空間曲線生成的三維空間型曲線和曲面的數(shù)字分類英文

空間曲線生成的三維空間型曲線和曲面的數(shù)字分類英文

1frene-srat型的定義j.w.alice等人通過建立空間曲線的高度函數(shù)和距離空間曲線的函數(shù)來研究三維宇宙空間的曲線以及景觀平面的要點(diǎn)分類。在這項(xiàng)工作中，我們定義了三維空間模型的概念，比如高度和距離的六個(gè)邊界值，并使用了歐空間模型的近似球和近非洲的近球，以研究三維宇宙模型的空間曲線生成的點(diǎn)分類。其中，最重要對(duì)應(yīng)于kks0）=0，即kks0）=0的情況，以及稀疏光錐（kk）=0的情況。在文獻(xiàn)中討論了洛倫西亞幾何的基本概念。三維向量空間的任意兩個(gè)向量x=(x1,x2,x3)和y=(y1,y2,y3)的偽數(shù)量積定義為〈x,y〉=-x1y1+x2y2+x3y3,并且向量x和y的偽向量積定義為x∧y=(-(x2y3-x2y3-x3y2),x3y1-x1y3,x1y2-x2y1).我們稱(R3,〈,〉)為三維偽歐氏空間或三維Minkowski空間,簡(jiǎn)記為R31.如果R31中的非零向量x滿足〈x,x〉>0,〈x,x〉=0,或〈x,x〉<0,則x分別被稱為空間型、光型或時(shí)間型向量.向量模長(zhǎng)定義為∥x∥=√sgn(x)?x,x?.這里向量x是空間型、光型或時(shí)間型向量時(shí),它的符號(hào)函數(shù)sgn(x)的值分別取1,0或-1.設(shè)γ:I→R31是正則光滑曲線,(即對(duì)任意的t∈I,γ(t)=dγ/dt(t)≠0,其中I是開區(qū)間.如果對(duì)任意的t∈I,˙γ(t)是空間型向量,則曲線γ被稱為空間曲線.空間型曲線γ的弧長(zhǎng)由s(t)=∫tt0‖˙γ‖dt給出.如無特別說明,本文中處理的曲線都是以弧長(zhǎng)為參數(shù)的曲線,即滿足‖γ′(s)‖=‖dγ/ds(s)‖=1的曲線,它的單位切向量γ′(s)用t(s)表示,并且曲線γ在點(diǎn)s的曲率定義為k(s)=√sgn(γ″(s))?γ″(s),γ″(s)?.如果k(s)≠0,則曲線γ在點(diǎn)s處的單位主法向量n(s)和單位副向量b(s)分別由γ″(s)=k(s)·n(s)和b(s)=t(s)∧n(s)給出.于是〈b(s),t(s)〉=〈b(s),n(s)〉=〈t(s),n(s)〉=0,此時(shí)我們稱三個(gè)向量t(s),n(s)和b(s)互為偽垂直.設(shè)γ:I→R31是空間型曲線,則t(s)是空間型向量,從而〈t(s),t(s)〉=sgn(γ′(s))=1,并且〈n(s),n(s)〉·〈b(s),b(s)〉=-1.如果k(s)≠0,并且〈n(s),n(s)〉=sgn(n(s))=δ(s),則通過計(jì)算可獲得如下Frene-Serret型的公式:{t′(s)=k(s)?n(s),n′(s)=-δ(s)k(s)?t(s)+τ(s)?b(s),b′(s)=τ(s)?n(s).其中τ(s)是空間型曲線γ在點(diǎn)s處的撓率.現(xiàn)定義曲面H21(r)p={x∈R31|〈x-p,x-p〉=-r2,p∈R31}和曲面S21(r)p={x∈R31|〈x-p,x-p〉-r2,p∈R31},其中r是非零實(shí)數(shù).我們把S21(r):=S21(r)p-{p}和H21(r):=H21(r)p-{p}分別稱為以p為中心,半徑為r的雙曲面和偽球.并分別用H21和S21來簡(jiǎn)記H21(1)0和S21(1)0.設(shè)γ:I→R31是具有k(s)≠0的空間型曲線.如果δ(s)=-1,則我們定義曲線BNsγ:I→S21;如果δ(s)=1,則我們定義曲線BNsγ:I→H21;BNsγ(s)=b(s)和一個(gè)曲面Esγ:I×R→R31;Esγ(s,u)=γ(s)+1δ(s)k(s)n(s)+ub(s).我們把BNΤγ和EΤγ分別稱作空間型曲線的副法線標(biāo)型和可異展焦曲面.