多元函數(shù)積分

[整理]多元函數(shù)積分[整理]多元函數(shù)積分/[整理]多元函數(shù)積分多元函數(shù)積分利用積分地域的對稱性化簡多元函數(shù)的積分1.1利用積分地域的對稱性化簡多元函數(shù)的重積分題型一計算積分地域擁有對稱性，被積函數(shù)擁有奇偶性的重積分種類（一）計算積分地域擁有對稱性、被積函數(shù)擁有奇偶性的二重積分常用下述命題簡化計算二重積分.命題1若f(x,y)在積分地域D上連續(xù)，且D關于y軸（或x軸）對稱，則（1）f(x,y)是D上關于x（或y）的奇函數(shù)時，有f(x,y)dxdy0；D（2）f(x,y)是D上關于x（或y）的偶函數(shù)時，有f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy；其DD1中D1是D落在y軸（或x軸）一側(cè)的那一部分地域.命題2若D關于x軸、y軸對稱，D1為D中對應于x≥0,y≥0（或x≤0,y≤）的部分，0則4f(x,y)dxdy,f(x,y)f(x,y)f(x,y),f(x,y)dxdyD1D0,f(x,y)或f(x,y)f(x,y).命題3設積分地域D對稱于原點，對稱于原點的兩部分記為D1和D2.（1）若(x,)(,),則f(,)d2f(,)d;fyfxyxyxyDD1（2）若(x,)(,),則f(,)d0.fyfxyxyD命題4積分地域D關于x,y擁有輪換對稱性，則f(x,y)df(y,x)d1f(y,x)]d[f(x,y)DD2D記D位于直線y=x上半部分地域為D1則,f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy,f(y,x)f(x,y),D1D0,f(y,x)f(x,y),種類（二）計算積分地域擁有對稱性，被積函數(shù)擁有奇偶性的三重積分.常用下述命題簡化擁有上述性質(zhì)的三重積分的計算.命題1若Ω關于xOy平面對稱，而Ω1是Ω對應于z≥0的部分，則0,f(x,y,z)f(x,y,z),(x,y,z),f(x,y,z)d2f(x,y,z)d,f(x,y,z)f(x,y,z),(x,y,z);1若Ω關于yOz平面（或zOx平面）對稱，f關于x（或y）為奇函數(shù)或偶函數(shù)有近似結(jié)論.命題2若Ω關于xOy平面和xOz平面均對稱（即關于x軸對稱），而Ω1為Ω對應于z≥0,y≥0的部分，則4f(x,y,z)d,當關于為偶函數(shù)，fy,zf(x,y,z)d1，當關于或為奇函數(shù)；0fyz若Ω關于xOz平面和yOz平面均對稱（即關于z軸對稱），也許關于xOy平面和yOz平面均對稱，那么也有近似結(jié)論.命題3若是積分地域Ω關于三個坐標平面對稱，而Ω1是Ω位于第一象限的部分，則8f(x,y,z)d當關于均為偶函數(shù)，,fx,y,zf(x,y,z)d1，當關于或或為奇函數(shù)；0fxyz命題4若積分地域Ω關于原點對稱，且被積函數(shù)關于x,y,z為奇函數(shù)，即f(x,y,z)f(x,y,z),則f(x,y,z)d0.題型三計算積分地域擁有輪換對稱性的三重積分命題5若是積分地域關于變量x,y,z擁有輪換對稱性（即x換成y,y換成z,z換成x，其表達式不變），則f(x,y,z)df(y,z,x)df(z,x,y)d1.f(y,z,x)f(z,x,y)]d[f(x,y,z)31.2利用積分地域的對稱性化簡第一類曲線積分、曲面積分題型一計算積分曲線（面）擁有對稱性的第一類曲線（面）積分種類（一）計算積分曲線擁有對稱性的第一類曲線積分命題設曲線L關于y軸對稱，則2f(x,y)ds,關于是偶函數(shù)，L1f(x,y)ds其中L1是L在x≥0的那段L0，關于是奇函數(shù)，f(x,y)x曲線，即L1是L在y軸右側(cè)的部分；若曲線L關于x軸對稱，則有上述近似結(jié)論.