人教A版高中數(shù)學(必修第一冊)同步講義第15講 3.1.1函數(shù)的概念（含解析）

第01講3.1.1函數(shù)的概念課程標準學習目標①函數(shù)的概念；②了解函數(shù)的三要素；③掌握簡單函數(shù)的定義域；④掌握求函數(shù)的值；⑤掌握區(qū)間的寫法.通過本節(jié)課的學習，掌握函數(shù)概念及函數(shù)的三要素，會判斷同一函數(shù)，會求簡單函數(shù)的定義域及值域.知識點01：函數(shù)的概念1、初中學習的函數(shù)的傳統(tǒng)定義設在一個變化的過程中，有兩個變量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，如果給定了一個SKIPIF1<0值，相應地就有唯一確定的一個SKIPIF1<0值與之對應，那么我們就稱SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的函數(shù)，其中SKIPIF1<0是自變量，SKIPIF1<0是因變量.它們描述的是兩個變量之間的依賴關系.2、函數(shù)的近代定義一般地，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是非空的實數(shù)集，如果對于集合SKIPIF1<0中的任意一個數(shù)SKIPIF1<0，按照某種確定的對應關系SKIPIF1<0，在集合SKIPIF1<0中都有唯一確定的數(shù)SKIPIF1<0和它對應，那么就稱SKIPIF1<0為從集合SKIPIF1<0到集合SKIPIF1<0的一個函數(shù)(function)，記作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.其中，SKIPIF1<0叫做自變量，SKIPIF1<0的取值范圍SKIPIF1<0叫做函數(shù)的定義域；與SKIPIF1<0的值相對應的SKIPIF1<0值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合SKIPIF1<0叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合SKIPIF1<0的子集.函數(shù)的四個特征：①非空性：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0必須為非空數(shù)集（注意不僅非空，還要是數(shù)集），定義域或值域為空集的函數(shù)是不存在的.②任意性：即定義域中的每一個元素都有函數(shù)值.③單值性：每一個自變量有且僅有唯一的函數(shù)值與之對應（可以多對一，不能一對多）.④方向性：函數(shù)是一個從定義域到值域的對應關系，如果改變這個對應方向，那么新的對應所確定的關系就不一定是函數(shù)關系.【即學即練1】（多選）（2023·全國·高三專題練習）下列四個圖象中，是函數(shù)圖象的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】ACD【詳解】由函數(shù)的定義可知，對任意的自變量SKIPIF1<0，有唯一的SKIPIF1<0值相對應，選項B中的圖像不是函數(shù)圖像，出現(xiàn)了一對多的情況，其中選項A、C、D皆符合函數(shù)的定義，可以表示是函數(shù).故選：ACD知識點02：函數(shù)的三要素1、定義域：函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍．2、對應關系：對應關系SKIPIF1<0是函數(shù)的核心，它是對自變量SKIPIF1<0實施“對應操作”的“程序”或者“方法”．3、值域：與SKIPIF1<0的值相對應的SKIPIF1<0值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合SKIPIF1<0叫做函數(shù)的值域(range).【即學即練2】（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為______．【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0所以定義域為：SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0知識點03：函數(shù)相等同一函數(shù)：只有當兩個函數(shù)的定義域和對應關系都分別相同時,這兩個函數(shù)才相等,即是同一個函數(shù).【即學即練3】（2023·全國·高一專題練習）下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0【答案】D【詳解】對選項A，因為SKIPIF1<0定義域為R，SKIPIF1<0定義域為R，定義域相同，但SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不是同一函數(shù)，故A錯誤；對選項B，因為SKIPIF1<0定義域為R，SKIPIF1<0定義域為SKIPIF1<0，定義域不同，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不是同一函數(shù)，故B錯誤；對選項C，因為SKIPIF1<0定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0定義域為SKIPIF1<0，定義域不同，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不是同一函數(shù)，故C錯誤；對選項D，因為SKIPIF1<0定義域為R，SKIPIF1<0定義域為R，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是同一函數(shù)，故D正確.故選：D知識點04：區(qū)間的概念1區(qū)間的概念設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是實數(shù)，且SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0的實數(shù)SKIPIF1<0的全體，叫做閉區(qū)間，記作SKIPIF1<0，即，SKIPIF1<0。如圖：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0叫做區(qū)間的端點．在數(shù)軸上表示一個區(qū)間時，若區(qū)間包括端點，則端點用實心點表示；若區(qū)間不包括端點，則端點用空心點表示．集合SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0區(qū)間SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02含有無窮大的表示全體實數(shù)也可用區(qū)間表示為SKIPIF1<0，符號“SKIPIF1<0”讀作“正無窮大”，“SKIPIF1<0”讀作“負無窮大”，即SKIPIF1<0。集合SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0區(qū)間SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【即學即練4】（2023秋·廣東廣州·高一西關培英中學校考期末）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】解：因為集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故選：B.題型01函數(shù)關系的判斷【典例1】（2023秋·湖北襄陽·高一襄陽四中?？茧A段練習）若函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，值域為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】選項A中，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，不符合題意，排除A；選項C中，存在一個x對應多個y值，不是函數(shù)的圖象，排除C；選項D中，x取不到0，不符合題意，排除D.故選：B.【典例2】（2023春·江西新余·高一新余市第一中學校考階段練習）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列對應關系中，從SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的函數(shù)為（

