安徽省皖東名校聯(lián)盟體2024屆高三上學期9月第二次質(zhì)量檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省皖東名校聯(lián)盟體2024屆高三上學期9月第二次質(zhì)量檢測數(shù)學試題一、選擇題1.已知集合，，則下列說法正確的是（）A.， B.， C.， D.，〖答案〗B〖解析〗A：顯然，，所以本選項不正確；B：顯然，，所以本選項正確；C：因為，所以不存在，，因此本選項不正確；D：因為，，所以本選項不正確，故選：B2.若，則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗A〖解析〗由題意可得，則，故．故選：A．3.已知向量，其中，，則的最大值為（）A. B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗，，故，因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，故.故選：B．4.已知A，B，C為三個隨機事件且，，>0，則A，B，C相互獨立是A，B，C兩兩獨立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗A，B，C相互獨立,則滿足，且，，；A，B，C兩兩獨立則滿足，，；故而A，B，C相互獨立則有A，B，C兩兩獨立，但是A，B，C兩兩獨立不能得出A，B，C相互獨立，故A正確．故選：A.5.若，b=1.2，c=ln3.2，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A.a>b>c B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>>c〖答案〗A〖解析〗令，則，∴在上單調(diào)遞增，，即，∴，又，，∵，，，故，∴．故選：A．6.如圖，正方形的中心與正方形的中心重合，正方形的面積為2，截去如圖所示的陰影部分后，將剩下的部分翻折得到正四棱錐(A，B，C，D四點重合于點M)，當四棱錐體積達到最大值時，圖中陰影部分面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗取正方形中心為，連接交于點，正方形的面積為2，故正方形的邊長為，，設(shè)，則，所得的棱錐側(cè)面的高，故棱錐的高為，四棱錐體積為，令，則，當時，，當時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴當時，體積最大，此時，，由勾股定理可得，點到邊長的距離，，∴陰影部分面積.故選：A．7.直觀想象是數(shù)學六大核心素養(yǎng)之一，某位教師為了培養(yǎng)學生的直觀想象能力，在課堂上提出了這樣一個問題：現(xiàn)有10個直徑為4的小球，全部放進棱長為a的正四面體盒子中，則a的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗我們先來證明如下引理：如下圖所示：設(shè)正四面體棱長為，面，，所以，，顯然為面的重心，所以，由勾股定理可得面,所以正四面體的高等于其棱長的面倍.接下來我們來解決此題：如下圖所示：10個直徑為4的小球放進棱長為a的正四面體中，成三棱錐形狀，有3層，則從上到下每層的小球個數(shù)依次為：1，，個，當a取最小值時，從上到下每層放在邊緣的小球都與正四面體的側(cè)面相切，底層的每個球都與正四面體底面相切，任意相鄰兩個小球都外切，位于每層正三角狀頂點的所有上下相鄰小球的球心連線為一個正四面體，則該正四面體的棱長為，可求得其高為，所以正四面體的高為，進而可求得其棱長a的最小值為．故選：B.8.設(shè)，將的圖像向右平移個單位，得到的圖像，設(shè)，，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗將的圖像向右平移個單位，得到的圖像，，，，，，，∵，，∴，令，,，易知在單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，∴單調(diào)遞減，∴當時，最大值為，故〖答案〗為：B.二、選擇題9.已知三次函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.