含多參量無窮積分的收斂性

-PAGEIV--PAGEI-含多參量無窮積分的收斂性摘要無窮積分是定積分將積分區(qū)間推廣到無窮區(qū)間后得到的一類積分,有很多實際的應用背景,同時在復變函數(shù)、實變函數(shù)及概率論中也有廣泛應用，因而研究其算法對實際問題及對后續(xù)學習課程都有一定的意義。但是無窮積分的基本算法依賴于定積分的算法和極限求法,如果二者中有一個不能求出,那么基本算法將失效。通過探索無窮積分的計算方法,總結出很多計算無窮積分的方法,如利用廣義含參變量、廣義重積分、留數(shù)、帕斯瓦爾關系式、特殊被積函數(shù)等的方法,同時還探索通過MATLAB軟件實現(xiàn)無窮積分的數(shù)值計算,從而對無窮積分的算法給出了有益的補充。關鍵詞：無窮積分；廣義重積分；廣義含參變量無窮積分；留數(shù);Matlab-PAGEIII-CalculationofInfiniteIntegralandRealizationofMatlabAbstractInfiniteintegralisaclassofintegralwhichextendsthedefiniteintegraltotheinfiniteinterval.Infiniteintegralhasmanyapplicationsinpracticeandinthecomplexfunction,RealVariableandprobabilitytheory,soitisverysignificanttoconsideritsalgorithmforpracticalproblemsandsubsequentcourses.However,becausedependingonthedefiniteintegralorlimit,itsbasicalgorithmwillfailwithouttheresultsofthedefiniteintegralandlimit.Byexploringotheralgorithms,alotofcalculatingmethodsareobtained,suchasthegeneralizedintegralwithparameter,thegeneralizedmultipleintegral,theresidue,theParsevalrelationship,specialintegrals,atthesametimethenumericalcalculationoftheinfiniteintegralusingMatlabisconsidered,whichisusefulsupplementoftheinfiniteintegralalgorithm.KeyWords：Infiniteintegral;thegeneralizedmultipleintegral;generalizedintegralwithparameter;theresidue;Matlab；目錄TOC\o"1-3"\h\u摘要 ICalculationofInfiniteIntegralandRealizationofMatlab IIAbstract II引言 11無窮積分的定義及性質 21.1無窮積分的定義 21.2無窮積分的性質 21.2.1無窮積分的收斂性 21.2.2奇偶函數(shù)的無窮積分性質 32無窮積分的計算 42.1廣義含參變量無窮積分法 42.2利用廣義重積分求無窮積分 52.3留數(shù)法 62.4帕斯瓦爾關系式法 102.5特殊被積函數(shù) 113.無窮積分計算的Matlab程序設計 133.1廣義含參變量無窮積分法的Matlab實現(xiàn) 143.2廣義重積分法的Matlab實現(xiàn) 153.3特殊被積函數(shù)無窮積分的Matlab實現(xiàn) 174.1基本概念 194.1.1含參量反常積分 194.1.2含參量反常積分一致收斂 194.2含參量反常積分一致收斂的判別方法 194.2.1定義法 194.2.2柯西準則法 204.2.3變上限積分的有界性法 214.2.4確界法 224.2.5微分法 224.2.6級數(shù)判別法 244.2.7維爾斯特拉斯判別法（簡稱判別法） 244.2.8狄利克萊判別法 264.2.9阿貝爾判別法 26結論 27參考文獻 28致謝 29PAGE16PAGE15 引言無窮積分是定積分將積分區(qū)間推廣到無窮區(qū)間后得到的一類積分[1][2][3],有很多實際的應用背景,同時在復變函數(shù)[4]、實變函數(shù)[5]及概率論中也有廣泛應用，因而研究其算法對實際問題及對后續(xù)學習課程都有一定的意義。