專題01 勾股定理中的四類最短路徑模型（原卷版）

專題01勾股定理中的四類最短路徑模型勾股定理中的最短路線問題通常是以“兩點之間，線段最短”為基本原理推出的。人們在生產(chǎn)、生活實踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題。對于數(shù)學中的最短路線問題可以分為兩大類：第一類為在同一平面內；第二類為空間幾何體中的最短路線問題，對于平面內的最短路線問題可先畫出方案圖，然后確定最短距離及路徑圖。對于幾何題內問題的關鍵是將立體圖形轉化為平面問題求解，然后構造直角三角形，利用勾股定理求解。模型1.圓柱中的最短路徑模型【模型解讀】圓柱體中最短路徑基本模型如下：計算跟圓柱有關的最短路徑問題時，要注意圓柱的側面展開圖為矩形，利用兩點之間線段最短結合勾股定理進行求解，注意展開后兩個端點的位置，有時候需要用底面圓的周長進行計算，有時候需要用底面圓周長的一半進行計算。注意：1）運用勾股定理計算最短路徑時，按照展開—定點—連線—勾股定理的步驟進行計算；2）纏繞類題型可以求出一圈的最短長度后乘以圈數(shù)?！咀钪翟怼績牲c之間線段最短。例1．（2023·廣東·八年級期中）如圖，一個底面圓周長為24cm，高為9cm的圓柱體，一只螞蟻從距離上邊緣4cm的點A沿側面爬行到相對的底面上的點B所經(jīng)過的最短路線長為（）A． B．15cm C．14cm D．13cm例2．（2023·重慶·八年級期末）如圖，圓柱形玻璃杯高，底面周長為，在外側距下底處有一只蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上端距開口處的外側點處有一只蒼蠅，蜘蛛捕到蒼蠅的最短路線長是______．例3．（2023春·山東濟寧·八年級?？计谥校┐汗?jié)期間，某廣場用彩燈帶裝飾了所有圓柱形柱子．為了美觀，每根柱子的彩燈帶需要從A點沿柱子表面纏繞兩周到其正上方的B點，如圖所示，若每根柱子的底面周長均為2米，高均為3米，則每根柱子所用彩燈帶的最短長度為______米．變式1．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考一模）如圖，這是一個供滑板愛好者使用的形池，該形池可以看作是一個長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是弧長為的半圓，其邊緣（邊緣的寬度忽略不計），點在上，一滑板愛好者從點滑到點，則他滑行的最短距離為（

）

A． B． C． D．變式2．（2023春·四川德陽·八年級校考期中）如圖，圓柱底面半徑為，高為，點A，B分別是圓柱兩底面圓周上的點，且A，B在同一條豎直直線上，用一根棉線從A點順著圓柱側面繞3圈到B點，則這根棉線的長度最短為___________cm．變式3．（2022·山東青島·八年級期末）如圖，一個圓桶，底面直徑為16cm，高為18cm，則一只小蟲從下底點A處爬到上底B處再回到A處，則小蟲所爬的最短路徑長是（

）（取3）A．60cm B．40cm C．30cm D．20cm模型2.長方體中的最短路徑模型【模型解讀】長方體中最短路徑基本模型如下：計算跟長方體有關的最短路徑問題時，要熟悉長方體的側面展開圖，利用兩點之間線段最短結合勾股定理進行求解，注意長方體展開圖的多種情況和分類討論。注意：1）長方體展開圖分類討論時可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三種情況進行討論；2）兩個端點中有一個不在定點時討論方法跟第一類相同?！咀钪翟怼績牲c之間線段最短。例1．（2022·貴州貴陽·八年級?？茧A段練習）如圖所示，在正三棱柱中，已知，，一只螞蟻從A點出發(fā)繞三棱柱側面兩圈到達點，則螞蟻爬行的最短距離為（

）A． B． C． D．例2．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考二模）如圖，地面上有一個長方體盒子，一只螞蟻在這個長方體盒子的頂點A處，盒子的頂點處有一小塊糖粒，螞蟻要沿著這個盒子的表面A處爬到處吃這塊糖粒，已知盒子的長和寬為均為，高為，則螞蟻爬行的最短距離為（

）．

A．10 B．50 C．10 D．70例3．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，用7個棱長為1的正方體搭成一個幾何體，沿著該幾何體的表面從點M到點N的所有路徑中，最短路徑的長是（

）A．5 B． C． D．例4．（2023春·山西大同·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在墻角處放著一個長方體木柜（木柜與墻面和地面均沒有縫腺），一只螞蟻從柜角處沿著木柜表面爬到柜角處．若，，，則螞蟻爬行的最短路程是（

