固支超靜定梁均布荷載彈塑性分析

固支超靜定梁均布荷載彈塑性分析

梁是工程結(jié)構(gòu)中最常見(jiàn)的梁的力學(xué)分析。梁的力學(xué)分析不僅是設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，也是力學(xué)理論的基礎(chǔ)。一些科學(xué)家在整個(gè)靜定梁的壓力和變形過(guò)程中進(jìn)行了分析。例如，parathap等人分析了水平傾斜滑動(dòng)框架內(nèi)的非線性彈性大傾角的非線性彈性大傾角的問(wèn)題，lo等于分析水平傾斜框架內(nèi)的縱向力和具有兩個(gè)力的垂直懸臂梁的非線性彈性大傾角的問(wèn)題。吳小川等人分析了水平傾斜框架內(nèi)的理想彈性大傾角的問(wèn)題。然而，在分析靜態(tài)梁的壓力和變形時(shí)，它們通常使用數(shù)值方法，而不是分析分析分析。在這項(xiàng)工作中，由于彎曲積分法的計(jì)算，文章中唯一的方法是通過(guò)二次曲線積分法研究單段固定梁和單段固定梁中心的中心支撐作用，但在一文中，由于集中載荷，文章中生成了大量的積分常數(shù)。這些常數(shù)沒(méi)有顯示，因此很難直接使用。作者利用虛擬原理和單位負(fù)荷法研究了中央荷載作用下的一次中斷梁的軸向特性與載荷的關(guān)系。在分析超定定梁的壓力時(shí)，文獻(xiàn)只提供了彈性極限負(fù)荷和塑料反應(yīng)的負(fù)荷，而不分析超定梁各階段的特性和負(fù)荷值。目前還沒(méi)有報(bào)道高次朝流梁的高次朝流分析。本文利用虛擬原理的單位負(fù)荷法分析了圖1所示的兩個(gè)固體梁的軸向彎曲角度在均勻布局荷載作用下的場(chǎng)景。1彈性階段彈性階段是梁受力變形的第1階段.在本階段,梁上各處處于彈性變形狀態(tài),其彎矩Μ=12qx2-124ql2M=12qx2?124ql2,豎向位移(撓度曲線)Δ=q24EΙ(x2-14l2)2Δ=q24EI(x2?14l2)2,彎矩、豎向位移均與荷載q呈比例關(guān)系.本階段(q≤qe)結(jié)束時(shí),兩固支端處的彎矩同時(shí)達(dá)到彈性極限彎矩Me,彈性極限荷載qe=12Μel2.qe=12Mel2.塑性極限荷載qu=16Μul2qu=16Mul2(其中Mu為梁截面塑性極限彎矩).上述彈性階段的結(jié)果和塑性極限荷載已有結(jié)論,仍在此列出是為了問(wèn)題的完整性,也便于與產(chǎn)生彈塑性變形后的工況進(jìn)行比較.對(duì)于理想彈塑性材料的矩形截面梁,Μe=bh26σs?Μu=bh24σs(其中b,h,σs分別為梁寬、梁高、材料屈服應(yīng)力),因此quqe=43ΜuΜe=2.當(dāng)qe<q<qu時(shí),梁部分區(qū)段外緣產(chǎn)生塑性變形(稱為彈塑性段),部分區(qū)段仍保持彈性變形(稱為彈性段).當(dāng)梁產(chǎn)生塑性變形時(shí),梁的彎矩和豎向位移與荷載q的關(guān)系不再是比例關(guān)系.下面重點(diǎn)分析qe<q<qu時(shí)梁的彎矩和豎向位移隨q的變化.2qqqq.2ma型超靜定梁的荷載范圍在本階段,梁固支端附近的部分區(qū)段(-l2≤x≤-a和a≤x≤l2)處于彈塑性變形狀態(tài),而其他區(qū)段仍處于彈性變形狀態(tài).該階段結(jié)束時(shí),兩固支端處的彎矩達(dá)到塑性極限彎矩Mu,即此時(shí)兩固支端同時(shí)成為塑性鉸,對(duì)應(yīng)荷載記為q1.