無窮積分的計算最基本的是定義法，即通過變上限或者變下限積分的極限的計算而得，但是定積分的算法是有限的，很多定積分都沒有辦法直接計算出來，因此很多廣義積分無法用定義法計算，例如Possion積分等，所以必須借助于新的理論和方法來求無窮積分的算法，從而有效的解決這類問題。本文通過探索無窮積分的計算方法，總結出很多計算無窮積分的方法，如利用廣義含參變量、廣義重積分、留數(shù)[6]、帕斯瓦爾關系式[7]、特殊被積函數(shù)[8]等的方法，同時還探索通過MATLAB軟件實現(xiàn)無窮積分的數(shù)值計算，從而對無窮積分的算法給出了有益的補充。本文的結構安排如下：第一章主要介紹無窮積分的定義及性質；第二章主要探索無窮積分計算的各種計算方法；第三章主要介紹無窮積分計算的Matlab程序設計。含參量反常積分是微積分學中一類重要的積分,是研究和表達函數(shù)，特別是非初等函數(shù)的有力工具。為了討論含參變量反常積分的連續(xù)性、可微性和可積性，我們需要引進含參變量反常積分的一致收斂性的概念，它和函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性的意義是相當?shù)摹，F(xiàn)行的數(shù)學分析教材給出的含參量反常積分的一致收斂的判別法主要是一致收斂定義、柯西準則、維爾斯特拉斯判別法、狄里克萊判別法及阿貝爾判別法，它們都有一定的局限性，不適用于每種含參量反常積分的一致收斂性的判別。為了更好的判別含參量反常積分的一致收斂性，本文研究、歸納了判別含參量反常積分的一致收斂性的九種方法:一致收斂定義、柯西準則法、變上限積分的有界法、確界法、微分法、級數(shù)辨別法、魏爾斯特拉斯M判別法、狄克雷判別法和阿貝爾判別法,并且給出了典型例子以說明每種判別法的特點，以便于人們的研究、理解。

1無窮積分的定義及性質1.1無窮積分的定義積分是微積分學與數(shù)學分析里的一個核心概念。通常分為定積分和不定積分兩種。直觀地說，對于一個給定的正實值函數(shù)，在一個實數(shù)區(qū)間上的定積分可以理解為在坐標平面上，由曲線、直線以及軸圍成的曲邊梯形的面積值（一種確定的實數(shù)值）。積分的一個嚴格的數(shù)學定義由波恩哈德·黎曼給出（參見條目“黎曼積分”）。黎曼的定義運用了極限的概念，把曲邊梯形設想為一系列矩形組合的極限。從十九世紀起，更高級的積分定義逐漸出現(xiàn)，有了對各種積分域上的各種類型的函數(shù)的積分。比如說，路徑積分是多元函數(shù)的積分，積分的區(qū)間不再是一條線段（區(qū)間[a,b]），而是一條平面上或空間中的曲線段；在面積積分中，曲線被三維空間中的一個曲面代替。對微分形式的積分是微分幾何中的基本概念。積分發(fā)展的動力源自實際應用中的需求。實際操作中，有時候可以用粗略的方式進行估算一些未知量，但隨著科技的發(fā)展，很多時候需要知道精確的數(shù)值。要求簡單幾何形體的面積或體積，可以套用已知的公式。比如一個長方體狀的游泳池的容積可以用長×寬×高求出。但如果游泳池是卵形、拋物型或更加不規(guī)則的形狀，就需要用積分來求出容積。物理學中，常常需要知道一個物理量（比如位移）對另一個物理量（比如力）的累積效果，這時也需要用到積分。定義1.1：設函數(shù)定義在無窮區(qū)間上，且在任何有限區(qū)間上可積分。如果存在極限則稱此極限為函數(shù)在上的無窮反常積分（簡稱無窮積分），記作1.2無窮積分的性質1.2.1無窮積分的收斂性由定義知道，無窮積分收斂與否，取決于函數(shù)在時是否存在極限。定理1.2.1：無窮積分收斂的充要條件是：任給，存在，只要,便有性質1.2.1：若與都收斂，為任意常數(shù)，則也收斂，且=（1.1）性質1.2.2：若在任何有限區(qū)間上可積，，則與同斂態(tài)，且有=+（1.2）性質1.2.3：若在任何有限區(qū)間上可積，且有收斂，則亦必收斂，并有（1.3）證明：由收斂，根據(jù)柯西準則(必要性)，任給，存在，當時，總有利用定積分的絕對值不等式，又有再由柯西準則（充分性），得收斂又因，令取極限，得到不等式（1.3）1.2.2奇偶函數(shù)的無窮積分性質定理1.2.2：設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且積分收斂，那么若是奇函數(shù)，則成立；（2）若是偶函數(shù)，則成立；證明：因為積分收斂，則極限存在，設（常數(shù)）。