2022版新高考版高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué) 5 .2 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

§5.2平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

一五年局)考一

考點(diǎn)1數(shù)量積的定義及夾角與模問(wèn)題

1.(2020課標(biāo)〃文,5,5分)已知單位向量a*的夾角為60°，則在下列向量中，與。垂直的是

()

A.吩2bB.2a+bC.a~2bD.2a-b

答案I)

2.(2019課標(biāo)〃理,3,5分)已知同42,3),定=(3,t),近|=1廁布?BC=()

A.-3B.-2C.2D.3

答案c

3.(2021全國(guó)甲文,13,5分)若向量a,〃滿(mǎn)足㈤=3,|4引=5,a?a1,則|b\=.

答案3V2

4.(2021全國(guó)乙理,14,5分)已知向量小(1,3),為(3,4),若(％A6)，”則八.

口呆5

解題指導(dǎo)根據(jù)加入3得(片A6)加0,再轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算得到關(guān)于A的方程求解即可.

5.(2020課標(biāo)/理14,5分)設(shè)a,6為單位向量,且|a坳=l廁|a-引=.

答案V3

6.(2020課標(biāo)〃理,13,5分)已知單位向量a/的夾角為45:ka-b與a垂直則k=.

分寶巡

口呆2

7.(2020課標(biāo)/文,14,5分)設(shè)向量華(1,-1),歸加1,2叱4),若虹6則ZZF.

答案5

8.(2019課標(biāo)〃匹里13,5分)已知a力為單位向量，且a?爐0,若02廿遍勿則

cos<^c>=.

答案I

9.(2019天津，文14,理14,5分)在四邊形池力中價(jià)2百,/分5/4=30。，點(diǎn)￡在線段

%的延長(zhǎng)線上，且4后跳;則麗?AE=.

答案T

以下為教師用書(shū)專(zhuān)用(1一8)

1.(2015山東理,4,5分)已知菱形被力的邊長(zhǎng)為a.ZABO&O°，則前-CD=()

A.~^aB.--a2C.-aD.)

答案D前?CD=(BC+CD)?CD=BC?CD+CD2^a+a^a.

2.(2015課標(biāo)〃文,4,5分)向量產(chǎn)(1,-1),岳(-1,2),則(2a+6)?葉()

A.-lB.0C.1D.2

答案C因?yàn)?濟(jì)樂(lè)2(1,7)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以

(2a+6)?a=(l,0)?(1廠1)=1*1+0*(-1)=1.故選。

3.(2015IIS,7,5分)設(shè)四邊形4版為平行四邊形，荏|=6,|而|=4.若點(diǎn)跖V滿(mǎn)足

麗=3流，麗=2枇廁俞?麗:()

A.20B.15C.9D.6

答案C依題意有宿二荏+的=話(huà)+1正，麗二配+由二沆《玩W前2正，所以

43434

AM?麗=(萬(wàn)+源)?(?！荚掳酢督?=9

4.(2015廣東文,9,5分)在平面直角坐標(biāo)系xa中，已知四邊形力a'〃是平行四邊

形荏=(1,-2),而=(2,1),則而?砥()

A.5B.4C.3D.2

答案A---四邊形/靦是平行四邊形，，前=而+而X3,-1),：.AD?AC=2X3+1X(-1)=5.選

A.

5.(2014課標(biāo)〃，理3,文4,5分)設(shè)向量a/滿(mǎn)足1I2引=①,則a-b=()

A.1B.2C.3D.5

答案AV|a+b\=V10,/.a2+2a?ZH-Z>2=10.①

又a-b\=V6,/.a-2a?M-/f=6.②

①-②彳導(dǎo)4a?為4,即a?01,故選A.

6.(2014大綱全國(guó)文,6,5分)已知a、6為單位向量，其夾角為60。,則(2aV)?左()

A.-lB.0C.1D.2

答案B(2k6)?樂(lè)2a?爐|引Z=2X1X1XCOS60。-1W),故選B.

7.(2018上海,8,5分)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4-1,0).鳳2,0)￡F是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

且而|=2廁荏?前的最小值為.