命題設f(x,y)在分段圓滑曲線L上連續(xù)，若L關于原點對稱，則0,若f(x,y)關于為奇函數(shù)，1為L的右半平f(x,y)ds(x,y)，L若關于為偶函數(shù)，f(x,y)L(x,y)面或上半平面部分.種類（二）計算積分曲面擁有對稱性的第一類曲面積分第一類曲面積分的奇偶對稱性與三重積分近似，可利用下述命題簡化計算.命題設積分曲面Σ關于yOz對稱，則0,f(x,y,z)dS2f(x,y,z)dS1

當f(x,y,z)關于x為奇函數(shù)，其中Σ1是Σ在yOz當f(x,y,z)關于x為偶函數(shù)，面的前側(cè)部分.若Σ關于其他兩坐標面有對稱性，則有近似結(jié)論.注意不能夠把Σ向xOy面上投影，因第一類曲面積分的Σ投影域面積不能夠為0.題型二計算平面積分曲線關于y=x對稱的第一類曲線積分命題若L關于直線y=x對稱，則f(x,y)dsf(y,x)ds.LL題型三計算空間積分曲線擁有輪換對稱性的第一類曲線積分命題若曲線Γ方程中的三變量x,y,z擁有輪換對稱性，則xdsydszds,x2dsy2dsz2ds.1.3利用積分地域的對稱性化簡第二類曲線積分、曲面積分題型一計算積分曲線擁有對稱性的第二類曲線積分第二類曲線積分的奇偶對稱性與第一類曲線積分相反，有下述結(jié)論.命題1.3.1設L為平面上分段圓滑的定向曲線，P(x,y),Q(x,y)連續(xù)，（1）L關于y軸對稱，L1是L在y軸右側(cè)部分，則0,P(x,y)dxL2P(x,y)dx,L10,Q(x,y)dyL2Q(x,y)dy,L1

若P(x,y)關于x為奇函數(shù)，若P(x,y)關于x為偶函數(shù)；若Q(x,y)關于x為偶函數(shù)，若Q(x,y)關于x為奇函數(shù).（2）L關于x軸對稱，L1為L在x軸上側(cè)部分，則0,P(x,y)dxP(x,y)dx,L2L10,Q(x,y)dyQ(x,y)dy,L2L1

若P(x,y)關于y為偶函數(shù)，若P(x,y)關于y為奇函數(shù)；若Q(x,y)關于y為奇函數(shù)，若Q(x,y)關于y為偶函數(shù).（3）L關于原點對稱，L1是L在y軸右側(cè)或x軸上側(cè)部分，則P(x,y)dxQ(x,y)dy0,若P(x,y),Q(x,y)關于(x,y)為偶函數(shù)，2L1PdxQdy,若P(x,y),Q(x,y)關于(x,y)為奇函數(shù).LL（4）L關于y=x對稱，則P(x,y)dxQ(x,y)dyP(y,x)dyQ(y,x)dxP(y,x)dyQ(y,x)dx.LLL即若L關于y=x對稱，將x與y對調(diào)，則L關于直線y=x翻轉(zhuǎn)，即L化為L—.所以第二類曲線積分沒有輪換對稱性.題型二計算積分曲面擁有對稱性的第二類曲面積分命題設Σ關于yOz面對稱，則2P(x,y,z)dydz,當P(x,y,z)關于為奇函數(shù)，P(x,y,z)dydz1x當P(x,y,z)關于為偶函數(shù)0,x.其中Σ1是Σ在yOz面的前側(cè)部分.這里對坐標y和z的第二類曲面積分只能考慮Σ關于yOz面的對稱性，而不能夠考慮其他面，這一點也與第一類曲面積分不同樣.交換積分次序及變換二次積分題型一交換二次積分的積分次序※直接例題，無講解.題型二變換二次積分變換二次積分是指將極坐標系（或直角坐標系）下的二次積分變換成直角坐標系（或極坐標系）下的二次積分.由極坐標系（或直角坐標系）下的二次積分的內(nèi)外層積分限寫出相應的二重積分地域D的極坐標（或直角坐標）表示，再確定該地域D在直角坐標系（或極坐標系）中的圖形，爾后配置積分限.