，取，，則有在中，令，則；當時，；當時，。于是若是奇函數(shù)，即所以，即成立若為偶函數(shù)，即，則有即2無窮積分的計算2.1廣義含參變量無窮積分法一致收斂性及其判別法定義2.1.1：設函數(shù)定義在無界區(qū)域，其中上，若對每一個固定的,反常積分（2.1）都收斂，則它的值是在上取值的函數(shù)，當記這個函數(shù)為時，則有（2.2）稱（2.1）式為定義在上的含參變量的無窮限反常積分，或稱含參變量反常積分。若含參變量反常積分（2.1）式與函數(shù)對任給的正數(shù)，總存在某一實數(shù)，使得當時，對一切，都有即則稱含參變量反常積分（2.1）式在一致收斂于阿貝爾判別法：設（1）在上一致收斂（2）對每一個，函數(shù)為的單調函數(shù)，且對含參變量，在上一致有界，則含參變量反常積分在上一致收斂含參變量反常積分的連續(xù)性：設上連續(xù)，若含參變量反常積分，在上一致收斂，則在連續(xù)例如：計算解：令，則有（2.3）由阿貝爾判別法可得上述含參變量反常積分在上一致連續(xù)，所以在上連續(xù)，且有（2.3）式2.2利用廣義重積分求無窮積分二重積分定義：設是定義在可求面積的有界區(qū)域上的函數(shù)。是一個確定的數(shù)，若對任給的正數(shù)，總存在某個正數(shù)，使對于的任何分割，當它的細度時，屬于的所有積分和都有（2.4）則稱在上可積，數(shù)稱為函數(shù)在上的二重積分，記作（2.5）定理2.2.1：在上可積的充要條件是：定理2.2.2：在上可積的充要條件是：對于任給的正數(shù)，存在的某個分割，使得定理2.2.3：有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必可積定理2.2.4：設施定義在有界區(qū)域上的有界函數(shù)。若的不連續(xù)點都落在有限條光滑曲線上，則在上可積。定理2.2.5：設在矩形區(qū)域上可積，且對每個，積分存在，則累次積分也存在，且（2.6）定理2.2.6：設在矩形區(qū)域上可積，且對每個，積分存在，則累次積分也存在，且（2.7）例如：計算，其中解：應用定理2.2.5或定理2.2.6，有=2.3留數(shù)法留數(shù)是復變函數(shù)中的一個重要概念，指解析函數(shù)沿著某一圓環(huán)域內(nèi)包圍某一孤立奇點的任一正向簡單閉曲線的積分值除以2πi。留數(shù)數(shù)值上等于解析函數(shù)的洛朗展開式中負一次冪項的系數(shù)。根據(jù)孤立奇點的不同，采用不同的留數(shù)計算方法。留數(shù)常應用在某些特殊類型的實積分中，從而大大簡化積分的計算過程。計算型積分引理2.1：設沿圓弧上連續(xù)，且于上一致連續(xù)（即與中無關），則（2.8）證明：因為(2.9)于是有（2.10）對于任給，由已知條件，存在，使當時，有不等式，(2.11)于是由（2.10）式不超過（其中1為的長度，即1=）定理2.2.7：計算為有理分式，其中為互質多項式，且符合條件：（1）；（2）在實數(shù)軸上于是有證明：由條件（1）和條件（2）及數(shù)學歸納法的結論，知存在且等于它的主值記作取上半圓周作為輔助線。于是，有線段及合成一周線,先取充分大，使內(nèi)部包含在上半平面內(nèi)的一切孤立點——實際上只有有限個極點）。由條件（2），在上誒有奇點。按留數(shù)定理得或寫成因為有假設條件（1）知，故沿上就有根據(jù)引理得命題成立。例如：計算積分解：因，，它一共有四個一階極點所以計算型積分若爾當引理：設函數(shù)沿半圓周充分大，且在上一致連續(xù)。