專題4.3 相似三角形的判定與性質(zhì)（一）【八大題型】（舉一反三）（浙教版）（解析版）

專題4.3相似三角形的判定與性質(zhì)（一）【八大題型】【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用相似三角形的性質(zhì)求面積】 2【題型2添加條件使兩三角形相似】 5【題型3根據(jù)圖形數(shù)據(jù)判斷兩三角形相似】 8【題型4坐標(biāo)系中確定坐標(biāo)使兩三角形相似】 11【題型5確定相似三角形的對數(shù)】 15【題型6相似三角形的證明】 18【題型7找格點(diǎn)中的相似三角形】 23【題型8由圖形相似求線段長度】 26【知識點(diǎn)1相似三角形的性質(zhì)】①相似三角形的對應(yīng)角相等．如圖，，則有．②相似三角形的對應(yīng)邊成比例．如圖，，則有（為相似比）．③相似三角形的對應(yīng)邊上的中線，高線和對應(yīng)角的平分線成比例，都等于相似比．如圖，∽，和是中邊上的中線、高線和角平分線，、和是中邊上的中線、高線和角平分線，則有④相似三角形周長的比等于相似比．如圖，∽，則有．⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方．如圖，∽，則有【題型1利用相似三角形的性質(zhì)求面積】【例1】（2023春·遼寧沈陽·九年級?？计谥校┤鐖D，△OAB∽△OCD，且OA:OC=6:5,∠A=α,∠B=β,△OAB與△OCD的面積分別是S1和S2，△OAB與△OCD的周長分別是C1和C2，則一定成立的等式是（）A．OBCD=65 B．αβ=【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方，一一判斷即可．【詳解】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC=6：5，∴C1∴選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)C錯誤，∵無法確定OAOD,OBCD和∠A與∠B的比的值，故選項(xiàng)故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．【變式1-1】（2023春·九年級上海市民辦文綺中學(xué)?？计谥校﹥蓚€相似三角形的面積之差為3cm2，周長比是2：3，那么較小的三角形面積是cm【答案】12【分析】根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到面積比，設(shè)較小三角形的面積為4S，則較大三角形的面積為9S，列出等量解出S的值即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵兩個三角形的周長比是2：3，∴兩個三角形的面積比等于4：9，設(shè)較小的三角形的面積為4S，則較大的三角形面積為9S，∴9S-4S=3，解得S=3∴較小三角形的面積為4S=125故答案為：12【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的性質(zhì)，相似三角形周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方，熟記相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·四川成都·九年級成都實(shí)外?？计谥校┤鐖D所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，若ΔABC∽ΔDCE，則Δ【答案】25【分析】根據(jù)圖形得到BC=3，CE=5，hΔ【詳解】解：由題意可得，BC=3，CE=5，hΔABC∴BCCE=35∴SΔ∴SΔ故答案為253【點(diǎn)睛】本題考查相似比與面積比的換算，解題關(guān)鍵是從圖形得到相似比，熟練掌握面積比是相似比平方．【變式1-3】（2023春·山東淄博·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段DE上，且△ADF∽△DEC，若DC=4cm，AD=33cm，AF=23（1）求DE的長；（2）求平行四邊形ABCD的面積．【答案】（1）DE=6；（2）9【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列出比例式，進(jìn)而即可求解；（2）根據(jù)勾股定理求出AE的長，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：（1）∵△ADF∽△DEC，∴ADDE∴33∴DE=6；（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠EAD=∠AEB=90°，∴在Rt△EAD中，AE∴AE=3（cm），∴S□ABCD=BC·AE=33【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握上述性質(zhì)和定理，是解題的關(guān)鍵．【知識點(diǎn)2相似三角形的判定】判定定理判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似．簡稱為兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似．如圖，如果，，則．判定定理2：如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊成比例，那么這兩個三角形相似．簡稱為三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似．如圖，如果，則．判定定理3：如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊成比例，并且對應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似．簡稱為兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似．如圖，如果，，則．【題型2添加條件使兩三角形相似】【例2】（2023春·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期末）如圖，ABCD是正方形，E是CD的中點(diǎn)，P是BC邊上的一動點(diǎn)，下列條件中，不能得到△ABP與△ECP相似的是（

