE，從而得出答案．【詳解】證明（1）∵AB=CD，∴，即，∴；（2）∵，∴AD=BC，又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE=CE．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓心角、弧、弦三者的關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．【變式2-1】（2018·黑龍江中考真題）如圖，在⊙O中，AB=【答案】證明見解析【解析】【分析】延長(zhǎng)AD交⊙O于E,可得、AB=AE，可得出結(jié)論.【詳解】延長(zhǎng)AD交⊙O于E，∵OC⊥AD，∴，AE=2AD，∵，∴，∴AB=AE，∴AB=2AD．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理及弧、弦、圓心角之間的關(guān)系，靈活做輔助線是解本題的關(guān)鍵.【變式2-2】（2019·江蘇中考真題）如圖，⊙O的弦AB、CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，且AB＝CD．求證PA＝PC．【答案】見解析.【解析】【分析】連接AC，由圓心角、弧、弦的關(guān)系得出，進(jìn)而得出，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等得出∠C＝∠A，根據(jù)等角對(duì)等邊證得結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接.∵，∴.∴，即.∴.∴.【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，等腰三角形的判定等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)3】圓周角定理及其推論【例3】（2020·山東青島·中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)，在上，，交于點(diǎn)．若．則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)圓周角定理得到∠，再根據(jù)等弧所對(duì)的弦相等，得到，∠，最后根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，得到∠CAD=，∠BAG=，即可求解．【詳解】解：∵是的直徑∴∠∵∴∴∠∵∴∠∴∠∴∠故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查圓周角定理和弧、弦及圓周角之間的關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A周角定理和三者之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式3-1】（2020·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖，是⊙O的直徑，點(diǎn)、在⊙O上，，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍得到∠BOC=2∠BDC=40°，即可求出答案.【詳解】∵,∴∠BOC=2∠BDC=40°，∴∠AOC=180°-∠BOC=140°，故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理：同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍，鄰補(bǔ)角的定義.【變式3-2】（2020·遼寧鞍山·中考真題）如圖，是的外接圓，半徑為，若，則的度數(shù)為（）A．30° B．25° C．15° D．10°【答案】A【分析】連接OB和OC，證明△OBC為等邊三角形，得到∠BOC的度數(shù)，再利用圓周角定理得出∠A．【詳解】解：連接OB和OC，∵圓O半徑為2，BC=2，∴△OBC為等邊三角形，∴∠BOC=60°，∴∠A=30°，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理和等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線．【考點(diǎn)4】圓內(nèi)接四邊形【例4】（2020·河北中考真題）有一題目：“已知；點(diǎn)為的外心，，求．”嘉嘉的解答為：畫以及它的外接圓，連接，，如圖．由，得．而淇淇說(shuō)：“嘉嘉考慮的不周全，還應(yīng)有另一個(gè)不同的值．”，下列判斷正確的是（）A．淇淇說(shuō)的對(duì)，且的另一個(gè)值是115°B．淇淇說(shuō)的不對(duì)，就得65°C．嘉嘉求的結(jié)果不對(duì)，應(yīng)得50°D．兩人都不對(duì)，應(yīng)有3個(gè)不同值【答案】A【分析】直接利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理得出答案．【詳解】解：如圖所示：∵∠BOC=130°，∴∠A=65°，∠A還應(yīng)有另一個(gè)不同的值∠A′與∠A互補(bǔ)．故∠A′＝180°?65°＝115°．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的外接圓，正確分類討論是解題關(guān)鍵．【變式4-1】（2020·遼寧營(yíng)口·中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C，點(diǎn)D是⊙O上的兩點(diǎn)，連接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．110° B．130° C．140° D．160°【答案】B【分析】連接BC，如圖，利用圓周角定理得到∠ACB＝90°，則∠B＝50°，然后利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求∠ADC的度數(shù)．【詳解】解：如圖，連接BC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．【變式4-2】（2020·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，連接．若，，則的度數(shù)是（）A．125° B．130° C．135° D．140°【答案】B【分析】連接OA，OB，OC，根據(jù)圓周角定理得出∠BOC=100°，再根據(jù)得到∠AOC，從而得到∠ABC，最后利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到結(jié)果.