江蘇省連云港市2024屆高三上學期教學質(zhì)量調(diào)研(一)數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省連云港市2024屆高三上學期教學質(zhì)量調(diào)研(一)數(shù)學試題一、單項選擇題1.已知全集，集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，則，解得：，所以，由可得，即，則，解得：，故，故B錯誤；故A或，故A錯誤；或，，故C正確；，故D錯誤.故選：C.2.已知，，若，則的最小值為（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗D〖解析〗,當且僅當時，最小值為.故選：D.3.在中，點是邊上靠近點的三等分點，點是的中點，若，則（）A.1 B. C. D.-1〖答案〗B〖解析〗點是邊上靠近點的三等分點，點是的中點，如圖所示，所以.故選：B.4.“”是“直線：與：平行”的（）A充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗時，直線：即，與直線：平行，充分性成立；直線：與：平行，有，解得或，其中時，兩直線重合，舍去，故，必要性成立.“”是“直線：與：平行”的充要條件.故選：A.5.塑料袋給我們生活帶來了方便，但塑料在自然界可停留長達200~400年之久，給環(huán)境帶來了很大的危害，國家發(fā)改委、生態(tài)環(huán)境部等9部門聯(lián)合印度《關于禮實推進型科技染物理工作的通知》明確指出，2021年1月1日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋經(jīng)自然降解后殘留量與時間年之間的關系為，其中為初始量，為光解系數(shù).已知該品牌塑料袋2年后殘留量為初始量的.該品牌塑料袋大約需要經(jīng)過（）年，其殘留量為初始量的10%.（參考數(shù)據(jù)：，）A.20 B.16 C.12 D.7〖答案〗B〖解析〗依題意有時，，則，當時，有，，.故選：B.6.在平面直角坐標系中，已知雙曲線：的右焦點為，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，直線與另一漸近線交于點，若是的中點，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.3〖答案〗B〖解析〗如圖所示，由題意可知，，又因為若是的中點，,所以,所以根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，雙曲線的漸近線方程為：，，所以因為，所以故選：B.7.設等差數(shù)列的前項和為，已知，，，其中正整數(shù)，則該數(shù)列的首項為（）A.-5 B.0 C.3 D.5〖答案〗D〖解析〗，又，兩式相減得：，解得：故選：D.8.已知函數(shù)，若對任意，，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗對函數(shù)求導得，對函數(shù)繼續(xù)求導得，由基本不等式得，所以在上單調(diào)遞增，又注意到，所以、隨的變化情況如下表：由上表可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)的定義域為，關于原點對稱，且，所以函數(shù)是偶函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知，成立當且僅當，而成立當且僅當，所以原問題轉(zhuǎn)化成了對任意，不等式組恒成立，將不等式組變形為，所以對任意，只需，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，綜上所述：滿足題意的實數(shù)的取值范圍是.故選：C.二、多項選擇題9.若，為空間中兩條不同的直線，，，為空間三個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，，則〖答案〗BC〖解析〗對于A，若，，則可能，故A錯誤；對于B，因為，則能在內(nèi)找一條直線，使得，因為，則，因為，由面面垂直的判定定理可得，故B正確；對于C，若，則能在內(nèi)找一條直線，使得，，，則，又因為，所以，故C正確；對于D，若，，，則可能異面，故D錯誤.故選：BC.10.已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，則（）A.B.函數(shù)的圖象關于點對稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.將函數(shù)的圖像向左平移個單位后與原圖象關于軸對稱，則的最小值為〖答案〗AB〖解析〗函數(shù)的圖象關于直線對稱，則時，取最值，，則有或，解得，A選項正確；，，函數(shù)的圖象關于點對稱，B選項正確；時，，正弦函數(shù)在上不單調(diào)，C選項錯誤；函數(shù)的圖像向左平移個單位得函數(shù)的圖象，由與的圖象關于y軸對稱，則，即，則或，，

又不恒成立，

即，，

則，由，則時的最小值為，D選項錯誤.

