專(zhuān)題9.8解析幾何中的范圍最值和探索性問(wèn)題

專(zhuān)題9.8解析幾何中的范圍、最值和探索性問(wèn)題【核心素養(yǎng)】通過(guò)考查解析幾何中的范圍、最值和探索性問(wèn)題，以及圓錐曲線(xiàn)與其它知識(shí)的交匯，凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一最值問(wèn)題解析幾何中的最值問(wèn)題，主要是結(jié)合直線(xiàn)與橢圓、直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)以及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系的設(shè)計(jì)命題，要求證明、探索、計(jì)算線(xiàn)段長(zhǎng)度（距離）或圖形面積或參數(shù)等有關(guān)最值問(wèn)題.此類(lèi)問(wèn)題以主觀題形式考查，多步設(shè)問(wèn)，逐步深入考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二范圍問(wèn)題解析幾何中的范圍問(wèn)題，主要是結(jié)合直線(xiàn)與橢圓、直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)以及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系的設(shè)計(jì)命題，要求證明、探索、計(jì)算線(xiàn)段長(zhǎng)度（距離）或圖形面積或參數(shù)等有關(guān)范圍問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)三探索性問(wèn)題探究性問(wèn)題常常是條件不完備的情況下探討某些結(jié)論能否成立，探索性問(wèn)題主要考查學(xué)生探索解題途徑，解決非傳統(tǒng)完備問(wèn)題的能力，是命題者根據(jù)學(xué)科特點(diǎn)，將數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)結(jié)合并賦予新的情境創(chuàng)設(shè)而成的，要求學(xué)生自己觀察、分析、創(chuàng)造性地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法解決問(wèn)題，它能很好地考查數(shù)學(xué)思維能力以及科學(xué)的探索精神.知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)四策略方法1.圓錐曲線(xiàn)最值問(wèn)題的求解方法圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題類(lèi)型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過(guò)利用曲線(xiàn)的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.2.解決圓錐曲線(xiàn)中的取值范圍問(wèn)題應(yīng)考慮的五個(gè)方面(1)利用圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍．(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系．(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍．(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍．(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．3.圓錐曲線(xiàn)中探索問(wèn)題的求解策略（1）此類(lèi)問(wèn)題一般分為探究條件、探究結(jié)論兩種．若探究條件，則可先假設(shè)條件成立，再驗(yàn)證結(jié)論是否成立，成立則存在，不成立則不存在；若探究結(jié)論，則應(yīng)先求出結(jié)論的表達(dá)式，再針對(duì)其表達(dá)式進(jìn)行討論，往往涉及對(duì)參數(shù)的討論．（2）求解步驟：假設(shè)滿(mǎn)足條件的元素(點(diǎn)、直線(xiàn)、曲線(xiàn)或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線(xiàn)、曲線(xiàn)或參數(shù))存在，否則，元素(點(diǎn)、直線(xiàn)、曲線(xiàn)或參數(shù))不存在．?？碱}型剖析常考題型剖析題型一：幾何量的最值（范圍）問(wèn)題【典例分析】例11．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別交于兩點(diǎn)，若的面積為8，則的焦距的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【分析】因?yàn)椋傻秒p曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是，與直線(xiàn)聯(lián)立方程求得，兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結(jié)合均值不等式，即可求得答案.【詳解】雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別交于，兩點(diǎn)不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線(xiàn)其焦距為當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)的焦距的最小值：故選：B.例12.（2019·全國(guó)高考真題（文））已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2)如果存在點(diǎn)P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.【答案】(1)；（2），a的取值范圍為.【解析】（1）連結(jié)，由為等邊三角形可知：在中，，，，于是，故橢圓C的離心率為；（2）由題意可知，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)存在，當(dāng)且僅當(dāng)，，，即①②③由②③以及得，又由①知，故；由②③得，所以，從而，故；當(dāng)，時(shí)，存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn).故，a的取值范圍為.【變式訓(xùn)練】變式11．（2021·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿(mǎn)足，則的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，由，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出，分類(lèi)討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可．【詳解】設(shè)，由，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，，即，符合題意，由可得，即；當(dāng)，即時(shí)，，即，化簡(jiǎn)得，，顯然該不等式不成立．故選：C．變式12.（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知橢圓，拋物線(xiàn)，點(diǎn)A是橢圓與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l交橢圓于點(diǎn)B，交拋物線(xiàn)于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若，求拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）若存在不過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l使M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求p的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）求出拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程，從而可得答案；（Ⅱ）方法一使用韋達(dá)定理、中點(diǎn)公式和解方程法分別求得關(guān)于的表達(dá)式，得到關(guān)于的方程，利用基本不等式消去參數(shù)，得到關(guān)于的不等式，求解得到的最大值；方法二利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)公式求得的坐標(biāo)關(guān)于的表達(dá)式，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，得到關(guān)于關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)得解，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三利用點(diǎn)差法得到．根據(jù)判別式大于零，得到不等式，通過(guò)解方程組求得，代入求解得到的最大值；方法四利用拋物線(xiàn)的參數(shù)方程設(shè)出點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)，利用斜率關(guān)系求得的坐標(biāo)關(guān)于的表達(dá)式．作換元，利用點(diǎn)A在橢圓上，得到，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，的方程為，故拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為；（Ⅱ）[方法一]：韋達(dá)定理基本不等式法設(shè)，由，，由在拋物線(xiàn)上，所以，又，，，.由即，所以，，，所以，的最大值為，此時(shí).[方法二]【最優(yōu)解】：設(shè)直線(xiàn)，.將直線(xiàn)的方程代入橢圓得：，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.將直線(xiàn)的方程代入拋物線(xiàn)得：，所以，解得，因此，由解得，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值為.[方法三]：點(diǎn)差和判別式法設(shè)，其中．因?yàn)樗裕淼?，所以．又，所以，整理得．因?yàn)榇嬖?，所以上述關(guān)于的二次方程有解，即判別式．