【詳解】解：連接OA，OB，OC，∵，∴∠BOC=2∠BDC=100°，∵，∴∠BOC=∠AOC=100°，∴∠ABC=∠AOC=50°，∴∠ADC=180°-∠ABC=130°.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于畫出半徑，構(gòu)造圓心角.【考點(diǎn)5】正多邊形和圓【例5】（2020·四川中考真題）半徑為R的圓內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距分別為a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)bc B．bac C．a(chǎn)cb D．cba【答案】A【分析】分別畫出符合題意的圖形，利用直角三角形利用三角函數(shù)求解邊心距，再比較大小即可．【詳解】解：設(shè)圓的半徑為R，如圖，由為圓內(nèi)接正三角形，則正三角形的邊心距為a＝R×cos60°＝R．如圖，四邊形為圓的內(nèi)接正方形，四邊形的邊心距為b＝R×cos45°＝R，如圖，六邊形為圓的正內(nèi)接六邊形，正六邊形的邊心距為c＝R×cos30°＝R．∵RRR，∴＜b＜，故選：．【分析】本題主要考查了正多邊形和圓的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，得到用半徑表示的邊心距；注意：正多邊形的計(jì)算一般要轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題來(lái)解決．【變式5-1】（2020·湖南株洲·中考真題）據(jù)《漢書律歷志》記載：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中國(guó)古代的一種量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是說(shuō)：“斛的底面為：正方形的外接一個(gè)圓，此圓外是一個(gè)同心圓”，如圖所示．問題：現(xiàn)有一斛，其底面的外圓直徑為兩尺五寸（即2.5尺），“庣旁”為兩寸五分（即兩同心圓的外圓與內(nèi)圓的半徑之差為0.25尺），則此斛底面的正方形的周長(zhǎng)為________尺．（結(jié)果用最簡(jiǎn)根式表示）【答案】【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)確定△CDE為等腰直角三角形，CE為直徑，根據(jù)題意求出正方形外接圓的直徑CE，求出CD，問題得解．【詳解】解：∵四邊形CDEF為正方形，∴∠D=90°，CD=DE，∴CE為直徑，=45°，由題意得AB=2.5，∴CE=2.5-0.25×2=2，∴CD=CE，∴=45°，∴正方形CDEF周長(zhǎng)為尺．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正方形外接圓的性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，解題關(guān)鍵是判斷出正方形對(duì)角線為其外接圓直徑．【變式5-2】（2019·陜西中考真題）若正六邊形的邊長(zhǎng)為3，則其較長(zhǎng)的一條對(duì)角線長(zhǎng)為___.【答案】6.【解析】【分析】根據(jù)正六邊形的半徑就是其外接圓半徑，則最長(zhǎng)的對(duì)角線就是外接圓的直徑，據(jù)此進(jìn)行求解即可.【詳解】正六邊形的中心角為=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OB=AB=3，∴BE=2OB=6，即正六邊形最長(zhǎng)的對(duì)角線為6，故答案為：6.【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，正確把握正六邊形的中心角、半徑與正六邊形的最長(zhǎng)對(duì)角線的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)6】弧長(zhǎng)和扇形的面積計(jì)算（含陰影部分面積計(jì)算）【例6】（2020·湖北黃石·中考真題）如圖，在的方格紙中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，其中A、B、C為格點(diǎn)，作的外接圓，則的長(zhǎng)等于_____．【答案】【分析】由AB、BC、AC長(zhǎng)可推導(dǎo)出△ACB為等腰直角三角形，連接OC，得出∠BOC＝90°，計(jì)算出OB的長(zhǎng)就能利用弧長(zhǎng)公式求出的長(zhǎng)了．【詳解】∵每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，∴AB＝2，AC＝，BC＝，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ACB為等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∴連接OC，則∠COB＝90°，∵OB＝∴的長(zhǎng)為：＝故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算以及圓周角定理，解題關(guān)鍵是利用三角形三邊長(zhǎng)通過(guò)勾股定理逆定理得出△ACB為等腰直角三角形．【變式6-1】（2020·湖北恩施·中考真題）如圖，已知半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧交于點(diǎn)，連接．若，則圖中陰影部分的面積為______．（結(jié)果不取近似值）【答案】【分析】根據(jù)60°特殊角求出AC和BC,再算出△ABC的面積,根據(jù)扇形面積公式求出扇形的面積,再用三角形的面積減去扇形面積即可．【詳解】∵AB是直徑,∴∠ACB=90°,∠ABC=60°,∴BC=,AC=,∴,由以上可知∠CAB=30°,∴扇形ACD的面積=,∴陰影部分的面積為．故答案為:．【點(diǎn)睛】本題考查圓和扇形面積的結(jié)合,關(guān)鍵在于利用圓周角的性質(zhì)找到直角三角形并結(jié)合扇形面積公式解出．【變式6-2】（2020·山東濰坊·中考真題）如圖，為的直徑，射線交于點(diǎn)F，點(diǎn)C為劣弧的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為E，連接．