則證明：對于任給的，存在,使時，有于是，就有（2.12）這里利用了于是，由（若爾當不等式）將（2.12）式化為定理2.2.8：設，其中及是互質多項式，且符合條件：（1）的次數(shù)比的次數(shù)高；（2）在實軸上；（3），則有（2.13）將（2.13）式分開實虛部，得及的積分例如：計算積分解：因為被積函數(shù)為偶函數(shù)，故由定理得所以=2.4帕斯瓦爾關系式法1帕斯瓦爾關系式若信號和的傅立葉變換為，得上式中令，得稱為帕斯瓦爾關系式，其中為的共軛函數(shù)2利用帕斯瓦爾關系式求解無窮積分對于一些被積函數(shù)可分解為兩個函數(shù)相乘的無窮積分，如果這兩函數(shù)的傅立葉變換（或傅立葉反變換）乘積分容易積分，則利用帕斯瓦爾關系式可很易求得其積分，尤其是在傅立葉變換中出現(xiàn)沖激函數(shù)，利用沖激函數(shù)性質，積分更顯簡單。對于該積分在高等數(shù)學中的常規(guī)解法在此不再贅述。例如：計算積分解：根據(jù)時域微分特性因為所以其中：令,則根據(jù)帕斯瓦爾關系式知所以即：又因為故2.5特殊被積函數(shù)計算含三角函數(shù)無窮積分;利用圍道積分引理2.2：設函數(shù)只有有限個奇點，且在下半平面的范圍內(nèi)，當時一致地趨近于,則（2.14）其中，以原點為圓心，為半徑的半圓弧，位于上班平面。證明：以原點為圓形。為半徑作圓。按照題設，只要足夠大，則有因此，同樣也有另一方面，如果將此圖周的位于下半平面內(nèi)的半圓弧記為，則由Jordan引理有兩式相減，可得例如：計算分析：按照傳統(tǒng)方法，應當考慮復變積分，而且圍道還應當繞過被奇函數(shù)的一階極點（如圖1）。文本的做法：直接考慮復變積分，積分圍道為圖2中的圓形圍道。圖1圖2解：根據(jù)留數(shù)定理就得到令,就有根據(jù)Jordan引理，有，同時，根據(jù)上面剛剛證明的引理，又有（）（）由此即可求得亦即無窮積分計算的Matlab程序設計MATLAB是由MathWorks公式開發(fā)的一種主要用于數(shù)值計算及可視化圖形處理的工程語言，是當今最優(yōu)秀的科技應用軟件之一。它將數(shù)值計算、矩陣運算、圖形圖像處理、信號處理和仿真等諸多強大的功能集成在較易使用的交互計算機環(huán)境中，為科學研究、工程應用提供了一種功能強、效率高的編程工具。下面我們將各種求積算法通過MATLAB軟件編程實現(xiàn)，以下程序均用MATLAB7.0編寫，運行壞境：1、硬件環(huán)境CPU（intelCorei3-2310M,2.1GHz），內(nèi)存（2GB昱聯(lián)）,2、軟件環(huán)境windows7（32位）操作系統(tǒng)。3.1廣義含參變量無窮積分法的Matlab實現(xiàn)例如：構造數(shù)表來逼近積分其中。表示數(shù)表的最后一行，最后一列的值。程序：function[R,quad,err,h]=romber(f,a,b,n,delta)%f是被積函數(shù)%a,b分別是積分的上下限%n+1是T數(shù)表的列數(shù)%delta是允許誤差%R是T數(shù)表%quad是所求積分值M=1;h=b-a;err=1J=0;R=zeros(4,4);R(1,1)=h*(feval('f',a)+feval('f',b))/2while((err>delta)&(J<n))|(J<4)J=J+1;h=h/2;s=0;forp=1:Mx=a+h*(2*p-1);s=s+feval('f',x);endR(J+1,1)=R(J,1)/2+h*s;M=2*M;forK=1:JR(J+1,K+1)=R(J+1,K)+(R(J+1,K)-R(J,K))/(4^K-1);enderr=abs(R(J,J)-R(J+1,K+1));endquad=R(J+1,J+1)先用M文件定義一個名為f.m的函數(shù)：functiony=f(x)ifx==0y=1;elsey=sin(x)/x;End在MATLAB命令窗口中輸入>>romber('f',0,1,5,0.5*(10^(-8)))回車得到如圖3.1如圖3.13.2廣義重積分法的Matlab實現(xiàn)例如：二重積分復化Simpson公式程序：functionI=Dbquad2(fsimpcdabmn)h=(b-a)/(2*n);I1=0;I2=0;I3=0;fori=0:(2*n)x=a+i*h;dx=feval(dx); cx=feval(cx); dx=d; cx=c; kx=(dx-cx)./(2*m);K1=feval(fsimpxcx)+feval(fsimpxdx);K2=0;K3=0;forj=1:(2*m-1)y=cx+j*kx;z=feval(fsimpxy);ifgcd(2j)==2K2=K2+z;elseK3=K3+z;endendL=(kx/3)*(K1+2*K2+4*K3);ifi==0|i==2*nI1=I1+L;elseifgcd(2i)==2I2=I2+L;elseI3=I3+L;endendendI=(h/3).