2023-2024學(xué)年天津市靜海區(qū)高二上冊(cè)第一階段評(píng)估數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題 （含解析）

2023-2024學(xué)年天津市靜海區(qū)高二上冊(cè)第一階段評(píng)估數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、單選題（45分）1．經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線方程為（

）A． B． C． D．2．直線的傾斜角為（

）A．30° B．45° C．120° D．150°3．若{，，}構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．4．已知點(diǎn)A（1，-1），B（1，2），則直線AB的傾斜角為（

）A．0 B． C． D．5．已知點(diǎn)B是A（3，4，5）在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)的射影，則||＝（）A． B． C．5 D．56．平行六面體中，，則實(shí)數(shù)x，y，z的值分別為A． B． C． D．7．已知兩點(diǎn)，，直線過(guò)點(diǎn)，若直線與線段相交，則直線的斜率取值范圍是（

）A． B．C． D．8．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為()A． B． C． D．9．在正四面體中，棱長(zhǎng)為2，且E是棱AB中點(diǎn)，則的值為A． B．1 C． D．二、填空題（30分）10．已知平面的一個(gè)法向量為,點(diǎn)在內(nèi),則到的距離11．如圖，在正四棱錐中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，．若，則實(shí)數(shù)12．已知空間向量則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是.13．直線l1與直線l2：y＝3x＋1平行，又直線l1過(guò)點(diǎn)(3,5)，則直線l1的方程為.14．設(shè)兩直線與.若,則,若,則．15．在空間直角坐標(biāo)系中，，，且，則的最小值是，最大值是.三、解答題（75分）16．如圖，在直四棱柱中，側(cè)棱的長(zhǎng)為3，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，是棱的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求平面與平面的夾角的正切值；(3)求點(diǎn)到平面的距離.17．已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，.(1)求邊上的中線所在直線的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程；(3)若點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線傾斜角的取值范圍．18．如圖：在直三棱柱中，，，是棱的中點(diǎn)，是的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線的交點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值：(3)若點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成的角的正弦值為，求線段的長(zhǎng).19．如圖，在三棱臺(tái)中,,,側(cè)棱平面,點(diǎn)是棱的中點(diǎn).(1)證明:平面(2)求點(diǎn)到平面的距離;(3)求平面與平面的夾角的余弦值.20．在四棱錐中，底面，且，四邊形是直角梯形，且，，，，為中點(diǎn)，在線段上，且.

(1)求證：平面；(2)求直線PB與平面所成角的正弦值；(3)求點(diǎn)到PD的距離.1．C【分析】根據(jù)題目條件，選擇兩點(diǎn)式來(lái)求直線方程.【詳解】由兩點(diǎn)式直線方程可得：化簡(jiǎn)得：故選：C本題主要考查了直線方程的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.2．A【分析】將直線的一般式改寫成斜截式，再由斜率公式可求得結(jié)果.【詳解】∵∴∴又∵∴故選：A.3．C【分析】利用空間向量基本定理以及空間向量共面定理，依次判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，，所以三個(gè)向量共面，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，所以三個(gè)向量共面，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，假設(shè)三個(gè)向量共面，則存在非零實(shí)數(shù)，，滿足，整理可得，因?yàn)?，，不共面，所以，無(wú)解，所以假設(shè)不成立，則三個(gè)向量不共面，故C正確，對(duì)于D，，所以三個(gè)向量共面，故D錯(cuò)誤.故選：C4．D【分析】由兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，得出傾斜角.【詳解】由題意可知，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，則直線AB的傾斜角為.故選：D5．C【分析】先求出B（3，4，0），由此能求出||．【詳解】解：∵點(diǎn)B是點(diǎn)A（3，4，5）在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影，∴B（3，4，0），則||＝＝5．故選：C．6．C由則因?yàn)橛?根據(jù)空間向量的基本定理即可求得.【詳解】,.故選:C.本題考查空間向量的基本定理,考查向量的線性運(yùn)算,考查學(xué)生的計(jì)算能力,難度較易.7．A【分析】根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)P，畫出圖形，再求出，的斜率，然后利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】如圖所示：