答案-3

解析本題主要考查數(shù)量積的運(yùn)算以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題.設(shè)鳳0,勸,巴0,〃),又

止1,0),夙2,0),

.?.族=(1,項(xiàng)喬=(-2,力.

：.AE?前=-2+/犯又知|加,=2,<*.|nrn=2.

①當(dāng)〃尸加2時(shí),AE,品=/nn-2=(n+2)n~2=n'+2n~2=(加

.?.當(dāng)爐-1,即即,1),尺0,-1)時(shí)，荏?喬取得最小值-3.

②當(dāng)m=n~2時(shí),4E,BF=/7；/2-2=(/7-2)/7-2=/?2-2z?-2=(/?-l)"-3.

.?.當(dāng)爐1,即即,-1),尺0,1)時(shí)，荏?麗取得最小值-3.

綜上可知，荏?加的最小值為-3.

8.(2014重慶文,12,5分)已知向量a與b的夾角為60。，且爐(-2[6),|引RTU,則

a?b=.

答案10

解析由a=(-2,-6),^|a|=J(-2)2+(-6)2=2VT0,

a,ZF|a||61cos<a,6>=2VIUxVTUXcos60。=10.

考點(diǎn)2數(shù)量積的綜合應(yīng)用

1.(多選題)(2021新高考/,10,5分)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)/l(cosa,sin。)網(wǎng)cos￡,-sin

￡),A(cos(a+￡),sin(a+￡)),4(l,0),則()

A.\OPl\=\OP^\B.麗|=|麗I

—?―----?.>....■>，?----->-----，..>

C.OA?OP3=OP1?0P2D.OA?OP^OP2?0P3

答案AC

2.(2020新高考1,7,5分)已知產(chǎn)是邊長(zhǎng)為2的正六邊形政板內(nèi)的一點(diǎn)，則而幅的取值范

圍是()

A.(-2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(-4,6)

答案A

3.(2018天津理,8,5分)如圖，在平面四邊形/犯9中/反1線仞1切/班ZM20。，48=4廬1.若點(diǎn)

￡為邊切上的動(dòng)點(diǎn)，則荏?霜的最小值為()

答案A

4.（2021新高考〃/5,5分）已知向量a+b+eO,a|=1。力|二|c|=2,a?b^b?c+c?a=.

答案《

5.（2021浙江17,4分）已知平面向量a,6,c（cW0）滿(mǎn)足Ia|=1,㈤=2,a?b=0,（a-6）?c=0.記平面向

量d在a/方向上的投影分別為x,y,d-a在。方向上的投影為z廁的最小值

是.

答案|

6.（2020江蘇,13,5分）在△46C中，仍4,4信3/力伊90。，〃在邊比上，延長(zhǎng)/仞到4使得1尸9,

若悶=/痛+（|-m）而（勿為常數(shù)》則CD的長(zhǎng)度是.

答案漕或0

7.（2020北京,13,5分）已知正方形4靦的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)尸滿(mǎn)足而帶須+福，則

PD\=；麗?而=.

答案V5；-l

8.（2019江蘇,12,5分）如圖，在△4和中，〃是優(yōu)■的中點(diǎn)上在邊AB上曄2EA,AD與您交于點(diǎn)0.

若蓊-AC=6AO?無(wú)，則,的值是.

答案V3

9.（2020浙江,17,4分）已知平面單位向量為包,滿(mǎn)足12e-ei\W&.設(shè)3=?+因/>=32+外向量a,b

的夾角為火則co-0的最小值是.

28

10.(2020天津,15,5分)如圖，在四邊形能力中，/#60。乂莊3,除6,且而=ABC^D?AB=^,

則實(shí)數(shù)才的值為君必V是線段用上的動(dòng)點(diǎn)且而|=1,則麗?麗的最小值

為.

型崇1-12

口率6,2

以下為教師用書(shū)專(zhuān)用(1—33)

L(2019課標(biāo)〃文,3,5分)已知向量爐⑵3),爐(3,2),則1a-b|=()

A.V2B.2C.5V2D.50

答案A本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量模的計(jì)算;考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

,/疔⑵3),左(3,2),，4爐(T,1),A|a-b\=JQi/+12八巨,故選卜.