）A．f：SKIPIF1<0 B．f：SKIPIF1<0C．f：SKIPIF1<0 D．f：SKIPIF1<0【答案】D【詳解】解：對A：當SKIPIF1<0時，對應的SKIPIF1<0為0,1,2，所以選項A不能構成函數(shù)；對B：當SKIPIF1<0時，對應的SKIPIF1<0為0,1,4，所以選項B不能構成函數(shù)；對C：當SKIPIF1<0時，對應的SKIPIF1<0為0,2,4，所以選項C不能構成函數(shù)；對D：當SKIPIF1<0時，對應的SKIPIF1<0為SKIPIF1<0,1,3，所以選項D能構成函數(shù)；故選：D.【變式1】（多選）（2023秋·江蘇揚州·高一?？计谀┫铝袑惺呛瘮?shù)的是（

）．A．SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，其中y為不大于x的最大整數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】AC【詳解】對于A，對集合SKIPIF1<0中的每個元素x，按照SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中都有唯一元素y與之對應，A是；對于B，在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)存在元素x，按照SKIPIF1<0，在R中有兩個y值與這對應，如SKIPIF1<0，與之對應的SKIPIF1<0，B不是；對于C，對每個實數(shù)x，按照“y為不大于x的最大整數(shù)”，都有唯一一個整數(shù)y與之對應，C是；對于D，當SKIPIF1<0時，按照SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中不存在元素與之對應，D不是.故選：AC題型02集合與區(qū)間的轉(zhuǎn)化【典例1】（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）已知全集SKIPIF1<0,集合SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】解:由題知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選:B【典例2】（2023秋·廣東廣州·高一廣州市海珠中學?？计谀┤艏蟂KIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由集合交集運算可得SKIPIF1<0.故選：C.【變式1】（2023·全國·高三專題練習）全集SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由A中不等式SKIPIF1<0變形得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0中不等式SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又全集SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,故選：SKIPIF1<0.題型03同一個函數(shù)【典例1】（2023·全國·高一專題練習）下列各組函數(shù)表示相同函數(shù)的是（

）A．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0【答案】C【詳解】對于A中，函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，兩個函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù)；對于B中，函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，兩個函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù)；對于C中，函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的定義域和對應法則都相同，所以表示相同的函數(shù)；對于D中，函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，兩個函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù).故選：C【典例2】（都選）（2023秋·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高一?？计谀┫旅娓鹘M函數(shù)表示同一函數(shù)的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】BC【詳解】對于A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，定義域和對應法則不一樣，故不為同一函數(shù)；對于B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，定義域和對應法則相同，故為同一函數(shù)；對于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，定義域和對應法則相同，故為同一函數(shù)；對于D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，定義域不同，故不為同一函數(shù)；故選:BC【變式1】（2023·全國·高三專題練習）下列每組中的函數(shù)是同一個函數(shù)的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】B【詳解】對于A，函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為R，函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為[0，+∞），所以這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)；對于B，因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定義域均為R，所以這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)；對于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的對應關系不同，所以這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)；對于D，函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為{SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0}，函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為R，所以這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù).故選：B.題型04求函數(shù)值【典例1】（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________．【答案】4【詳解】因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故答案為：4.【典例2】（2023·高一課時練習）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0＝______．