）

A．ABCE=BPCP B．C．∠BAP=∠EPC D．AB:BP=3:2【答案】B【分析】由四邊形ABCD是正方形，可得∠B=∠C=90°，又由E是CD的中點(diǎn)，易得CE:AB=1:2，然后分別利用相似三角形的判定定理，判定△ABP與△ECP相似．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，AB=CD=BC，∵E是CD的中點(diǎn)，∴CE:CD=1:2，即CE:AB=1:2，A、∵∠B=∠C，ABCE∴△ABP∽△ECP，故B、∵P是BC中點(diǎn)，∴BP=PC=BC，沒辦法判定△ABP與△ECP中各邊成比例，故B符合題意；C、∵∠BAP=∠EPC時，∠B=∠C，∴△ABP∽故C不符合題意；D、∵AB:BP=3:2，AB=BC，∴BP=2PC，∴PC:BP=1:2，∴PC:BP=CE:AB=1:2，∴△ABP∽△PCE，故故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定以及正方形的性質(zhì)．注意靈活應(yīng)用判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·北京石景山·九年級校考期中）如圖，標(biāo)記了△ABC與△DEF邊、角的一些數(shù)據(jù)，如果再添加一個條件使△ABC∽△DEF，那么這個條件可以是．（只填一個即可）【答案】∠C=60°或∠B=【分析】利用三角形相似的條件即可進(jìn)行解答.【詳解】由圖可知：∠A=∠D=80°，且∴當(dāng)∠C=60°時，由圖可知：∠A=∠D=80°，且∴當(dāng)∠B=40°時，即可求得∠C=60由圖可知：AB=4，AC=3，DE=8，∴當(dāng)ABDE=ACDF，即綜上所述：當(dāng)∠C=60°或∠B=40°【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定條件是解題關(guān)鍵【變式2-2】（2023春·四川雅安·九年級雅安中學(xué)?？计谥校└鶕?jù)下列各組條件，不能判定△ABC∽△A1B1C1的是（

）A．∠B＝∠B1＝60°，∠C＝50°，∠A1＝70°B．∠C＝∠C1＝90°，AB＝10，AC＝6，A1B1＝5，A1C1＝3C．∠A＝40°，AB＝2，AC＝3，∠A1＝40°，A1B1＝4，A1C1＝5D．AB＝12，BC＝15，AC＝24，A1B1＝8，A1C1＝16，B1C1＝10【答案】C【分析】兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；兩邊成比例，夾角相等的兩個三角形相似；三邊成比例的兩個三角形相似．根據(jù)定理內(nèi)容依次計(jì)算判定即可．【詳解】解：A、∵∠B=∴∵∠A=又∵∠A1＝70°，∠B1＝60°∴△ABC∽△A1B1C1所以選項(xiàng)A正確；B、∵∠C＝∠C1＝90°∴△ABC和△A在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝6由勾股定理得：B∵BC>0∴BC在Rt△A1B1C1中，A1B1＝5，由勾股定理得：B∵B∴B∵AB∴△ABC∽△A1B1C1所以選項(xiàng)B正確；C、∵AB∴不能判定兩個三角形相似所以選項(xiàng)C錯誤；D、∵AB∴△ABC∽△A1B1C1所以選項(xiàng)D正確．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的判定，根據(jù)定理內(nèi)容解題是關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·河南南陽·九年級南陽市第十三中學(xué)校校考期末）如圖，在△ABC中，P為AB上一點(diǎn)，下列四個條件中：①AC2=AP?AB；②AB?CP=AP?CB；③∠APC=∠ACB﹔④∠ACP=∠B能滿足△APC與△ACBA．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法對每個條件進(jìn)行分析，從而獲得答案．【詳解】解：①∵AC∴ACAP又∵∠A=∠A，∴△APC∽△ACB；②∵AB?CP=AP?CB，∴APAB=CPCB，AP是△APC的最短邊，AB是△ACB的最長邊，AP和AB不是對應(yīng)邊，不能判定③∵∠APC=∠ACB，∠A=∠A，∴△APC∽△ACB；④∠ACP=∠B，∠A=∠A，∴△APC∽△ACB．綜上所述，能滿足△APC與△ACB相似的條件是①③④．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定方法，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．【題型3根據(jù)圖形數(shù)據(jù)判斷兩三角形相似】【例3】（2023春·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．將△ABC沿圖中的虛線剪開，下列四種剪開的方法中，剪下的陰影三角形一定與原三角形相似的是（