下面我們考慮空間型曲線γ的如下條件:(A)γ(S1)與偽球在點(diǎn)P至少有5點(diǎn)切觸,這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有限;(B)γ(S1)與偽球不存在6點(diǎn)切觸;(C)γ(S1)與雙曲面在點(diǎn)P至少有5點(diǎn)切觸,這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有限;(D)γ(S1)與雙曲面不存在6點(diǎn)切觸;(E)γ(S1)與密切平面在點(diǎn)P至少有4點(diǎn)切觸,這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有限;(F)γ(S1)與密切平面不存在5點(diǎn)切觸.注:后面我們將證明在k(s0)≠0,τ(s0)≠0和δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)>0的條件下存在惟一的偽球與空間型曲線γ在s=s0處有4點(diǎn)切觸.我們稱此偽球?yàn)槊芮袀吻?在k(s0)≠0,τ(s0)≠0和δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)<0的條件下,我們同樣將證明存在惟一的雙曲面與空間型曲線γ在s=s0處有4點(diǎn)切觸.我們稱此雙曲面為密切雙曲面.密切偽球和密切雙曲面在s=s0處的中心皆為v=(γ+1δkn+k′δk2τb)(s0).本文的主要結(jié)果如下:定理A(1)設(shè)I+(S1,R31)是滿足k(s)≠0和δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)>0的所有空間型曲線γ:S1→R31構(gòu)成的空間,并且I+(S1,R31)中我們考慮WhitneyC∞拓?fù)?則滿足條件(A)和(B)的空間型曲線的集合是I+(S1,R31)中的剩余類集合.(2)設(shè)I-(S1,R31)是滿足k(s)≠0和δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)<0的所有空間型曲線γ:S1→R31構(gòu)成的空間,并且I-(S1,R31)中我們考慮WhitneyC∞拓?fù)?則滿足條件(C)和(D)的空間型曲線的集合是I-(S1,R31)中的剩余類集合.(3)設(shè)I(S1,R31)是滿足k(s)≠0的所有空間型曲線γ:S1→R31構(gòu)成的空間,I(S1,R31)中我們考慮WhitneyC∞拓?fù)?則滿足條件(E)和(F)的空間型曲線的集合是I(S1,R31)中剩余類集合.定理B(1)設(shè)γ:S1→R31是具有k(s)≠0的空間型曲線.在條件(A)和(B)(或(C)和(D))之下,如果點(diǎn)P是γ在s=s0處的可展焦曲面上的點(diǎn),則在點(diǎn)P處γ的可展焦曲面Esγ局部上:(ⅰ)如果τ(s0)≠0,同平面微分同胚;(ⅱ)如果τ(s0)≠0,k′(s0)≠0和u0=-k′k2τb(s0),在點(diǎn)(γ+1δkn+k′δk2τb)(s0)處同尖點(diǎn)型曲面C×R微分同胚.并且在δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)>0的條件下偽密切球的中心(γ+1δkn+k′δk2τb)(s0)的軌跡構(gòu)成尖點(diǎn)型曲面,在δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)<0的條件下密切雙曲面的中心(γ+1δkn+k′δk2τb)(s0)的軌跡同樣構(gòu)成尖點(diǎn)型曲面;(ⅲ)如果τ(s0)≠0,k′(s0)≠0,并且(kk′τ′-kk″τ+k2τ3+2k′2τ)(s0)=0,在點(diǎn)(γ+1δkn+k′δk2τb)(s0)處同燕尾型曲面SW微分同胚.