（1）求證：是的切線；（2）若，求陰影部分的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）連接BF，證明BF//CE，連接OC，證明OC⊥CE即可得到結(jié)論；（2）連接OF，求出扇形FOC的面積即可得到陰影部分的面積．【詳解】（1）連接，是的直徑，，即，，連接，∵點(diǎn)C為劣弧的中點(diǎn)，，∵，∵OC是的半徑，∴CE是的切線；（2）連接，，∵點(diǎn)C為劣弧的中點(diǎn)，，，，，∴S扇形FOC=，即陰影部分的面積為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定以及扇形面積的求法，熟練掌握切線的判定定理以及扇形面積的求法是解答此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)7】與圓錐有關(guān)的計(jì)算【例7】（2019·湖南中考真題）如圖，在等腰中，，AD是的角平分線，且，以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧EF，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，（1）求由弧EF及線段FC、CB、BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積；（2）將陰影部分剪掉，余下扇形AEF，將扇形AEF圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，AE與AF正好重合，圓錐側(cè)面無(wú)重疊，求這個(gè)圓錐的高h(yuǎn)．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)得到，，則可計(jì)算出，然后利用扇形的面積公式，利用由弧EF及線段FC、CB、BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積進(jìn)行計(jì)算；（2）設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和弧長(zhǎng)公式得到，解得，然后利用勾股定理計(jì)算這個(gè)圓錐的高h(yuǎn)．【詳解】∵在等腰中，，∴，∵AD是的角平分線，∴，，∴，∴，∴由弧EF及線段FC、CB、BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積.（2）設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)題意得，解得，這個(gè)圓錐的高．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和扇形的面積公式．【變式7-1】（2020·新疆中考真題）如圖，圓的半徑是2，扇形BAC的圓心角為60°，若將扇形BAC剪下，圍成一個(gè)圓錐，則此圓錐的底面圓的半徑為_____．【答案】【分析】由題意根據(jù)圓的半徑為2，那么過(guò)圓心向AC引垂線，利用相應(yīng)的三角函數(shù)可得AC的一半的長(zhǎng)度，進(jìn)而求得AC的長(zhǎng)度，利用弧長(zhǎng)公式可求得弧BC的長(zhǎng)度，圓錐的底面圓的半徑=圓錐的弧長(zhǎng)÷2π進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：作OD⊥AC于點(diǎn)D，連接OA，∴∠OAD=30°，AC=2AD，∴AC=2OA×cos30°=2，∴，∴圓錐的底面圓的半徑．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的計(jì)算；注意掌握?qǐng)A錐的側(cè)面展開圖弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)；解題的關(guān)鍵是得到扇形的半徑．【變式7-2】（2020·遼寧營(yíng)口·中考真題）一個(gè)圓錐的底面半徑為3，高為4，則此圓錐的側(cè)面積為_____．【答案】15π【分析】首先根據(jù)底面半徑和高利用勾股定理求得母線長(zhǎng)，然后直接利用圓錐的側(cè)面積公式代入求出即可．【詳解】解：∵圓錐的底面半徑為3，高為4，∴母線長(zhǎng)為5，∴圓錐的側(cè)面積為：πrl＝π×3×5＝15π，故答案為：15π【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的側(cè)面積,關(guān)鍵在于熟知圓錐的展開面是扇形,利用扇形面積公式求解.【變式7-3】（2020·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，在正六邊形ABCDEF中，分別以C，F(xiàn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑作弧，圖中陰影部分的面積為24π，則正六邊形的邊長(zhǎng)為_____．【答案】6【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出扇形的圓心角，然后按扇形面積公式列方程求解計(jì)算即可．【詳解】解：∵正六邊形的內(nèi)角是120度，陰影部分的面積為24π，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為r，∴，解得r＝6．（負(fù)根舍去）則正六邊形的邊長(zhǎng)為6．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形與圓，扇形面積，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．1．（2020·山東淄博·中考真題）如圖，放置在直線l上的扇形OAB．由圖①滾動(dòng)（無(wú)滑動(dòng)）到圖②，再由圖②滾動(dòng)到圖③．若半徑OA＝2，∠AOB＝45°，則點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的最短路徑的長(zhǎng)是（）A．2π+2 B．3π C． D．+2【答案】C【詳解】利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【解答】解：如圖，點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)＝的長(zhǎng)+O1O2+的長(zhǎng)＝++＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．2．（2020·浙江紹興·中考真題）如圖．