2021年中考一輪復(fù)習(xí)九年級數(shù)學(xué)《圖形的性質(zhì)》能力提升專項訓(xùn)練（附答案）

2021年九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《圖形的性質(zhì)》能力提升專項訓(xùn)練（附答案）

1.如圖，在平行四邊形ABC。中，BE平分/ABC,CFLBE,連接4E,G是AB的中點(diǎn),

連接GF,若AE=4,則GF=.

DE

2.如圖，正方形48CO的對角線AC上有一動點(diǎn)P,作PNLCD于點(diǎn)N,連接BP,BN,

若AB=3,BP=依，則BN的長為.

3.如圖，在△A8C中，NBAC=90°,A8=AC,過點(diǎn)C作CO_L8C，連接D4,DB,過點(diǎn)

A作AE_LB。于點(diǎn)E,若NEAD=2NAOC,△AZ）C的面積為6,則8c的長為.

4.如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，NAO8=60°,AO=B。，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)尸

是x軸正半軸上一動點(diǎn)，連接AP,以AP為邊長，在AP的右側(cè)作等邊△APQ.設(shè)點(diǎn)P

的橫坐標(biāo)為x，點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是.

5.如圖，在△ABC中，AB=10,AC=2&,NACB=45°,。為AB邊上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)

8重合），以CD為邊長作正方形CDEF,連接BE,則△BQE的面積的最大值等于.

E

6.如圖，在△ABC中，AC=BC,NACB=90°,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F

在BC上，NEDF=90°,連接BE,若NCBE=2/EDA,CE=6,則BE=.

7.如圖，矩形ABCO中，AB=4,AD=2,E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動點(diǎn),P為DF

中點(diǎn)，連接尸8，則PB的最小值是

8.如圖，已知在正方形48CE（中，AB=4,P是線段A￡＞上的一動點(diǎn)，連接PC,過點(diǎn)P作

PEJ_PC交AB于點(diǎn)￡.以CE為直徑作。0,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A移動到點(diǎn)。時，對應(yīng)點(diǎn)0也

隨之運(yùn)動，則點(diǎn)。運(yùn)動的路程長度為.

9.如圖，在矩形ABC3中，AB=4,BC=3,E,尸分別為A8,CD邊的中點(diǎn).動點(diǎn)P從點(diǎn)

E出發(fā)沿EA向點(diǎn)A運(yùn)動，同時，動點(diǎn)。從點(diǎn)F出發(fā)沿FC向點(diǎn)C運(yùn)動，連接尸Q,過點(diǎn)

B作BHLPQ于點(diǎn)H,連接。H.若點(diǎn)P的速度是點(diǎn)。的速度的2倍，在點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)

動至點(diǎn)A的過程中,線段PQ長度的最大值為，線段DH長度的最小值為.

10.如圖，在△ABC中，AB=AC,。為線段BC上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)&C重合)，連接AQ,

作ND4E=/8AC,S.AD=AE,連接CE.

圖1圖2

(1)如圖1,當(dāng)CE〃AB時，若N840=35°,則NOEC度；

(2)如圖2,設(shè)NBAC=a(90°<a<180°),在點(diǎn)C運(yùn)動過程中，當(dāng)。E_LBC時，Z

DEC=_______.(用含a的式子表示)

11.2XABC內(nèi)接于。0,AB為OO的直徑,將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到△￡?(7,點(diǎn)E在00上,

己知AE=2,tan￡>=3,則AB=___

E

一

12.如圖，已知四邊形A8CO是平行四邊形，將邊AO繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到。E,線

段OE交邊8c于點(diǎn)F,連接BE.若/C+/E=150°,BE=2,C￡>=2我，則線段BC

的長為_______

13.如圖，正五邊形ABCOE內(nèi)接于半徑為4的圓0,作OFLBC交。。于點(diǎn)F,連結(jié)項,

FB,則FA-FB的值為.