一題多解；a=(2,3),左⑶2),；.a|2=13,1引2=1'a?—12廁

!a-b\=Va2-2a-b+fa2=V13-2x12+13=V2.故選A.

2.(2018天津文,8,5分)在如圖的平面圖形中，已知〃滬1,&32,乙發(fā)滬120°,RM=2M4,C/V=2AM,

則近?麗的值為()

A.-15B.-9C.-6D.0

答案C本題考查向量的運(yùn)算.

解法一：連接見(jiàn)?.?裕宿荏=3而-3麗=3(麗-明-3畫(huà)-明=3(而-麗)，

：.BC-OM=3(ON-OM)-OM=3(ON?OM-|OM|2)=3X(2X1Xcos120°-l>3X(-2)=-6.

選C.

解法二在中,不妨設(shè)/力=90。，取特殊情況QA比房以/I為坐標(biāo)原點(diǎn)，用北所在直線分別

為A?軸J軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

因?yàn)榕?20°，〃忙2,〃滬1,

所以?xún)z，史40,苧），心。）儂,01

故近.OM=（-y,竽）.G「苧卜一竽一孑一6.故選C.

3.（2017課標(biāo)〃理12,5分）已知△/比＞是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形/為平面48C內(nèi)一點(diǎn)，則

PA?（而+正）的最小值是（）

74

A.-2B.TC.TD.-1

23

答案B設(shè)歐的中點(diǎn)為〃?!〃的中點(diǎn)為￡則有而+配二2所，

_.…>-'111>>.

貝?。軵A?(PB+PC)=2PA?PD

二2（匠+瓦5）?（哈麗二2（即2一麗2）

2

而荏2=俘)=|,

當(dāng)P與〃重合時(shí)，刀2有最小值0,故此時(shí)同?（而+麗）取最小值,

最小值為-2而2=_2X*=-|.

方法總結(jié)在求向量數(shù)量積的最值時(shí)，常用取中點(diǎn)的方法，如本題中利用方?麗=而2_a2可

快速求出最值.

一題多解以46所在直線為x軸的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖,

則止1,0）風(fēng),0）40,遍），設(shè)玉,力取的中點(diǎn)〃則

哈f）-福?（而+西=2對(duì)?而=2（-1-%-舊?Q-X,y-y）=2［（x+1）?（X-0+

y,（廠苧）卜2卜+丁+（廠f）2-非

因此當(dāng)?shù)r(shí)歷?（麗+而取得最小值，為2乂（-3=-|,故選人

4.（2016課標(biāo)〃3,3,5分）已知向量年（1,磯先（3,-2）,且（）■歷_1_白貝［］〃尸（）

A.-8B.-6C.6I).8

答案D由題可得K房(4,獷2),又(a+b)_Lb,：,4X3-2X(〃尸2)=0,:.爐8.故選D.

5.（2016四川文,9,5分）已知正三角形4回的邊長(zhǎng)為28，平面/員內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)修獷滿(mǎn)足

而1=1,兩=砒，則|麗「的最大值是（）

I37+2聞

B49c37+6后

44以一4—

答案B以4為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

貝［|zl(0,0),6(2V3,0)XV3,3).

設(shè)玉,力：|而=1,.\/+/=1,

■:司=前,；為陽(yáng)的中點(diǎn)，

?W吟）,

...麗『二卓"⑹2+（”）2興3產(chǎn)中產(chǎn)9手匕

又當(dāng)片T時(shí),1麗「取得最大值，且最大值為

4

思路分析由△/優(yōu)為正三角形,IAPI=1,考慮到用建立平面直角坐標(biāo)系的方法來(lái)解決向量問(wèn)

題.

評(píng)析本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化與化歸思想.

6.(2015福建文,7,5分)設(shè)行(1,2),從(1,1)尸界她若虹母則實(shí)數(shù)/『的值等于()

A.T3B.T5C?；5D.：3

2332

答案Ac=a^kb=(l+k,2+埒.由b_Lc,得b?片0,即1+4+2+公0,解得A=-|.故選A.

7.(2015重慶理,6,5分)若非零向量a,b滿(mǎn)足|a\弩|b\，且(卅份±(3^+2份則a與b的夾角為

()

A.7B、C.vD.JT

424

答案A丁(b6)_L(3a+26),；.(①功?(35+26)=0=31a|"a?ZT"2|。|J0=31a|"Ta|,Ib\,cos

<a,b>-2\b\2=0.