）A．①②③ B．③④ C．①②③④ D．①②④【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判定即可．【詳解】解：①陰影部分的三角形與原三角形有兩個角對應(yīng)相等，故兩三角形相似；②陰影部分的三角形與原三角形有兩個角對應(yīng)相等，故兩三角形相似；③兩三角形雖然滿足23④兩三角形對應(yīng)邊成比例4-16故正確的有①②④，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知△MNP．下列四個三角形，與△MNP相似的是（）A．B． C．D．【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定條件分別判斷即可；【詳解】根據(jù)圖形可知，MN=MP，∠P=∠N=75°，∴∠M=180°-75°-75°=30°，∴根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似可得C中的圖形與△MNP相似；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定條件，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）如圖是老師畫出的△ABC，已標(biāo)出三邊的長度．下面四位同學(xué)畫出的三角形與老師畫出的△ABC不一定相似的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)兩個三角形相似的判定方法進(jìn)行判定即可．【詳解】解：A、由有兩個角對應(yīng)相等的三角形相似即可判定這兩個三角形相似；B、由于48C、不能判定相似；D、由有兩個角對應(yīng)相等的三角形相似即可判定這兩個三角形相似；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了兩個三角形相似的判定，掌握相似三角形判定的方法是關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·河南商丘·九年級統(tǒng)考期末）已知圖中有兩組三角形，其邊長和角的度數(shù)已在圖上標(biāo)注，對于各組中的兩個三角形而言，下列說法正確的是（）A．都相似 B．都不相似C．只有①相似 D．只有②相似【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的判定去判斷兩個三角形是否相似即可．【詳解】在圖①中：第一個三角形三個角分別為：75°，35°，180°－75°－35°＝70°；第二個三角形的兩個角分別為：75°，70°；故根據(jù)兩個角分別相等的兩個三角形相似，得兩個三角形相似；在圖②中：∵AOOD=4∴AOOD∵∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△DOB,故都相似．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握判定定理是解題關(guān)鍵．【題型4坐標(biāo)系中確定坐標(biāo)使兩三角形相似】【例4】（2023春·浙江金華·九年級校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則點(diǎn)E的坐標(biāo)不可能是（

）

A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）【答案】B【詳解】△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．A、當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，0）時，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，則AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本選項(xiàng)不符合題意；B、當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，3）時，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，則AB：BC≠CD：DE，△CDE與△ABC不相似，故本選項(xiàng)符合題意；C、當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，5）時，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，則AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本選項(xiàng)不符合題意；D、當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，2）時，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，則AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本選項(xiàng)不符合題意．故選B．【變式4-1】（2023春·河南南陽·九年級校考階段練習(xí)）如圖，A、B、C、D都是格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)），動點(diǎn)E在線段AC上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)是1,1，則當(dāng)△ADE與△ABC相似時，動點(diǎn)E的坐標(biāo)是．

【答案】(3，【分析】首先根據(jù)圖，可得AD=1，AB=3，AC=62+62=62【詳解】解：根據(jù)題意得：AD=1，AB=3，AC=6∵∠A=∠A，∴若△ADE∽△ABC時，即：13解得：AE=2∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1∴E(若△ADE∽△ACB時，即：16解得：AE＝∴E(∴當(dāng)△ADE與△ABC相似時，動點(diǎn)E的坐標(biāo)是(3，3故答案為：(3，3【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．【變式4-2】（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已如A1,0，B2,0，C0,1，在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)P，它與A,C兩點(diǎn)形成的三角形與△ABC相似，則P

【答案】3,0或0,2或0,3【分析】分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時，△PAC～△CAB時，當(dāng)點(diǎn)P'在y軸上時，△P'【詳解】解：如圖，

∵A(1,∴OA=OC=1,∴AC=2當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時，△PAC～△CAB時，∴ACAB∴21∴PA=2，∴OP=3，∴P(3,當(dāng)點(diǎn)P'在y軸上時，△∵AC=CA，∴AB=CP∴OP∴P'當(dāng)△P″AC～△BCA∴C∴O∴P綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為3,0或0,2或0,3．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會與分類討論的射線思考問題．【變式4-3】（2023春·山東淄博·九年級統(tǒng)考期末）平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-12x+2和x、y軸交于A、B兩點(diǎn)，在第二象限內(nèi)找一點(diǎn)P，使△PAO和△AOB相似的三角形個數(shù)為