【答案】3【詳解】解：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案為：3【變式1】（2023·高一課時練習）設函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：B.【變式2】（2023·高一課時練習）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）計算：SKIPIF1<0____________；（2）計算：SKIPIF1<0____________．【答案】1SKIPIF1<0/3.5【詳解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案為：1；SKIPIF1<0.題型05根據(jù)函數(shù)值請求自變量或參數(shù)【典例1】（2022秋·福建廈門·高三校聯(lián)考階段練習）若函數(shù)SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，則此函數(shù)的定義域為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由函數(shù)SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以函數(shù)的定義域為：SKIPIF1<0，故選：D【典例2】（多選）（2022秋·湖南岳陽·高一湖南省岳陽縣第一中學校聯(lián)考階段練習）若函數(shù)SKIPIF1<0在定義域SKIPIF1<0上的值域為SKIPIF1<0，則區(qū)間SKIPIF1<0可能為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【詳解】∵函數(shù)SKIPIF1<0的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸方程為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故要定義域SKIPIF1<0上的值域為SKIPIF1<0，滿足題意的選項是：BC.故選：BC.【變式1】（2023·全國·高三對口高考）已知函數(shù)SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，則x的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】SKIPIF1<0，畫出圖像，如圖所示，

令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0，對于A：當SKIPIF1<0時，結合圖像，得SKIPIF1<0，故A錯誤；對于B：當SKIPIF1<0時，結合圖像，得SKIPIF1<0，故B錯誤；對于C：當SKIPIF1<0時，結合圖像，得SKIPIF1<0，故C錯誤；對于D：當SKIPIF1<0時，結合圖像，得SKIPIF1<0，故D正確；故選：D．題型06函數(shù)的定義域（具體函數(shù)的定義域）【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由題意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故定義域為SKIPIF1<0.故選：B【典例2】（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為______．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故函數(shù)的定義域為：SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0【變式1】（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0.故答案為:SKIPIF1<0.題型07函數(shù)的定義域（抽象函數(shù)的定義域）【典例1】（2023秋·陜西西安·高一長安一中?？计谀┮阎瘮?shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為______.【答案】SKIPIF1<0【詳解】因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例2】（2023·江西九江·?？寄M預測）若SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的定義域．【答案】SKIPIF1<0.【詳解】由函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，則要使函數(shù)SKIPIF1<0有意義，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0,∴函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0.【變式1】（2023·全國·高三專題練習）（1）已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為______．（2）已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為______．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【詳解】（1）令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0．（2）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因為函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0題型08函數(shù)的定義域（復合函數(shù)的定義域）【典例1】（2023秋·福建寧德·高一福建省霞浦第一中學?？计谀┤艉瘮?shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】解：因為函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，對于函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0.故選：C【典例2】（2023春·黑龍江佳木斯·高一富錦市第一中學校考階段練習）已知函數(shù)SKIPIF1<0）的定義域為SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為（）A．（SKIPIF1<0，4） B．[SKIPIF1<0，4）C．（SKIPIF1<0，6） D．（SKIPIF1<0，2）【答案】C【詳解】由函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0定義域為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，取交集得SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故選：C．【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為______.【答案】SKIPIF1<0【詳解】解法1：由函數(shù)SKIPIF1<0，則滿足SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，對于函數(shù)SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0.解法2：由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型09函數(shù)的定義域（實際問題中的定義域）【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知等腰三角形的周長為SKIPIF1<0，底邊長SKIPIF1<0是腰長SKIPIF1<0的函數(shù)，則函數(shù)的定義域為()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由題設有SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故選A.