計算二重積分題型一計算被積函數(shù)分地域給出的二重積分含絕對值符號、最值符號max或min及含符號函數(shù)、取整函數(shù)的被積函數(shù)，實質(zhì)上都是分地域給出的函數(shù)，計算其二重積分都需分塊計算.題型二計算圓域或部分圓域上的二重積分當積分地域的界線由圓弧、過原點的射線（段）組成，而且被積函數(shù)為xnymf(x2y2)或xnymf(y/x)的形狀時，常作坐標變換xrcos,yrsin，利用極坐標系計算比較簡單.為此，引進新變量r,θ,獲取用極坐標（r，θ）計算二重積分的公式：f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrd（其中rdθdr是極坐標系下的面積元素）.DD'用極坐標系計算的二重積分，就積分地域來說，常是圓域（或其一部分）、圓環(huán)域、扇形域等，可按其圓心所在地址分為下述六個種類（其中a,b,c均為常數(shù)）.種類（一）2≤a上的二重積分.計算圓域x2+y種類（二）2≤2ax上的二重積分.計算圓域x2+y種類（三）2≤-2ax上的二重積分.計算圓域x2+y種類（四）2≤2ay上的二重積分.計算圓域x2+y種類（五）2≤-2ay上的二重積分.計算圓域x2+y種類（六）計算圓域x2+y2≤2ax+2by+c上的二重積分.計算三重積分題型一計算積分地域的界線方程均為一次的三重積分當積分地域Ω主要由平面圍成時，宜用直角坐標系計算，若是積分地域Ω的界線方程中含某個坐標變量的方程只有兩個，則可先對該坐標變量積分。題型二計算積分地域為旋轉(zhuǎn)體的三重積分可采用柱面坐標計算。特別當被積函數(shù)是兩個變量的二次齊式時，常用柱面坐標計算。題型三計算積分地域由球面或球面與錐面所圍成的三重積分積分地域為球面或球面與錐面所圍成的三重積分，采用球面坐標系計算能夠減少計算工作量，特別當被積函數(shù)為形如xmynzlf(x2y2z2)的形式時，常用球面坐標系計算三重積分。用球面坐標計算三重積分時，第一，應明確球面坐標變換xsincos，yrsinsin，rcos及其參數(shù)ρ，θ，φ幾何意義；其次，要記住球面坐標變換后的體積元素為dV2sinddd；最后，依照積分地域的幾何形狀及ρ，θ，φ的幾何意義正確定出三重積分的積分限。本題型還可以夠采用柱面坐標及先二后一的方法進行計算。題型四計算被積函數(shù)最少缺兩個變量的三重積分法一用先二后一法（截面法）計算當被積函數(shù)最少缺兩個變量且平行于所缺兩變量的坐標面的截面面積又易求時，可用下述公式將三重積分化為定積分求之。為方便計，設被積函數(shù)為f(x)，則z2z2f(z)dz，f(z)dvf(z)dzdxdz(D(z)的面積)z1z1D(z)其中z1，z2是Ω向z軸投影而獲取的投影區(qū)間[z1，z2的端點，而D(z)是用垂直于z軸（平]行于xOy平面）的平面截Ω所得的截面，如D(z)的面積易求出，則上述積分即可求出。易知當積分地域Ω由橢球面、球面、柱面、圓錐面或旋轉(zhuǎn)面等曲面或其一部分所圍成時，相應截面D(x)或D(y)或D(z)為圓域，其面積S(x)或S(y)或S(z)易求出。若是被積函數(shù)又最少缺兩個變量，可先對所缺的兩個變量積分，用先二后一法計算其三重積分。法二用重心計算公式求之當被積函數(shù)只有一個變量，而Ω的體積又易求出，則可利用重心計算公式求其三重積分。題型五計算易求出其截面地域上的二重積分的三重積分可用先二后一法計算。誠然這時界面地域上的二重積分不等于其面積，但由于易求出其值，再計算一個單積分，該三重積分也就求出。這時對被積函數(shù)不能作要求。當截面為圓域或其一部分，被積函數(shù)又為f(x2y2)型，常采用上法計算其三重積分，且常用極坐標計算其截面地域上的二重積分。