14.如圖，在△4BC中，ZACB=90°,NBAC=30°,BC=1,分別以AB、AC為邊作正

三角形AB。、ACE,連接OE,交AB于點(diǎn)尸，則。尸的長為.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，與y軸相切的OM與x軸交于A、B兩點(diǎn),AC為。用

直徑，AC=10,AB=6,連結(jié)BC,點(diǎn)P為劣弧京k點(diǎn)，點(diǎn)。為線段AB上點(diǎn)，且MP

±MQ,MP與BC交于點(diǎn)N.則當(dāng)NQ平分NMNB時，點(diǎn)P坐標(biāo)是.

16.在四邊形ABC。中，NAOC與NBCQ的角平分線交于點(diǎn)E,ZD￡C=115°,過點(diǎn)B

作BF//AD交CE于點(diǎn)F,CE=2BF,NCBF=§NBCE,連接BE,SABCE=4,則CE

4

17.如圖，8。為矩形ABC。的對角線，點(diǎn)E在矩形外部，連接BE、DE,G為BE中點(diǎn)，

連接CG,BE交CD于點(diǎn)、F,若NCDE=NCDB=2NCBE,BC+CG=CD,CF=\,則線

段8F的長為.

18.如圖，在邊長為1的正方形ABC￡）中，E,F分別為線段BC,8上的點(diǎn)，且△AEF為

正三角形，則△?!￡；/的面積為.

19.如圖，正方形ABC。的對角線8。上有一點(diǎn)E,且點(diǎn)F在A8的延長線上，

連接EF,過點(diǎn)E作EGLEF,交BC的延長線于點(diǎn)G,連接GF并延長，交。2的延長

線于點(diǎn)尸，若AB=4,BF=1,則線段EP的長是

20.如圖，矩形ABC。的對角線AC與8。交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在A。上，且OE=C￡>,連接

OE,ZABE=^ZACB,若AE=2,則OE的長為.

2

21.如圖，正方形ABC。中，點(diǎn)E、F分別在BC、CO上，連接AE、EF、AF,過點(diǎn)F作

AE的平行線交AD于點(diǎn)G,連接EG,且EG1AF,若BE=2DG,則tan/FEC=.

22.平面直角坐標(biāo)系中，OO交x軸正負(fù)半軸于點(diǎn)A、8,點(diǎn)P為。。外y軸正半軸上一點(diǎn)，

C為第三象限內(nèi)O。上一點(diǎn)，交CB延長線于點(diǎn)”，已知NBPH=2NBPO,PH

=15,CH=24,則tan/BAC的值為

23.如圖，已知矩形ABCQ,AB=8,AD=4,E為CD邊上一點(diǎn)、,CE=5,點(diǎn)P從8點(diǎn)出

發(fā)，以每秒1個單位的速度沿著BA邊向終點(diǎn)A運(yùn)動，連接PE,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t

秒，則當(dāng)f的值為時，△辦E是以PE為腰的等腰三角形.

24.如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm,底面周長為10cm,在容

器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)3處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上

沿3cm的點(diǎn)A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是cm.

螞蟻/

B

參考答案

1.解：在平行四邊形4BCD中，AB//CD,

：.NABE=ABEC.

：BE平分/ABC,

NABE=NCBE,

:.NCBE=NBEC,

:.CB=CE.

；CF2BE,

：.BF=EF.

是AB的中點(diǎn)，

；.G尸是aABE的中位線，

:.GF=1AE,

2

"：AE=4,

：.GF=2.

故答案為2.

2.解：延長NP交AB于H,

?.?四邊形ABC。為正方形,

：.ZBAC=90a,AB//CD,

■:PNLCD,

：.PNLAB,

.?.NHAP=/〃fl4=45°,

：.AH=PH,

設(shè)AH=PH=x,則BH=3-x,

在RtZXPBH中，PB2=PH2+BH2,

AX2+（3-X）2=（V5）2，

解得x=l或2,

當(dāng)x=1時，BH=CN=2,在RtaBCN中，BN-BC+CN=V3+22=yj13;

當(dāng)x=2時，BH=CN=\,在Rt^BCN中，BN=VBC2-K：N2=732+12

故答案為丁遨

3.解：過A作A/7LQC交QC的延長線于點(diǎn)H,作AFLBC于點(diǎn)F,

"：ZBAC=90°,AB=AC,AFLBC,

：.AF=CF=hiC,ZBAF^ZCAF=45°,

2

'：AFLBC,CDIBC,

J.AF//CD,

：.ZFAD=ZADC,

VZEAD=2ZADC,

：.ZEAF=ZFAD=ADAC.