又：|a|=^竽|?cos<a,Z>>-21b\2=0./.cos<a,Z>>=y.V<a,b>G[0,Jt],

...<a,6>q.選A.

8.(2015重慶文,7,5分)已知非零向量a/滿(mǎn)足㈤=41a],且a，(2K垃則a與b的夾角為

()

A*B.-C.—D.—

3236

答案c因?yàn)閍_L(2K?所以a?(2a+力0,

2

得至(Ia?b=-2㈤；設(shè)a與b的夾角為。，則cos又0W。Wn，所以。丹,

ab4\a\23

故選c.

9.(2014大綱全國(guó)理,4,5分)若向量a、。滿(mǎn)足：|a|=l,(a+6)J_a,(2a+6)J_〃則b=()

A.2B.V2C.1D.y

答案B由題意得[a=°：+a'^=01產(chǎn)-2/+廬0,即-2㈤2+120,又

（（2a+b）?b=2a?b+/=0

\a\=l,：."=血.故選B.

10.（2016課標(biāo)〃/3,5分）已知向量瓦,3則//此（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

答案Acos/ABe當(dāng)，B"=）所以48信30。，故選A.

BA\*BC2

思路分析由向量的夾角公式可求得cos//比的值進(jìn)而得/力比、的大小.

11.（2016北京,4,5分）設(shè)切是向量.則"聞=|""是"\a+b\=\a-b\u的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案D當(dāng)|a|=|6]=0時(shí),|a|=|6=1a+6|=|a-引.

當(dāng)a|=|6|W0時(shí),a+b\=|a-b\<=>（a+/>）2=（a-/>）2<=>a,尻Ooa_L6推不出Ia|=|引.同樣，由

|a|=引也不能推出a_L6.故選D.

解后反思由向量加法、減法的幾何意義知:當(dāng)a、6不共線，且|a|=|引時(shí),a+6與a-6垂直；

當(dāng)a_L6時(shí),|a+b\=\a-b\.

12.（2016山東,8,5分）已知非零向量滿(mǎn)足41屈=3㈤,cos〈網(wǎng)。>總?cè)魖?!（W"）,則實(shí)數(shù)t的

值為（）

9Q

A.4B.-4C.7D.-7

44

2

答案B因?yàn)椤╛L（〃加力所以tin9加〃J。,所以m?止-卜,又41%|=31刀|,

所以cos<e〃）_7n.y1二力/?；__1二"，所以t=-4.故選B.

13.（2016課標(biāo)/,13,5分）設(shè)向量爐（向1）,以1,2）,且|KZ?「二|a「+|此則nF.

答案-2

解析由Ia^b\2-\a「+|解可得a?b=0,：,a?k/2=0,：,nF-2.

思路分析由I卅42=|、川:得a?/0,然后^用數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到關(guān)于ni的方程，解

方程求得加

14.(2018北京文,9,5分)設(shè)向量年(1,0),以-1,立若a，(而a-切則nF.

答案T

解析本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.

,.,a=(L0),/>=(T㈤,.Ia?=l,a,b=~l,

由a_L(ma-6)得a?(ma-6)=0,

BPma-a,b=0,

即2zr(-l)=0,/zF-l.

15.(2017課標(biāo)/理,13,5分)已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|引=1,則Ia+2〃=.

答案2小

解析本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算.

由題意知a*b=\a\'|b\cos60°=2X1x1=l,則|a+28°=(/2夕=|a\'+4\b\'+4a,Z>=4+4+4=12.

所以|步2引=2V1

16.(2017課標(biāo)/文,13,5分)已知向量a=(-l,2),Z>=(ffl,l).若向量a+力與a垂直，則nF.

答案7

解析本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.

.??京(T,2),ZF(q1),；?丁》(獷*1,3》又(a+b)J_a,

?齊^(/ZLD+G=0,解得m7.

17.(2016課標(biāo)/文,13,5分)設(shè)向量田(％x+l),以1,2),且己，白貝1|x=.

