5.3誘導(dǎo)公式6題型分類（原卷版）

一、角的對(duì)稱(1)角π＋α的終邊與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如圖(a)；(2)角－α的終邊與角α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，如圖(b)；(3)角π－α的終邊與角α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖(c)．二、誘導(dǎo)公式公式二sin(π＋α)＝－sinαcos(π＋α)＝－cosαtan(π＋α)＝tanα公式三sin(－α)＝－sinαcos(－α)＝cosαtan(－α)＝－tanα公式四sin(π－α)＝sinαcos(π－α)＝－cosαtan(π－α)＝－tanα(1)公式一、二、三、四都叫做誘導(dǎo)公式，它們可概括如下：①記憶方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，可以簡(jiǎn)單地說成“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”．②解釋：“函數(shù)名不變”是指等式兩邊的三角函數(shù)同名；“符號(hào)”是指等號(hào)右邊是正號(hào)還是負(fù)號(hào)；“看象限”是指假設(shè)α是銳角，要看原三角函數(shù)是取正值還是負(fù)值，如sin(π＋α)，若把α看成銳角，則π＋α在第三象限，正弦在第三象限取負(fù)值，故sin(π＋α)＝－sinα.(2)利用誘導(dǎo)公式一和三，還可以得到如下公式：sin(2π－α)＝－sinα，cos(2π－α)＝cosα，tan(2π－α)＝－tanα.三、誘導(dǎo)公式五、六(1)公式五、六中的角α是任意角．(2)誘導(dǎo)公式一～六中的角可歸納為k·eq\f(π,2)±α的形式，可概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”．①“變”與“不變”是針對(duì)互余關(guān)系的函數(shù)而言的．②“奇”“偶”是對(duì)誘導(dǎo)公式k·eq\f(π,2)±α中的整數(shù)k來講的．③“象限”指k·eq\f(π,2)±α中，將α看成銳角時(shí)，k·eq\f(π,2)±α所在的象限，根據(jù)“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符號(hào)規(guī)律確定原函數(shù)值的符號(hào)．(3)利用誘導(dǎo)公式五、六，結(jié)合誘導(dǎo)公式二，還可以推出如下公式：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－sinα，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sinα.（一）給角求值利用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值的步驟(1)“負(fù)化正”——用公式一或三來轉(zhuǎn)化；(2)“大化小”——用公式一將角化為0°到360°間的角；(3)“小化銳”——用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角；(4)“銳求值”——得到銳角的三角函數(shù)后求值．題型1：給角求值11．（23·24上·自貢·期中）（

）A． B． C． D．12．（23·24上·江西·開學(xué)考試）（

）A． B． C． D．13．（23·24上·商洛·期末）（

）A． B．0 C． D．14．（23·24·全國·專題練習(xí)）求值：=（

）A． B． C． D．15．（23·24上·武威·期中）已知16．（23·24·全國·專題練習(xí)）求下列各式的值．(1)；(2)；(3)．(4)；(5).17．（23·24上·撫州·期末）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．（二）給式(值)求值1、解決條件求值問題的策略(1)解決條件求值問題，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系．(2)可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化．2、解答此類題目的關(guān)鍵在于利用數(shù)學(xué)中化歸的思想來探究?jī)蓚€(gè)角(或整體)之間的關(guān)系，當(dāng)尋找到角與角之間的聯(lián)系后，未知角這一整體的三角函數(shù)值可以通過已知角的三角函數(shù)值和有關(guān)的三角公式求得，這是三角函數(shù)解題技巧之一.題型2：給式(值)求值21．（23·24上·日照·開學(xué)考試）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．22．（23·24上·朝陽·階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．23．（23·24上·玉溪·期末）已知，，則（