:./BAE=/CAD,

VZBA￡+ZABE=90°,ZCAD+ZBAD=90°,

???ZABE=ZBAD,

：.AD=BD9

VAF1BC,CDLBC,AH±DC,AF=CF,

???四邊形AFCH為正方形，

???CH=AH=CF=1^C,

2

VAD2=//D2MH2,BN=BU+CN,AD1=BD1,

A(CD+JBC)2+(yBC)2=CD2+BC2

ACD=yBC(這里可以證明推出AH=CO=>13C)

?1111

?-SAADCmD-AH節(jié)X^BCXyBC=6，

解得BC=473-

故答案為4^3.

4.解：連接3Q,過點(diǎn)Q作軸于從

,.?A0=50,ZAOB=60°,

.??△A08是等邊三角形，

：.A0=ABfNQ48=60°,

???△B4Q是等邊三角形，

：.AP=AQfZPAQ=60°,

：.Z0AB=ZPAQ,

???NOAP=N84Q,

：./\0AP^/\BAQ(SAS),

：?OP=BQ=x,ZAOP=ZABQ=60°,

VZABO=60°,

：.ZQBH=180°-60°-60°=60°,

t：QH=y,"Q=Q8?sin600,

.*.y=^Xr(x>0).

2

故答案為：y=圓(x>0).

2

5.解：如圖，過點(diǎn)E作EM,區(qū)4于M,過點(diǎn)。作GVLA4交84的延長線于M過點(diǎn)A作

A"_LBC于".

E

在Rtz2vlCH中，：NAHC=9（r,ZACH=45a,AC=2后,

：.AH=CH=AC-cos45°=77o>

在RtZ\A8H中，VZAHB=90Q,AB=10,AH=7I5，

B//=VAB2-AH2=7102-（V10）2=3^

：.BC=BH+CH=4yflO,

'：5ACB=A?BC'AH=1.>AB-CN,

A22

：.CN=4,

在中,22=泥2

RtAACNAN=^/AC-CN9（2）2-4?='

:.BN=BA+AN=12,設(shè)8￡>=x,則。％=12-方

?..四邊形EFC。是正方形，

：.DE=DC,NEDC=NEMD=NDNC=90°,

：.ZEDM+ZADC=90°,ZADC+ZDCN=90°,

：.NEDM=ZDCN,

:,叢EMD迫4DNC（A4S）,

：.EM=DN=\2-x,

??S^DBE——,BD'EM——,X*（.12-x）---_1^+6X=-A（%-6）2+18,

2222

:-A<o,

2

...當(dāng)x=6時，△BCE的面積的最大，最大值為18.

故答案為18.

6.解：連接CD,EF,

,在△ABC中，AC=BC,/ACB=90°，點(diǎn)力是A8的中點(diǎn),

：.AD=CD=BD=1AB,NABC=NDCE=45°,CDLAB,

2

；NEDF=90°,

：.ZADE+ZEDC=ZEDC+ZCDF=90°,

NADE=NCDF,

同理NC￡>E=NBOF,

:.MCDE妾4BDFCASA),

:.BF=CE=6,

延長FC至G,使CG=CF,

則aCEG絲/XCEF,

:"GEC=NFEC,

■:NCBE=2NEDA,

.,.設(shè)NEQA=/CCF=a,則NCBE=2a,

VZECF=Z￡DF=90°,

二點(diǎn)D,F,C,E在以EF為直徑的同一個圓上，

：.ZCEF=ZCDF=a,

NCEG=a,

???NG=90°-a,

：.ZBEG=]80°-ZEBC-ZG=90°-a,

:.NG=NCBE,

:?BE=BG,

設(shè)CG=CE=x,

BE—BG=6+2x>BC—6+x,

在RSEC中，BE2=CE2+BC2,

：.(6+2x)2=62+(6+x)2,

解得：x=2(負(fù)值舍去)，

：.BE=\O.