所以當Ω為旋轉(zhuǎn)體時，其上的三重積分也可用上法求之。計算曲線積分題型一計算第一類平面曲線積分計算這類曲線積分的主要方法是依照積分曲線方程的種類（直角坐標、極坐標、參數(shù)方程），正確寫出弧長元素ds的表達式，將第一類曲線積分轉(zhuǎn)變?yōu)槎ǚe分（其下限必不高出上限）的計算。計算中要向來注意利用曲線方程化簡被積函數(shù)（由于在積分過程中動點向來沿著曲線移動，從而其坐標滿足曲線方程），這是計算曲線（面）積分特有的方法，所以可用曲線方程化簡被積函數(shù)。代換后歸納為計算kdSkL，而L的弧長是已知的或易求的。L其他，還應注意曲線的對稱性及被積函數(shù)的奇偶性和周期性和物質(zhì)曲線的重心簡化計算。注意若曲線有對稱性，誠然整個被積函數(shù)不用然關于x（或y）為奇、偶函數(shù)，但可進一步察看其某一部分可否擁有奇偶性，盡量利用對稱性簡化計算。題型二求解平面上與路徑?jīng)]關的第二類曲線積分有關問題種類（一）判斷（證明）平面曲線積分與路徑?jīng)]關，并求該積分定理5.1滿足以下四條件之一，則積分PdxQdy在L所圍的地域D內(nèi)與路徑?jīng)]關：L（1）存在u(x,y)使得duPdxQdy((x,y)D)；（2）若D為單連通地域，且QP((x,y)D)（；但若D不是單連通地域，QPxyxy在D內(nèi)建立，不能夠證明PdxQdy在D內(nèi)與路徑?jīng)]關）L（3）PdxQdy0，l為D內(nèi)任一分段圓滑閉曲線；L（4）若D為有唯一奇點M0的復連通域，存在一條環(huán)繞M0的路徑C，使PdxQdy0。C關于單連通地域D，為證Pdx+Qdy存在原函數(shù)u(x,y)，使du=Pdx+Qdy?？紦?jù)PQyx建立。若在單連通地域D內(nèi)積分與路徑?jīng)]關，則可在D中采用特其他路徑計算u(x1,y1)(x1,y1)Qdy，其中右端積分為終點變動的積分，平時取D中平行于坐標軸的Pdx(x0,y0)折線路徑計算，設(x00為D內(nèi)任一點有,y)(x1,y1)Qdyx1P(x,y0)dxy1u(x1,y1)Pdxx0Q(x1,y)dy，(x0,y0)y0或u(x1,y1)(x1,y1)y1y1PdxQdyP(x0,y)dyQ(x,y1)dx.(x0,y0)y0y0若找到了原函數(shù)u(x,y),則LPdxQdyLdu(x,y)(x1,y1)u(x0,y0).u(x,y)(x0,y0)u(x1,y1)種類（二）求平面上與路徑?jīng)]關的第二類平面曲線積分被積式中的待定函數(shù)或常數(shù)在單連通地域內(nèi)由PQ或其他與積分路徑?jīng)]關的等價條件建立待定函數(shù)(或常數(shù))yx所滿足的微分方程,求解次微分方程即可確定所求函數(shù)(或常數(shù)).種類（三）證明Pdx+Qdy存在原函數(shù)u(x,y)并求出u(x,y).定理5.2設P(x,y),Q(x,y)在地域D上連續(xù),則PdxQdy在D內(nèi)與路徑?jīng)]關的充要條件是L在D內(nèi)存在函數(shù)u(x,y)使du(x,y)PdxQdy(即uP,uQ).xy值得注意的是,定理5.2只要P,Q在地域D上連續(xù),對地域D是單連通或復連通都建立.由該定理可知,談論PdxQdy可否與路徑?jīng)]關與談論Pdx+Qdy可否存在原函數(shù)是一回L事.題型三計算平面上與路徑有關的第二類曲線積分誠然題型不同樣,計算第二類曲線積分方法有別,但將曲線L的方程代入被積式,化簡被積函數(shù),及利用各種對稱性簡化計算是計算第二類曲線積分的各種題型都采用的方法和技巧.