【典例2】（2022·高一課時練習）周長為定值SKIPIF1<0的矩形，它的面積SKIPIF1<0是這個矩形的一邊長SKIPIF1<0的函數(shù)，則這個函數(shù)的定義域是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】依題意知，矩形的一邊長為x，則該邊的鄰邊長為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故這個函數(shù)的定義域是SKIPIF1<0.故選：D【變式1】（2022秋·山東煙臺·高一?？茧A段練習）如圖，某小區(qū)有一塊底邊和高均為40m的銳角三角形空地，現(xiàn)規(guī)劃在空地內(nèi)種植一邊長為SKIPIF1<0（單位：m）的矩形草坪（陰影部分），要求草坪面積不小于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為______.【答案】SKIPIF1<0【詳解】設矩形另一邊的長為SKIPIF1<0m，由三角形相似得：SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0）,所以SKIPIF1<0,所以矩形草坪的面積SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0題型10函數(shù)的值域（常見（一次，二次，反比例）函數(shù)的值域）【典例1】（2022秋·黑龍江哈爾濱·高一?？计谥校┖瘮?shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值域為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】解：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0.故選：B.【典例2】（2022·江蘇·高一專題練習）求下列函數(shù)的定義域、值域，并畫出圖象：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0；(5)SKIPIF1<0；(6)SKIPIF1<0．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析(4)答案見解析(5)答案見解析(6)答案見解析【詳解】（1）SKIPIF1<0定義域為SKIPIF1<0，值域為SKIPIF1<0，列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0作出圖象如圖：（2）SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，值域為SKIPIF1<0，列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0作出圖象如圖：.（3）SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0作出圖象如圖：由圖知：值域為SKIPIF1<0.（4）SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0作出圖象如圖：由圖知：值域為SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，開口向下的拋物線，最大值為SKIPIF1<0，所以值域為SKIPIF1<0，列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0作出圖象如圖：（6）SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，對稱軸為SKIPIF1<0，開口向上，SKIPIF1<0，所以值域為SKIPIF1<0；列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0作出圖象如圖：【變式1】例題3．（2022秋·浙江杭州·高一?？茧A段練習）求下列函數(shù)的值域.(1)SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）函數(shù)的定義域為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以函數(shù)SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0.（2）因為函數(shù)SKIPIF1<0的對稱軸為SKIPIF1<0,所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減,SKIPIF1<0單調(diào)遞增,所以函數(shù)SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0.題型11函數(shù)的值域（根式型函數(shù)的值域）【典例1】（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)SKIPIF1<0的值域為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0.故選：A．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）求函數(shù)SKIPIF1<0的值域為_________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0容易看出，該函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個開口向下的二次函數(shù)，對稱軸為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以該函數(shù)在SKIPIF1<0時取到最大值SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，函數(shù)取得最小值SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0值域為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【變式1】（2023·高一課時練習）函數(shù)SKIPIF1<0的值域是___________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】設SKIPIF1<0則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0因為函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0.題型12函數(shù)的值域（分式型函數(shù)的值域）【典例1】（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)ySKIPIF1<0的值域是（）A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，SKIPIF1<0）∪（SKIPIF1<0，+∞）C．（﹣∞，SKIPIF1<0）∪（SKIPIF1<0，+∞） D．（﹣∞，SKIPIF1<0）∪（SKIPIF1<0，+∞）【答案】D【詳解】解：SKIPIF1<0，∴ySKIPIF1<0，∴該函數(shù)的值域為SKIPIF1<0．故選：D．【典例2】（2023秋·上海徐匯·高一上海中學?？计谀?）求函數(shù)SKIPIF1<0的值域；（2）求函數(shù)SKIPIF1<0的值域.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時等號成立；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時等號成立.