大一上學(xué)期高數(shù)知識(shí)點(diǎn)

PAGEPAGE80第二章導(dǎo)數(shù)與微分一、主要內(nèi)容小結(jié)1.定義·定理·公式（1）導(dǎo)數(shù)，左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)，微分以及導(dǎo)數(shù)和微分的幾何意義（2）定理與運(yùn)算法則定理1存在.定理2若在點(diǎn)處可導(dǎo)，則在點(diǎn)x處連續(xù)；反之不真.定理3函數(shù)在處可微在處可導(dǎo).導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則：設(shè)均可導(dǎo)，則,,，（3）基本求導(dǎo)公式2.各類函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法（1）復(fù)合函數(shù)微分法（2）反函數(shù)的微分法（3）由參數(shù)方程確定函數(shù)的微分法（4）隱函數(shù)微分法（5）冪指函數(shù)微分法（6）函數(shù)表達(dá)式為若干因子連乘積、乘方、開方或商形式的微分法.方法：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法（即先對(duì)式子的兩邊取自然對(duì)數(shù)，然后在等式的兩端再對(duì)求導(dǎo)）.（7）分段函數(shù)微分法3.高階導(dǎo)數(shù)（1）定義與基本公式高階導(dǎo)數(shù)公式：萊布尼茲公式：（2）高階導(dǎo)數(shù)的求法①直接法②間接法4.導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用(1)求曲線的切線、法線(2)求變化率——相關(guān)變化率二、例題解析例2.1設(shè),（K為整數(shù)）.問：（1）當(dāng)K為何值時(shí)，在處不可導(dǎo)；（2）當(dāng)K為何值時(shí)，在處可導(dǎo)，但導(dǎo)函數(shù)不連續(xù)；（3）當(dāng)K為何值時(shí)，在處導(dǎo)函數(shù)連續(xù)？解函數(shù)在x=0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)：===即當(dāng)時(shí),的導(dǎo)函數(shù)為：常見錯(cuò)解：。錯(cuò)誤原因沒有搞清求導(dǎo)對(duì)象.是一階導(dǎo)數(shù)對(duì)求導(dǎo),而是一階導(dǎo)數(shù)對(duì)t求導(dǎo)。例2.7求函數(shù)的微分。解==例2.8設(shè),求。分析本例是求分式有理函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，先將有理假分式通過多項(xiàng)式除法化為整式與有理真分式之和，再將有理分式寫成部分分式之和，最后仿的表達(dá)式寫出所給定的有理函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。解===（）例2.9設(shè)求的導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)區(qū)間，若間斷，判別類型，并分別作與的圖形。分析函數(shù)是用分段表達(dá)的函數(shù).在的兩側(cè)：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因此，在處，的可導(dǎo)情況，需根據(jù)定義來作判斷，求出導(dǎo)函數(shù)后，再判別它的連續(xù)區(qū)間。解因?yàn)?，所以在處不可?dǎo)。故 。因?yàn)樵谔師o定義，所以是的間