(2)設(shè)γ:S1→R31是曲率k(s)≠0的空間型曲線.在條件(E)和(F)之下,如果點(diǎn)P是γ在s=s0處的副法線標(biāo)型BNsγ上的點(diǎn),則在點(diǎn)P處γ的副法線標(biāo)型局部上:(ⅰ)如果τ(s0)≠0,同直線微分同胚;(ⅱ)如果τ(s0)=0,τ′(s0)同尖點(diǎn)型曲線C微分同胚,其中,C={(x1,x2)|x21=x32},SW={(x1,x2,x3)|x1=3u4+u2v,x2=4u3+2uv,x3=v}.2洛倫茲變換函數(shù)在空間曲線中我們引入空間型曲線上的兩種函數(shù)族,以便研究空間型曲線的洛侖茲不變量.2.1曲線擬合命題2.1設(shè)S21={x∈R31|〈x,x〉}和γ:I→R31分別是R31的偽球和空間型曲線,現(xiàn)在我們定義新的函數(shù)H:I×S21→R;H(s,v)→〈γ(s),v〉,并稱H為洛侖茲空間型高度函數(shù).如果對(duì)于任意固定的v0∈S21,令h(s)=Hv0(s)=H(s,v0),則通過直接計(jì)算可獲得如下命題.命題2.1設(shè)γ:I→R31是曲率k(s)≠0的單位速度(即以弧長(zhǎng)為參數(shù)的曲線)空間型曲線,如果v∈S21(或v∈H21),那么:(1)h′(s0)=0的充分必要條件是存在λ,μ∈R使得v=λn(s0)+μb(s0),并且δ(s0)(λ2-μ2)=1(或δ(s0)(λ2-μ2)=-1);(2)h′(s0)=h″(s0)=0的充分必要條件是v=±b(s0);(3)h′(s0)=h″(s0)=h(3)(s0)=0的充分必要條件是v=±b(s0),并且τ(s0)=0;(4)h′(s0)=h″(s0)=h(3)(s0)=h(4)(s0)=0的充分必要條件是v=±b(s0),并且τ(s0)=τ′(s0)=0.2.2空間型曲線的可展焦曲面和副法線標(biāo)型的幾何性質(zhì)設(shè)γ:I→R31空間型曲線,定義新的函數(shù)G:I×R31→R;G(s,v)→〈γ(s)-v,γ(s)-v〉,并稱G為洛侖茲空間型距離平方函數(shù).如果對(duì)于任意固定的v0∈R31,令g(s)=Gv0(s)=G(s,v0),則通過計(jì)算可獲得下面的命題.命題2.2設(shè)γ:I→R31是曲率k(s)和撓率τ(s)都不為零的單位速度空間型曲線,那么:(1)g′(s0)的充分必要條件是存在λ,μ∈R使得γ(s0)-v0=λn(s0)+μb(s0);(2)g′(s0)=g″(s0)=0的充分必要條件是存在μ∈R使得v0=(γ+1δkn-μb)(s0);(3)g′(s0)=g″(s0)=g(3)(s0)=0的充分必要條件是v0=(γ+1δkn+k′δk2τb)(s0);(4)g′(s0)=g″(s0)=g(3)(s0)=g(4)(s0)=0的充分必要條件是v0=(γ+1δkn+kδk2τb)(s0),并且(kk′τ′-kk″τ-k2τ3+2k′2τ)(s0)=0;(5)g′(s0)=g″(s0)=g(3)(s0)=g(4)(s0)=g(5)(s0)=0的充分必要條件是(kk′τ′-kk″τ-k2τ3+2k′2τ)(s0)=(kk″τ-k2τ3+2k′2τ)′(s0)=0,并且v0=(γ+1δkn+k′δk2τb)(s0).下面我們研究空間型曲線的可展焦曲面和副法線標(biāo)型的幾何性質(zhì).根據(jù)上面的命題我們能夠確認(rèn)函數(shù)τ(s)和(kk′τ′-kk″τ-k2τ3+2k′2τ)(s)具有特殊的意義.命題2.3(1)設(shè)γ:I→R31是曲率k(s)不為零的單位速度空間型曲線,那么τ(s)≡0的充分必要條件是v(s)=b(s)是常向量;(2)設(shè)γ:I→R31是滿足k(s)≠0,k′(s)≠0和τ(s)≠0的單位速度空間型曲線,那么,(kk′τ′-kk″τ-k2τ3+2k′2τ(s)=0的充分必要條件是v=(γ+1δkn+k′δk2τb)(s)是常向量.證明結(jié)論(1)是顯然的.