故答案為：10.

當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)P在Pi處，CPi=DPi,

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)E重合時，點(diǎn)P在P2處，EP2=DP2,

：.PiP2〃CE且PiP2=LCE.

2

當(dāng)點(diǎn)尸在EC上除點(diǎn)C、E的位置處時，有DP=FP.

由中位線定理可知：P1P〃CE且PP=LCF.

2

.?.點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是線段P1P2,

:.當(dāng)BPLPxPz時，PB取得最小值.

?.?矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E為48的中點(diǎn)，

:.ACBE、MADE、△BCPi為等腰直角三角形，CPi=2.

：.ZADE=ZCDE=ZCP\B=45°,NDEC=90°.

N￡)P2Pl=90°.

；.N￡>PIP2=45°.

2Pl8=90°,即5PiJ_aP2,

的最小值為BPi的長.

在等腰直角BCP中，CP\=BC=2,

：.BP\=242

:.PB的最小值是2&.

故答案是：2&.

8.解：連接AC,取AC的中點(diǎn)K,連接OK.設(shè)AP=x,AE=y,

BE

BI

VPE1CP

:.NAPE+NCPD=90°,S.ZAEP+ZAPE=90°

：.ZAEP^ZCPD,且NE4P=NCDP=90°

,//\APEsWCP

?或=坐

*'DCDP'

即x(4-x)—4y,

.*.y=—.r(4-x)=-4，+犬=-—(x-2)2+l，

-444

：-A<0,

4

...當(dāng)x=2時，)，的最大值為1,

；.AE的最大值=1,

,:AK=KC,EO=OC,

OK=^AE=—,

22

；.0K的最大值為工，

2

由題意點(diǎn)。的運(yùn)動路徑的長為20K=1,

故答案為1,

9.解：連接EF交尸。于M,連接取的中點(diǎn)O,連接OH,OD,過點(diǎn)。作ON_L

CD于N.

:四邊形A8CZ）是矩形，DF=CF,AE=EB,

，四邊形A。尸E是矩形,

：.EF=AD=3,

,JFQ//PE,

:./\MFQS/\MEP,

?MF=FQ

"MEPE'

\'PE=2FQ,

:.EM=2MF,

；.EM=2,FM=1,

當(dāng)點(diǎn)P與A重合時，PQ的值最大，此時PM=YAE?+ME2=，22+22=2>\/^'MQ=

VFQ2+MF2=VI2+I2=^

:.PQ=3瓜

'：MF//ON//BC,MO=OB,

：.FN=CN=T,DN=DF+FN=3,0N=*（FM+BC）=2,

°D=VDN2+ON2=VS2+22=后’

'：BH±PQ,

'：OM=OB,

：.0”=l_8M=上義V22+22=^

■:DH,OD-OH,

:-近,由于M和B點(diǎn)都是定點(diǎn)，所以其中點(diǎn)。也是定點(diǎn)，當(dāng)0,H,。共

線時，此時04最小，

DH的最小值為后-V2-

故答案為3加，713-V2.

10.解：(1)VZDAE^ZBAC,

:.NBAC-NCAD=NDAE-ZCAD,

即NBA。=NCAE,

A/\ABD^/^ACE(SAS),

；.NB=NACE,

,JCE//AB,

：.ZBAC=ZACE,

；.NBAC=NB,

：.AC=BC,

.二△ABC是等邊三角形，

NBAC=/D4E=/4CB=ZACE=60°,

...△D4E是等邊三角形，

AZAED=60°,

AZDEC=180°-35°-60°-60°=25°,

故答案為：25；

(2)連接CE,

VZBAC=a,AB=AC,

：.ZB=ZACB^1-(180°-a)=90°-1-n

22

"：ZDAE=ZBAC,

：.ZBAC-ZCAD=ZDAE-ZCAD,

即NBA。=NCAE,

A/\ABD^/\ACE(SAS),

.?./B=/4CE=90°」a，

2

:./DCE=2(90°」a)=180°-a,

2

DEA.BC,

AZCD￡=90°,

ZDEC=90Q-NDCE=a-90°.