答案_|

解析因?yàn)閍±6,所以戶(hù)2(戶(hù)1)=0,解得k|.

易錯(cuò)警示混淆兩向量平行與垂直的條件是造成失分的主要原因.

18.（2016山東文,13,5分）已知向量爐（1,-1）#（6[4）.若a，（ta坳，則詡力的值

為.

答案與

解析因?yàn)閍_L&a+6）,所以a?（為地）=0,即ta'+a?爐0,又因?yàn)闋t（1,-1）,比（6,-4）,所以

\a\=y/2,a-爐IX6+（-1）X（-4）=10,因此可得2萬(wàn)10=0,解得t=-5.

評(píng)析本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算,向量的模以及兩向量垂直的充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)，考

查學(xué)生的運(yùn)算求解能力以及方程思想的應(yīng)用.

19.（2016北京文,9,5分）已知向量護(hù)（1,75）,爐（遮,1）,則a與6夾角的大小為-

林空-

口木6

的??/Q,blxV3+V3xlV3

解析.cos<a,6T2X2F

與6夾角的大小為a

o

20.（2015浙江,13,4分）已知a,會(huì)是平面單位向量，且a?a=1.若平面向量〃滿(mǎn)足b?ei=b?&=：!,

則b\=.

答案|V3

解析令&與ez的夾角為。，：.e?僉=|ej,Iei\cos?=cos，又0°W“W

180°,；.8=60。.因?yàn)??g-金）=0,所以6與砥?的夾角均為30°,從而|引=嬴&=|技

21.（2014課標(biāo)/理,15,5分）已知4蜜為圓。上的三點(diǎn)若前4（四+硝廁而與血的夾角

為.

答案90。

解析由布寄將硝可知。為a’的中點(diǎn)即砥為圓。的直徑，又因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角為

直角，所以N的e90°，所以四與前的夾角為90°.

22.(2014湖北文,12,5分)若向量a=(1,-3),||=|麗【，力[?而=0,則|AB\=.

答案2遍

解析|福=|瓜前=，/+而2-2麗?鞏

,?甌=|而|=J12+(-3)2=V10,O^?OB=0,

AB|=何:2年故答案為2V5.

23.(2014湖北理,11,5分)設(shè)向量a=(3,3),^(l,-l).若⑷兒6),(小4劭則實(shí)數(shù)八=.

答案±3

解析|a|=3或,4=魚(yú),4,ZF3X1+3X(T)=0.因?yàn)?a+八6)_L(w久。),所以

(a+46)?(a~AZ?)=|a\2~A2|6「=18-2A2=0.故A=+3.

24.(2013課標(biāo)/，理13,文13,5分)已知兩個(gè)單位向量a,6的夾角為60。尸為+(1-i)b.若b-c=0,

則t=.

答案2

解析解法一：：6?廠0,

'.b*[fa+(l-^)A]=0,ta,M(l-t),b-Q,

又；|a|=|b|=l,<a,?=60°,

.".1i+l-/=0,t=2.

解法二:由什(1-0=1知向量a、b、c的終點(diǎn)4B、。共線，在平面直角坐標(biāo)系中設(shè)

天(1,0),反&T).

則D

把久6、。的坐標(biāo)代入l功+(1-力b,得t=2.

評(píng)析本題考查了向量的運(yùn)算，利用三點(diǎn)共線的條件得到。的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.

25.（2012課標(biāo)，理13,文13,5分）已知向量a,6夾角為45。，且1a|=L12/引3則

|引=.

答案3V2

解析\2a-b\=g兩邊平方得

41.3!"-41a|,b\cos450+1Z>|2=10.

：a|=l,...㈤2-2夜㈤-6=0.

.,.|6]=3&或〃=-夜（舍去）.

評(píng)析本題考查了向量的基本運(yùn)算，考查了方程的思想.通過(guò)"平方"把向量轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)

量積是求解的關(guān)鍵.

26.（2012安徽文,11,5分）設(shè)向量?。?,23內(nèi)研1,1）,僅2,磯若（a+c），“則a|=.

答案V2

解析Ac=（3,3幼，

V（.3+c）±Z?,

（5+c）?b=Q,

3研3+3爐0,

A|a|=Jl2+（-1）2=V2.