只需證明結(jié)論(2),令V(s)=(γ+1δkn+k′δk2τb)(s),則有V′(s)=(kk′τ′-kk″τ-k2τ3+2k′2τ)(s)δk3(s)τ2(s)b(s).因此v′=V′(s)≡0的充分必要條件是(kk′τ′-kk″τ-k2τ3+2k′2τ)(s)≡0.設(shè)γ:I→R31是滿足k(s)≠0,k′(s)≠0和δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)≠0的單位速度空間型曲線,G:I×R31→R;G(s,v)→〈γ(s)-v,γ(s)-v〉是洛侖茲空間型距離平方函數(shù).則在點(diǎn)s=s0處g′(s0)=g″(s0)=g(3)(s0)=0條件之下,如果δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)>0,則由命題2.2?γ(s0)-v,γ(s0)-v?=[δ(k2τ2-k′2)k4τ2](s0)＞0;如果δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)<0,則?γ(s0)-v,γ(s0)-v?=[δ(k2τ2-k′2)k4τ2](s0)＜0.對(duì)于δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)=0,即(kτ±k′)(s0)=0的情況我們已在文獻(xiàn)中討論.推論2.1(1)設(shè)γ:I→R31是曲率k(s)不為零的單位速度空間型曲線,那么τ(s)≡0的充分必要條件是γ的副法線標(biāo)型是常值映射;(2)設(shè)γ:I→R31是滿足k(s)≠0,k′(s)≠0和τ(s)≠0的單位速度空間型曲線,如果δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)>0,那么可展焦曲面的奇點(diǎn)集合是γ的密切偽球中心的軌跡;如果δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)<0,那么可展焦曲面的奇點(diǎn)集合是γ的密切雙曲面中心的軌跡.其中心皆由v=(γ+1δkn+k′δk2τb)(s)給出.此時(shí)若(kk′τ′-kk″τ-k2τ3+2k′2τ)(s)≡0,那么v(s)是定點(diǎn).當(dāng)δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)>0時(shí),曲線γ(s)恰好是以v(s)為中心,半徑r=√-δ(k2τ2-k′2)k4τ2(s)的偽球面上的曲線;當(dāng)δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)<0時(shí),曲線γ(s)恰好是以v(s)為中心,半徑r=√-δ(k2τ2-k′2)k4τ2(s)的雙曲面上的曲線.設(shè)F:R31→R是浸沒,并且γ:I→R31是空間型曲線.如果函數(shù)g(t)=F。γ(t)滿足g(t0)=g′(t0)=…=g(t-1)(t0)=0,并且g(k)(t0)≠0,則稱γ和F-1(0)在點(diǎn)t=t0處有k點(diǎn)切觸.根據(jù)命題2.1—2.3,下面命題成立.命題2.4(1)設(shè)γ:I→R31是曲率k(s)不為零的單位速度空間型曲線,如果τ(s)≡0,那么γ(s)的副法線b(s)和γ(s)的密切平面在點(diǎn)s=s0(s)處有3點(diǎn)切觸的充分必要條件是τ′(s)≠0;(2)設(shè)γ:I→R31是滿足k(s)≠0,k′(s)≠0和τ(s)≠0的單位速度空間型曲線,那么曲線γ(s)和密切偽球在點(diǎn)s=s0處有4點(diǎn)切觸的充分必要條件是δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)>0,(kk′τ′-kk″τ-k2τ3+2k′2τ)(s)=0和(kk′τ′-kk″τ-k2τ3+2k′2τ)′(s)≠0.