*(I1+2*I2+4*I3);3.3特殊被積函數(shù)無窮積分的Matlab實現(xiàn)例如：程序：functions=trapr1(f,a,b,n)%f是被積函數(shù)；%a,b分別為積分的上下限；%n是子區(qū)間的個數(shù)；%s是梯形總面積；h=(b-a)/n;s=0;fork=1:(n-1)x=a+h*k;s=s+feval('f',x);endformatlongs=h*(feval('f',a)+feval('f',b))/2+h*s;先用M文件定義一個名為f.m的函數(shù)：functiony=f(x)ifx==0y=1;elsey=sin(x)/x;end在MATLAB命令窗口中輸入>>trapr1('f',0,1,4)回車得到如圖3.2如圖3.2若取子區(qū)間的個數(shù)在MATLAB命令窗口中輸入>>trapr1('f',0,1,8)回車得到如圖3.3如圖3.34含參量反常積分一致收斂的判別方法4.1基本概念4.1.1含參量反常積分設函數(shù)定義在無界區(qū)域上，其中I為區(qū)間,反常積分都收斂，則它的值是在上取值的函數(shù)，當記這個函數(shù)為時，則有，（2-1）稱式為定義在I上的含參量的無窮限反常積分，或簡稱含參量反常積分[1].4.1.2含參量反常積分一致收斂若含參量反常積分與函數(shù)對任給的正數(shù),存在某一實數(shù)，使得當時,對一切都有，（2-2）即，（2-4）則稱含參量反常積分在I上一致收斂于，或者簡單的說含參量積分在I上一致收斂.4.2含參量反常積分一致收斂的判別方法4.2.1定義法定義判別法：根據(jù)以上2.2關于含參量反常積分一致收斂的定義進行判別.例4-1證明：含參量反常積分在內(nèi)不一致收斂，但是在上一致收斂（其中）[2].分析由含參量反常積分一致收斂定義可知，含參量反常積分在上不一致收斂指：存在對任何實數(shù),總存在和，.（4-1）證明1）當時，取，，取,,有，含參量反常積分在內(nèi)不一致收斂.由1）可知，，可知，故可取，則當時，對所有的有，從而含參量反常積分在上一致收斂.用含參量反常積一致收斂的定義證明含參量反常積分的一致收斂性，通常使用的方法是適量放大.4.2.2柯西準則法定理4-1（一致收斂柯西準則）含參量反常積分在區(qū)間上一致收斂，時，對，有.（4-2）注：使用柯西準則討論一致收斂性具有很大的優(yōu)越性，難度大大減少，這是因為使用這方法只要考慮充分后的有限區(qū)間,而不要考慮充分后的無窮區(qū)間[4].例4-2設在無界區(qū)域上連續(xù)，對所有，含參量反常積分收斂，但時積分發(fā)散，證明：在上非一致收斂.證明1）發(fā)散，，,,.2）在無界區(qū)域上連續(xù)，在有界閉區(qū)域上一直連續(xù)，對，，當，，，，有，當時，有，根據(jù)1）、2）可得,，，,，.所以在上非一致收斂.4.2.3變上限積分的有界性法定理4-2若函數(shù)在無界區(qū)域，連續(xù)，且，有，（4-4）即在R有界，則當,含參量反常積分在區(qū)間I上一致收斂[4].（分析：由給定的條件可以推理出滿足狄利克雷判別法的條件的）證明1），有，即在R有界；2）對所有的，當時，對于參變量，一致收斂于0，且關于是單調遞減的；則由狄利克雷判別法可得到含參量反常積分在區(qū)間I上一致收斂.例4-4判斷含參量反常積分在區(qū)間的一致收斂性.解依題意可得：，其中，，，有而是定積分，所以必然有界，即，，使得；又含參量反常積分在區(qū)間是一致收斂的.4.2.4確界法定理4-4含參量積分在上一致收斂[.例4-4分析討論含參量積分的一致收斂性[5].解1）當時，令，可得，，即，含參量反常積分在內(nèi)不一致收斂.若任取，就能發(fā)現(xiàn)，從而含參量反常積分在上一致收斂.4.2.5微分法定理4-4設1）函數(shù)關于可微；關于一致收斂；存在一點，使得含參量積分收斂；則含參量反常積分在上一致收斂[6].