北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊 專題2.24 二次函數(shù)與一元二次方程

專題2.24二次函數(shù)與一元二次方程（知識講解2）1．如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點，且二次函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)為，點C，D是拋物線上的一對對稱點，一次函數(shù)的圖像過點B，D．（1）求A，B兩點的坐標(biāo)．（2）根據(jù)圖像直接寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍．【答案】（1）點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為；（2）或【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，然后令y=0，解一元二次方程即可求得A、B的坐標(biāo)；

（2）求得D點的坐標(biāo)，然后根據(jù)圖像即可求得．【詳解】解：（1）設(shè)二次函數(shù)的表達式為，把點代入，得，解得，∴二次函數(shù)的表達式為，當(dāng)時，解得或，∴點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為．（2）∵點C，D是拋物線上的一對對稱點，C（0，3），對稱軸為直線x=-1，

∴D（-2，3），

由圖像可知，使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍x＜-2或x＞1．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，也考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系．舉一反三：【變式1】如圖，二次函數(shù)圖像與x軸的交點為A，與直線交于點B（4，3）（1）求此二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)和點A的坐標(biāo)；（2）根據(jù)函數(shù)的圖像，直接寫出當(dāng)函數(shù)值＞時，自變量x的取值范圍．【答案】（1）頂點坐標(biāo)為(2，-1)，點A的坐標(biāo)為(1，0)；（2）或【分析】（1）利用配方法把二次函數(shù)配成頂點式即可求解；（2）觀察圖像，利用數(shù)形結(jié)合即可求解．【詳解】解：（1），∴頂點坐標(biāo)為(2，-1)，令，則，解得：，∴點A的坐標(biāo)為(1，0)；（2）觀察圖像，知：當(dāng)或，二次函數(shù)圖像在直線的上方，∴當(dāng)函數(shù)值＞時，自變量x的取值范圍為或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，以及二次函數(shù)與不等式，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式2】已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點．（1）求這個二次函數(shù)的表達式．（2）畫出這個函數(shù)的圖像，并利用圖像解決下列問題：①直接寫出方程的解．②當(dāng)滿足什么條件時，．【答案】（1）；（2）①，；②或【分析】（1）把點代入二次函數(shù)解析式進行求解即可；（2）①由（1）及圖像可直接進行求解即可；②當(dāng)時可由圖像直接進行求解．【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，∴，解得，∴；（2）由五點法可得如圖所示：①由圖像可得：方程的解是，；②由圖像可得，當(dāng)時，或．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】如圖，拋物線成直線交于兩點．（1）分別求出的值；（2）求的最大值；（3）求點A的坐標(biāo)，并根據(jù)圖像判斷，當(dāng)x取何值時，？【答案】（1），；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)拋物線與直線交于，兩點，可以求得、的值；（2）根據(jù)（1）中、的值，可以寫出和的解析式，然后作差，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到的最大值；（3）將和的解析式聯(lián)立方程組，求出、的值，即可得到點的坐標(biāo)，然后根據(jù)圖像，可以寫出當(dāng)取何值時，．【詳解】解：（1）拋物線與直線交于，兩點，，，解得，，；（2），，拋物線，直線，，即當(dāng)時，取得最大值，即的最大值是；（3），解得，或，點的坐標(biāo)為，，由圖像可得，當(dāng)時，．【點睛】本題考查二次函數(shù)與不等式組、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．1．已知拋物線經(jīng)過點，．（1）求拋物線的解析式；（2）求此拋物線與坐標(biāo)軸的三個交點所構(gòu)成的三角形的面積．【答案】（1）y=-x2+7x-6；（2）15【分析】（1）把A，B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法代入y=-x2+mx+n中，求出m，n的值，從而求出拋物線的解析式．（2）求出拋物線與x軸的交點，再利用三角形的面積公式就可以求出拋物線與坐標(biāo)軸的三個交點連接而成的三角形的面積．【詳解】解：（1）∵拋物線y=-x2+mx+n經(jīng)過點A（1，0），B（0，-6），∴，解得：，∴拋物線的解析式為：y=-x2+7x-6．（2）在y=-x2+7x-6中令y=0，解得x=6或1，則拋物線與x軸的另一個交點C是（6，0），因而AC=5，又B（0，-6），∴拋物線與y軸交點為（0，-6），即OB=6，拋物線與坐標(biāo)軸的三個交點連接而成的三角形的面積S=×5×6=15．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，注意數(shù)與形的結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】拋物線與軸的交點為點、．（1）求點、的坐標(biāo)；（2）觀察圖像，直接寫出時，的取值范圍．【答案】（1）點、的坐標(biāo)為和；（2）【分析】（1））把代入，解關(guān)于的一元二次方程即可求解；（2）如圖，當(dāng)時，圖像對應(yīng)的拋物線在軸下方，據(jù)此確定的取值范圍即可．【詳解】解：（1）把代入，得解得：，∴點、的坐標(biāo)為和；（2）由圖像可知當(dāng)時，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，拋物線和交點與一元二次方程的關(guān)系，二次函數(shù)與不等式，正確理解拋物線與交點的橫坐標(biāo)是一元二次方程的兩個根是解題的關(guān)鍵.