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的相似條件，畫出圖形即可解決問題．【詳解】解：如圖，

①分別過點(diǎn)O、點(diǎn)A作AB、OB的平行線交于點(diǎn)P1，則△OAP1與△AOB相似（全等），②作AP2⊥OP1，垂足為P2則△AOP2與△AOB相似．③作∠AOP3=∠ABO交AP1于P3，則△AOP3與△AOB相似．④作AP4⊥OP3垂足為P4，則△AOP4與△AOB相似．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活掌握相似三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．【題型5確定相似三角形的對數(shù)】【例5】（2023·安徽淮南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，把ΔABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到ΔADE，當(dāng)點(diǎn)D剛好落在BC上時，連結(jié)CE，設(shè)AC,DE，相交于點(diǎn)F，則圖中相似三角形（不含全等）的對數(shù)有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ABC≌△ADE，∠2=∠l，利用三角形內(nèi)角和得到∠3=∠4，則可判斷△AFE∽△DFC；根據(jù)相似的性質(zhì)得AF：DF=EF：FC，而∠AFD=∠EFC，則可判斷△AFD∽△EFC；由于∠BAC=∠DAE，AB=AD，AC=AE，所以∠3=∠5，于是可判斷△ABD∽△AEC．【詳解】∵把△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ADE（D與E重合），∴△ABC≌△ADE，∠2=∠1，∴∠3=∠4，∴△AFE∽△DFC，∴AF：DF=EF：FC，又∵∠AFD=∠EFC，∴△AFD∽△EFC，∵把△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ADE（D與E重合），∴∠BAC=∠DAE，AB=AD，AC=AE，∴∠3=∠5，∴△ABD∽△AEC，綜上，共有3對相似三角形，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期末）如圖，E為矩形ABCD的CD邊延長線上一點(diǎn)，BE交AD于G

，AF⊥BE于F

，圖中相似三角形的對數(shù)是（）A．5 B．7 C．8 D．10【答案】D【詳解】試題解析：∵矩形ABCD∴AD∥BC，AB∥CD，∠DAB=∠ADE=9∴△EDG∽△ECB∽△BAG∵AF⊥BE∴∠AFG=∠BFA=∠DAB=∠ADE=9∵∠AGF=∠BGA，∠ABF=∠GBA∴△GAF∽△GBA∽△ABF∴△EDG∽△ECB∽△BAG∽△AFG∽△BFA∴共有10對故選D．【變式5-2】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·九年級校考期中）如圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，且∠OAD=∠OCB，延長AD、CB交于點(diǎn)P，那么圖中的相似三角形的對數(shù)為．【答案】3【詳解】分析：圖中有4對相似三角形，利用相似三角形的判定方法一一證明即可．詳解：∵在△ABP與△CDP中，∠BAP=∠DCP，∠APB=∠CPD，∴△ABP∽△CDP，∴∠ABP=∠CDP，AP：CP=BP：DP，∴∠ADO=∠CBO，又∵∠OAD=∠OCB，∴△OAD∽△OCB，∴OAOC∴OAOD∵∠AOC=∠DOB，∴△AOC∽△DOB，∵在△PAC與△PBD中，∠P=∠P，AP：BP=CP：DP∴△PAC∽△PBD，綜上所述，圖中的相似三角形有4對：△ABP∽△CDP，△OAD∽△OCB，△PAC∽△PBD，△AOC∽△DOB．故答案是：4．點(diǎn)睛：考查了相似三角形的判定．①有兩個對應(yīng)角相等的三角形相似；②有兩個對應(yīng)邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；③三組對應(yīng)邊的比相等，則兩個三角形相似．【變式5-3】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且CF=3FD．則圖中相似三角形的對數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．)4【答案】C【詳解】FD=k,CF=3k,DE=AE=2k在RtΔBCF中，CF=3k,BC=4k,BF=5k在RtΔDEF中，DF=k,DE=2k,EF=5在RtΔABE中，AE=2k,AB=4k,BE=2在RtΔBEF中，EF=根據(jù)相似三角形的判定，RtΔDEF～RtΔABE～RtΔEBF,故選C.【題型6相似三角形的證明】【例6】（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖，已知∠B=∠E=90°，AB=6,BF=3,CF=5,DE=15,DF=25．(1)求CE的長；(2)求證：△ABC∽△DEF．【答案】(1)CE=15(2)見解析【分析】（1）利用勾股定理求出EF，再用EF-CF即可求出CE的長；（2）先求出BC的長，得到ABDE=BC【詳解】（1）解：∵DE=15,DF=25,∠E=90°，∴EF=D∴CE=EF-CF=15；（2）證明：∵BF=3，CF=5，∴BC=BF+CF=8，∵ABDE=6∴ABDE∵∠B=∠E=90°，∴△ABC∽△DEF．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，相似三角形的判定．熟練掌握勾股定理，相似三角形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023·全國·九年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，連接DE，BD2=BC·BE.證明：△BCD∽△BDE.