點(diǎn)A，B，C，D，E均在⊙O上．∠BAC＝15°，∠CED＝30°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．45° B．60° C．75° D．90°【答案】D【分析】首先連接BE,由圓周角定理即可得∠BEC的度數(shù)，繼而求得∠BED的度數(shù),然后由圓周角定理,求得∠BOD的度數(shù).【詳解】解：連接BE,∵∠BEC＝∠BAC＝15°,∠CED＝30°,∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝45°,∴∠BOD＝2∠BED＝90°.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理的應(yīng)用,做題的時(shí)候分清楚每一個(gè)角是解此類題的關(guān)鍵.3．（2020·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理得到∠AOB＝∠AOC，再根據(jù)圓周角定理解答．【詳解】連接OB，∵點(diǎn)B是的中點(diǎn)，∴∠AOB＝∠AOC＝60°，由圓周角定理得，∠D＝∠AOB＝30°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系定理、圓周角定理，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．4．（2020·湖北荊門·中考真題）如圖，中，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由垂徑定理都出，然后根據(jù)圓周角定理即可得出答案．【詳解】∵OC⊥AB，∴，∴∠APC=∠BOC，∵∠APC=28°，∴∠BOC=56°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和圓周角定理，得出是解題關(guān)鍵．5．（2020·云南中考真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓弧得到扇形（陰影部分，點(diǎn)在對(duì)角線上）．若扇形正好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑是（）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，扇形ADE中弧DE的長(zhǎng)即為圓錐底面圓的周長(zhǎng)，即通過(guò)計(jì)算弧DE的長(zhǎng)，再結(jié)合圓的周長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】∵正方形的邊長(zhǎng)為4∴∵是正方形的對(duì)角線∴∴∴圓錐底面周長(zhǎng)為，解得∴該圓錐的底面圓的半徑是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的弧長(zhǎng)公式，圓的周長(zhǎng)公式，正方形的性質(zhì)以及圓錐的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握弧長(zhǎng)公式及圓的周長(zhǎng)公式是解決本題的關(guān)鍵．6．（2020·山東日照·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，CD為⊙O的弦，AB⊥CD于點(diǎn)E，若CD＝6，AE＝9，則陰影部分的面積為（）A．6π﹣ B．12π﹣9 C．3π﹣ D．9【答案】A【分析】根據(jù)垂徑定理得出CE=DE=CD＝3，再利用勾股定理求得半徑，根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系得出∠EOD=60°，進(jìn)而結(jié)合扇形面積求出答案．【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，CD為⊙O的弦，AB⊥CD于點(diǎn)E，∴CE＝DE＝CD＝3．設(shè)⊙O的半徑為r，在直角△OED中，OD2＝OE2+DE2，即，解得，r＝6，∴OE＝3，∴cos∠BOD＝，∴∠EOD＝60°，∴，，根據(jù)圓的對(duì)稱性可得：∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理以及銳角三角函數(shù)和扇形面積求法等知識(shí)，正確得出∠EOD=60°是解題關(guān)鍵．7．（2020·浙江嘉興·中考真題）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為半徑作弧，分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長(zhǎng)為半徑作弧相交于點(diǎn)H，作射線AH；②分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交射線AH于點(diǎn)O；③以點(diǎn)O為圓心，線段OA長(zhǎng)為半徑作圓．則⊙O的半徑為（）A．2 B．10 C．4 D．5【答案】D【分析】如圖，設(shè)OA交BC于T．解直角三角形求出AT，再在Rt△OCT中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．【詳解】解：如圖，設(shè)OA交BC于T．∵AB＝AC＝2，AO平分∠BAC，∴AO⊥BC，BT＝TC＝4，∴AE＝，在Rt△OCT中，則有r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查作圖——復(fù)雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．8．（2020·山東聊城·中考真題）如圖，是的直徑，弦，垂足為點(diǎn)．連接，．如果，，那么圖中陰影部分的面積是（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)是的直徑，弦，由垂徑定理得，再根據(jù)證得，即可證明，即可得出．【詳解】解：是的直徑，弦，，．又在和中，，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定，扇形的面積，等積變換，解此題的關(guān)鍵是證出，從而將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OBC的面積，題目比較典型，難度適中．9．（2020·山東泰安·中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，，是直徑，，則的長(zhǎng)為（）