當時，單調(diào)遞減區(qū)間為B.當時，單調(diào)遞增區(qū)間為C.當時，若函數(shù)恰有兩個不同的零點，則D.當時，恒成立，則a的取值范圍為〖答案〗ACD〖解析〗，則，當時，在區(qū)間上，所以在上單調(diào)遞減區(qū)間，A正確，B錯誤；要使函數(shù)恰有兩個不同的零點，則有一個極值為0，由上分析知：或，而時，不滿足題意；所以，有，化簡可得，C正確；當時恒成立，即恒成立，令，則，故，在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，∴，故，D正確．故選：ACD.10.在四面體ABCD中，，，E，F(xiàn)，G分別是棱BC，AC，AD上的動點，且滿足AB，CD均與面EFG平行，則（）A.直線AB與平面ACD所成的角的余弦值為B.四面體ABCD被平面EFG所截得的截面周長為定值1C.的面積的最大值為D.四面體ABCD的內(nèi)切球的表面積為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，取AB的中點Q，CD的中點M，連接，由于，故，而平面，故平面，又平面，故平面平面，則即為直線AB與平面ACD所成的角，又，而,故，則，故，A正確；對于B，設(shè)平面與棱BD的交點為P，因為平面，且平面，平面平面，故，且由題意知，否則重合，不合題意，故四邊形為梯形，同理四邊形為梯形，所以，由于，故，又因為，同理可證，則；同理證明，則四邊形為平行四邊形，故四邊形的周長為2，即四面體ABCD被平面EFG所截得的截面周長為定值2，B錯誤；對于C，因為平面，平面，故；而，同理可證，故，結(jié)合，故，當且僅當時等號成立，即的面積的最大值為，C正確；對于D，由以上分析知，故，而平面，，故，而，設(shè)四面體ABCD的內(nèi)切球的半徑為r，則，即，故四面體ABCD的內(nèi)切球的表面積為，D正確，故選：ACD.11.已知拋物線C：的焦點為F，過點F的直線與拋物線C交于A、B兩點，直線l：，M為l上一動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為10．B.若，為垂足，且為的平分線，則⊥C.對任意點M，均有D.當為等邊三角形時，的面積為〖答案〗BCD〖解析〗設(shè)：，，聯(lián)立，得，則，，，對于A，∵，則，∴，當且僅當，即時，等號成立，A錯誤；對于B，∵，MA為的平分線，則≌，∴，B正確；對于C，設(shè)，則，C正確；對于D，設(shè)AB中點為G，由于，，則，當時，顯然為直角三角形，不合題意，當時，，∴，，，又，解得，，，，D正確．故選：BCD．12.記有限數(shù)集為M，1∈M，定義在M上的函數(shù)記為，的圖象經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換之后會得到g(x)的圖象(的圖象有可能不是函數(shù)圖象)，若的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的圖象與原函數(shù)的圖象重合，則在下列選項中f(1)的取值不可能是（）A.0 B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗設(shè)點，若逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖重合，則旋轉(zhuǎn)后的對應點也在的圖象上，同理有的對應點也在其圖象上，以此類推，于是對應的圖象可以為一個圓周上的6等分的6個點.當時，即，則，易驗證，顯然不符合函數(shù)的定義，故A項不可能；當時，即，同理，，不符合函數(shù)的定義，故B項不可能；當時，即，同理，．不符合函數(shù)的定義，故C項不可能；當時，即，滿足題意，故D項可能.故選：ABC．三、填空題13.數(shù)學家波利亞說：“為了得到一個方程，我們必須把同一個量以兩種不同的方法表示出來，即將一個量算兩次，從而建立相等關(guān)系”這就是算兩次原理，又稱為富比尼原理．由等式利用算兩次原理可得__________．(用組合數(shù)表示即可)〖答案〗〖解析〗依題意，故是展開式中的系數(shù)，而展開式中的系數(shù)為，所以．