故答案為：a-90°.

圖2

11.解：:AB為。。的直徑,

AZAEB=ZACB=90a,

:將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到△EZ)C,

：.AC=CE,BC=CD,NACE=NBCD,NECD=NACB=9Q°,

?.?tanO=^=3,

CD

.,.設(shè)CE=3x,CD=x,

DE-7lQv,

VZACE=ZBCD,ZD=ZABC=ZAEC,

.,.△ACEs△BCD,

AAC_=C1=AE=3,ZCBD=ZCAE,

BCCDBD

"：AE=2,

.?.BO=2

3

VZEAC+ZCB￡=180°,

：.ZCBD+ZCBE=\SO°,

：.D,B,E三點(diǎn)共線，

BE=DE--"I"，

?：AE1+BE2^AB2,

.,.22+(-JlQx--)2—(-/lQr)2,

3

?.?Ax_V1ioJ

3

：.AB=DE=^-,

3

故答案為：12.

3

12.解：過C作于M,過E作EN_LBC于N,

???四邊形A3CQ是平行四邊形，

：.BC//AD,

：.NBFE=ZDFC=NADE,

??,將邊AD繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到DE,

；?NBFE=NDFC=NADE=60°,

；?/FCM=/FEN=30°,

VZDCF+ZB￡F=150°,

:?NDCM+/BEN=90°,

■:NBEN+/EBN=90°,

：?/DCM=/EBN,

:ADCMs^EBN,

?CM_DM=CD=2%=/

"BN"EN'BE~2~

:.CM=4^N,DM=4^PN,

在Rt/XCM尸中，CM=y[^FM,

:.FM=BN,

設(shè),FM=BN=x,EN=y,則。知=百，，CM=心,

E產(chǎn)二當(dāng)設(shè)

:?CF=2x,

?；BC=AD=DE,

:.=2x+^-^->j+x,

<7+)2=4,

?、,_2^^7

??>—'>X—■■1

77

:.BC=2枚,

故答案為：2近

13.解：連接OA,OB,0B交AF于J.

OFLBC,

二前=靜，

???五邊形ABCDE是正五邊形,

:.NAOB=72°,NBOF=36°,

AZAOF=108°,

9：OA=OF,

：.ZOAF=ZOFA=ZFOJ=36°,

：.OJ=JF,

U：AO=AJ,OB=OF,/OAJ=/FOB,

：.AAOJ^AOFB(SAS),

：.OJ=BF,

Y4OFJ=4AFO,4FOJ=/OAF,

：.^FOJ^/\FAO,

??&=ZL

FAOF

/.OR=FJ，F(xiàn)A,

?:FJ=OJ=FB,

：.FA9FB=OF2=\6.

故答案為16.

14.解：如圖所示，過。作DG_L4B于G,過E作E"J_D4,交D4的延長線于從

VZEAC=60°,ZBAC=30°,

：.ZEAG=ZAGD=90°,

???RtZ\A8C中，AC=M，AB=2,

又VAABD和△ACE是等邊三角形，

AJE—^3，DG=yf^t

：.DG=AE,

又,：4DFG=NEAF,

：.^AEF^/\GDF(.AAS),

：.DF=h)E,

2

又??,□△AE//中，ZEAH=30°,

2

DH=DA+AH=2+旦=工

22

.?.內(nèi)△DE”中，DE=^HE2+DH

二。尸的長為YS,

2

故答案為：，亙.