A．4 B． C． D．【答案】B【分析】連接BO，根據(jù)圓周角定理可得，再由圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)可得OB垂直平分AC，再根據(jù)正弦的定義求解即可．【詳解】如圖，連接OB，∵是的內(nèi)接三角形，∴OB垂直平分AC，∴，，又∵，∴，∴,又∵AD=8，∴AO=4，∴，解得：，∴．故答案選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)圓周角定理求角度是解題的關(guān)鍵．10．（2020·陜西中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A＝50°．E是邊BC的中點(diǎn)，連接OE并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，則∠D的大小為（）A．55° B．65° C．60° D．75°【答案】B【分析】連接CD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根據(jù)垂徑定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是邊BC的中點(diǎn)，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠ODB＝∠ODC＝∠BDC＝65°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)．正確理解題意是解題的關(guān)鍵．11．（2020·湖北黃石·中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、C在上，，垂足分別為D、E，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】在優(yōu)弧AB上取一點(diǎn)F，連接AF，BF，先根據(jù)四邊形內(nèi)角和求出∠O的值，再根據(jù)圓周角定理求出∠F的值，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：在優(yōu)弧AB上取一點(diǎn)F，連接AF，BF．∵，∴∠CDO=∠CEO=90°．∵，∴∠O=140°，∴∠F=70°，∴∠ACB=180°-70°=110°．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，圓周角定理，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．12．（2020·山東煙臺(tái)·中考真題）量角器測(cè)角度時(shí)擺放的位置如圖所示，在中，射線OC交邊AB于點(diǎn)D，則∠ADC的度數(shù)為（）A．60° B．70° C．80° D．85°【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵OA＝OB，∠AOB＝140°，∴∠A＝∠B＝(180°﹣140°)＝20°，∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．13．（2020·黑龍江鶴崗·中考真題）如圖，是的外接圓的直徑，若，則_____°．【答案】50【分析】根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．【詳解】∵是的外接圓的直徑，∴點(diǎn)，，，在上，∵，∴，故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．14．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）圓錐底面圓半徑為5，母線長(zhǎng)為6，則圓錐側(cè)面積等于_____．【答案】30π【分析】利用扇形的面積公式計(jì)算圓錐側(cè)面積．【詳解】解：圓錐側(cè)面積＝×2π×5×6＝30π．故答案為30π．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算．圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．15．（2020·云南昆明·中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為2cm的正六邊形螺帽，中心為點(diǎn)O，OA垂直平分邊CD，垂足為B，AB＝17cm，用扳手?jǐn)Q動(dòng)螺帽旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)A在該過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為_____cm．【答案】10π【分析】利用正六邊形的性質(zhì)求出OB的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到OA的長(zhǎng)度，根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：連接OD，OC．∵∠DOC＝60°，OD＝OC，∴△ODC是等邊三角形，∴OD＝OC＝DC＝（cm），∵OB⊥CD，∴BC＝BD＝（cm），∴OB＝BC＝3（cm），∵AB＝17cm，∴OA＝OB+AB＝20（cm），∴點(diǎn)A在該過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)＝＝10π（cm），故答案為：10π．

【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)及計(jì)算，扇形弧長(zhǎng)的計(jì)算，熟知以上計(jì)算是解題的關(guān)鍵．16．（2020·四川涼山·中考真題）如圖，點(diǎn)C、D分別是半圓AOB上的三等分點(diǎn)，若陰影部分的面積為，則半圓的半徑OA的長(zhǎng)為__________．【答案】【分析】如圖，連接證明再證明從而可以列方程求解半徑．【詳解】解：如圖，連接點(diǎn)C、D分別是半圓AOB上的三等分點(diǎn)，為等邊三角形，解得：（負(fù)根舍去），故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的圓的基本性質(zhì)，弧，弦，圓心角之間的關(guān)系，平行線的判定與性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．17．