故選：AB．11.在平面直角坐標系中，已知點是拋物線：的焦點，點是上異于原點的動點，過點且與相切的直線與軸交于點，設拋物線的準線為，，為垂足，則（）A.當點的坐標為時，直線的方程為B.設，則的最小值為4C.D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A，點的坐標為時，則，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，化簡可得：，故A正確；對于B，的準線為，過點作，交于點，與拋物線交于點，當點與點重合時，的最小值，所以的最小值為，故B錯誤；對于C，不妨設點在一象限，則點，所以，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，化簡可得：，令，則，所以，因為，所以，所以，，，所以，所以，故C正確.對于D，因為，，，，所以，因為，所以四邊形是平行四邊形，又由拋物線的定義可得：，所以四邊形是菱形，所以平分，所以，故D正確.故選：ACD.12.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗已知，則，有，由，得，則，即，所以，A選項正確；函數(shù)，有，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，，，即，時等號成立，已知，由，所以，B選項正確；已知，則，，當且僅當，即等號成立，所以，有，得，C選項錯誤；設，有，則，，有，設，有，由，有，，，在上恒成立，得在上單調(diào)遞增，，即，D選項正確.故選：ABD.三、填空題13.已知向量，，則____________.〖答案〗5〖解析〗向量，，則，.故〖答案〗為：5.14.已知，則____________.〖答案〗〖解析〗已知，.故〖答案〗為：15.已知直線分別與曲線，相切于點，，則的值為____________.〖答案〗1〖解析〗由，，有，，在點處的切線方程為，在點處的切線方程為，則有，得，所以，可得.故〖答案〗為：1.16.在平面直角坐標系中，已知圓：，過點動直線與圓交于點，，若的面積最大值為，則的最大值為____________.〖答案〗〖解析〗因為圓：，即，可知圓心，半徑，設圓心到動直線的距離為d，設其最大值為，可知，則，可得的面積，令，可知在上的最大值為，令，解得或，結(jié)合二次函數(shù)對稱性可知，即，即圓心到動直線的距離的最大值為2，此時點在以為圓心，2為半徑的圓M上，又因為即為點與點連線的斜率，顯然當直線與圓M相切于第一象限時，斜率最大，此時，可知，即的最大值為為.故〖答案〗為：.四、解答題17.在正方體中，設，分別為棱，的中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.（1）證明：連接交于，連接，，.在正方體中，，，四邊形平行四邊形，所以，.正方形中，，故是的中點，所以，且，在中，，分別是，的中點，所以，且，所以，且，故四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，所以平面.（2）解：法一：以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設正方體的棱長為2，故，，，，.在正方體中，平面，故是平面的一個法向量.設是平面的法向量，，，故即取，則所以是平面的一個法向量.故，設二面角的大小為，據(jù)圖可知，，所以二面角的余弦值為.法二：取的中點，的中點，連接，，.在正方體中，，，又，分別是，的中點，故，，四邊形是平行四邊形，所以，又，，故，，因為，平面，所以平面，又平面，故.在正方形中，，在中，，分別是，的中點，故，所以，又，平面，所以平面，因為平面，所以.所以是二面角的平面角.不妨設正方體的棱長為2，在中，，，故，所以，所以二面角的余弦值為.18.在平面直角坐標系中，已知動圓與圓內(nèi)切，且與直線相切，設動圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點作兩條互相垂直的直線與曲線相交于，兩點和，兩點，求四邊形的面積的最小值.解：（1）設圓的半徑為，圓的圓心，半徑為1，因為圓與圓內(nèi)切，且與直線相切，所以圓心到直線的距離為，因此圓心到直線的距離為，且，故圓心到點的距離與到直線的距離相等，據(jù)拋物線的定義，曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，所以曲線的方程為.（2）設直線的方程為，，，.聯(lián)立方程組整理得，故所以.因為，直線的方程為，同理可得.所以，當且僅當，即時，取等號.所以四邊形面積的最小值為32.19.在中，，，所對的邊分別為，，，已知.（1）若，求的值；（2）若是銳角三角形，求的取值范圍.解：（1）在中，，據(jù)余弦定理可得，又，故，即，又，故，得.（2）在中，據(jù)余弦定理可得，又，故，即，又，故.據(jù)正弦定理，可得，所以，即，所以，，因為，所以，或，即或（舍）.所以.因為是銳角三角形，所以得，所以，故，，所以的取值范圍是.20.已知數(shù)列的前項積為，且.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）證明：.（1）解：由數(shù)列的前項積為，得，又，所以，當時，，整理得，即，所以，當時，為定值，所以數(shù)列是等差數(shù)列.（2）證明：因為，令，得，，故，結(jié)合（1）可知，是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，所以，得.所以，當時，，顯然符合上式，所以.所以，故.因為，，所以.21.在平面直角坐標系中，已知橢圓：的左，右焦點分別為，，過點且不與軸重合的直線與橢圓交于，兩點（點在點，之間）.（1）記直線，的斜率分別為，，求的值；（2）設直線與交于點，求的值.解：（1）設直線l的方程為，，.聯(lián)立方程組，整理得，則，即，所以；（2）由（1）可知，，故直線與關于直線對稱，設直線與橢圓的另一個交點為，則與關于軸對稱，設，則.所以直線的方程為，直線的方程為，故點滿足方程組，解得，因為點在橢圓C上，所以，即，整理得，所以點在雙曲線上運動，且，恰好為該雙曲線的焦點，依題意，點在，之間，所以，得，點在雙曲線的右支上運動，所以.22.已知函數(shù)，其中為實數(shù).（1）若，求實數(shù)的最小值；（2）設函數(shù)，若函數(shù)存在極大值，且極大值小于0，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）依題意，，，即，.令，，故，當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，在上單調(diào)遞減，所以當時，.所以，得，所以實數(shù)的最小值為2.（2）依題意，，，故，令，則，①若，，則即在上單調(diào)遞增；因為，，且在上的圖象不間斷，據(jù)零點存在性定理，存在，使得，且當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上不存在極大值，