①由得．因此，將此式代入①式解得．當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為時(shí)，p的最大值為．[方法四]：參數(shù)法設(shè)，由，得．令，則，點(diǎn)A坐標(biāo)代入橢圓方程中，得．所以，此時(shí)M坐標(biāo)為．題型二：弦長(zhǎng)（距離）的最值（范圍）問(wèn)題【典例分析】例21.（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)()左、右焦點(diǎn)為，其中焦距為，雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)過(guò)右焦點(diǎn)作直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于M，N兩點(diǎn)(M，N均在雙曲線(xiàn)的右支上)，過(guò)原點(diǎn)O作射線(xiàn)，其中，垂足為為射線(xiàn)與雙曲線(xiàn)右支的交點(diǎn)，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得雙曲線(xiàn)的方程.（2）根據(jù)直線(xiàn)的斜率是否存在進(jìn)行分類(lèi)討論，先求得的表達(dá)式，然后利用基本不等式求得最大值.【詳解】（1）由題意得，，，解得，，雙曲線(xiàn)的方程為：.（2）當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，，，則，當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，假設(shè)直線(xiàn)方程為，聯(lián)立雙曲線(xiàn)方程得，則，，，∵直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于右支，∴，則，設(shè)射線(xiàn)OP方程為：，聯(lián)立與雙曲線(xiàn)的方程，∴，，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，最大值為．綜上，的最大值為.例22.（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知橢圓．設(shè)A，B是橢圓上異于的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線(xiàn)段上，直線(xiàn)分別交直線(xiàn)于C，D兩點(diǎn)．(1)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn),再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出；（2）設(shè)直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立可得，再將直線(xiàn)方程與的方程分別聯(lián)立，可解得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出，最后代入化簡(jiǎn)可得，由柯西不等式即可求出最小值．【詳解】（1）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn),,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值是.（2）設(shè)直線(xiàn),直線(xiàn)方程與橢圓聯(lián)立,可得,設(shè)，所以，因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)交于,則,同理可得,.則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.【變式訓(xùn)練】變式21.（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）已知為拋物線(xiàn)上不同兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，過(guò)作于，且點(diǎn).(1)求直線(xiàn)的方程及拋物線(xiàn)的方程；(2)若直線(xiàn)與直線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，求到直線(xiàn)的距離最短時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)，(2)【分析】（1）由點(diǎn)，得直線(xiàn)的斜率為1，則直線(xiàn)的斜率為，寫(xiě)出直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程；直線(xiàn)與拋物線(xiàn)聯(lián)立得出韋達(dá)定理，由結(jié)合向量數(shù)量積為零得出結(jié)果；（2）由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式以及二次函數(shù)求最值得出結(jié)果.【詳解】（1）如圖，由點(diǎn)，得直線(xiàn)的斜率為1，又，則直線(xiàn)的斜率為，故直線(xiàn)的方程為，整理得直線(xiàn)的方程為設(shè)，聯(lián)立，得，則，由，得，即，因?yàn)椋?，所以，解得，故拋物線(xiàn)方程為（2）設(shè)點(diǎn)是直線(xiàn)上任一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在直線(xiàn)上，所以，即直線(xiàn)的方程為.設(shè)點(diǎn)，則，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，當(dāng)時(shí)，的最小值是，此時(shí)，.變式22.（2023秋·江蘇南京·高三南京市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總滿(mǎn)足關(guān)系式：.(1)點(diǎn)M的軌跡是什么曲線(xiàn)？寫(xiě)出它的方程；(2)設(shè)圓O：，直線(xiàn)l：與圓O相切且與點(diǎn)M的軌跡交于不同兩點(diǎn)A，B，當(dāng)且時(shí)，求弦長(zhǎng)的最大值.【答案】(1)點(diǎn)M的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，(2)2【分析】（1）根據(jù)題中關(guān)系結(jié)合橢圓定義即可得到答案；（2）設(shè)，由直線(xiàn)與圓相切得，再由直線(xiàn)與橢圓相交以及，可得，由弦長(zhǎng)公式結(jié)合基本不等式可得答案．【詳解】（1）由關(guān)系式，結(jié)合橢圓的定義，點(diǎn)M的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.∴，，，∴點(diǎn)M的方程為.（2）聯(lián)立方程，則，設(shè)，，則，，，直線(xiàn)l：與圓O相切，則，，∵，∴，解得，.當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).所以弦長(zhǎng)的最大值為2.題型三：三角形面積的最值（范圍）問(wèn)題【典例分析】例31.（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，且．(1)求；(2)設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)方程求出弦長(zhǎng)即可得出；（2）設(shè)直線(xiàn)：，利用，找到的關(guān)系，以及的面積表達(dá)式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值．【詳解】（1）設(shè)，由可得，，所以，所以，即，因?yàn)椋獾茫海?）因?yàn)?，顯然直線(xiàn)的斜率不可能為零，設(shè)直線(xiàn)：，，由可得，，所以，，，因?yàn)椋?，即，亦即，將代入得，，，所以，且，解得或．設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，所以，，所以的面積，而或，所以，當(dāng)時(shí)，的面積．例32.（2020·海南·高考真題）已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)M（2，3）,點(diǎn)A為其左頂點(diǎn)，且AM的斜率為，（1）求C的方程；（2）點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)，求△AMN的面積的最大值.【答案】（1）；（2）18.【分析】(1)由題意分別求得a,b的值即可確定橢圓方程；(2)首先利用幾何關(guān)系找到三角形面積最大時(shí)點(diǎn)N的位置，然后聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，結(jié)合判別式確定點(diǎn)N到直線(xiàn)AM的距離即可求得三角形面積的最大值.【詳解】(1)由題意可知直線(xiàn)AM的方程為：，即.當(dāng)y=0時(shí)，解得，所以a=4，橢圓過(guò)點(diǎn)M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)設(shè)與直線(xiàn)AM平行的直線(xiàn)方程為：，如圖所示，當(dāng)直線(xiàn)與橢圓相切時(shí)，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線(xiàn)與橢圓的切點(diǎn)為N，此時(shí)△AMN的面積取得最大值.聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，可得：，化簡(jiǎn)可得：，所以，即m2=64，解得m=±8，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線(xiàn)方程：，直線(xiàn)AM方程為：，點(diǎn)N到直線(xiàn)AM的距離即兩平行線(xiàn)之間的距離，利用平行線(xiàn)之間的距離公式可得：，由兩點(diǎn)之間距離公式可得.所以△AMN的面積的最大值：.【變式訓(xùn)練】變式31.（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)的離心率為2，右焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為．(1)求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)為雙曲線(xiàn)右支上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與雙曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)分別交于M，N兩點(diǎn)，求的面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出漸近線(xiàn)方程，由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式得到，再由離心率求出，，得到雙曲線(xiàn)方程；（2）解法1：先考慮直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，，再考慮直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，由得到，再聯(lián)立直線(xiàn)方程和雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程，設(shè)，，得到兩根之和，兩根之積，利用表達(dá)出，從而得到結(jié)論；解法2：可設(shè)，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，由得到，再聯(lián)立直線(xiàn)方程和雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程，得到兩根之和，兩根之積，從而表達(dá)出，結(jié)合，且，求出面積的最小值.