【變式2】如圖，拋物線交軸于，兩點，點在點左側(cè)，點的坐標(biāo)為，，過點作軸交拋物線于點，過點作交拋物線于點．（1）若點的坐標(biāo)為，求的長．（2）當(dāng)時，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先把A點坐標(biāo)代入y=-(x-m)2+9中求得m=1或m=7，則根據(jù)點A在點B左側(cè)可確定拋物線的對稱軸，然后利用拋物線的對稱性求DE的長；（2）通過解方程-(x-m)2+9=0得A（m-3，0），B（m+3，0），則AB=6，所以DE=3，利用拋物線的對稱性得到2(m-6)=3，然后解方程即可．【詳解】解：（1）把A（4，0）代入y=-(x-m)2+9得-(4-m)2+9=0，解得m=1或m=7，∵點A在點B左側(cè)，∴m=7，即拋物線的對稱軸為直線x=7，∵CD⊥x軸，DE⊥CD，∴點E與點D關(guān)于直線x=7對稱，而D點的橫坐標(biāo)為6，∴DE=2×(7-6)=2；（2）當(dāng)y=0時，-(x-m)2+9=0，解得x1=m-3，x2=m+3，∴A（m-3，0），B（m+3，0），∴AB=m+3-(m-3)=6，∴DE=AB=3，∵D點的橫坐標(biāo)為6，∴2(m-6)=3，∴m=．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．【變式3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)圖像的頂點是，與軸交于兩點，與軸交于，點的坐標(biāo)是．（1）求二次函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)并直接寫出直線的函數(shù)關(guān)系式．（2）作一條平行于軸的直線交二次函數(shù)的圖像于點，與直線于點．若點的橫坐標(biāo)分別為，且，求的取值范圍．【答案】（1）點的坐標(biāo)為，直線的函數(shù)關(guān)系式為；（2）【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）因為r＜m≤n，則直線在點D的下方、點A的上方（不能過點D，可以過點A），進而求解．【詳解】解：（1）將點B的坐標(biāo)代入拋物線表達式得：a+2-3=0，解得a=1，故拋物線的表達式為y=x2-2x-3=(x-1)2-4，故頂點坐標(biāo)為（1，-4）；對于y=x2-2x-3，令x2-2x-3=0，解得x=-1或3，令x=0，則y=-3，故點C、D的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，-3），設(shè)直線CD的表達式為y=kx+b，則，解得，故直線CD的表達式為y=x-3；（2）∵r＜m≤n，∴直線在點D的下方、點A的上方（不能過點D，可以過點A），當(dāng)y=-4時，即-x-3=-4，解得x=-1，故-1≤r＜0，由拋物線的對稱性知，點M、N關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，故(m+n)=1，所以m+n=2，∴1≤m+n+r＜2．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點，主要考查函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，要求學(xué)生非常熟悉函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點、頂點等點坐標(biāo)的求法，及這些點代表的意義及函數(shù)特征．1．已知二次函數(shù)，自變量x與函數(shù)y的部分對應(yīng)值如下表：x01234y500m二次函數(shù)圖像的開口方向____，頂點坐標(biāo)是____，m的值為____；點、在函數(shù)圖像上，____填、、；當(dāng)時，x的取值范圍是____；關(guān)于x的一元二次方程的解為____．【答案】向上，，5；；；，．【分析】由表格可見，函數(shù)的對稱軸為x＝1對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大,故可求出開口方向與頂點坐標(biāo)，再根據(jù)對稱性求出m；根據(jù)點Q離函數(shù)的對稱軸近，即可判斷y的大小；根據(jù)表格的特點及二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；根據(jù)表格可得x=-2或4時，y=5，即可求解．【詳解】（1）由表格可見，函數(shù)的對稱軸為x＝1，對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，故拋物線開口向上，頂點坐標(biāo)為（1，?4），根據(jù)函數(shù)的對稱性m＝5；故答案為：向上；（1，?4）；5；（2）從P、Q的橫坐標(biāo)看，點Q離函數(shù)的對稱軸近，故y1＞y2；故答案為：＞；（3）從表格看，當(dāng)y＜0時，x的取值范圍是：?1＜x＜3，故答案為：?1＜x＜3；（4）從表格看，關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝5的解為：x＝?2或4，故答案為：，．【點睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點，主要考查函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，要求學(xué)生非常熟悉函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點、頂點等點坐標(biāo)的求法，及這些點代表的意義及函數(shù)特征．舉一反三：【變式1】在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A（-2，0），B（4，0）兩點，交y軸于點C，點P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖，連接AC，PA，PC，若S△PAC=，求點P的坐標(biāo)；【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)題意，將點A、B坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)解析式中，即可解題；（2））連結(jié)OP，設(shè)，先求得點C的坐標(biāo)，再根據(jù)，結(jié)合三角形面積公式解題即可．【詳解】二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A（-2，0），B（4，0）兩點，，解得：；（2）連結(jié)OP，設(shè)，由題意得，整理得：或（舍去）