并且,γ(s)和密切雙曲面在點(diǎn)s=s0處有4點(diǎn)切觸的充分必要條件是δ(s0)(k2τ2-k′2)(s0)<0,(kk′τ′-kk″τ-k2τ3+2k′2τ)(s)≠0和(kk′τ′-kk″τ-k2τ3+2k′2τ)′(s)≠0.3洛侖茲空間型高度函數(shù)s11r13設(shè)F:(R×Rr,(s0,x0))→R是函數(shù)芽.如果f(s)=Fx0(s,x0),則稱F是f的r參數(shù)開折.如果在點(diǎn)s=s0處,對(duì)所有的正整數(shù)p∈[1,k]有f(p)(s0)=0,則稱f具有A≥k型奇點(diǎn),如果對(duì)所有的正整數(shù)p∈[1,k]有f(p)(s0)和f(k+1)(s0)≠0,則稱f具有Ak型奇點(diǎn).我們用j(k-1)?F?xi(s,x0)(s0)=k-1∑j=1αijsj表示偏導(dǎo)數(shù)?F?xi(i=1,?,r)的(k-1)階導(dǎo)網(wǎng),如果由系數(shù)構(gòu)成的(k-1)×r階矩陣(αij)的秩為k-1((k-1)≤r),則稱F是f的(p)通用開折.對(duì)于開F存在一個(gè)重要的集合,即F分支集BF={x∈Rr|?s∈?F?s=?2F?s2=0在(s,x)}.關(guān)于分支集有下面定理.命題3.1設(shè)F:(R×Rr,(s0,x0))→R是在點(diǎn)s=s0處具有Ak型奇點(diǎn)的f的r參數(shù)(p)通用開折,那么:(1)如果k=2,則BF與{0}×Rr-1局部微分同胚;(2)如果k=3,則BF與C×Rr-2局部微分同胚;(3)如果k=4,則BF與SW×Rr-3局部微分同胚;為證明定理B我們先證明下面定理.定理3.1設(shè)γ:I→R31是k(s)≠0的單位速度空間型曲線,Hs:I×S21→R(或Ht:I×H21→R是γ的洛侖茲空間型高度函數(shù),并且G:I×R31→R是洛侖茲空間型距離平方函數(shù).(1)如果hs(s)=Hsv0(s)在點(diǎn)s0處有Ak型奇點(diǎn)(k=2,3),則Hs是hs的(p)通用開折.(2)如果ht(s)=Htv0(s)在點(diǎn)s0處有Ak型奇點(diǎn)(k=2,3),則Ht是ht的(p)通用開折.(3)如果g(s)=Gv0(s)在點(diǎn)s0處有Ak型奇點(diǎn)(k=2,3,4),則G是g的(p)通用開折.證明(1)令γ(s)=(x1(s),x2(s),x3(s))是k(s)≠0的單位速度空間型曲線,并且v=(v1,v2,v3)∈S21,則Ηs(s,v)=-v1x1+v2x2(s)+v3x3(s)=-v1x1(s)±√1+v21-v23x2(s)+v3x3(s),于是?Ηs?v1(s,v)=-x1(s)±v1x2(s)√1+v21-v23=-x1(s)+v1v2x2(s)(因?yàn)関是空間型向量,所以v2和v3不同時(shí)為零,這里不妨設(shè)v2≠0),同理?Ηs?v3(s,v)=-v1v2x2(s)+x3(s).故它們?cè)趕0處的相應(yīng)的2階導(dǎo)網(wǎng),分別是-(sx′1(s0)+12s2x″1(s0))+v1v2(sx′2(s0)+12s2x″2(s0))和(sx′3(s0)+12s2x″3(s0))-v1v2(sx′2(s0)+12s2x″2(s0)).(ⅰ)根據(jù)命題2.1,hs(s)=Hsv0(s)在點(diǎn)s0處有A2型奇點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)v(s0)=±b(s0)和τ(s0)≠0.hs(s)在點(diǎn)s0處有A2型奇點(diǎn),只須1×2階矩陣(-x′1(s)+v1v2x′2(s)?x′3(s)-v3v2x′2(s))的秩為1?這個(gè)結(jié)論直接來自(ⅱ)的證明.