）A． B． C． D．12變式1．（2022秋·廣東梅州·八年級?？茧A段練習）如圖，長方體的長、寬、高分別為．如果一只小蟲從點開始爬行，經(jīng)過兩個側面爬行到另一條側棱的中點處，那么這只小蟲所爬行的最短路程為（）

A．5 B．4 C．6 D．7變式2．（2023春·八年級課時練習）棱長分別為兩個正方體如圖放置，點P在上，且，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點P，需要爬行的最短距離是______．變式3．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）小南同學報名參加了學校的攀巖選修課，攀巖墻近似一個長方體的兩個側面，如圖所示，他根據(jù)學過的數(shù)學知識準確地判斷出：從點A攀爬到點B的最短路徑為________米．模型3.階梯中的最短路徑模型【模型解讀】階梯中最短路徑基本模型如下：注意：展開—定點—連線—勾股定理【最值原理】兩點之間線段最短。例1．（2023春·四川成都·九年級?？茧A段練習）如圖所示，是長方形地面，長，寬．中間豎有一堵磚墻高．一只螞蚱從點爬到點，它必須翻過中間那堵墻，則它要走的路程s取值范圍是________．例2．（2023春·重慶八年級課時練習）在一個長為米,寬為米的長方形草地上,如圖堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側棱長平行且大于場地寬，木塊的主視圖是邊長為1米的正三角形，一只螞蟻從點處到處需要走的最短路程是______米．變式1．（2023·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期中）如圖是一個二級臺階，每一級臺階的長、寬、高分別為、、．和是這個臺階兩個相對的端點，在點有一只螞蟻，想到點去受食，那么它爬行的最短路程是______．變式2．（2023秋·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期末）如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別是4米、0.7米、0.3米，A、B是這個臺階上兩個相對的頂點，A點處有一只螞蟻，它想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是________米．模型4.將軍飲馬與最短路徑模型【模型解讀】將軍飲馬與最短路徑基本模型如下：解決線段之和最小值問題：對稱+連線，根據(jù)兩點之間線段最短解決。注意：立體圖形中從外側到內側最短路徑問題需要先作對稱，再運用兩點之間線段最短的原理結合勾股定理求解。【最值原理】兩點之間線段最短。例1．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為，底面周長為，在杯內壁離杯底的點處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿，且與蜂蜜相對的點處，則螞蟻從外壁處到內壁處所走的最短路程為___________．（杯壁厚度不計）

例2.（2022·陜西·八年級期中）有一個如圖所示的長方體透明玻璃水缸，高，水深，在水面線上緊貼內壁處有一粒食物，且，一只小蟲想從水缸外的處沿水缸壁爬到水缸內的處吃掉食物．（1）你認為小蟲應該沿怎樣的路線爬行才能使爬行的路線最短，請你畫出它爬行的最短路線，并用箭頭標注．（2）求小蟲爬行的最短路線長（不計缸壁厚度）．例3．（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期中）如圖，高速公路的同一側有A，B兩城鎮(zhèn)，它們到高速公路所在直線的距離分別為，，．要在高速公路上C，D之間建一個出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小，則這個最短距離為（

）A． B． C． D．變式1．（2023春·湖北武漢·八年級?？茧A段練習）如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長為，在杯內壁離杯底的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿且與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內壁B處的最短距離為（

）．（杯壁厚度不計）A．20 B．25 C．30 D．40變式2.（2022·山東菏澤·八年級階段練習）如圖是一個供滑板愛好者使用的U型池，該U型池可以看作是一個長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行的部分的截面是半徑為的半圓，其邊緣．小明要在AB上選取一點E，能夠使他從點D滑到點E再滑到點C的滑行距離最短，則他滑行的最短距離約為（）m．（取3）A．30 B．28 C．25 D．22變式3．（2023春·廣東八年級課時練習）如圖，A，B兩個村莊在河CD的同側，兩村莊的距離為a千米，，它們到河CD的距離分別是1千米和3千米．為了解決這兩個村莊的飲水問題，鄉(xiāng)政府決定在河CD邊上修建一水廠向A，B兩村輸送水．(1)在圖上作出向A，B兩村鋪設水管所用材料最省時的水廠位置M．（只需作圖，不需要證明）。(2)經(jīng)預算，修建水廠需20萬元，鋪設水管的所有費用平均每千米為3萬元，其他費用需5萬元，求完成這項工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為多少萬元．課后專項訓練1．（2022·浙江金華初三月考）如圖，圓柱底面半徑為cm，高為18cm，點A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點，且A、B在同一母線上，用一根棉線從A點順著圓柱側面繞3圈到B點，則這根棉線的長度最短為（）A．24cm B．30cm C．2cm D．4cm2.（2022·重慶八年級期中）如圖，長方體的底面邊長是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根細線從點開始經(jīng)過個側面纏繞一圈到達，那么用細線最短需要（）A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm3．（2022·山西八年級期末）如圖所示，是長方形地面，長，寬，中間整有一堵磚墻高，一只螞蟻從A點爬到C點，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走（）A．20 B．24 C．25 D．264.（2022·重慶初二月考）圓柱形杯子的高為18cm，底面周長為24cm，已知螞蟻在外壁A處（距杯子上沿2cm）發(fā)現(xiàn)一滴蜂蜜在杯子內（距杯子下沿4cm），則螞蟻從A處爬到B處的最短距離為（）A． B．28 C．20 D．5．（2023·廣東惠州·八年級階段練習）如圖，是一塊長、寬、高分別是、和的長方體木塊，一只螞蟻要從頂點出發(fā)，沿長方體的表面爬到和相對的頂點處吃食物，則它需要爬行的最短路線長是（）．