【詳解】（1）由已知得漸近線(xiàn)方程為，右焦點(diǎn)，∴，又∵，所以，解得，又因?yàn)殡x心率，解得，，∴雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）解法1：的漸近線(xiàn)方程為，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，此時(shí)，直線(xiàn)方程為，代入漸近線(xiàn)方程，得到，故，又，故的面積；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)聯(lián)立得，因?yàn)橄嗲?，所以，解得，另設(shè)，，聯(lián)立，∴，，，，在中，，，∴，所以，所以，因?yàn)?，所以，綜上所述，，其最小值為；解法2：由條件知，若直線(xiàn)的斜率存在，則斜率不為零，故可設(shè)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)聯(lián)立得，，因?yàn)橄嗲?，所以，即，又因?yàn)橹本€(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)交于兩點(diǎn)，設(shè)為，，聯(lián)立，由于，所以，則,由直線(xiàn)的方程得，直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∵，∴即，且，∴時(shí)，的最小值為，綜上所述，，其最小值為.變式32.（2021·全國(guó)·高考真題（理））已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為．（1）求；（2）若點(diǎn)在上，是的兩條切線(xiàn)，是切點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，即可解出的值；（2）設(shè)點(diǎn)、、，利用導(dǎo)數(shù)求出直線(xiàn)、，進(jìn)一步可求得直線(xiàn)的方程，將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，求出以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最大值.【詳解】（1）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，，所以，與圓上點(diǎn)的距離的最小值為，解得；（2）拋物線(xiàn)的方程為，即，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)點(diǎn)、、，直線(xiàn)的方程為，即，即，同理可知，直線(xiàn)的方程為，由于點(diǎn)為這兩條直線(xiàn)的公共點(diǎn)，則，所以，點(diǎn)、的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程，所以，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，，所以，，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，所以，，，由已知可得，所以，當(dāng)時(shí)，的面積取最大值.題型四：四邊形面積的最值（范圍）問(wèn)題【典例分析】例41.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，且E的漸近線(xiàn)方程為．(1)求E的方程；(2)過(guò)作兩條相互垂直的直線(xiàn)和，與E的右支分別交于A，C兩點(diǎn)和B，D兩點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意得到，結(jié)合，求得的值即可；（2）設(shè)直線(xiàn)，，求得，聯(lián)立方程組，利用弦長(zhǎng)公式，求得，，得到，令，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）由題意，得的漸近線(xiàn)方程為，因?yàn)殡p曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，所以，即，又因?yàn)椋?，則，故的方程為．（2）根據(jù)題意，直線(xiàn)，的斜率都存在且不為0，設(shè)直線(xiàn)，，其中，因?yàn)?，均與的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，，所以，將的方程與聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，所以，用替換，可得，所以．令，所以，則，當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故四邊形面積的最小值為．例42.（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)C上的一點(diǎn)，Q是y軸上一點(diǎn)，為拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，且.(1)若，求拋物線(xiàn)的方程；(2)若圓都與直線(xiàn)相切于點(diǎn)P，且都與y軸相切，求兩圓面積之和的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)出直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)聯(lián)立后用根的判別式為0求出，利用求出；（2）方法一：設(shè)出，由射影定理和斜率垂直關(guān)系得到半徑平方和關(guān)系，換元后利用基本不等式求出最值；方法二：設(shè)，，表達(dá)出半徑平方和關(guān)系，換元后利用基本不等式求最值(1)設(shè)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，消去y，得所以點(diǎn)所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為(2)方法一：設(shè)點(diǎn)，則由（1），可知①因?yàn)閳A都與直線(xiàn)相切于點(diǎn)P，則，設(shè)圓與圓切于點(diǎn)，則有，且分別是的角平分線(xiàn)，所以，設(shè)圓，的半徑分別為，由射影定理，有因?yàn)?，所以，設(shè)所以所以令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立所以?xún)蓤A面積之和的最小值為.方法二：設(shè)，則，所以，由直線(xiàn)，令令，令，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以?xún)蓤A面積之和的最小值為.【變式訓(xùn)練】變式41.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線(xiàn)E：的右焦點(diǎn)為F，離心率為2，且過(guò)點(diǎn)．(1)求雙曲線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)在第一、三象限內(nèi)分別交雙曲線(xiàn)E于A，C兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)在第二、四象限內(nèi)分別交雙曲線(xiàn)E于B，D兩點(diǎn)，若直線(xiàn)AD過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)F，求四邊形ABCD面積的最小值．【答案】(1)；(2)24．【分析】（1）利用雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)即可求解.（2）通過(guò)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，利用韋達(dá)定理，代入，求解雙曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題．【詳解】（1）由雙曲線(xiàn)E的離心率為2，得①．因?yàn)殡p曲線(xiàn)E過(guò)點(diǎn)，所以②．又③，聯(lián)立①②③式，解得，．故雙曲線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，知四邊形ABCD為平行四邊形，所以．由題意知直線(xiàn)AD的斜率不為零，設(shè)AD的方程為．聯(lián)立消去x，得．，設(shè)，，則，．因?yàn)锳，D均在雙曲線(xiàn)右支，所以所以解得．所以，．令，則．所以．令函數(shù)，易得在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，．所以四邊形ABCD面積的最小值為24．變式42．（2023秋·廣東佛山·高三佛山市南海區(qū)九江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓過(guò)和兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)如圖所示，記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在定直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)，分別交橢圓于兩點(diǎn)P和Q.（i）證明：點(diǎn)B在以為直徑的圓內(nèi)；（ii）求四邊形面積的最大值.【答案】(1)(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）6【分析】（1）將兩點(diǎn)代入橢圓中，解方程組即可求得橢圓C的方程；（2）（i）分別將直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出兩點(diǎn)坐標(biāo)，由數(shù)量積可得為鈍角，得出證明；（ii）由（i）可寫(xiě)出四邊形的面積為，再利用基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性即可得出面積的最大值為6.【詳解】（1）依題意將和兩點(diǎn)代入橢圓可得，解得；所以橢圓方程為（2）（i）易知，由橢圓對(duì)稱(chēng)性可知，不妨設(shè)，；根據(jù)題意可知直線(xiàn)斜率均存在，且；所以直線(xiàn)的方程為，的方程為；聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程，消去可得；由韋達(dá)定理可得，解得，則；聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程，消去可得；由韋達(dá)定理可得，解得，則；則，；所以；即可知為鈍角，所以點(diǎn)B在以為直徑的圓內(nèi)；（ii）易知四邊形的面積為，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，所以，可得，由對(duì)稱(chēng)性可知，即當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，四邊形的面積最大，最大值為6.題型五：求參數(shù)的最值（范圍）【典例分析】例51.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線(xiàn)和直線(xiàn)，點(diǎn)為拋物線(xiàn)C上任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離為d，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)定義將轉(zhuǎn)化為，再由的最小值、點(diǎn)線(xiàn)距離公式求最小值.