評(píng)析本題主要考查向量的基本運(yùn)算，考查了向量垂直的充要條件.

27.（2011課標(biāo)文13,5分）已知a與6為兩個(gè)不共線的單位向量次為實(shí)數(shù)，若向量外。與向量

松-6垂直，則心.

答案1

解析由題意知㈤二1/。|=1,〈功力W0且H.

由a+6與向量垂直狷（a+6）?（履-6）=0,

即k\a「+（hi）|5||6|?cos<a,Z?>-|b\2=0,

（hl）（l+cos〈d,6〉）=0.又l+cos<a,核WO,

/.A^1=O,A=1,

評(píng)析本題考查向量的模、向量的數(shù)量積等相關(guān)知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬中等難度

試題.

28.（2015福建理,9,5分）已知荏J_瑟,|而|=1,|^C|=f.若點(diǎn)尸是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且

而嗡?+爺?，則而?玩的最大值等于（）

A.13B.15C.19D.21

答案A以4為原點(diǎn)所在直線為x軸,〃,所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系很！1

5（p。）（力0）40㈤{L4）,而?PC^-1,-4）?（-l,t-4）=17-（4t+1）^

17-2X2=13（當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí),取“=”），故兩?麗的最大值為13,故選A.

29.（2019浙江17,6分）已知正方形力版的邊長(zhǎng)為1.當(dāng)每個(gè)A,（,=1,2,3,4,5,6）取遍±1

時(shí),I3南+幾近+才3而+A,DA+A-AC+A麗|的最小值是，最大值是.

答案0；2V5

解析本題考查平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算，在向量的坐標(biāo)運(yùn)算中涉及多個(gè)未知數(shù)據(jù)以

此來(lái)考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力,數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).

如圖，建立平面直角坐標(biāo)系廁/（0,0）,及1,0）41,1）40,1）,

r

D--------------16'

-ABX

.,.南二(1,0),痔(0,1),而=(T,0)由=(0,T)萬(wàn)=(1,1),麗=(T,1),

故A,AB+A：BC+A3CD+A,D4+A；JC+A6BD|

+

=|(A]-A3+A5-A6,A2~4s+e))

2

=J(幾廣石+工-及)+仇一羽+幾5+“6)之.(西

顯然⑶式中第一個(gè)括號(hào)中的九,九與第二個(gè)括號(hào)中的乙，兒的取值互不影響,..?只需討論

工與人的取值情況即可，

當(dāng)工與人同號(hào)時(shí)，不妨取A5=1,A6=1,

則(*)式即為Ja「%)2+(%-4+2)2,

I,42,43,41￡{-1/1}/*,?力產(chǎn)43,42一4產(chǎn)一2(42二一1,4產(chǎn)1)時(shí)，(叼式取最小值0,當(dāng)

九-幾31=2(如九二1,九二T),A2-44=2(42=1,兒尸T)時(shí)，⑶式取最大值2遍，

當(dāng)工與人異號(hào)時(shí),不妨取兒5=1,九=-L則⑶式即為Jeu-%+2)2+(%-羽)2.

同理可得最小值仍為0,最大值仍為2V5,

綜上，最小值為0,最大值為2V5.

解題關(guān)鍵本題未知量比較多,所以給學(xué)生的第一感覺(jué)是難，而實(shí)際上注意到圖形為規(guī)則的正

方形,兒"=1,2,3,4,5,6)的取值只有兩種可能(1或-1),這就給建系及討論A，的值創(chuàng)造了條件，

也是求解本題的突破口.

30.(2019課標(biāo)外文,13,5分)已知向量爐⑵2),以-8,6),則cos〈a,6>=.

答案卷

解析本題考查平面向量夾角的計(jì)算，通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，體現(xiàn)運(yùn)

算法則與運(yùn)算方法的素養(yǎng)要素.

_a?b_2x(-8)+2x6

","J22+22XJ(-8)2+6Z10

31.(2019北京文,9,5分)已知向量所(-4,3),歸6,項(xiàng)且a_L〃則歸

答案8

解析本題考查兩向量垂直的充要條件和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了方程的思想方法.