A． B．6 C． D．6．（2023春·安徽·八年級期中）如圖，圓柱形容器高為，底面周長為，在杯內壁離杯底的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到達內壁B處的最短距離為（）A． B． C． D．7．（2023秋·河南鄭州·八年級?？计谀┤鐖D，一大樓的外墻面與地面垂直，點P在墻面上，若米，點P到的距離是8米，有一只螞蟻要從點P爬到點B，它的最短行程是（

）米．A． B． C． D．8．（2022秋·廣東茂名·八年級?？计谥校┕潭ㄔ诘孛嫔系囊粋€正方體木塊（如圖①），其棱長為，沿其相鄰三個面的對角線（圖中虛線）去掉一角，得到如圖②所示的幾何體木塊，一只螞蟻沿著該木塊的表面從點A爬行到點B的最短路程為（

）A． B． C． D．9．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖是一個長方體盒子，其長、寬、高分別為4，2，9，用一根細線繞側面綁在點A，B處，不計線頭，細線的最短長度為（

）A．12 B．15 C．18 D．2110．（2023春·成都市八年級課時練習）如圖，在長方體盒子中，已知，長為的細直木棒恰好從小孔G處插入，木棒的一端I與底面接觸，當木棒的端點I在長方形內及邊界運動時，長度的最小值為（

）A． B． C． D．11．（2022·陜西八年級期末）如圖，長方體的棱AB長為4，棱BC長為3，棱BF長為2，P為HG的中點，一只螞蟻從點A出發(fā)，沿長方體的表面爬行到點處吃食物，那么它爬行的最短路程是___________．12．（2021·重慶八年級期末）如圖，三級臺階，每一級的長、寬、高分別為8dm、3dm、，A和B是這個臺階上兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到點B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程為______dm．13．（2022·吉林長春·八年級期末）如圖，有一個圓柱，底面圓的直徑AB＝cm，高BC＝10cm，在BC的中點P處有一塊蜂蜜，聰明的螞蟻能夠找到距離食物的最短路徑，則螞蟻從點A爬到點P的最短路程為_____cm．14．（2023春·安徽合肥·八年級?？计谥校┤鐖D，正方體盒子的棱長為，O為的中點，現(xiàn)有一只螞蟻位于點C處，它想沿正方體的表面爬行到點O處獲取食物，則螞蟻需爬行的最短路程為_______．

15．（2023春·安徽合肥·八年級合肥壽春中學?？计谥校┤鐖D，一個圓柱形食品盒，它的高為，底面圓的周長為(1)點A位于盒外底面的邊緣，如果在A處有一只螞蟻，它想吃到盒外表面對側中點B處的食物，則螞蟻需要爬行的最短路程是______；(2)將左圖改為一個無蓋的圓柱形食品盒，點C距離下底面，此時螞蟻從C處出發(fā)，爬到盒內表面對側中點B處(如右圖)，則螞蟻爬行的最短路程是___．16．（2023秋·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）小強家因裝修準備用電梯搬運一些木條上樓，如圖，已知電梯的長、寬、高分別是，，，那么電梯內能放入這些木條的最大長度是______17．（2023·湖南永州·八年級校考階段練習）如圖是長、寬、高的長方體容器．(1)求底面矩形的對角線的長；(2)長方體容器內可完全放入的棍子最長是多少？(3)一只螞蟻從D點爬到E點最短路徑是多少？18．（2022秋·廣東佛山·八年級統(tǒng)考期末）初中幾何的學習始于空間的“實物和具體模型”，聚焦平面的“幾何圖形的特征和運用”，