【答案】見解析【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠DBE=∠CBD，由BD2=BC?BE可得【詳解】∵BD平分∠ABC，∴∠DBE=∠CBD，∵BD∴BCBD∴△BCD∽△BDE.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，且相對應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似；正確找出對應(yīng)邊和對應(yīng)角是解題關(guān)鍵.【變式6-2】（2013·廣西河池·中考真題）請?jiān)趫D中補(bǔ)全坐標(biāo)系及缺失的部分，并在橫線上寫恰當(dāng)?shù)膬?nèi)容．圖中各點(diǎn)坐標(biāo)如下：A1，0，B6，0，C1，3，D6，

解：M（，）證明：∵CA⊥AB，DB⊥AB，∴∠CAM=∠DBM=度．∵CA=AM=3，DB=BM=2，∴∠ACM=∠AMC（），∠BDM=∠BMD（同理），∴∠ACM=12(180°-)＝∴∠ACM＝在△ACM與△BDM中，∠ACNM=∠BDM_______________∴△ACM∽【答案】詳見解析【分析】根據(jù)題意補(bǔ)圖，應(yīng)用相似三角形的判定證明即可．【詳解】解：補(bǔ)全坐標(biāo)系及缺失的部分如下：

M證明：∵CA⊥AB，DB⊥AB，∴∠CAM=∠DBM=90度．∵CA=AM=3，DB=BM=2，∴∠ACM=∠AMC（等邊對等角），∠BDM=∠BMD（同理），∴∠ACM=12180°-90°=45°．∠BDM=45°∴∠ACM=∠BDM．在△ACM與△BDM中，∠ACM=∠BDM∠CAM=∠DBM∴△ACM∽【點(diǎn)睛】此題考查了坐標(biāo)與圖形，相似三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法．同時還要注意解題的完整性．【變式6-3】（2023·河南平頂山·統(tǒng)考一模）三角形的布洛卡點(diǎn)（Brocardpoint）是法國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾（A．LCrelle1780-1855）于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時的人們所注意．1875年，布洛卡點(diǎn)被一個數(shù)學(xué)愛好者法國軍官布洛卡（Brocard1845-1922）重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名．如圖1，若△ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA=∠α，則點(diǎn)P是△ABC的布洛卡點(diǎn)，∠α是布洛卡角．（1）如圖2，點(diǎn)P為等邊三角形ABC的布洛卡點(diǎn)，則布洛卡角的度數(shù)是______；PA、PB、PC的數(shù)量關(guān)系是______；（2）如圖3，點(diǎn)P為等腰直角三角形ABC（其中∠BAC=90°）的布洛卡點(diǎn)，且∠1=∠2=∠3．①請找出圖中的一對相似三角形，并給出證明；②若△ABC的面積為52，求△PBC【答案】（1）30°，PA=PB=PC；（2）①△ABP∽△BCP，證明見解析；（3）S△PBC【分析】（1）根據(jù)題意理清布洛卡點(diǎn)、布洛卡角的概念，利用概念來解答；（2）①找△ABP∽△BCP，證明過程利用等腰直角三角形的性質(zhì)及布洛卡角的概念，通過找出三個角分別對應(yīng)相等來證明；②把三角形△ABC面積看作三個三角形面積之和來表示，除所求三角形面積之外的兩個，其中一個根據(jù)條件可以利用勾股定理求出面積，另一個可以利用所求三角形面積來表示，建立等式即可求解．【詳解】解：（1）由題意知：∠BAP=∠CBP=∠ACP，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=∠BCA=∠CAB，AB=BC=AC,∴△APB≌△BPC，∴AP=BP，∴∠PAB=∠PBA，∴∠PBA=∠PBC,∠PBA+∠PBC=60°，∴∠PBC=30°，同理可證得出：∠BAP=∠CBP=∠ACP=30°，∠ABP=∠BCP=∠CBP=30°，PA=PB=PC故答案是：30°，PA=PB=PC．（2）①△ABP∽△BCP證明：∵△ABC是等腰直角三角形∴∠ABC=∠ACB=45°，即∠ABP+∠2=∠3+∠BCP=45°，∵∠2=∠3，∴∠ABP=∠BCP，又∵∠1=∠2，∴△ABP∽△BCP.（3）∵△ABC是等腰直角三角形，∴S△ABC=12∵△PAB∽△PBC，∴BPCP∴AP=22BP，CP=∴CP=2AP.∵∠APB=∠BPC=180°-(∠1+∠ABP)=180°-(∠2+∠ABP)=135°，∴∠APC=360°-∠APB-∠BPC=90°.在Rt△APC中，∵CP=2AP，AC=由勾股定理得AP=1，CP=2，∴S△APC∴S∴S△PBC【點(diǎn)睛】本題考查了新概念問題、等邊三角形、直角三角形、三角形全等的判定定理和性質(zhì)、相似三角形的判定定理和性質(zhì)、勾股定理，涉及知識點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，題目較難，解題的關(guān)鍵是：通過閱讀材料，弄明白題中的新定義或新概念，然后利用概念及靈活運(yùn)用所學(xué)知識點(diǎn)進(jìn)行解答．【題型7找格點(diǎn)中的相似三角形】【例7】（2023春·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期末）如圖，每個小正方形邊長均為1，則圖中的三角形中與△ABC相似的是（