'：a±b,：.a-ZP(-4,3)?(6,?)=-24+3/ZF0,

易錯(cuò)警示容易把兩向量平行與垂直的條件混淆.

32.(2017北京文12,5分)已知點(diǎn)戶(hù)在圓x+y=\上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),0為原點(diǎn)，則而的

最大值為.

答案6

解析解法一而*而表示而在超方向上的投影與IAO|的乘積，當(dāng)。在分點(diǎn)時(shí)，而?麗有最

大值,此時(shí)而?AP=2X3=6.

解法二:設(shè)凡孫),則而?族=億0)?(產(chǎn)2,y)=2x+4,由題意知-1WW1,.?.產(chǎn)1時(shí)，布?Q取最大

值6,.?.而?麗的最大值為6.

33.(2013北京文,14,5分)已知點(diǎn)4(1,T),鳳3,0)42,1).若平面區(qū)域〃由所有滿(mǎn)足

AP=AAB+PAC(1^/W2,0W“W1)的點(diǎn)P組成，則〃的面積為.

答案3

解析荏式2,1),m=(1,2).

設(shè)8%力由而=^AB+PAC,

2x-y-3

X=-3-，

得:故有

-x+2y+3

林=3

又4e[l,2],故有

(?1,2x-y--3,r2>

l-^-on{3<2x-y-3<6,

'V2y-x+3v即to<2y-x+3<3.

k-3-'

則平面區(qū)域〃如圖中陰影部分所示.

易知其面積為3.

評(píng)析本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、線性規(guī)劃等知識(shí);同時(shí)又考查了轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合思

想,綜合能力要求較高.

一三年模擬一

/組考點(diǎn)基礎(chǔ)題組

考點(diǎn)1數(shù)量積的定義及夾角與模問(wèn)題

1.（2021湖南永州二模,3）在邊長(zhǎng)為3的等邊三角形48C中，前?BM=（）

A.4C.|D

2242

答案B

2.（2020廣東新興第一中學(xué)期末,3）在平行四邊形4?切中，布=（1,2）,同=（-4,2）很［|該四邊形的面

積為（）

A.V5B.2V5C.5D.10

答案D

3.（2021湖南衡陽(yáng)一模,6）非零向量a,滿(mǎn)足a??c,a與岫勺夾角為/㈤=4,則。在a上

的投影向量的長(zhǎng)度為（）

A.2B.2V3C.3D.4

答案B

4.（2021江蘇鹽城二模,3）已知a*是相互垂直的單位向量，與a/共面的向量c滿(mǎn)足a"2,

則。的模為（）

A.1B.V2C.2D.2V2

答案D

5.（2020重慶育才中學(xué)月考,3）已知向量3=（1,1）,2濟(jì)斤（4,2）,則向量a,6的夾角為（）

A.H3B-6rL-4D比-2

答案C

6.（2021山東荷澤期末,3）若a、方是兩個(gè)單位向量，其夾角是?則學(xué)。是"\a-b\yV

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件1）.既不充分也不必要條件

答案A

7.（2021山東濟(jì)南H~一學(xué)校聯(lián)考,13）已知向量獷（-1,2）,爐⑵刈,若"山?,則2加"與〃夾角的余

弦值為.

箔:專(zhuān)辿

口某5

8.（2020河北衡水中學(xué)第九次調(diào)研,14）已知1中，冊(cè)3,4小5,除7,若點(diǎn)礴足而力荏耳前,

貝屈?DC=_.

答案T2

9.（2021上海楊浦一模,11）如圖所示,在矩形4靦中，仍2,491,分別將邊BC與人等分成8份,

并將等分點(diǎn)自下而上依次記作瓦氏，…,尻自左到右依次記作凡凡…，凡滿(mǎn)足福?福W2（其中

/,jWN,,lWig7）的有序數(shù)對(duì)（i?，力共有對(duì).