故〖答案〗為：.14.已知，又P點為圓O：上任意一點且滿足，則________．〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，且P點到點A的距離與到點B的距離之比為定值，所以，所以，所以，解得，因為，所以故〖答案〗為：．15.已知正實數(shù)，b滿足，則當取最小值時，________．〖答案〗〖解析〗，令，則，令，則，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值，，即．故〖答案〗：．16.如圖，橢圓：()的右焦點為F，離心率為e，點P是橢圓上第一象限內(nèi)任意一點且，，．若，則離心率e的最小值是_________．〖答案〗〖解析〗∵點P是上第一象限內(nèi)任意一點且，∴，設(shè)直線OP的斜率為k，則．由可得，故，∴，∵，故，∴，解得，∵對任意的恒成立，故，整理得到對任意的恒成立，故只需，即，即，故離心率e最小值為．故〖答案〗為：.四、解答題17.數(shù)列各項均為正數(shù)，的前n項和記作，已知，．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前2023項和．解：（1）當時，有相減得，即，各項均為正數(shù)，所以，又當時，，解得或(舍)，所以對任意正整數(shù)n，均有，故是以首項為1，公差以1的等差數(shù)列，所以．（2）由于，故，由（1）得，記前n項和為，則，所以.18.在△ABC中，，D在邊AC上，∠A，∠B．∠C對應的邊為a，b，c．（1）當BD為的角平分線且時，求的值；（2）當D為AC的中點且時，求的取值范圍．解：（1）由題意知，BD為角平分線且長度已知，則利用面積相等可得，整理可得，所以.（2）以a，c為邊做平行四邊形，另一個端點設(shè)為M，連接BM，易知BM交AC于點D.設(shè)∠DBC=θ，則由正弦定理知：化簡可得，，．則，合并化簡可，易知，則，∴．∴的取值范圍為.19.如圖，正方體的棱長為4，M，N，P，Q分別為棱的中點，平面與平面將該正方體截成三個多面體．（1）求平面與平面所成夾角的余弦值的大?。唬?）求多面體的體積．解：（1）以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標系(如圖)，則，，，．設(shè)為平面的一個法向量，則取，解得，故．設(shè)為平面的一個法向量，則取，解得，故．則，∴平面與平面所成夾角的余弦值為.（2）由正方體特性可知：，所求多面體，;而幾何體可以看成兩三棱錐相減，將延長至O點，使，得到幾何體的體積為三棱錐的體積減去三棱錐的體積，∴．∴．20.2022年國慶節(jié)某商場進行砸金蛋活動，現(xiàn)有8個外形完全相同的金蛋，8個金蛋中有1個一等獎，1個二等獎，3個三等獎，3個參與獎，現(xiàn)甲乙兩人進行砸金蛋比賽，砸中1個一等獎記4分，砸中1個二等獎記3分，砸中1個三等獎記2分，砸中1個參與獎記1分，規(guī)定砸蛋人得分不低于8分為獲勝，否則為負，并制定規(guī)則如下：①一個人砸蛋，另一人不砸蛋；②砸蛋的人先砸1個金蛋，若砸出的是一等獎，則再砸2個金蛋；若砸出的不是一等獎，則再砸3個金蛋，砸蛋人的得分為兩次砸出金蛋的記分之和．（1）若由甲砸蛋，如果甲先砸出的是一等獎，求該局甲獲勝的概率；（2）若由乙砸蛋，如果乙先砸出的是二等獎，求該局乙得分的分布列和數(shù)學期望．解：（1）記“甲先砸出的是一等獎，甲獲勝”為事件A，則，（2）如果乙先砸出的是二等獎，則可以再砸3個金蛋，則得分情況有6，7，8，9，10，11，，，，，，，所以的分布列為：P67891011所以的數(shù)學期望：．21.已知雙曲線()左、右焦點為，其中焦距為，雙曲線經(jīng)過點．（1）求雙曲線的方程；（2）過右焦點作直線交雙曲線于M，N兩點(M，N均在雙曲線的右支上)，過原點O作射線，其中，垂足為為射線與雙曲線右支的交點，求的最大值．解：（1）由題意得，，，解得，，雙曲線的方程為：.（2）當直線斜率不存在時，，，則，當直線斜率存在時，假設(shè)直線方程為，聯(lián)立雙曲線方程得，則，，，∵直線與雙曲線交于右支，∴，則，設(shè)射線OP方程為：，聯(lián)立與雙曲線的方程，∴，，，∴，∴，當且僅當時等號成立，最大值為．綜上，的最大值為.22.