【詳解】作垂直拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)于，連接，則，故，所以，由圖知：的最小值為到直線(xiàn)的距離，所以.故選：B例52.（2023秋·上海黃浦·高三上海市向明中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）橢圓上有10個(gè)不同的點(diǎn)，若點(diǎn)T坐標(biāo)為，數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，則d的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)橢圓上任意點(diǎn)，則由題意，進(jìn)而可得的最大值與最小值，從而得出d的最大值即可.【詳解】設(shè)橢圓上任意點(diǎn)，則，即.故.又上，則當(dāng)時(shí)，取最大值；當(dāng)時(shí)，取最小值.此時(shí)，，故，.故選：C【變式訓(xùn)練】變式51.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOv中，M為雙曲線(xiàn)右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)M到直線(xiàn)的距離大于m恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．2【答案】B【分析】先求出漸近線(xiàn)方程，利用平行線(xiàn)直接的距離公式即可求解.【詳解】由點(diǎn)M到直線(xiàn)的距離大于m恒成立，可得點(diǎn)M到直線(xiàn)的最近距離大于m.因?yàn)殡p曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為，則與的距離即為最近距離，則，即.故選：B變式52.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為，離心率為e，直線(xiàn)分別與C的左?右兩支交于點(diǎn)M，N.若的面積為，，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．6 D．7【答案】D【分析】作出輔助線(xiàn)，，由面積公式求出，利用雙曲線(xiàn)定義和余弦定理求出，求出，進(jìn)而求出.【詳解】連接，有對(duì)稱(chēng)性可知：四邊形為平行四邊形，故，，，由面積公式得：，解得：，由雙曲線(xiàn)定義可知：，在三角形中，由余弦定理得：，解得：，所以，解得：，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：D題型六：數(shù)量積的最值（范圍）問(wèn)題【典例分析】例61.（2023秋·天津河北·高二天津外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┮阎ゲ幌嗤娜c(diǎn)M、N、P均在雙曲線(xiàn)H：上，，，垂足為D，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的最大值為.【答案】【分析】先利用和雙曲線(xiàn)方程求出的坐標(biāo)，由于雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)線(xiàn)，取，接著討論直線(xiàn)斜率不存在和存在時(shí)，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積，推出、的關(guān)系，說(shuō)明直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，即可得到點(diǎn)的軌跡方程為，故設(shè)，利用數(shù)量積，輔助角公式和三角函數(shù)性質(zhì)即可得到答案【詳解】設(shè)，因?yàn)?，故，所以①，因?yàn)樵陔p曲線(xiàn)上，所以②，由①②可得，由于雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)，①直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，可設(shè)，，，，，又，，，解得，，，為垂足，，②直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)，整理得，設(shè)，，，，則，，因?yàn)?，所以，得，所以，得，即，?dāng)即時(shí)，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)即時(shí)，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，綜上，點(diǎn)在以為直徑的圓上，，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，所以點(diǎn)的軌跡方程為，故可設(shè)的坐標(biāo)為，所以（其中）所以當(dāng)時(shí)，取得最大值故答案為：例62.（2023·遼寧沈陽(yáng)·校聯(lián)考二模）從拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)反射后，光線(xiàn)都平行于拋物線(xiàn)的軸，根據(jù)光路的可逆性，平行于拋物線(xiàn)的軸射向拋物線(xiàn)后的反射光線(xiàn)都會(huì)匯聚到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)處，這一性質(zhì)被廣泛應(yīng)用在生產(chǎn)生活中．如圖，已知拋物線(xiàn)，從點(diǎn)發(fā)出的平行于y軸的光線(xiàn)照射到拋物線(xiàn)上的D點(diǎn)，經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)兩次反射后，反射光線(xiàn)由G點(diǎn)射出，經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求拋物線(xiàn)C的方程；(2)已知圓，在拋物線(xiàn)C上任取一點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E向圓M作兩條切線(xiàn)EA和EB，切點(diǎn)分別為A、B，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)光的反射性質(zhì)知：直線(xiàn)必過(guò)焦點(diǎn)，寫(xiě)出坐標(biāo)，由斜率相等及兩點(diǎn)式列方程求，即可得拋物線(xiàn)方程；（2）根據(jù)題設(shè)畫(huà)出草圖，易得，令，進(jìn)而得到，結(jié)合求范圍，最后利用導(dǎo)數(shù)研究在上單調(diào)性，求范圍.【詳解】（1）由題設(shè)，令，，根據(jù)拋物線(xiàn)性質(zhì)知：直線(xiàn)必過(guò)焦點(diǎn)，所以，則，整理得，，則，所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為.（2）由題意，，且，，，所以，而，令，則，所以，，綜上，，又，，若，則，由，當(dāng)，即時(shí)，無(wú)最大值，所以，即，故，，令，則，令，在上恒成立，即遞減，所以.【變式訓(xùn)練】變式61.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則·的取值范圍為.【答案】【分析】可設(shè)，可求得與的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式結(jié)合橢圓的方程即可求得其答案．【詳解】點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，設(shè)，依題意得左焦點(diǎn)，，，，，，，．則．故答案為：．變式62.（2023春·山西太原·高三山西大附中?？茧A段練習(xí)）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)分別與軸交于點(diǎn)，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)，且.(1)求拋物線(xiàn)的方程；(2)如圖，設(shè)點(diǎn)都在拋物線(xiàn)上，若是以為斜邊的等腰直角三角形，求的最小值.【答案】(1)(2)32【分析】（1）設(shè)，列方程組，求出，即可得到拋物線(xiàn)的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，利用是以為斜邊的等腰直角三角形，表示出，用坐標(biāo)表示出利用基本不等式求出的最小值.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，由已知，則，即.因?yàn)?，則，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程是.（2）設(shè)點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率為，因?yàn)椋瑒t直線(xiàn)的斜率為.因?yàn)?，則，得，①因?yàn)?，則，即，②因?yàn)?，則，即③將②③代入①，得，即，則，所以因?yàn)?，則，又，則，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為32.題型七：角相關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題【典例分析】例71.（2023秋·湖南株洲·高三株洲二中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知是橢圓的左焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的離心率為，的面積的最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)，為橢圓的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)不與，重合時(shí)，射線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)，直線(xiàn)，交于點(diǎn)，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，列出關(guān)于的方程，即可求解；（2）首先設(shè)直線(xiàn)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，并利用坐標(biāo)表示直線(xiàn)的方程，并且聯(lián)立方程求點(diǎn)的軌跡方程，再利用兩直線(xiàn)的傾斜角表示,利用斜率表示，再利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）由，解得，，所以橢圓的方程為.（2）由題知不與軸重合，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組，消整理得，，設(shè)、，則，.因?yàn)榈姆匠虨?，的方程為兩直線(xiàn)方程聯(lián)立得：因?yàn)?所以，解得.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為由橢圓的對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)，直線(xiàn)、的傾斜角為，，由圖可知，且，因?yàn)?，則，因?yàn)?，，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，，所以的最大值為.例72.