）A． B． C． D．24．（23·24上·全國·課時(shí)練習(xí)）已知，則的值為（

）A． B．C． D．25．（23·24上·伊犁·期末），那么（

）A． B． C． D．（三）三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)1、三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的常用方法(1)依據(jù)所給式子合理選用誘導(dǎo)公式將所給角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為另一個(gè)角的三角函數(shù)．(2)切化弦：一般需將表達(dá)式中的切函數(shù)轉(zhuǎn)化為弦函數(shù)．(3)注意“1”的應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4).(4)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，若遇到kπ±α的形式，需對(duì)k進(jìn)行分類討論，然后再運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)．2、三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)注意:(1)利用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù);(2)常用“切化弦”法，即通常將表達(dá)式中的切函數(shù)化為弦函數(shù);(3)注意“1”的變形應(yīng)用.題型3：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)31．（23·24上·北京·期中）化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A． B． C． D．32．（23·24上·海淀·期中）化簡(jiǎn)（

）A． B． C． D．33．（23·24上·虹口·階段練習(xí)）化簡(jiǎn)：．34．（23·24上·紅橋·期末）若，則化簡(jiǎn)=（

）A． B． C． D．35．（23·24上·濟(jì)南·階段練習(xí)）已知角終邊上一點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．36．（23·24上·全國·單元測(cè)試）已知是方程的根，α是第三象限角，則＝.37．（23·24·全國·專題練習(xí)）（1）化簡(jiǎn)：.（2）化簡(jiǎn)；（3）化簡(jiǎn)．（4）化簡(jiǎn)；（5）化簡(jiǎn)；（6）已知，求的值.（四）由已知角求未知角的三角函數(shù)值①觀察已知角與未知角之間的關(guān)系，運(yùn)用誘導(dǎo)公式將會(huì)不同名的函數(shù)化為同名的函數(shù)，將不同的角化為相同的角是解決問題的關(guān)鍵;②對(duì)于有條件的三角函數(shù)求值題，求解的一般方法是從角的關(guān)系上尋求突破，找到所求角與已知角之間的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式，進(jìn)而把待求式轉(zhuǎn)化到已知式完成求值;③當(dāng)所給的角是復(fù)合角時(shí)，不易看出已知角與所求角的聯(lián)系，可將已知角看成一個(gè)整體，用這個(gè)整體去表示所求角，便可發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系.題型4：由已知角求未知角的三角函數(shù)值41．（23·24·全國·專題練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．42．（23·24上·北京·期中）已知，則（

）A． B． C． D．43．（23·24上·南寧·期末）已知，則的值為（

）A． B． C． D．44．（23·24上·全國·期末）已知，，則cos()=（

）A． B． C． D．45．（23·24上·福州·期中）已知?jiǎng)t的值為（

）A． B． C． D．46．（23·24上·綿陽·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．47．（23·24·遵義·模擬預(yù)測(cè)）若，則（

）A． B． C． D．48．（23·24·全國·專題練習(xí)）已知，則的值等于（

）A． B． C． D．49．（23·24上·虹口·階段練習(xí)）已知，求．（五）利用誘導(dǎo)公式證明恒等式解決條件求值問題的策略(1)解決條件求值問題，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系．(2)可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化．題型5：利用誘導(dǎo)公式證明恒等式51．（23·24上·全國·課時(shí)練習(xí)）（1）求證：；（2）設(shè)，求證.52．（23·24·全國·專題練習(xí)）求證：．53．（23·24·全國·課時(shí)練習(xí)）求證：.54．（23·24·全國·課時(shí)練習(xí)）求證：．55．（23·24·全國·課時(shí)練習(xí)）求證：當(dāng)或3時(shí)，.（六）誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用誘導(dǎo)公式綜合應(yīng)用要“三看”一看角：①化大為??；②看角與角間的聯(lián)系，可通過相加、相減分析兩角的關(guān)系．二看函數(shù)名稱：一般是弦切互化．三看式子結(jié)構(gòu)：通過分析式子，選擇合適的方法，如分式可對(duì)分子分母同乘一個(gè)式子變形．題型6：誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用61．（23·24·全國·課時(shí)練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．62．（23·24上·全國·課時(shí)練習(xí)）已知，且為第二象限角,，則的值為（