答案18

考點(diǎn)2數(shù)量積的綜合應(yīng)用

1.(2021遼寧開(kāi)原三模,7)設(shè)a,b.c為單位向量，且a?岳0,則(zc)?(Zrc)的最小值為()

A.-2B.V2-2C.-1D.1-V2

答案I)

2.(2020百校聯(lián)考高考考前沖刺(二),3)在直角梯形ABCD^AB?而=0,/斤30°)廬2低於2,

點(diǎn)E為必上一點(diǎn)且荏=標(biāo)+加，當(dāng)打的值最大時(shí)，【荏［=()

A.V5B.2C.苧D.2V3

答案B

3.(2020湖北襄陽(yáng)四中3月月考⑼在△胸中,IAC\=2,\AB\=2,Z

掰6M20。，荏=AAB,AF=〃猛也為線段〃的中點(diǎn)若1宿1=1廁4+〃的最大值為()

A.gB.乎C.2D.浮

答案c

夕組綜合應(yīng)用題組

時(shí)間：60分鐘分值：70分

一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分共25分)

1.(2021河北石家莊一模,2)設(shè)向量a=(l,2)，歸礦1),且(#6)_La,則實(shí)數(shù)爐

A.-3B.=3C.3-2D.—：

22

答案A

2.（2020山東全真模擬,4）已知扇形AOB/AO斤扇形半徑為低。是弧,仍上一點(diǎn)，若

痔竽麗與麗則0=（）

A；B.?C.[D.”

6323

答案D

3.（2021山東臨沂二模,7）點(diǎn)/、B、。在圓。上，若|/9=2,/“廬30。，則沆?麗的最大值為

（）

A.3B.2V3C.4D.6

答案C

4.（2021山東德州二模,6）在平行四邊形四徵中，已知屁=!正,而日府|荏|=短|不|=西

則前?前=（）

97

A.-9B.C.-7D.

22

答案B

5.（2020山東濟(jì)寧一中月考）如圖，在歐中，/刃弓,而=2而/為切上一點(diǎn),且滿(mǎn)足

都=痂+2福若△4式的面積為2代則前的最小值為（）

A.V2B.gC.3D.V3

答案1）

二、多項(xiàng)選擇題（每小題5分共15分）

6.（2021遼寧鐵嶺一模,10）下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的為（）

A.已知戶(hù)（1,2）,岳（1,1）,且a與a+兒6的夾角為銳角廁實(shí)數(shù)才的取值范圍是

B.向量eR2,-3）,&=6,-J）不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底

C.非零向量a和6,滿(mǎn)足|a|>|引且a與口同向，則a>b

D.非零向量a和D滿(mǎn)足Ia|=㈤=|廿引,則a與廣。的夾角為30°

答案AC

7.（2021江蘇鹽城一模,9）下列關(guān)于向量a,力。的運(yùn)算，一定成立的是（）

A.(a+6)?c=a?c+b?cB.(a?6)?c=a?(6?c)

C.a?CW|a|,\b\D.|a-b\W|a|+|引

答案ACD

8.（2021湖北重點(diǎn)中學(xué)期末,11）對(duì)于給定的△械;其外心為。重心為G；垂心為〃則下列結(jié)論正

確的是（）

A.而?荏

B.OA?OB=OA?OC^OB?OC

C.過(guò)點(diǎn)G的直線/交做“'于反￡若族=2荏，萬(wàn)而，則:+工3

D?麗與號(hào)+譙產(chǎn)線

答案ACD

三、填空題（每小題5分共20分）

9.（2020湖南永州祁陽(yáng)二模,8）已知平面向量a,b,e,\e\=\,a?e=\,b?k2,且12a+引=2廁a?b

的最大值是

答案卷

10.（2019河南、河北百校聯(lián)盟4月聯(lián)考,15）如圖,在平面四邊形ABCD中,ABLBCADLBD/

a?=60。，CB=CD=2顯點(diǎn)、M為外邊上—j點(diǎn)廁宿?雨的取值范圍為

答案[y,18]

11.（2021河北衡水中學(xué)全國(guó)高三第二次聯(lián)考,13）若向量a,。滿(mǎn)足a=（cos〃,sin〃）（0G

R）,㈤=2,則的取值范圍為

答案[0,4]

12.（2021山東棗莊二模,14）如圖，由四個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小正方形牙1弟拼成的一

個(gè)大正方形⑦中，刀=3萬(wàn).設(shè)存=怎+而廁x+y的值為

答案|

四、解答題（共10分）

13.（2021江蘇新海高級(jí)中學(xué)期末,