（2023·上海普陀·上海市宜川中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)，點(diǎn)為雙曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn).(1)求以為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與雙曲線(xiàn)恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線(xiàn)的方程；(3)點(diǎn)在什么位置時(shí)，取得最大？求出最大值及點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)和(3)或，最大為.【分析】（1）設(shè)橢圓方程為，根據(jù)題意求得，即可求得答案；（2）討論l斜率不存在情況是否符合題意，斜率存在時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)l的方程，并聯(lián)立雙曲線(xiàn)方程，結(jié)合判別式即可求得答案.（3）利用雙曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性，先設(shè)點(diǎn)在第一象限，坐標(biāo)為，利用到角公式求得，結(jié)合基本不等式求得最大值，可得答案.【詳解】（1）由題意可設(shè)橢圓方程為，則，又因?yàn)闉闄E圓焦點(diǎn)，故，故橢圓方程為.（2）由于直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)斜率不存在時(shí)與雙曲線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)；可設(shè)直線(xiàn)，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立整理后得當(dāng)，得，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)為雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)，不符題意，舍去；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)為，與雙曲線(xiàn)的另一條漸近線(xiàn)平行，與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，即解得，（舍去），此時(shí)l方程為為；綜上，滿(mǎn)足要求的直線(xiàn)有兩條，分別為和.（3）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，，則，于是，為銳角，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，此時(shí)，此時(shí)，則，根據(jù)雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)或時(shí)，取得最大為.【變式訓(xùn)練】變式71.（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，則的最小值為.【答案】/【分析】設(shè)點(diǎn)，由向量坐標(biāo)運(yùn)算可得，利用基本不等式求其最小值即可.【詳解】依題意，，設(shè)，則，因?yàn)樵趻佄锞€(xiàn)上，所以得，即，由，得，，，所以，令，，則，，當(dāng)即時(shí)，，；當(dāng)即時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí).綜上所述，的最小值為.故答案為：變式72.（2023·貴州畢節(jié)·校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)所確定的三角形的面積為，（是的離心率）是上一點(diǎn).(1)求的方程；(2)若直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，設(shè)，直線(xiàn)與分別交于（不同于）兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，記直線(xiàn)的傾斜角分別為，，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程組，求出和可得結(jié)果；（2）設(shè)，，聯(lián)立，得到，，再聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程求出，同理求出，根據(jù)斜率公式以及，求出，再根據(jù)兩角差的正弦公式求出，再根據(jù)基本不等式可求出最大值.【詳解】（1）依題意可得，得，得，得，得，得，得，則，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，，聯(lián)立，消去并整理得，因?yàn)樵跈E圓內(nèi)，所以判別式恒大于，，，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)：，聯(lián)立，消去并整理得，因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)樵跈E圓內(nèi)，所以判別式恒大于，，，，所以，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)：，易得，也滿(mǎn)足，故，同理可得，所以，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，又，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.題型八：斜率的最值（范圍）問(wèn)題【典例分析】例81.（2022秋·廣東深圳·高三北師大南山附屬學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離為．(1)求拋物線(xiàn)的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)斜率為的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)、，若且，求斜率的取值范圍．【答案】(1)拋物線(xiàn)方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)【分析】（1）利用拋物線(xiàn)的定義求出的值，可得出拋物線(xiàn)的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程，求出的值，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)、，將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，由可求得的范圍，列出韋達(dá)定理，由已知條件可求得，由韋達(dá)定理可得出，利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可出的取值范圍，綜合可得解.【詳解】（1）解：由拋物線(xiàn)定義可知，得，所以，拋物線(xiàn)方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程得，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）解：直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立整理得，，可得或，由韋達(dá)定理可得，，又，即，所以，，因?yàn)椋?，則，又，令，所以，，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，同理可知，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)榛颍?，的取值范圍?例82.（2024秋·廣東廣州·高三華南師大附中校考開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，A是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，過(guò)作垂直軸的直線(xiàn)在第二象限交橢圓于點(diǎn)S，過(guò)S作橢圓的切線(xiàn)，的斜率為，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意得，再結(jié)合橢圓定義，余弦定理、三角形面積公式可求得的值，從而可得橢圓方程；（2）先由直線(xiàn)和橢圓聯(lián)立表示出點(diǎn)，點(diǎn)S的橫坐標(biāo)，再由點(diǎn)，點(diǎn)S的橫坐標(biāo)相等，得出之間的關(guān)系，從而表示出（保留），進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意得，由橢圓定義可得，又，由余弦定理可得：，所以，又，解得，所以，故橢圓的方程為.（2）直線(xiàn)，設(shè)，聯(lián)立與得，所以，恒成立，所以，故，設(shè)直線(xiàn)為，，聯(lián)立，所以，由可得，所以，則，所以得，所以，則，由于函數(shù)在上為減函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，所以.【變式訓(xùn)練】變式81.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)，（，）的實(shí)軸長(zhǎng)為2，且過(guò)點(diǎn)，其中為雙曲線(xiàn)的離心率．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線(xiàn)與的左、右兩支分別交于點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，記直線(xiàn)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為，，求的最小值．【答案】(1)(2)6【分析】（1）根據(jù)題意列式求解即可；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程及交點(diǎn)坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理求的坐標(biāo)，進(jìn)而可得，結(jié)合基本不等式分析運(yùn)算即可.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為2，則，由雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且，則，即，解得，故雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線(xiàn)，，，由題意可知，聯(lián)立方程，整理得，由題意可得，解得或，則，．可得，，則，所以．因?yàn)椋瑒t，整理得，則，即，則．所以，即．∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)或，均滿(mǎn)足與的左、右兩支分別相交．∴的最小值為6．變式82.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，左?右頂點(diǎn)分別是，右焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為，動(dòng)直線(xiàn)與以為直徑的圓相切，且與的左?右兩支分別交于兩點(diǎn).(1)求雙曲線(xiàn)C的方程；(2)記直線(xiàn)的斜率分別為，求的最小值.【答案】(1)(2).【分析】（1）由點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，以及焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離得出雙曲線(xiàn)C的方程；（2）由直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系得出，聯(lián)立直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)方程，由韋達(dá)定理、斜率公式得出，結(jié)合得出的最小值.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，故，即，而雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，到一條漸近線(xiàn)的距離為，所以，解得，又，