【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合，其中涉及二次函數(shù)解析式的求法、二次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點、三角形面積公式、一元二次方程的解法等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【變式2】已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖像如圖所示，解決下列問題：（1）關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解為；（2）求此拋物線的解析式；（3）當(dāng)x為值時，y＜0；（4）若直線y＝k與拋物線沒有交點，直接寫出k的范圍．【答案】（1）﹣1或3；（2）y＝﹣x2+2x+3；（3）x＞3或x＜﹣1；（4）y＞4【分析】（1）直接觀察圖像，拋物線與x軸交于﹣1，3兩點，所以方程的解為x1＝﹣1，x2＝3．（2）設(shè)出拋物線的頂點坐標(biāo)形式，代入坐標(biāo)（3，0），即可求得拋物線的解析式．（3）若y＜0，則函數(shù)的圖像在x軸的下方，找到對應(yīng)的自變量取值范圍即可．（4）若直線y＝k與拋物線沒有交點，則k＞函數(shù)的最大值即可．【詳解】解：（1）觀察圖像可看對稱軸出拋物線與x軸交于x＝﹣1和x＝3兩點，∴方程的解為x1＝﹣1，x2＝3，故答案為：﹣1或3；（2）設(shè)拋物線解析式為y＝﹣（x﹣1）2+k，∵拋物線與x軸交于點（3，0），∴（3﹣1）2+k＝0，解得：k＝4，∴拋物線解析式為y＝﹣（x﹣1）2+4，即：拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3；（3）若y＜0，則函數(shù)的圖像在x軸的下方，由函數(shù)的圖像可知：x＞3或x＜﹣1；（4）若直線y＝k與拋物線沒有交點，則k＞4函數(shù)的最大值，即y＞4．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與不等式（組）、二次函數(shù)的圖像、拋物線與x軸的交點、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，準確計算是解題的關(guān)鍵．【變式3】如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖像與x軸分別交于點A，B（3，0）（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，且經(jīng)過點（﹣2，5）．（1）求b，c的值．（2）將點B向下平移m個單位至點D，過點D作DF⊥y軸于點F，交拋物線于點E，G．若DE＝GF，求m的值．

【答案】(1)b=-2，c=-3；(2)．【分析】(1)由二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖像經(jīng)過B（3，0）且經(jīng)過點（﹣2，5），故只需要將這兩個點的坐標(biāo)代入解析式中求解b，c的值即可；(2)根據(jù)平移性質(zhì)得到D點坐標(biāo)為（3，-m），再根據(jù)DF⊥y軸于點F，交拋物線于點E，G可以用m表示F，E，G三點的坐標(biāo)，再根據(jù)DE＝GF進行求解即可．【詳解】解：(1)由二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖像經(jīng)過B（3，0）且經(jīng)過點（﹣2，5）∴將兩個點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中得：即∴，．(2)如圖所示，將點B向下平移m個單位至點D，B的坐標(biāo)為（3，0），∴D點坐標(biāo)為（3，-m）,直線GD的解析式為：y=-m∵DF⊥y軸于點F∴F的坐標(biāo)為（0，-m）由第一問知二次函數(shù)解析式為：∴設(shè)G（，），E（，）∴，是一元二次方程的兩根∴，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，∴，又∵∴即則解得∴∴．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，以及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練的掌握根與系數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．1．已知，拋物線，（1）求證：不論k取何值時，拋物線與x軸總有兩個交點；（2）若已知拋物線與x軸有一個交點A（1，0），另一交點B，求k的值及線段AB的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）列出判別式，根據(jù)判別式的值的情況進行證明即可；（2）通過A點代入求解得k，進而求出完整解析式，求出B的坐標(biāo)即可計算AB的長度．【詳解】（1）由題意：==，不論k取何值時，拋物線與x軸總有兩個交點；（2）將A(1，0)代入解析式得：，解得：，此時拋物線得解析式為：，令，解得，，故，．【點睛】本題考查二次函數(shù)與軸交點的問題，熟練掌握求解判別式及二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過點A(3，0)、B(－1，0)（1）求拋物線的解析式．（2）若拋物線交y軸于點C，求△ABC的面積．【答案】（1）y＝－x2＋2x＋3；（2）6【分析】（1）將點A和點B的坐標(biāo)代入解析式中，求出b，c的值，從而得到拋物線解析式；（2）令x=0，得到y(tǒng)，從而可得點C坐標(biāo)，再根據(jù)點A和點B坐標(biāo)，利用三角形面積公式求出結(jié)果．【詳解】解：（1）將A(3，0)、B(－1，0)代入，則，解得：，∴該拋物線的解析式為：y＝－x2＋2x＋3；（2）令x=0，則y=3，∴點C的坐標(biāo)為（0，3），∴△ABC的面積==6．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式2】已知關(guān)于的二次函數(shù)．（1）試判斷該函數(shù)的圖像與軸的交點的個