2

15.解：設(shè)OM與y軸相切于E,

連接EM并延長交8c于H,過P作PF_Lx軸于F,延長FP交E4于。,

；AC為0M直徑,

：.BCVAB,

VAC=10,AB=6,

：.BC=S,

OM與y軸相切，

軸，

，四邊形OEZ)/是矩形，

：.OE=BH=DF,ED=OF,ED//OF,

"：AM=CM,

：.MH=1AB=3,BH=DF=4,

2

'：MP±MQ,NQ平分NMNB,

：.MN=BN,

設(shè)MN=BN=x,

:.NH=4-x,

'：MH2+HN2=MN2,

.,.7=32+(4-x)2,

解得：尸空，

8

，MN=BN=空，

8

:.HN=L,

8

,CHN//PD,

：.4MHNs/\MDP,

?MHHNMN

"MD"PDT

7_25

?3=京=在

*'MDPD~

.?.MQ=空，PD=L

55

，DE=EM+MD=-^-,PF=DF-PD=H,

55

...點(diǎn)p坐標(biāo)是（至，迫），

55

故答案為：（至，23）.

55

16.解：:NCBF=殳NBCE,

4

，可以假設(shè)NBCE=4X,則NCBF=5X,

\'DE^ZADC,CE平分/￡>C8,

AZADE=ZEDC,NECD=NECB=4x,設(shè)NADE=NEDC=?

'JAD//BF,

.,.ZA+ZABF=180°,

ZADC+ZDCB+ZCBF=180°,

；.2y+13x=180。①，

VZDEC=II5°,

：.ZEDC+ZECD=65°,即y+4x=65°②，

由①②解得［xTO

ly=25

，NBC尸=40°,ZCBF=50°,

：.ZCFB=90°,

：.BF±EC,

：.CE=2BF,設(shè)BF=m，則CE=2m,

VSABCE=A*EOBF=4,

2

：.l.X2mXm=4,

2

.*./?=2或-2(舍棄)，

.,.CE=2，“=4,

故答案為4.

17.解：延長8c與?！?兩延長線相交于點(diǎn)”，連接尸H,如圖,

?.?四邊形ABC。是矩形，

：.ZBCD=ZHCD=90°,

"：DC=DC,NCDE=NCDB,即/C￡)”=NCOS,

:ACDBqACDH(ASA),

：.CB=CH,DB=DH,

；G是BE的中點(diǎn),

；.CG=LEH，CG//EH,

:./CGF=/DEF,

設(shè)NCBE=a,則NC￡>E=NCO8=2NC5E=2a,

：?NDFE=/BFC=90°-a,

VZDEF=180°-ZEDF-ZDFE=180°-2a-90°+a=90°-a,

??.NDEF=NBFC,

,:/CGF=/DEF,

:,NCGF=NBFC,即NCGf^NG/C,

:.CG=CF,

■:BC+CG=CD,CF=1,

:?HE=2CG=2,CD=BC+1,

設(shè)BC=x,

0'=08=他2心2Tx2+幻1）2地X2+2X+I，

'：CB=CH,CDLBH,

?'*FH=BF=yjBe?+CE2Tx2+i，

:.NFBH=NFHB=a,

:.NEFH=24FBH=NCDE,即NHFE=NHDF,

ZFHE=ZDHF,

:.△HFEs^HDF,

AFH即Fff2=HE?HD,

DHHF

A（Vx2+1）2=2>/2x2+2x+rE|]X2+1=2A/2X2+2X+1

則x4-6x2-8x-3=0,

(/-7)+(-5?-5x)+(-3x-3)=0,

x2(x+1)(x-1)-5x(x+1)-3(x+1)=0,

(x+l)(x3-x2-5x-3)=0,

Vx+l>0,

.".x3-x2-5x-3=0,

x3-3?+2x2-6x+x-3=0,

(x-3)(x+l)2=0,

.'.x-3=0,

***x=3,

故答案為：Nio.

18.解：??,四邊形ABC。是正方形，

???N3=N￡)=90°,AB=AD,

,??△AE尸是等邊三角形，

：.AE=EF=AFf

在RtAABE和RtAADF|AE=AF,

IAB二AD

.,.RtAABE^RtAADF(HL),

:.BE=DF,

:.CE=CF,

設(shè)BE=x,那么。尸=x,CE=CF=\-x,

在中，AE^^AB^BE2,

在RtMEF中，F(xiàn)E2=CF2+CE2,

:.AB2+BE2^CF2+CE2,

：./+l=2(1-x)2,

.'.x2-4x+l=0,

，X=2±M，而X<1,

；.x=2-M，

即BE的長為=2-

：.CE=CF=y[j-1.