所以，故所求雙曲線(xiàn)的方程為；（2）因?yàn)殡p曲線(xiàn)的方程為，所以，故以為直徑的圓為，而直線(xiàn)是其切線(xiàn)，所以應(yīng)滿(mǎn)足，得，而坐標(biāo)滿(mǎn)足，消去得，求得，而，故，由此可得（*），由于分別在的左?右兩支，故，因此，所以，將代入整理得，又，故，顯然，由題意得，故，

所以，將及代入，求得，而，故，又，故，即.題型九：“是否存在”類(lèi)探索性問(wèn)題【典例分析】例91.（23·24上·南岸·階段練習(xí)）如圖，為拋物線(xiàn)上四個(gè)不同的點(diǎn)，直線(xiàn)AB與直線(xiàn)MN相交于點(diǎn)，直線(xiàn)AN過(guò)點(diǎn)(1)記A，B的縱坐標(biāo)分別為，求；(2)記直線(xiàn)AN，BM的斜率分別為，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在說(shuō)明理由【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）設(shè)出直線(xiàn)的方程并與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，從而求得正確答案.（2）先求得，然后由求得正確答案.【詳解】（1）設(shè)直線(xiàn)的方程為，由消去并化簡(jiǎn)得，則.（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，同（1）可求得，設(shè)直線(xiàn)的方程為，由消去并化簡(jiǎn)得，所以.，同理可求得，則，所以存在使得.例92．（23·24上·武漢·階段練習(xí)）已知、、是直線(xiàn)上的三點(diǎn)，且，，切直線(xiàn)于點(diǎn)，又過(guò)、作異于的兩切線(xiàn)，設(shè)這兩切線(xiàn)交于點(diǎn).(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)、是的軌跡上的不同兩點(diǎn)且不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若，的斜率分別為，，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，的面積是定值？如果存在，求出的值；如果不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)圓切線(xiàn)的性質(zhì)，利用橢圓的定義可判斷動(dòng)點(diǎn)軌跡為橢圓，適當(dāng)建系可得軌跡方程；（2）假設(shè)直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)方程，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，利用根于系數(shù)關(guān)系，求得弦的長(zhǎng)度，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離可得到的距離，可得三角形面積，根據(jù)面積為定值可得的值，再驗(yàn)證當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)成立.【詳解】（1）如圖所示，設(shè)過(guò)、異于的兩切線(xiàn)分別切于、兩點(diǎn)，兩切線(xiàn)交于點(diǎn)，由切線(xiàn)的性質(zhì)可知：，，，故，故由橢圓定義知，點(diǎn)的軌跡是以、為兩焦點(diǎn)的橢圓，以所在的直線(xiàn)為軸，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：；（2）設(shè)存在這樣的常數(shù)，使，的面積為定值.當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，，，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，得，，即，，，，，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，所以，，又，即，即，得，所以，若面積為定值，則，解得，此時(shí)，現(xiàn)驗(yàn)證當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，若，面積為定值.當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，設(shè)，，則，又，解得，，此時(shí)面積，滿(mǎn)足上述定值，綜上所述，存在常數(shù)，使，的面積為定值.【變式訓(xùn)練】變式91.（23·24上·河南·階段練習(xí)）已知拋物線(xiàn)，直線(xiàn)垂直于軸，與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)．(1)求曲線(xiàn)的方程；(2)點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在定點(diǎn)【分析】（1）由相關(guān)點(diǎn)代入法求軌跡方程即可；（2）先由特殊位置確定定點(diǎn)在軸上，設(shè)定點(diǎn)，由相切求出切點(diǎn)滿(mǎn)足的關(guān)系式，再由垂直的坐標(biāo)條件求解.【詳解】（1）設(shè)，則，由題意線(xiàn)垂直于軸，與交于兩點(diǎn)，知，過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線(xiàn)方程為：，直線(xiàn)的方程為：，令，得，即，由得，因?yàn)樵趻佄锞€(xiàn)上，即，則，化簡(jiǎn)得，由題意知不重合，故，所以曲線(xiàn)的方程為（2）由（1）知曲線(xiàn)的方程為，點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在特殊位置時(shí)，兩個(gè)切點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故要使得，則點(diǎn)在軸上．故設(shè)，曲線(xiàn)的方程為，求導(dǎo)得，所以切線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的方程為，又點(diǎn)在直線(xiàn)上，所以，整理得，同理可得，故和是一元二次方程的根，由韋達(dá)定理得，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以存在定點(diǎn)，使得恒成立．變式92.（23·24上·青島·期末）已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為，上，下頂點(diǎn)分別為，四邊形的內(nèi)切圓的面積為，其離心率；拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合.斜率為k的直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線(xiàn)交于C，D兩點(diǎn).(1)求橢圓及拋物線(xiàn)的方程；(2)是否存在常數(shù)，使得為一個(gè)與k無(wú)關(guān)的常數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)，(2)存在，【分析】（1）通過(guò)四邊形的內(nèi)切圓的面積為，得原點(diǎn)O到直線(xiàn)的距離為，從而，再結(jié)合離心率即可求出橢圓方程，根據(jù)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)求出拋物線(xiàn)方程；（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程，與橢圓、拋物線(xiàn)聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出弦長(zhǎng)，代入化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】（1）由橢圓可知：，所以直線(xiàn)的方程為：，即，因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)切圓的面積為，所以原點(diǎn)O到直線(xiàn)的距離為，即①，因?yàn)殡x心率，所以②，又③，由①②③可得：，所以橢圓的方程為：，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，所以，所以，從而拋物線(xiàn)的方程為：.（2）由（1）知：拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為．由題意，設(shè)直線(xiàn)l：，設(shè)，，，，由可得：，所以，所以，由可得：，所以，因?yàn)橹本€(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，所以，所以，設(shè)，則，由可得：.題型十：“是否是（為）”類(lèi)探索性問(wèn)題【典例分析】例101.（23·24·遵義·模擬預(yù)測(cè)）已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上異于左?右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，的周長(zhǎng)為6，面積的最大值為：(1)求橢圓的方程；(2)直線(xiàn)與橢圓的另一交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為.若，.試問(wèn)：是否為定值？并說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用橢圓的定義及橢圓的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)已知條件作出圖形并設(shè)出直線(xiàn)方程，將直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為，則由橢圓的定義及的周長(zhǎng)為6，知①，由于為橢圓上異于左?右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，得到軸距離最大為，因?yàn)榈拿娣e的最大值為，所以②，又③，聯(lián)立①②③，得，所以橢圓的方程為.（2）為定值，理由如下：根據(jù)已知條件作出圖形如圖所示,設(shè)，則，因?yàn)樵跈E圓內(nèi)部，則直線(xiàn)與橢圓一定有兩交點(diǎn)，聯(lián)立消去得：，，又，且，所以，同理所以.