為了簡(jiǎn)化計(jì)算,利用結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性,采用圖2所示的基本體系,當(dāng)彎矩MC的數(shù)值使截面C的轉(zhuǎn)角為零時(shí),該值就是圖1跨中截面C的彎矩,從而可以進(jìn)一步求出梁的彎矩分布.在本階段,qe<q≤q1,MC與q不再呈比例關(guān)系,梁的彎矩分布發(fā)生了變化,梁任一截面的彎矩為Μ=12qx2-ΜC(1)梁發(fā)生彈塑性變形時(shí),矩形截面理想彈塑性梁的曲率K和彎矩M的關(guān)系為Κ={ΜEΙ彈性段Κe√3-2|Μ|ΜesgnΜ彈塑性段(2)在截面C加單位彎矩,得到圖3所示的基本體系單位荷載彎矩圖.圖4為qe<q≤q1時(shí)的彎矩圖.可用單位荷載法由圖3、圖4彎矩求圖2基本體系中截面C的轉(zhuǎn)角θC:θC=∫l20ˉΜΚdx=∫a012qx2-ΜCEΙdx+∫l2aΚe√3-qx2-ΜCΜedx=aEΙ(16qa2-ΜC)+Κe√Μeq(arcsin√ql2√3Μe+2ΜC-arcsin√qa√3Μe+2ΜC)(3)由12qa2-ΜC=Μe得a=√2(Μe+ΜC)q(4)將式(4)和Κe=ΜeEΙ代入式(3)并令θC=0,得(Μe-2ΜC)√2(Μe+ΜC)+3Μe√Μe(arcsin√ql2√3Μe+2ΜC-arcsin√2Μe+2ΜC3Μe+2ΜC)=0(5)式(5)表達(dá)了圖1超靜定梁在本階段(qe<q≤q1)的MC與荷載q的關(guān)系.由此可見(jiàn),MC與q為復(fù)雜的非線性關(guān)系.給定荷載q,就可由式(5)求出MC,也就能由式(1)求出梁的彎矩分布,也可進(jìn)一步求出梁上任意點(diǎn)的位移.為了確定本階段的荷載范圍,需確定q1的數(shù)值.當(dāng)q=q1時(shí),18q1l2-ΜC=Μu=1.5Μe,因此q1=12Μe+8ΜCl2(6)聯(lián)立式(4),(5),(6),得本階段結(jié)束時(shí)參數(shù)q1=18.960?8Μel2ΜC=0.870?1Μea1=0.197?2l(7)下面確定本階段任意截面的豎向位移.設(shè)梁上任意截面D距截面C的距離為x,在截面D施加豎向單位荷載,得到圖5所示截面D的單位荷載彎矩圖.當(dāng)0≤x<a時(shí),截面D的豎向位移為ΔD=∫l20ˉΜΚdζ=∫ax(ζ-x)(12qζ2-ΜC)EΙdζ+∫l2aΚe(ζ-x)√3-qζ2-2ΜCΜedζ=1EΙ(124qx4-12ΜCx2-16qa3x+ΜCax+18qa4-12ΜCa2)-Κe√Μe[1q(√3Μe+2ΜC-14ql2-√Μe)+x√q(arcsin√ql2√3Μe+2ΜC-arcsin√qa√3Μe+2ΜC)](8)式中a,MC分別由式(4),(5)確定.當(dāng)a≤x≤l/2時(shí),截面D的豎向位移為ΔD=∫l20ˉΜΚdζ=∫l2xΚe(ζ-x)√3-qζ2-2ΜCΜedζ=-Κe√Μe[1q(√3Μe+2ΜC-14ql2-√3Μe+2ΜC-qx2)+x√q(arcsin√ql2√3Μe+2ΜC-arcsin√qx√3Μe+2ΜC)](9)3各截面的豎向位移在本階段,固支端已成為塑性鉸,18ql2-ΜC=Μu=1.5Μe,因此梁結(jié)構(gòu)成為靜定結(jié)構(gòu).MC與q雖是線性關(guān)系,但不是比例關(guān)系.給定荷載q,可由下式求出MC.