.?.△AEF的面積=1X1-2X_1_X1X(2-愿)-A(73-1)2=2-/j-3,

故答案為：2A/^-3.

19.解：如圖，作EN_LAB于N,EMJ_BC于M,PH工CB于H.

；四邊形ABC。是正方形,

：.AD=DC=CB=AB=4fNABC=NBCD=NCDA=NDAB=90°,/ABD=/CBD=

ZADB=ZCDB=45°,

:.EN=EM=BN=BM,

?：BE=3DE,

:.BN=3AN,所以AN=1,BN=3,

：.EM=EN=BM=BN=3,

VEF±￡G,

：.ZFEG=90°,

■:/NEM=90°,

???NNEF=/MEG,

在產(chǎn)和△MEG中：

<ZFNE=ZGME

,NE=HE

lZNEF=ZMFG

:ANEF2XMEG(ASA),

：?MG=NF,EG=EF,

VBF=1,

：.NF=NB+BF=4,

???MG=4,

:?BG=BM+MG=7,

?：NPBF=NABD=45°,

：.ZPBG=]35°,

:.NPBH=45

；.NHPB=45°,

設(shè)BH=PH=x,貝GH=BH+BG=x+7,

因為里=理，所以立Lj,解得》=工，

BGBF716

所以

6

又因為BE=4^pN=3?

所以EP=EB+BP=25^2.

6

20.解：如圖，作CH_LBE于H,EFLBD于F.設(shè)BE與AC的交點(diǎn)為G.

則NHBC+/BCH=/BHC=90°,

?.?四邊形ABC。為矩形,

：.AD=BC,AB=CD,NABC=/BA￡)=90°,AD//BC,AC=BO

AZABE+ZCBH=90a,

：.NABE=ZBCH,

'：NABE=LNACB,

2

:.NBCH=NGCH,

:?BH=GH,BC=CG,/CBH=NCGH,

設(shè)AB=x,則ED=CD=AB=x,

???AE=2,所以AO=AE+ED=2+JG

:.CG=CB=2+xf

*：AD〃BC,

：.ZAEG=ZCBH=ZCGH=ZAGEf

：.AG=AE=2,

**?AC=AG+CG=4+x9

在RtZ\A8C中：AB2+BC2^AC2,

+(x+2)2=(x+4)2,解得xi=6,X2=-2(舍)，

：.AB=CD=6,AO=AC=8,AC=BD=\O,

：AC與8。交于點(diǎn)O,

：.AO=BO=CO=DO=5,

sinZBDA=3.,cosZBDA—A

BDDE5BDED5

：.EF=1.ED=^-,DF=AED=2￡

5555

AOF=OD-DF=5-絲=工

55

在RtAEFO中：

OEi=OF2+EF2^(A)2+(逆)2=^_=i3,

5525

：.OE=y/l3.

故答案為："713

21.解：如圖，作交A。于〃，交A尸于M.

設(shè)。G=JG貝ij8E=2OG=2x,

,.,A8C￡＞是正方形，

Q

：.AB=BC=CD=DAfAD//BC,AB//CD,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZBAD=90,

AZAEB=ZEADfBEG”是平行四邊形，

:.GH=BE=2x,

:.DH=GH+DG=3x,

,:GF//AE,

:./FGD=/EAD,

：.NAEB=NFGD,

:.NGD?MAEB,

?DF_DG_1

BABE2

設(shè)OF=y,則AB=2y=AO,

VZABH+ZBAM^ZBAM+ZDAF^W1,

/ABH=NDAF,

在△ASH和△D4F中:

，ZABH=ZDAF

<AB=DA

ZBAH=ZADF

：./\ABH^/\DAF