所以為定值.例102．（23·24上·寶山·階段練習(xí)）我們約定，如果一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸和短軸分別是另一條雙曲線(xiàn)的實(shí)軸和虛軸，則稱(chēng)它們互為“姊妹”圓錐曲線(xiàn).已知橢圓：，雙曲線(xiàn)是橢圓的“姊妹”圓錐曲線(xiàn)，，分別為，的離心率，且，點(diǎn)M，N分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)右支A，B兩點(diǎn)，若直線(xiàn)AM，BN的斜率分別為，.(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)試探究與的是否定值.若是定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)求的取值范圍.【答案】(1)；(2)是，定值；(3)；【分析】（1）根據(jù)題意，直接列式計(jì)算可得答案；（2）直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)聯(lián)立，利用韋達(dá)定理進(jìn)行消參，進(jìn)而證明其比值為定值；（3）根據(jù)題意，利用韋達(dá)定理得出的范圍，然后根據(jù)，可得，進(jìn)而可得取值范圍.【詳解】（1）由題意可設(shè)雙曲線(xiàn)：，則，解得，所以雙曲線(xiàn)的方程為.（2）設(shè)，，直線(xiàn)AB的方程為，由，消元得.則，，且，∴；或由韋達(dá)定理可得，即，∴，即與的比值為定值.（3）思路一：設(shè)直線(xiàn)AM：，代入雙曲線(xiàn)方程并整理得：，由于點(diǎn)M為雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)，所以此方程有一根為，由韋達(dá)定理得：，解得.因?yàn)辄c(diǎn)A在雙曲線(xiàn)的右支上，所以，解得，即，同理可得，由（2）中結(jié)論可知，得，所以，故，設(shè)，其圖象對(duì)稱(chēng)軸為，則在，上單調(diào)遞減，故，故的取值范圍為.思路二：由于雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，如圖，過(guò)點(diǎn)M作兩漸近線(xiàn)的平行線(xiàn)與，由于點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)的右支上，所以直線(xiàn)AM介于直線(xiàn)與之間（含x軸，不含直線(xiàn)與），所以，同理，過(guò)點(diǎn)N作兩漸近線(xiàn)的平行線(xiàn)與，由于點(diǎn)B在雙曲線(xiàn)的右支上，所以直線(xiàn)BN介于直線(xiàn)與之間（不含x軸，不含直線(xiàn)與），所以.由（2）中結(jié)論可知，得，所以，故.【變式訓(xùn)練】變式101.（23·24上·廣西·階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求雙曲線(xiàn)的離心率；(2)過(guò)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)且與平行的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于，兩點(diǎn)，試問(wèn)是否為定值？若是定值，求該定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)是，定值為．【分析】（1）代入點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)立方程可得雙曲線(xiàn)方程，進(jìn)而由離心率公式即可求解.（2）聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式分別求解，即可代入化簡(jiǎn)求解.【詳解】（1）將點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得所以雙曲線(xiàn)的離心率．（2）依題意可得直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)：．聯(lián)立得，設(shè)，，則，，所以．，直線(xiàn)：．設(shè)，．聯(lián)立得，則且，則，所以，所以為定值，定值為．變式102.（23·24上·浦東新·階段練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，直線(xiàn)與橢圓交于A、B兩點(diǎn).(1)若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，求直線(xiàn)l的方程；(3)若，則的面積是否為定值?如果是，求出該定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)或(2)或(3)是，【分析】（1）由題意可得點(diǎn)A在線(xiàn)段的中垂線(xiàn)上，然后將代入橢圓方程可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）由題意設(shè)直線(xiàn)，設(shè)，，方法一，由題意可得點(diǎn)A為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則，，聯(lián)立方程組可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求出直線(xiàn)方程；方法二：由題意得，將直線(xiàn)方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可求出的值，從而可求出直線(xiàn)方程；（3）由題意可得，將直線(xiàn)方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可求出的面積.【詳解】（1）由知點(diǎn)A在線(xiàn)段的中垂線(xiàn)上.所以由，解得或，所以或（2）由題，直線(xiàn)，設(shè)，.方法一：由知點(diǎn)A為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以，，由得或，所以或，所以或，解得或，所以直線(xiàn)l的方程為或.方法二：由得，即，即.由，得，所以，由，得同號(hào)，所以，所以，所以，解得所以，直線(xiàn)l的方程為或.（3）設(shè)，，由得，即（**）由，得，所以，代入（**）得，所以，化簡(jiǎn)得.（***）因?yàn)?，點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離，所以所以的面積為.題型十一：“是否過(guò)……點(diǎn)”類(lèi)探索性問(wèn)題【典例分析】例111.（22·23上·朝陽(yáng)·期末）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線(xiàn)：的距離之比為，記點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn).(1)求曲線(xiàn)的方程；(2)已知曲線(xiàn)與軸的正半軸交于點(diǎn)，不與軸垂直的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于兩點(diǎn)（，異于點(diǎn)），直線(xiàn)分別與軸交于兩點(diǎn)，若的橫坐標(biāo)的乘積為，則直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)l過(guò)定點(diǎn)，.【分析】（1）根據(jù)給定條件，列出方程并化簡(jiǎn)作答.（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線(xiàn)與曲線(xiàn)的方程，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由已知結(jié)合韋達(dá)定理求解作答.【詳解】（1）依題意，，化簡(jiǎn)整理得，所以曲線(xiàn)的方程為.（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，由消去y得，當(dāng)時(shí)，，由，得，則直線(xiàn)的方程為，令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，直線(xiàn)的方程為，令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，于是，即，則有，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），所以直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).例112．（23·24上·階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)分別為、，為雙曲線(xiàn)上異于、的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)、的斜率乘積為．雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為1．(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)設(shè)不同于頂點(diǎn)的兩點(diǎn)、在雙曲線(xiàn)的右支上，直線(xiàn)、在軸上的截距之比為．試問(wèn)直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）根據(jù)所給條件，列出方程組，求出即可得解；（2）設(shè)出直線(xiàn)方程及M，N點(diǎn)的坐標(biāo)，求出截距建立方程，再由解方程得或，即可得解.【詳解】（1）設(shè)，由可得，又，，又焦點(diǎn)到其一條漸近線(xiàn)的距離為，解得：．所以雙曲線(xiàn)的方程：.（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，如圖，由得，，，直線(xiàn)，則直線(xiàn)在軸上的截距為，直線(xiàn)，則直線(xiàn)在軸上的截距為，由題得：，又，所以．所以，則，，，，化簡(jiǎn)得：或．若，直線(xiàn)過(guò)頂點(diǎn)，舍去．．則直線(xiàn)的方程為，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．【變式訓(xùn)練】變式111.（22·23上·齊齊哈爾·期末）已知F是拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)，是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且.(1)求拋物線(xiàn)C的方程；(2)直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則直線(xiàn)l否會(huì)過(guò)某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)；(2)恒過(guò)定點(diǎn).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用拋物線(xiàn)的定義求出值作答.