證明對，在，對有關于一致收斂，關于也是一致收斂的，，,對有含參量積分收斂,,，對有令，則對，式子（2）、（4）同時成立，當時，，即含參量積分關于一致收斂，同理可得含參量積分關于也一致收斂，總結可得含參量積分關于一致收斂.例4-5判斷含參量積分在上的一致收斂性.解對固定的，有，對固定的，含參量積分在上收斂，設，則，，，由一致收斂柯西判別法可知在內(nèi)一致收斂，含參量積分在范圍上的一致收斂.4.2.6級數(shù)判別法定理4-5含參量反常積分在上一致收斂函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂，其中是數(shù)列的項，數(shù)列滿足以下條件：;數(shù)列為遞增數(shù)列；數(shù)列趨于.[7]例4-6證明含參量反常積分關于在是一致收斂的.證明令，，，，同時可知：二元函數(shù)關于在上單調遞減，令函數(shù)項級數(shù)為，，又，函數(shù)項級數(shù)為收斂，根據(jù)函數(shù)項級數(shù)一致收斂的維爾斯特拉斯判別法（M判別法）可得到：函數(shù)項級數(shù)關于在是一致收斂的，由級數(shù)判別方法定理可知含參量反常積分關于在是一致收斂的.4.2.7維爾斯特拉斯判別法（簡稱判別法）定理4-6(維爾斯特拉斯判別法)：設存在函數(shù)，滿足以下條件：使得，，，收斂，則含參量反常積分在上一致收斂.[8]要點：使用M判別法關鍵在于將被積函數(shù)絕對值放大，從而找出符合條件的.值得注意的是:維爾斯特拉斯的M判別法雖然比較簡單，但是有一定的局限性，能用M判別法證明是一致收斂的含參量反常積分一定是絕對一致收斂的，但是絕對一致收斂的含參量反常積分并不能全用M判別法證明它的一致收斂性，同時條件一致收斂的含參量反常積分也不能用M判別法來判別一致收斂性.例4-7判斷是否一致收斂.解為奇點，，而，故積分收斂，從而一致收斂.例4-8證明積分，在中一致收斂.證明當時，，，當時，有，于是 .當時，有，當時，，有，當時，有收斂，由維爾斯特拉斯判別法可知:積分在時一致收斂，當時，,對,有，綜合上述得：，,當時，對每個成立.積分，在中一致收斂.4.2.8狄利克萊判別法定理4-7（狄利克萊判別法）：設，若滿足以下條件：存在，對所有滿足的實數(shù)以及，都有，即對所有對所有滿足的實數(shù)，含參量正常積分對參量在上一致有界；對于所有，函數(shù)關于是單調遞減的，而且當時，對參量，一致收斂于0；則含參量反常積分在上一致收斂.例4-9證明含參量積分在上一致收斂，其中.

證明，函數(shù)關于單調下降，且，當時，函數(shù)關于在上一致收斂于0，又，，有，

根據(jù)狄利克萊判別法可得到：含參量積分在上一致收斂.4.2.9阿貝爾判別法定理4-8（阿貝爾判別法）：設，若滿足以下條件：對所有，函數(shù)是關于的單調函數(shù)，且對參量，在上一致有界；在上一致收斂；則含參量反常積分在上一致收斂.[9]例4-10證明含參量積分在范圍上關于一致收斂.證明1）關于是單調函數(shù)，關于是上的一致有界函數(shù)，即，2）收斂，不含參數(shù)，關于一致收斂，綜合1）、2），由阿貝爾判別法可得到含參量積分在范圍上關于一致收斂.結論本文主要總結了無窮積分的計算方法，通過廣義含參變量、廣義重積分、留數(shù)、帕斯瓦爾關系式、特殊被積函數(shù)等方法解決了通過基本算法不能解決的一些無窮積分的計算方法，同時通過Matlab軟件編程實現(xiàn)了無窮積分的數(shù)值計算，對無窮積分的算法是有益的補充。幾個典型實例的計算表明，各種方法都有其適用的范圍，怎樣有效的選擇各種算法是今后我們進一步研究的問題，同時將本文的方法推廣到瑕積分也是今后的工作。含參量反常積分是很重要的積分，研究它的連續(xù)性、可微性和可積性的關鍵在于研究它的一致收斂性.本文介紹一致收斂定義、柯西準則法、變上限積分的有界法、確界法、微分法、級數(shù)辨別法、魏爾斯特拉斯M判別法、狄克雷判別法和阿貝爾判別法這九種判別方法，這些方法適用于不同含參量反常積分一致收斂的判定，每個判別法都有它的優(yōu)點，同時也存在著一定的局限，選用恰當?shù)姆椒苁古卸ㄟ^程變得方便、簡單。然而，含參量反常積分一致收斂的判別法不只有這九種，還有很多方法等著人們?nèi)グl(fā)現(xiàn)，去探討，去挖掘。參考文獻[1]邢家