種類（一）計算平面上與路徑有關的平面曲線積分求法一用格林公式求之由PQ知,曲線積分PdxQdy與路徑有關,所以不能夠改變其積分路徑求積分,其yxL值可用格林公式求之.該法是計算平面上第二類曲線積分的重要方法.常有以下三種情況:(1)曲線積分滿足格林公式的各個條件,可使用該公式將曲線積分轉(zhuǎn)變?yōu)槎胤e分求之.(2)曲線不封閉,增加輔助線(比方增加平行于坐標軸的直線段使之組成封閉曲線),爾后用格林公式把求曲線積分轉(zhuǎn)變?yōu)橐浊蟮亩胤e分及輔助線上的曲線積分.L所圍地域含P,Q不連續(xù)點時,想法使用格林公式.這時L所圍地域為復連通地域,想法去掉P,Q不連續(xù)的點,常用下述各法求出其積分.方法一將L的方程代入被積函數(shù),有時可去掉其不連續(xù)的點.方法二構(gòu)造單連通地域D.常用摳除P,Q不連續(xù)點的小(橢)圓與曲線L和其他曲線圍成單連通地域D,再在D上使用格林公式.方法三使用下述復連通域上的格林公式求之.命題5.1(復連通域上的格林公式)設P(x,y),Q(x,y)在D內(nèi)有一階連續(xù)偏導數(shù),且Q在D內(nèi)各處建立.L1,L2是任意兩條通向閉路徑,且在各自所圍的地域內(nèi)有同樣的不yx屬于D的點(稱為奇點或洞點),則PdxQdyPdxQdy.L1L2求法二寫出積分曲線的參數(shù)方程化為定積分計算計算與路徑有關又不便使用格林公式的第二類曲線積分時,常寫出其參數(shù)方程,化為定積分計算.題型四計算空間第二類曲線積分計算沿空間閉合曲線的第二類曲線積分常用下述各法..法一借助曲線的參數(shù)方程,化為定積分計算.法二投影到坐標面上,化為平面上第二類曲線積分計算.因第二類曲線積分是對坐標的曲線積分,dx,dy,dz是有向弧長元素在各坐標軸上的投影,可將空間曲線上的第二類曲線積分投影到坐標面上去計算.當曲線方程含一次方程時,常將一個變量用其他兩個變量表示的式子代入被積式,被積函數(shù)就化成二元函數(shù),積分曲線就向相應坐標面上投影,空間曲線積分就化為平面曲線積分.再用格林公式可化為二重積分計算.法三用斯托克斯公式轉(zhuǎn)變?yōu)榍娣e分計算.特別當曲線Γ封閉,且被積函數(shù)為x,y,z的一次或二次多項式,空間曲線所張成的曲面為平面片或為部分球面比較簡單常常用此法求之.求時要注意由Γ的定向按右手法規(guī)確定曲面的定向.特別當F(P,Q,R),rotF0時,可選擇特其他積分路徑求PdxQdyRdz.※使用上述三法計算時,還應注意將曲線方程代入被積函數(shù)以化簡被積式,空間第二類曲線積分對稱性的情況同平面曲線第二類曲線積分近似,且同樣要加以充分利用以化簡計算.法四當Pdx+Qdy+Rdz的原函數(shù)存在并易求時,經(jīng)過求原函數(shù)求得曲線積分.計算曲面積分題型一計算第一類曲面積分種類（一）計算與曲面外法線向量沒關的第一類曲面積分這類曲面積分算法是將曲面積分化為投影地域上的二重積分,為此,需按以下步驟進行(1)確定曲面Σ的方程,積分曲面的顯式表示應當是單值函數(shù),否則需將曲面Σ分片,使分片后的各片曲面為單值函數(shù);(2)由曲面Σ的方程(比方z=z(x,y))算出曲面微元dS(比方dS1zx'2zy'2dxdy);(3)由曲面方程及題中所指出的范圍確定曲面在相應的坐標面(例如xOy平面)上的投影地域(比方Dxy),爾后將Σ的方程及dS的表達式代入被積式,且將積分地域變?yōu)橥队暗赜?余下的就是計算二重積分.上述求解過程可歸納為必然(曲面Σ的方程)、二求（曲面微元dS）、三代（將Σ的方程及dS的表示式代入被積式）、四代替（將積分地域Σ用投影地域代替）、五計算（二重積分）.