人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步講義第17講 復(fù)數(shù)的概念（原卷版）

第17課復(fù)數(shù)的概念目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1.理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來(lái)表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.掌握實(shí)軸、虛軸、模、共軛復(fù)數(shù)等概念.3.掌握用向量的模來(lái)表示復(fù)數(shù)的模的方法．．1.理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來(lái)表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.掌握實(shí)軸、虛軸、模、共軛復(fù)數(shù)等概念.3.掌握用向量的模來(lái)表示復(fù)數(shù)的模的方法．．知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01復(fù)平面【即學(xué)即練1】在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)：(1)在虛軸上；(2)在第二象限；(3)在y＝x的圖象上，分別求實(shí)數(shù)m的取值范圍．反思感悟利用復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系解題的步驟(1)找對(duì)應(yīng)關(guān)系：復(fù)數(shù)的幾何表示法即復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)來(lái)表示，是解決此類問題的根據(jù)．(2)列出方程：此類問題可建立復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)滿足的條件，通過解方程(組)或不等式(組)求解．知識(shí)點(diǎn)02復(fù)數(shù)的幾何意義1．復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)．2．復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).【即學(xué)即練2】)向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5－4i，向量eq\o(OZ2,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是－5＋4i，則eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A．－10＋8i B．10－8iC．0 D．10＋8i知識(shí)點(diǎn)03復(fù)數(shù)的模1．定義：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的?；蚪^對(duì)值．2．記法：復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模記作|z|或|a＋bi|.3．公式：|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).【即學(xué)即練3】已知復(fù)數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋8i，求復(fù)數(shù)z.知識(shí)點(diǎn)04共軛復(fù)數(shù)1．定義：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)．虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)．2．表示：復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用eq\x\to(z)表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么eq\x\to(z)＝a－bi.【即學(xué)即練4】若復(fù)數(shù)z1＝2＋bi與復(fù)數(shù)z2＝a－4i互為共軛復(fù)數(shù)，則a＝________，b＝________.能力拓展能力拓展考法01復(fù)平面【典例1】求實(shí)數(shù)m分別取何值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z滿足下列條件：(1)在復(fù)平面內(nèi)的x軸上方；(2)在實(shí)軸負(fù)半軸上．【變式訓(xùn)練】考法02復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量的關(guān)系【典例2】在復(fù)平面內(nèi)的長(zhǎng)方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)中，點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．反思感悟復(fù)數(shù)與平面向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系(1)根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可知當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)即為向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．反之復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)確定后，從原點(diǎn)引出的指向該點(diǎn)的有向線段，即為復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量．(2)解決復(fù)數(shù)與平面向量一一對(duì)應(yīng)的問題時(shí)，一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)為工具，實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量之間的轉(zhuǎn)化．【變式訓(xùn)練】已知平面直角坐標(biāo)系中O是原點(diǎn)，向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2－3i，－3＋2i，那么向量eq\o(BA,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A．－5＋5i B．5－5iC．5＋5i D．－5－5i考法03復(fù)數(shù)的模及其應(yīng)用【典例3】已知x，y∈R，i為虛數(shù)單位，若1＋xi＝(2－y)－3i，則|x＋yi|等于()A．3B.eq\r(10)C.eq\r(5)D.eq\r(2)反思感悟復(fù)數(shù)模的計(jì)算(1)計(jì)算復(fù)數(shù)的模時(shí)，應(yīng)先確定復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，再利用模長(zhǎng)公式計(jì)算．雖然兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，但它們的?？梢员容^大小．(2)設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用模的定義轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題求【變式訓(xùn)練】已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列選項(xiàng)中正確的是()A．z1>z2 B．z1<z2C．|z1|>|z2| D．|z1|<|z2|(2)已知0<a<3，復(fù)數(shù)z＝a＋i(i是虛數(shù)單位)，則|z|的取值范圍是()A．(1，eq\r(10)) B．(1，eq\r(3))C．(1,3) D．(1,10)2．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0為虛數(shù)單位）滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．2 B．1 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】A【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以復(fù)數(shù)SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓，所以SKIPIF1<0.故選：A4．復(fù)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．55．設(shè)SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，其在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為SKIPIF1<0，求點(diǎn)SKIPIF1<0構(gòu)成的集合所表示的圖形面積（）A．1 B．5 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為虛數(shù)單位），且向量SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題7．設(shè)SKIPIF1<0，在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，則下列條件的點(diǎn)Z的集合是圓的有（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知SKIPIF1<0為虛數(shù)單位，則（）A．SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的充要條件是SKIPIF1<0C．若復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<09．已知復(fù)數(shù)z滿足SKIPIF1<0，則（）A．復(fù)數(shù)z虛部的最大值為2B．復(fù)數(shù)z實(shí)部的取值范圍是SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值為1D．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一、三、四象限三、填空題10．設(shè)復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在復(fù)平面的對(duì)應(yīng)的向量分別為SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為___________.11．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值是_______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0四、解答題12．已知SKIPIF1<0為虛數(shù)單位.(1)若復(fù)數(shù)SKIPIF1<0在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求SKIPIF1<0的范圍；(2)若復(fù)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求復(fù)數(shù)SKIPIF1<0.題組B能力提升練一、單選題1．設(shè)SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，其在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為SKIPIF1<0，求點(diǎn)SKIPIF1<0構(gòu)成的集合所表示的圖形面積（）A．1 B．5 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D2．若復(fù)數(shù)z滿足SKIPIF1<0為純虛數(shù)，且SKIPIF1<0，則z的虛部為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題3．設(shè)SKIPIF1<0，在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，則下列條件的點(diǎn)Z的集合是圓的有（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．歐拉公式SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為虛數(shù)單位，SKIPIF1<0）將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋.依據(jù)歐拉公式，則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0為純虛數(shù) C．SKIPIF1<0 D．復(fù)數(shù)SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限三、填空題5．已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是虛數(shù)單位），則SKIPIF1<0的最大值為__________.6．已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)SKIPIF1<0所在區(qū)域的面積為_____．7．設(shè)全集SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則復(fù)數(shù)SKIPIF1<0在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)形成圖形的面積為______．四、解答題8．已知非零復(fù)數(shù)SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值：(2)若SKIPIF1<0所對(duì)應(yīng)點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，求SKIPIF1<0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡.9．已知虛數(shù)z滿足SKIPIF1<0.(1)求z；(2)若z的虛部為正數(shù)，比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小.10．已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0，求角SKIPIF1<0；(2)復(fù)數(shù)SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的向量分別是SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，求SKIPIF1<0的取值范圍；(3)復(fù)數(shù)SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的向量分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0使等式SKIPIF1<0成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．題組C培優(yōu)拔尖練一、單選題1．已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．12．已知設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．63．復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的模為1，其中SKIPIF1<0為虛數(shù)單位，SKIPIF1<0，則這樣的SKIPIF1<0一共有（）個(gè).A．9 B．10 C．11 D．無(wú)數(shù)二、填空題4．在復(fù)平面中，已知點(diǎn)SKIPIF1<0，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為___________.5．若SKIPIF1<0為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為_______.6．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且z是復(fù)數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0的最大值為3，則SKIPIF1<0_______.三、解答題7．對(duì)于一組復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，如果存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，那么稱SKIPIF1<0是該復(fù)數(shù)組的“SKIPIF1<0復(fù)數(shù)”.（1）設(shè)SKIPIF