(ⅱ)根據(jù)命題2.1,hs(s)在點(diǎn)s0處有A3型奇點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)v(s0)=±b(s0),τ(s0)=0和τ′(s0)≠0.hs(s)在點(diǎn)s0處有A3型奇點(diǎn),只須2×2階矩陣[-x′1(s0)+v1v2x′2(s0)x′3(s0)-v3v2x′2(s0)-12x″1(s0)+v12v2x″2(s0)12x″3(s0)-v32v2x″2(s0)]是非退化的.事實(shí)上,因?yàn)関(s0)=±b(s0)=±t(s0)∧n(s0)=±1k(s0)(γ′(s0)∧γ″(s0))=(v1,v2,v3)∈S21,所以{v1(s0)=±1k(-x′2x″3+x′3x″2)(s0)?v2(s0)=±1k(x′3x″1-x′1x″3)(s0),v3(s0)=±1k(x′1x″2-x′2x″1)(s0).又因?yàn)閗(s0),v2≠0,所以上面矩陣行列式的值為12{(x′3x″1-x′1x″3)+v3v2(x′1x″2-x′2x″1)-v1v2(-x′2x″3+x′3x″2)}(s0)=±k2(v2+v23v2-v21v2)=±k2v2≠0.從而,當(dāng)hs(s)=Hsv0(s)在點(diǎn)s0處有Ak型奇點(diǎn)(k=2,3)時(shí),Hs是hs的(p)通用開折.(2)在這種情況下,如果v=(v1,v2,v3)∈H21,則Ηt(s,v)=-v1x1(s)+v2x2(s)+v3x3(s)=±√1+v22-v23x1(s)+v2x2(s)+v3x3(s),于是?Ηt?v2(s,v)=x2(s)±v2x1(s)√1+v22+v23=-v2v1x1(s)+x2(s)(因?yàn)関是時(shí)間型向量,所以v1≠0),同理?Ηt?v3(s,v)=-v3v1x1(s)+x3(s).故它們?cè)邳c(diǎn)s0處相應(yīng)的2階導(dǎo)網(wǎng)分別是(sx′2(s0)+12s2x″2(s0))-v2v1(sx′1(s0)v2(s0)+12s2x″1(s0))和(sx′3(s0)+12s2x″3(s0))-v3v1(sx′1(s0)+12s2x″1(s0)).(ⅰ)根據(jù)命題2.1,ht(s)=Htv0(s)在點(diǎn)s0處有A2型奇點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)v(s0)±b(s0)和τ(s0)≠0.ht(s)在點(diǎn)s0處有A2型奇點(diǎn),只須1×2階矩陣(-v2v1x′1(s0)+x′2(s0)?-v3v1x′1(s0)+x′3(s0))的秩為1?這個(gè)結(jié)論直接來自(ⅱ)的證明.(ⅱ)根據(jù)命題2.1,ht(s)在點(diǎn)s0處有A3型奇點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)v(s0)=±b(s0),τ(s0)=0和τ′(s0)≠0.ht(s)在點(diǎn)s0處有A3型奇點(diǎn),只須2×2階矩陣[-v2v1x′1(s0)+x′2(s0)-v3v1x′1(s0)+x′3(s0)-v22v1x″1(s0)+12x″2(s0)-v32v1x″1(s0)12x″3(s0)]是非退化的.事實(shí)上,類似于(1)的討論,因?yàn)閗(s0)≠0,v1≠0,所以此矩陣行列式的值12[(v2v1(x′3x′1-x′1x″3)+v3v1(x′1x″2-x′2x″1)-(-x′2x″3+x′3x″2)](s0)=±k2[v22v1+v23v1-v1]=±k2v1≠0.從而,當(dāng)ht(s)=Htv0(s)在點(diǎn)s0處有Ak型奇點(diǎn)(k=2,3)時(shí),Ht是ht的(p)通用開折.(3)令γ(s)=(x1(s),x2(s),x3(s))是k(s)≠0的單位速度空間型曲線,并且v=(v1,v2,v3)∈R31,則G(s,v)=-(x1(s)-v1)2+(x2(s)-v2)2+(x3(s)-v3)2.于是?G?v1(s,v)=2(x1(s)-v