故函數(shù)值域為SKIPIF1<0；（2）函數(shù)定義域為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故函數(shù)值域為SKIPIF1<0.【變式1】（2023·全國·高三專題練習）求函數(shù)SKIPIF1<0的值域______________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由解析式知：函數(shù)的定義域為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴整理可得：SKIPIF1<0，即該方程在SKIPIF1<0上有解，∴當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，顯然成立；當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴綜上，有函數(shù)值域為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式2】（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)SKIPIF1<0的值域是___________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0所以函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，整理得方程：SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，方程無解；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0不等式整理得：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0所以函數(shù)SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0題型13根據(jù)函數(shù)的值域求定義域【典例1】（2023·全國·高三對口高考）已知函數(shù)SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】SKIPIF1<0，畫出圖像，如圖所示，

令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0，對于A：當SKIPIF1<0時，結合圖像，得SKIPIF1<0，故A錯誤；對于B：當SKIPIF1<0時，結合圖像，得SKIPIF1<0，故B錯誤；對于C：當SKIPIF1<0時，結合圖像，得SKIPIF1<0，故C錯誤；對于D：當SKIPIF1<0時，結合圖像，得SKIPIF1<0，故D正確；故選：D．【典例2】（多選）（2022秋·湖南郴州·高一?？茧A段練習）已知函數(shù)SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，則其定義域可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【詳解】令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或-2，可作出函數(shù)圖象如圖：設定義域為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故AD正確，BC錯.故選：AD.【變式1】（多選）（2022秋·湖南岳陽·高一湖南省岳陽縣第一中學校聯(lián)考階段練習）若函數(shù)SKIPIF1<0在定義域SKIPIF1<0上的值域為SKIPIF1<0，則區(qū)間SKIPIF1<0可能為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【詳解】∵函數(shù)SKIPIF1<0的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸方程為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故要定義域SKIPIF1<0上的值域為SKIPIF1<0，滿足題意的選項是：BC.故選：BC.題型14重點方法之換元法求值域【典例1】（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)SKIPIF1<0的值域為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0.故選：A．【典例2】（2023秋·上海徐匯·高一上海中學?？计谀┣蠛瘮?shù)SKIPIF1<0的值域.【答案】SKIPIF1<0函數(shù)定義域為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故函數(shù)值域為SKIPIF1<0.題型15重點方法之分離常數(shù)法求值域【典例1】（2023·全國·高三專題練習）求函數(shù)SKIPIF1<0的值域.【答案】SKIPIF1<0.【詳解】由函數(shù)SKIPIF1<0，可得其定義域為SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0所以函數(shù)SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全國·高一專題練習）求下列函數(shù)的值域：SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【詳解】因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0．題型16數(shù)學思想方法（數(shù)形結合的思想方法）【典例1】（2023·全國·高三對口高考）已知函數(shù)SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】SKIPIF1<0，畫出圖像，如圖所示，

令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0，對于A：當SKIPIF1<0時，結合圖像，得SKIPIF1<0，故A錯誤；對于B：當SKIPIF1<0時，結合圖像，得SKIPIF1<0，故B錯誤；對于C：當SKIPIF1<0時，結合圖像，得SKIPIF1<0，故C錯誤；對于D：當SKIPIF1<0時，結合圖像，得SKIPIF1<0，故D正確；故選：D．【典例2】（2023春·江蘇泰州·高一靖江高級中學?？茧A段練習）若函數(shù)SKIPIF1<0的定義域是SKIPIF1<0，則其值域為（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】函數(shù)SKIPIF1<0圖像可由SKIPIF1<0圖像向右平移一個單位得到，如圖所示:SKIPIF1<0，結合圖像可知，函數(shù)的值域為SKIPIF1<0.故選：D題型17易錯題（換元必換范圍）【典例1】（2023·全國·高一專題練習）求下列函數(shù)的值域：SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【詳解】設SKIPIF1<0（換元），則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即函數(shù)SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)SKIPIF1<0的值域為___________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：因為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0；故答案為：SKIPIF1<03.1.1函數(shù)的概念A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎一、單選題1．（2023·重慶·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）已知函數(shù)SKIPIF1<0