）

A．△FBE B．△BED C．△DFE D．△ABE【答案】B【分析】直接利用相似三角形的判定方法結(jié)合正方形的性質(zhì)分析得出答案．【詳解】解：由題意可得：∠BDE=90°+45°=135°，∠BCA=90°+45°=135°，BD=1，DE=2，BC=2，AC=∵BDAC=1∴BDAC又∵∠BDE=∠BCA，∴△BDE∽△ACB．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定，正確得出對應(yīng)邊的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·湖南衡陽·九年級校考期中）如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是．

【答案】A【分析】根據(jù)網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)求出AB,AC,BC的長，求出三邊之比，利用三邊對應(yīng)成比例的兩三角形相似判斷即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：AB=∴AC:BC:AB=A．三邊之比為1:2:5B．三邊之比為2:5:3,C．三邊之比為1:5:8D．三邊之比為2:5:13故答案為：A．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定以及勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）新定義：由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的三角形稱為格點(diǎn)三角形．如圖，已知△ABC是6×6的網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)三角形，那么該網(wǎng)格中所有與△ABC相似且有一個公共角的格點(diǎn)三角形的個數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】取AB,BC,AC的中點(diǎn)D,F,E，再取網(wǎng)格點(diǎn)M、N，連接格點(diǎn)DE,DF,EF,MN，結(jié)合中位線的性質(zhì)可證明△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，△CEF∽△CAB，再根據(jù)BN=32，BM=4，BA=42，BC=6，可得BNBM=BC【詳解】解：如圖，取AB,BC,AC的中點(diǎn)D,F,E，再取網(wǎng)格點(diǎn)M、N，連接格點(diǎn)DE,DF,EF,MN，