（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程，與的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【詳解】（1）由知，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，而是該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，又，因此，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為.（2）顯然直線(xiàn)不垂直于y軸，設(shè)直線(xiàn)l：，，，由消去x并整理得，，即，于是，，，由，得，則有，即，因此，則，解得，滿(mǎn)足，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).變式112.（23·24上·階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知，，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足條件：直線(xiàn)與直線(xiàn)斜率之積等于，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)過(guò)直線(xiàn)：上任意一點(diǎn)作直線(xiàn)與，分別交于，兩點(diǎn)，則直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由．【答案】(1)（）；(2)是，定點(diǎn)為.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用斜率坐標(biāo)公式列式化簡(jiǎn)作答.（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由已知探求出點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，再按直線(xiàn)斜率存在與否分類(lèi)討論求解作答.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則直線(xiàn)、的斜率分別為，于是，整理得，顯然點(diǎn)不在軌跡上，所以的方程為（）.（2）設(shè)直線(xiàn)上的點(diǎn)，顯然，依題意，直線(xiàn)的斜率滿(mǎn)足，且，直線(xiàn)斜率，則，有，設(shè)，，則（且），當(dāng)直線(xiàn)不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，消去y得，則，，又，即，則，整理得，解得或，此時(shí)方程中的，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)：恒過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)：，由于舍去，當(dāng)直線(xiàn)時(shí)，則有，即有，而，解得，直線(xiàn)：過(guò)點(diǎn)，所以直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)．.一、選擇題1．（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)是：從拋物線(xiàn)焦點(diǎn)出發(fā)的光線(xiàn)經(jīng)拋物線(xiàn)反射后，反射光線(xiàn)與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸平行，已知、分別為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)和內(nèi)側(cè)一點(diǎn)，拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)定義可知，由此可知，結(jié)合在拋物線(xiàn)內(nèi)側(cè)可求得的范圍.【詳解】由拋物線(xiàn)方程知：，準(zhǔn)線(xiàn)；過(guò)作，垂足為，由拋物線(xiàn)定義知：，，則當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取得最小值，即圖中的，，，解得：；又在拋物線(xiàn)內(nèi)側(cè)，，解得：，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.2．（2023春·天津?yàn)I海新·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)到其一條漸近線(xiàn)的距離等于，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，則拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)M到直線(xiàn)和的距離之和的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意求得雙曲線(xiàn)的，繼而可得拋物線(xiàn)方程，結(jié)合拋物線(xiàn)定義以及幾何意義求解最值即可得答案.【詳解】由題意知雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)到其一條漸近線(xiàn)的距離為，不妨取漸近線(xiàn)，即，所以，，又拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，即，則拋物線(xiàn)方程為，過(guò)點(diǎn)M作垂直于直線(xiàn)，垂足為點(diǎn)A，作垂直于拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)C，連接，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義得，設(shè)M到的距離為，M到直線(xiàn)的距離為，則，根據(jù)平面幾何知識(shí)，可得當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，有最小值，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，所以的最小值是，所以?huà)佄锞€(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)M到直線(xiàn)和的距離之和的最小值為，故選：D．3.（2023春·浙江·高二校聯(lián)考期末）雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)為，離心率為，，以為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓與雙曲線(xiàn)有公共點(diǎn)，則最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出圓的方程，聯(lián)立方程組，由得出的范圍，從而得解.【詳解】由題意，右焦點(diǎn)，又，則，，以為圓心，為半徑的圓的方程為，，聯(lián)立方程組，得，由圓與雙曲線(xiàn)有公共點(diǎn)，所以，即，結(jié)合，化簡(jiǎn)為，由方程兩根為：，，所以不等式的解為，或，由已知，得所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：A多選題4．（2023秋·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)分別為，，是右支上一點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（

）A．若的離心率為，則過(guò)點(diǎn)與的漸近線(xiàn)相同的雙曲線(xiàn)的方程是B．若點(diǎn)，則的最小值為C．過(guò)作的角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值為D．若直線(xiàn)與其中一條漸近線(xiàn)平行，與另一條漸近線(xiàn)交于點(diǎn)，且，則的離心率為【答案】BD【分析】根據(jù)已知雙曲線(xiàn)離心率可得，設(shè)與的漸近線(xiàn)相同的雙曲線(xiàn)的方程，根據(jù)點(diǎn)在該雙曲線(xiàn)上，求得參數(shù)，可得方程，判斷A；利用雙曲線(xiàn)定義可判斷B；確定點(diǎn)Q的軌跡，結(jié)合點(diǎn)O到直線(xiàn)的距離可判斷C；求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入雙曲線(xiàn)方程，即可求得離心率，判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)榈碾x心率為，所以，則.因?yàn)殡p曲線(xiàn)為，將代入得，解得，則雙曲線(xiàn)的方程為，A不正確.對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)槭怯抑弦稽c(diǎn)，所以，則，B正確.對(duì)于選項(xiàng)C，如圖，延長(zhǎng)并與相交于點(diǎn)，連接.由題可知，為的中點(diǎn)，則，，所以，則是以為圓心，為半徑的圓上一點(diǎn).點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值為，C不正確.對(duì)于選項(xiàng)D，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組，得.由，得，可得，代入的方程得，則的離心率，D正確.故選：BD填空題5.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C：，若橢圓C上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)，利用點(diǎn)差法得到，結(jié)合得到，聯(lián)立得到，點(diǎn)M應(yīng)在橢圓C的內(nèi)部，得到不等式，求出m的取值范圍.【詳解】設(shè)是橢圓C上關(guān)于直線(xiàn)l：對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，是線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)，則，兩式相減，得.∵，，∴.∵，∴，故，聯(lián)立，解得，∴.∵點(diǎn)M應(yīng)在橢圓C的內(nèi)部，∴，解得.∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故答案為：.6.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線(xiàn)的方程為，圓C：，點(diǎn)A，B在圓C上，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，且滿(mǎn)足，則的最小值是.【答案】3【分析】由題可知AB是圓的直徑，，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求拋物線(xiàn)上點(diǎn)P到圓心C的距離的平方減1的最小值.【詳解】∵圓的圓心為C(2，0)，半徑r＝1，，∴AB是圓的直徑，C是AB的中點(diǎn)，連接PC、PA、PB.設(shè).＝，當(dāng)且僅當(dāng)m＝0時(shí)取等號(hào).故答案為：3.四、解答題7.（23·24上·滄州·階段練習(xí)）已知拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)l與該拋物線(xiàn)C相交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線(xiàn)，與直線(xiàn)交于點(diǎn)G，點(diǎn)