（2020·湖北隨州·中考真題）如圖，點(diǎn)，，在上，是的角平分線，若，則的度數(shù)為_____．【答案】30°【分析】根據(jù)圓周角定理求出，再由角平分線的性質(zhì)可得到結(jié)果；【詳解】∵，∴，又∵是的角平分線，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理的應(yīng)用，準(zhǔn)確運(yùn)用角平分線的性質(zhì)是解題的必要步驟．18．如圖，△ABC的外接圓O的半徑為3，∠C＝55°，則劣弧AB的長(zhǎng)是_____________．【答案】【分析】由圓周角定理可得∠AOB＝110°，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解．【詳解】解：∵∠C＝55°，∴∠AOB＝2∠C＝110°，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的弧長(zhǎng)問題，掌握?qǐng)A周角定理和弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．19．（2020·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，∠BCD＝30°，CD＝2，則陰影部分面積S陰影＝_____．【答案】【分析】連接OC．證明OC∥BD，推出S陰＝S扇形OBD即可解決問題．【詳解】解：連接OC．∵AB⊥CD，∴，CE＝DE＝，∴∠COD＝∠BOD，∵∠BOD＝2∠BCD＝60°，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB＝OD，∴△OBC，△OBD都是等邊三角形，∴OC＝BC＝BD＝OD，∴四邊形OCBD是菱形，∴OC//BD，∴S△BDC＝S△BOD，∴S陰＝S扇形OBD，∵OD＝＝2，∴S陰＝＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積，菱形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考常考題型．20．（2020·湖北中考真題）如圖，圓心角為的扇形內(nèi)，以為直徑作半圓，連接．若陰影部分的面積為，則______．【答案】2【分析】本題可利用扇形面積公式以及三角形面積公式，用大扇形面積減去空白部分面積求得陰影部分面積，繼而根據(jù)已知列方程求解．【詳解】將原圖區(qū)域劃分為四部分，陰影部分分別為S1，S2；兩塊空白分別為S3，S4，連接DC，如下圖所示：由已知得：三角形ABC為等腰直角三角形，S1+S2=π-1，∵BC為直徑，∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，故CD=DB=DA，∴D點(diǎn)為中點(diǎn)，由對(duì)稱性可知與弦CD圍成的面積與S3相等．設(shè)AC=BC=x，則，其中，，故：，求解得：（舍去）故答案：2．【點(diǎn)睛】本題考查幾何圖形面積的求法，常用割補(bǔ)法配合扇形面積公式以及三角形面積公式求解．21．（2020·浙江湖州·中考真題）如圖，已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AD是⊙O的直徑，連結(jié)BD，BC平分∠ABD．（1）求證：∠CAD=∠ABC；（2）若AD=6，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）π．【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理即可證明；（2）可證得=，則的長(zhǎng)為圓周長(zhǎng)的．【詳解】（1）證明：∵BC平分∠ABD，∴∠DBC=∠ABC，∵∠CAD=∠DBC，∴∠CAD=∠ABC；（2）解：∵∠CAD=∠ABC，∴=，∵AD是⊙O的直徑，且AD=6，∴的長(zhǎng)=×π×6=π．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)以及圓周角定理，證得=是解(2)題的關(guān)鍵．22．（2020·江蘇南京·中考真題）如圖，在中，，D是AB上一點(diǎn)，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C、D，交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作，交⊙O于點(diǎn)F，求證：（1）四邊形DBCF是平行四邊形（2）【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)證明，利用平行線證明，利用圓的性質(zhì)證明，再證明即可得到結(jié)論；（2）如圖，連接，利用平行線的性質(zhì)及圓的基本性質(zhì)，再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明，從而可得結(jié)論．【詳解】證明：（1），，，，又,四邊形是平行四邊形．（2）如圖，連接，四邊形是的內(nèi)接四邊形【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，圓的基本性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．23．（2020·創(chuàng)A教育揚(yáng)帆初中初三二模）如圖，AB是⊙O的直徑，C為圓周上一點(diǎn)，∠ABC＝30°，⊙O過(guò)點(diǎn)B的切線與CO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D．（1）∠CAB＝，∠BOD＝；（2）求證：△ABC≌△ODB．（3）若BD＝2，求弧BC的長(zhǎng)．【答案】（1）60°，60°；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角及∠ABC＝30°可知∠CAB＝60°，然后由圓周角定理可知∠AOC＝60°，再根據(jù)對(duì)頂角相等即可解答．（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AC＝OB，再由ASA定理即可求出△ABC≌△ODB．（3）由直角三角形的性質(zhì)求出OB＝2，由弧長(zhǎng)公式可得出答案．【詳解】（1）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，由∠ABC＝30°，∴∠CAB＝60°，又OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠BOD＝60°．故答案為：60°，60°．（2