）A．－ B．－C． D．－63．（23·24·全國·課堂例題）若，，則．64．（23·24上·西安·階段練習(xí)）已知函數(shù)（且）的圖像過定點(diǎn)，且角的始邊與軸的正半軸重合，終邊過點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．65．（23·24上·銅梁·階段練習(xí)）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在[0，+∞）上是增函數(shù)，若a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a66．（23·24·全國·課時(shí)練習(xí)）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過函數(shù)（且）的定點(diǎn)M.(1)求的值；(2)求的值.67．（23·24上·佛山·階段練習(xí)）已知．(1)若，且，求a的值；(2)若，求的值．68．（23·24上·遼寧·期中）已知函數(shù).（1）化簡(jiǎn)；（2）若，且，求的值；（3）若，求的值.一、單選題1．（23·24上·塔城·期末）的值是（

）A． B． C． D．2．（23·24上·青島·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．3．（23·24上·馬鞍山·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，若線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得（，），則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．（23·24上·河北·階段練習(xí)）2002年國際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開，會(huì)標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì).弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖)如果小正方形的邊長為1，大正方形的邊長為5，直角三角形中較小的銳角為，則A． B． C． D．5．（23·24上·焦作·期中）已知，（

）A． B． C． D．6．（23·24上·深圳·期末）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．7．（23·24上·河北·階段練習(xí)）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，即2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，是由中國舉辦的國際性奧林匹克賽事．北京時(shí)間2月8日，中國選手谷愛凌摘得冬奧會(huì)自由式滑雪大跳臺(tái)金牌．谷愛凌奪冠的動(dòng)作叫“向左偏轉(zhuǎn)偏軸轉(zhuǎn)體”，即空中旋轉(zhuǎn)，則（

）A．1 B． C． D．8．（23·24·全國·專題練習(xí)）點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．（23·24上·省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）點(diǎn)在直角坐標(biāo)平面上位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．（23·24上·北京·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．11．（23·24上·蕪湖·期中）已知，且，則（

）A． B． C． D．12．（23·24上·眉山·階段練習(xí)）若=，則等于（

）A． B． C． D．13．（23·24上·江蘇·三模）已知，則（

）A． B． C． D．14．（23·24上·哈爾濱·二模）黑洞原指非常奇怪的天體，它體積小，密度大，吸引力強(qiáng)，任何物體到了它那里都別想再出來，數(shù)字中也有類似的“黑洞”，任意取一個(gè)數(shù)字串，長度不限，依次寫出該數(shù)字串中偶數(shù)的個(gè)數(shù)、奇數(shù)的個(gè)數(shù)以及總的數(shù)字個(gè)數(shù)，把這三個(gè)數(shù)從左到右寫成一個(gè)新數(shù)字串；重復(fù)以上工作，最后會(huì)得到一個(gè)反復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字，我們稱它為“數(shù)字黑洞”，如果把這個(gè)數(shù)字設(shè)為a，則（

）A． B． C． D．15．（23·24上·金華·階段練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．二、多選題16．（23·24上·濰坊·階段練習(xí)）下列化簡(jiǎn)正確的是A． B．C． D．17．（23·24上·九龍坡·階段練習(xí)）已知，則下列式子恒成立的是（

）A． B．C． D．18．（23·24上·日照·階段練習(xí)）下列各式中值為的是（

）A． B．C． D．19．（23·24上·新疆·期末）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．20．（23·24上·無錫·階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．三、填空題21．（23·24上·沈陽·階段練習(xí)）已知，且，則的值為.22．（23·24·全國·單元測(cè)試）當(dāng)時(shí)，若，則的值為．23．（23·24上·閔行·開學(xué)考試）已知，則的值為.24．（23·24上·棗莊·三模）已知為銳角，且，則的值為．25．（23·24上·武清·階段練習(xí)）已知是第四象限角，且，則.26．（23·24·全國·課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：.27．（23·24上·株洲·開學(xué)考試）已知，，則.28．（23·24上·深圳·階段練習(xí)）若，，則