若直線與線段相交，則或，因?yàn)椋?，所以直線的斜率取值范圍是.故選：A.本題主要考查直線斜率的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于基礎(chǔ)題.8．C【詳解】以C為原點(diǎn)，直線CA為x軸，直線CB為y軸，直線為軸，則設(shè)CA=CB=1，則，，A（1，0，0），，故，，所以，故選C.考點(diǎn)：本小題主要考查利用空間向量求線線角，考查空間向量的基本運(yùn)算，考查空間想象能力等數(shù)學(xué)基本能力，考查分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.9．A根據(jù)題意，由正四面體的性質(zhì)可得：，可得，由E是棱中點(diǎn)，可得，代入，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出.【詳解】如圖所示由正四面體的性質(zhì)可得：可得：是棱中點(diǎn)故選：本題考查空間向量的線性運(yùn)算，考查立體幾何中的垂直關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中等題型.10．4【分析】解利用點(diǎn)到面的坐標(biāo)距離公式即可求解.【詳解】解：由題意得：則到平面的距離故11．4【分析】連結(jié)AC，交BD于O，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出實(shí)數(shù)λ．【詳解】解：連結(jié)AC，交BD于O，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA＝AB＝2，則A（，0，0），D（0，，0），P（0，0，），M（，0，），B（0，，0），（0，﹣2，0），設(shè)N（0，b，0），則（0，b，0），∵λ，∴﹣2，∴b，∴N（0，，0），（，，），（，0），∵M(jìn)N⊥AD，∴10，解得實(shí)數(shù)λ＝4．故答案為4．本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查空間向量、正四棱錐的結(jié)構(gòu)牲等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．12．【分析】按照投影向量的定義，代入計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，依題意向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是.故答案為:13．【詳解】∵直線l2的斜率k2＝3，l1與l2平行．∴直線l1的斜率k1＝3.又直線l1過(guò)點(diǎn)(3,5)，∴l(xiāng)1的方程為y－5＝3(x－3)，即y＝3x－4故答案為．點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了直線間的位置關(guān)系，兩直線平行即斜率相等，充要條件為，兩直線垂直充要條件為，知道直線的斜率和過(guò)的點(diǎn)，直接點(diǎn)斜式寫出直線方程即可．14．-7【分析】由直線平行,得解出方程進(jìn)行檢驗(yàn)可得的值;由直線垂直可得,解出方程即可得的值.【詳解】解:當(dāng)時(shí),,解得或當(dāng)時(shí),兩直線重合,不符合題意.即當(dāng)時(shí),,解得故答案為:-7;本題考查了直線的平行和垂直問(wèn)題.一般地,對(duì)于兩條直線,,.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.本題的易錯(cuò)點(diǎn)在于,在平行問(wèn)題中,求出的值后沒(méi)有代入方程檢驗(yàn)兩直線是否重合.15．08先利用空間向量數(shù)量積運(yùn)算可得，再利用橢圓的參數(shù)方程求最值即可得解.【詳解】解：因?yàn)椋?，且，所以，即，設(shè)，則，又，則，故0，8.本題考查了空間向量數(shù)量積運(yùn)算，重點(diǎn)考查了橢圓的參數(shù)方程，屬中檔題.16．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）建立以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向得空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量為，根據(jù)即可解決；（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，根據(jù)空間向量方法解決面面角即可；（3）由題得，由點(diǎn)到平面的距離為解決即可.【詳解】（1）根據(jù)題意，建立以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向得空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)閭?cè)棱的長(zhǎng)為3，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，所以，因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以，所以,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，得，令，得，所以，因?yàn)?所以，因?yàn)槠矫?，所以平?（2）由（1）得平面的一個(gè)法向量為，由題可設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，所以，所以，所以平面與平面的夾角的正切值為.（3）由（1）得平面的一個(gè)法向量為，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為.所以點(diǎn)到平面的距離為.17．(1)(2)(3)【分析】（1）由題意可得的中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得中線的斜率，可得點(diǎn)斜式方程，化為一般式即可；（2）由斜率公式可得的斜率，由平行關(guān)系可得中線的斜率，可得點(diǎn)斜式方程，化為一般式即可；（3）由條件可得直線的斜率，可得其范圍，進(jìn)而可得傾斜角的范圍．【詳解】（1）解：，，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，中線的斜率為，中線所在直線的方程為：，即；（2）解：由已知可得AB的斜率為，與直線平行的直線的斜率也為，所求直線的方程為，化為一般式可得；（3）解：可得直線AD的斜率為，直線傾斜角的取值范圍為.18．(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）在平面中構(gòu)造與平行的直線，通過(guò)線線平行推證線面平行即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，通過(guò)向量法求解二面角的正弦值；（3）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件以及線面角的向量求解方法，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得的長(zhǎng)度.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，如下所示：因?yàn)槭侵比庵?，故可得是矩形，故為的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，由△△可知：也是的中點(diǎn)，故在△中，分別為的中點(diǎn)，故可得//，又面面，故//面.（2）因?yàn)槭侵比庵士傻妹?，又面，則，又,故，綜上可得兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，由（1）知，故，則；則，設(shè)平面的法向量為，故可得，即，不妨取，則；設(shè)平面的法向量為，故可得，即，不妨取，則；設(shè)二面角的平面角為，故可得，則.即二面角的正弦值為.（3）因?yàn)樵诰€段上，設(shè)其坐標(biāo)為故可設(shè)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，則；又由（2）知平面的法向量為，又直線與平面所成的角的正弦值為，故可得，整理得：，又，故可得，此時(shí).故的長(zhǎng)度為.19．(1)證明見解析(2)(3)【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),可得,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理以及判定定理,可得,再結(jié)合線面垂直判定定理,可得答案.(2)利用等體積法,由三棱錐的體積等于三棱錐,可得答案;(3)建立空間直線坐標(biāo)系,求兩個(gè)平面的法向荲,利用向量叫夾角公式,根據(jù)面面角與法向?夾角的關(guān)系,可得答案.【詳解】（1）在平面內(nèi),過(guò)作,且，則,在中,,易知,即,平面平面,,且平面平面,平面平面,平面.（2）取的中點(diǎn)，連接，則,即,且平面,在Rt中,,則,平面,且平面,,且平面平面,平面,故,由（1）易得,設(shè)到平面的距離為,由三棱錐的體積等于二棱錐,則,即.（3）以點(diǎn)為原點(diǎn),分別以所在的直線為軸,建立空間直線坐標(biāo)系，則,由點(diǎn)為的中點(diǎn),則在平面中,取,設(shè)該平面的法向量,則,即,今,解得,故平面的一個(gè)法向量,在平面中,取,設(shè)該平面的法向量,則,即,今,解得,故平面的一個(gè)法向量,則,故平面與平面的夾角的余弦值為.20．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）構(gòu)造平面，由面面平行的判定定理證明面面平行，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得線面平行；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【