由于第一類曲面積分不考慮曲面的側(cè),利用對稱性的情況與重積分近似,且解題中同樣要充分利用,其他還可以夠利用物質(zhì)曲面的重心簡化計算.種類（二）計算與曲面外法線向量有關的第一類曲面積分利用第一類與第二類曲面積分之間的關系,有時將第一類曲面積分轉(zhuǎn)變?yōu)榈诙惽娣e分,再用高斯公式:AdSAndSdivAdv,PdydzQdzdxRdxdz(PcosQcosRcos)dS(PQR)dv.xyz或利用斯托克斯公式化為第二類曲線積分rotFndSFds計算.題型二計算第二類曲面積分法一化為投影地域上的二重積分計算以計算R(x,y,z)dxdy為例的計算步驟為(1)確定積分曲面Σ的方程z=z(x,y)及其在xOy面上的投影地域Dxy,并確定曲面的側(cè)是上側(cè)還是下側(cè);(2)把曲面方程z=z(x,y)代入被積函數(shù)中,獲取R(x,y,z)dxdy若曲面Σ是由方程z=z(x,y)所給出的曲R(x,y,z(x,y))dxdy,Dxy面上側(cè),取正號,否則取負號.其他,兩個積分P(x,y,z)dydz及Q(x,y,z)dzdx可近似計算.這樣需將一個完滿的積分向三個坐標面投影.若是曲面方程由z=z(x,y)給出,也可由下述命題,將三個坐標面上的積分轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€坐標面上的積分.此法常成為合一投影法.利用上述方法計算曲面積分時,仍需注意利用奇偶性、對稱性簡化計算.命題6.1若定曲面Σ由方程z=z(x,y)給出,Σ在xOy平面上的投影地域為Dxy,z(x,y)在Dxy上有連續(xù)的偏導數(shù),P,Q,R在Σ上連續(xù),則PdydzQdzdxRdxdyP(x,y,z(x,y))zQ(x,y,z(x,y))zR(x,y,z(x,y))dxdyxy其中正負號由Σ的定向確定:法向量指向上側(cè)取正號,否則取負號.若將Σ投影到y(tǒng)Oz或zOx平面可得近似計算公式.設曲面Σ由方程z=z(x,y)給出,當Σ取上側(cè)時,有coszx'zy,cos1,,cos'2'2'2'2'2'21zxzy1zxzy1zxzy而dxdycosdS,dzdxcosdS,dzdycosdS,故dSdydzdzdxdxdy,coscoscos即dydzcosdxdyzx'dxdy,dzdxcosdxdyz'ydxdy.coscos于是PdydzQdzdxRdxdy(z'Pz'QRdxdy,xy)這樣三個坐標面上的積分就轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€坐標面上的積分.同樣,若曲面Σ由方程x=x(y,z)或y=y(x,z)表示且將Σ投影到y(tǒng)Oz或zOx平面也可獲取近似公式.一般地,若是曲面方程由z=z(x,y)給出較簡單.比方,曲面為平面或為旋轉(zhuǎn)拋物面等可用上述合一投影法求其上的第二類曲面積分.法二使用高斯公式求之高斯公式設空間閉地域是由分片圓滑的閉曲面Σ所圍成,函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在地域Ω上擁有一階連續(xù)偏導數(shù),則有PdydzQdzdxRdxdyPQRdv,xyz或(PcosQcosRcos)dSPQRdv.xyz這里Σ是Ω的外側(cè),cosα,cosβ,cosγ是Σ的外法向量的方向余弦.以上兩式均為高斯公式.在以上兩式中令P=x,Q=y,R=z即得V(的體積)1ydzdxzdxdy,xdydz3或V(的體積)1ycoszcos)dS.(xcos3使用高斯公式計算第二類曲面積分有下述幾種情況:曲面積分PdydzQdzdxRdxdy滿足高斯公式的多個條件(