則DE∥BC，且∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC．同理可證：△BDF∽△BAC，△CEF∽△CAB．∵BN=32，BM=4，BA=42，∴BNBM∴BNBM=BC∴△ABC∽△MBN，綜上，滿足條件的三角形有4個，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了中位線的性質(zhì)、相似三角形的判定等知識，熟練掌握相似三角形的判定條件是解答本題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期中）定義：我們知道，凸四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等），我們就把這個凸四邊形叫做“自相似四邊形”．如圖，點(diǎn)A、B、C是正方網(wǎng)格中的格點(diǎn)，在網(wǎng)格中確定格點(diǎn)D，使以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是“自相似四邊形”，符合條件的格點(diǎn)D的個數(shù)是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】D【分析】根據(jù)題目中“自相似四邊形”的定義，在網(wǎng)格中找到符合條件的點(diǎn)D即可．【詳解】解：如圖1，由ABD1A=AC如圖2，由ABD2A=BC如圖3，由BCAB=CD3如圖4，由ABD4C=BC如圖5，由ABBC=BCCD∴符合條件的格點(diǎn)D的個數(shù)有5個．故選：D．【點(diǎn)睛】此題是新定義題，主要考查了網(wǎng)格中的勾股定理、判定兩個格點(diǎn)三角形相似，熟練掌握三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似是解答此題的關(guān)鍵．【題型8由圖形相似求線段長度】【例8】（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）矩形ABCD對角線的交點(diǎn)為O，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在AD的延長線上，連接EF，EO，F(xiàn)O，∠EOF=90°．試探究：

(1)如圖1，若EF垂直平分AO，AB=8，AD=4，則AE的長為；(2)如圖2，若BE=3，F(xiàn)D=1，則EF的長為．【答案】(1)5(2)10【分析】（1）設(shè)EF與AO交于點(diǎn)H，根據(jù)矩形的性質(zhì)，得∠ABC=90°，AO=OC=12AC；根據(jù)EF垂直平分AO，則AE=EO=12AO，∠AHE=90°；根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，得（2）延長EO交CD于點(diǎn)G，連接FG，根據(jù)矩形的性質(zhì)，得AB∥CD，AO=CO，根據(jù)平行線的性質(zhì)，對頂角相等，得△AOE≌△COG，推出AE=CG，OE=OG，再根據(jù)∠EOF=90°，OE=OG，得FO是EG的垂直平分線，則EF=GF，根據(jù)勾股定理求出FG，即可．【詳解】（1）設(shè)EF與AO交于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是矩形，AC是對角線，∴BC=AD=4，∠ABC=90°，OA=1∵AB=8，∴AC∴OA=25∵EF垂直平分AO，∴AH=OH=5，∠AHE=∠ABC=90°∵∠EAH=∠CAB，∴△EAH～△CAB，∴AEAC∴AE=5故答案為：52

（2）延長EO交CD于點(diǎn)G，連接FG，∵四邊形ABCD是矩形∴AO=CO，AB∥CD，AB=CD，∴∠OAE=∠OCG，∵∠AOE=∠COG，∴△AOE≌△COG，∴AE=CG，OE=OG，∵AB=CD，∴BE=DG=3，∵∠EOF=90°，OE=OG，∴FO是EG的垂直平分線，∴EF=GF，∵∠GDF=90°，∴GF=D∴EF=10故答案為：10．

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題．【變式8-1】（2023·陜西榆林·校考三模）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊BC,AC上，∠ADE=60°，若AD=4,BDCE=32

A．1 B．43 C．2 D．【答案】D【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=∠C=60°．∴∠ADB+∠BAD=180°-∠B=120°．∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=180°-∠ADE=120°，∴∠ADB+∠BAD=∠ADB+∠EDC，∴∠BAD=∠EDC，∴△BAD∽△CDE，∴BDCE∴4DE∴DE=8故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．【變式8-2】（2023春·四川南充·九年級校考階段練習(xí)）在矩形ABCD中，點(diǎn)E是對角線AC上一動點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE交AB于點(diǎn)F．

(1)如圖1，當(dāng)DE=DA時，求證：AF=EF；(2)如圖2，點(diǎn)E在運(yùn)動過程中DEEF(3)如圖3，若點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，連接DF交AC于點(diǎn)G，將△GEF沿EF翻折得到△HEF，連接DH交EF于點(diǎn)K，當(dāng)AD=2，CD=23時，求KH【答案】(1)見解析；(2)DEEF(3)KH=91【分析】（1）連接DF，證明Rt△DAF≌Rt△DEF（2）如圖，過點(diǎn)E作EM⊥AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥AB于點(diǎn)N，證明△EAM∽△CAD，得出比例線段AMAD=EMCD①，證明△DME∽△FNE，得出比例線段DEEF（3）連接GH交EF于點(diǎn)I，由勾股定理求出DF的長，證明△AGF∽△CGD，由相似三角形的性質(zhì)得出DGGF=DCAF=2，則GFDF=13，由折疊的性質(zhì)可知GI=IH，GH⊥EF【詳解