ΜC=18ql2-1.5Μe(10)由式(1)得本階段彎矩分布為Μ=12qx2-18ql2+1.5Μe(11)在本階段,由于塑性鉸引起內(nèi)力重分布,隨著荷載的增加,上一階段的彈塑性變形區(qū)域發(fā)生卸載,當(dāng)a1≤x≤l/2時(shí),曲率為Κ=(Κ)q=q1-ΔΜEΙ(12)式中ΔΜ=(Μ)q=q1-Μ=12(q-q1)(14l2-x2).本階段結(jié)束時(shí),截面C的彎矩MC達(dá)到彈性極限彎矩Me,此時(shí)對(duì)應(yīng)荷載記為q2.由式(10)得q2=20Μel2下面求本階段(q1<q≤q2)任意截面D的豎向位移.當(dāng)0≤x<a1時(shí),截面D的豎向位移為ΔD=∫l20ˉΜΚdζ=∫a1x(ζ-x)(12qζ2-18ql2+1.5Μe)EΙdζ+∫l2a1(ζ-x)[Κe√3-q1ζ2-0.25q1l2+3ΜeΜe-12(q-q1)(14l2-x2)EΙ]dζ=1EΙ[124qx4-(116ql2-34Μe)x2+(0.041?67ql2-0.913?01Μe)lx-0.007?812ql4+0.240?3Μel2](13)當(dāng)a1≤x≤l/2時(shí),截面D的豎向位移為ΔD=∫l20ˉΜΚdζ=∫l2x(ζ-x)[Κe√3-q1ζ2-0.25q1l2+3ΜeΜe-12(q-q1)(14l2-x2)EΙ]dζ=1EΙ{0.229?7Μel[√14l2-x2-x(π2-arcsin2xl)]-(12q-9.480?4Μel2)×(164l4-112l3x+18l2x2-112x4)}(14)4任意截面d的豎向位移在本階段(q2≤q≤qu),固支端仍保持為塑性鉸,結(jié)構(gòu)是靜定結(jié)構(gòu),彎矩分布M,MC與q的關(guān)系仍分別由式(11),(10)表達(dá).隨著荷載的增加,在a1≤x≤l內(nèi),第2階段的彈塑性變形區(qū)域繼續(xù)卸載,而截面C附近一段出現(xiàn)彈塑性變形.設(shè)其范圍為0≤x≤s,令式(11)彎矩為-Me,得s=√14l2-5Μeq(15)本階段結(jié)束時(shí),截面C彎矩MC達(dá)到塑性極限彎矩Mu,形成塑性鉸,達(dá)塑性極限狀態(tài),結(jié)構(gòu)成為塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu),喪失進(jìn)一步的承載能力,此時(shí)對(duì)應(yīng)荷載即為極限荷載qu=24Μel2.與前同理,利用單位荷載法可求出本階段任意截面D的豎向位移.當(dāng)0≤x<s時(shí),截面D的豎向位移為ΔD=Κe√Μe{1√q(√x2+6Μeq-14l2-√Μe9)+x√q[ln(s+√Μeq)-ln(x+√x2+Μeq+x2-14l2)]}+1EΙ[18q(a41-s4)-16qx(a31-s3)+(34Μe-116ql2)(a21-s2)+(18ql2-32Μe)(a1-s)x]+Κel(0.211?2l-0.614?5x)-ql3EΙ(0.005?571l-0.018?29x)(16)當(dāng)s≤x<a1時(shí),截面D的豎向位移式與公式(13)相同;當(dāng)a1≤x≤l/2時(shí),截面D的豎向位移公式與式(14)相同.公式雖然相同,但x和q的取值范圍不同.5荷載終值的討論本文研究了均布荷載作用下兩端固支超靜定理想彈塑性矩形截面梁的全部受力變形過(guò)程.分析時(shí)將受力變形分為4個(gè)階段.第1階段為彈性階段.彈性階段,彎矩隨荷載q的增加按比例增加,零彎矩截面位置不變,而后3個(gè)階段零彎矩截面位置隨荷載q的增加不斷地發(fā)生變化,彎矩隨荷載q的增加也不再按比例增加.第2階段在