人教B版數(shù)學(xué)選修2-3講義第1章1.21.2.2第2課時(shí)組合的綜合應(yīng)用Word版含答案

第2課時(shí)組合的綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.學(xué)會(huì)運(yùn)用組合的概念分析簡單的實(shí)際問題．(重點(diǎn))2.能解決無限制條件的組合問題.3.掌握解決組合問題的常見的方法．(難點(diǎn))教材整理組合的實(shí)際應(yīng)用閱讀教材P19～P21，完成下列問題．1．組合與排列的異同點(diǎn)共同點(diǎn)：排列與組合都是從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素．不同點(diǎn)：排列與元素的順序有關(guān)，組合與元素的順序無關(guān)．2．應(yīng)用組合知識(shí)解決實(shí)際問題的四個(gè)步驟(1)判斷：判斷實(shí)際問題是否是組合問題．(2)方法：選擇利用直接法還是間接法解題．(3)計(jì)算：利用組合數(shù)公式結(jié)合兩個(gè)計(jì)數(shù)原理計(jì)算．(4)結(jié)論：根據(jù)計(jì)算結(jié)果寫出方案個(gè)數(shù)．1．把三張游園票分給10個(gè)人中的3人，分法有________種．【解析】把三張票分給10個(gè)人中的3人，不同分法有Ceq\o\al(3,10)＝eq\f(10×9×8,3×2×1)＝120(種)．【答案】1202．甲、乙、丙三位同學(xué)選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有________種．【解析】甲選修2門，有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)不同方案．乙選修3門，有Ceq\o\al(3,4)＝4(種)不同選修方案．丙選修3門，有Ceq\o\al(3,4)＝4(種)不同選修方案．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選修方案共有6×4×4＝96(種)．【答案】963．從0,1,eq\r(2)，eq\f(π,2)，eq\r(3)，2這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)數(shù)字作為直線y＝xtanα＋b的傾斜角和截距，可組成______條平行于x軸的直線．【解析】要使得直線與x軸平行，則傾斜角為0，截距在0以外的五個(gè)數(shù)字均可．故有Ceq\o\al(1,5)＝5條滿足條件．【答案】54．將7名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍中，每個(gè)宿舍至少安排2名學(xué)生，那么互不相同的分配方案共有________種．【解析】每個(gè)宿舍至少2名學(xué)生，故甲宿舍安排的人數(shù)可以為2人，3人，4人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍隨之確定，所以有Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(5,7)＝112種分配方案．【答案】112無限制條件的組合問題【例1】在一次數(shù)學(xué)競賽中，某有12人通過了初試，要從中選出5人參加市級(jí)培訓(xùn)．在下列條件下，有多少種不同的選法？(1)任意選5人；(2)甲、乙、丙三人必須參加；(3)甲、乙、丙三人不能參加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加．【精彩點(diǎn)撥】本題屬于組合問題中的最基本的問題，可根據(jù)題意分別對(duì)不同問題中的“含”與“不含”作出正確分析和判斷，弄清每步從哪里選，選出多少等問題．【解】(1)從中任選5人是組合問題，共有Ceq\o\al(5,12)＝792種不同的選法．(2)甲、乙、丙三人必須參加，則只需要從另外9人中選2人，是組合問題，共有Ceq\o\al(2,9)＝36種不同的選法．(3)甲、乙、丙三人不能參加，則只需從另外的9人中選5人，共有Ceq\o\al(5,9)＝126種不同的選法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加，可分兩步：先從甲、乙、丙中選1人，有Ceq\o\al(1,3)＝3種選法；再從另外9人中選4人，有Ceq\o\al(4,9)種選法．共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,9)＝378種不同的選法．解答簡單的組合問題的思考方法1．弄清要做的這件事是什么事．2．選出的元素是否與順序有關(guān)，也就是看看是不是組合問題．3．結(jié)合兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，利用組合數(shù)公式求出結(jié)果．1．現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名．(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會(huì)議，有多少種不同的選法？(2)選出2名男教師或2名女教師去外地學(xué)習(xí)的選法有多少種？【解】(1)從10名教師中選2名去參加會(huì)議的選法種數(shù)，就是從10個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)，即Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(10×9,2×1)＝45.(2)可把問題分兩類：第1類，選出的2名是男教師有Ceq\o\al(2,6)種方法；第2類，選出的2名是女教師有Ceq\o\al(2,4)種方法，即共有Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,4)＝21(種)選法．有限制條件的組合問題【例2】高二(1)班共有35名同學(xué)，其中男生20名，女生15名，今從中選出3名同學(xué)參加活動(dòng)．(1)其中某一女生必須在內(nèi)，不同的選法有多少種？(2)其中某一女生不能在內(nèi)，不同的選法有多少種？(3)恰有2名女生在內(nèi)，不同的選法有多少種？(4)至少有2名女生在內(nèi)，不同的選法有多少種？(5)至多有2名女生在內(nèi)，不同的選法有多少種？【精彩點(diǎn)撥】可從整體上分析，進(jìn)行合理分類，弄清關(guān)鍵詞“恰有”“至少”“至多”等字眼，使用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決．【解】(1)從余下的34名學(xué)生中選取2名，有Ceq\o\al(2,34)＝561(種)．∴不同的選法有561種．(2)從34名可選學(xué)生中選取3名，有Ceq\o\al(3,34)種．或者Ceq\o\al(3,35)－Ceq\o\al(2,34)＝Ceq\o\al(3,34)＝5984種．∴不同的選法有5984種．(3)從20名男生中選取1名，從15名女生中選取2名，有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＝2100種．∴不同的選法有2100種．(4)選取2名女生有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)種，選取3名女生有Ceq\o\al(3,15)種，共有選取方法N＝Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＋Ceq\o\al(3,15)＝2100＋455＝2555種．∴不同的選法有2555種．(5)選取3名的總數(shù)有Ceq\o\al(3,35)，至多有2名女生在內(nèi)的選取方式共有N＝Ceq\o\al(3,35)－Ceq\o\al(3,15)＝6545－455＝6090種．∴不同的選法有6090種．常見的限制條件及解題方法1．特殊元素：若要選取的元素中有特殊元素，則要以有無特殊元素，特殊元素的多少作為分類依據(jù)．2．含有“至多”“至少”等限制語句：要分清限制語句中所包含的情況，可以此作為分類依據(jù)，或采用間接法求解．3．分類討論思想：解題的過程中要善于利用分類討論思想，將復(fù)雜問題分類表達(dá)，逐類求解．2．“抗震救災(zāi)，眾志成城”，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名奔赴賑災(zāi)前線，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家．問：(1)抽調(diào)的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調(diào)方法有多少種？(2)至少有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？(3)至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？【解】(1)分步：首先從4名外科專家中任選2名，有Ceq\o\al(2,4)種選法，再從除外科專家的6人中選取4人，有Ceq\o\al(4,6)種選法，所以共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＝90(種)抽調(diào)方法．(2)“至少”的含義是不低于，有兩種解答方法．法一：(直接法)按選取的外科專家的人數(shù)分類：①選2名外科專家，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)種選法；②選3名外科專家，共有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(3,6)種選法；③選4名外科專家，共有Ceq\o\al(4,4)·Ceq\o\al(2,6)種選法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(4,4)·Ceq\o\al(2,6)＝185(種)抽調(diào)方法．法二：(間接法)不考慮是否有外科專家，共有Ceq\o\al(6,10)種選法，考慮選取1名外科專家參加，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)種選法；沒有外科專家參加，有Ceq\o\al(6,6)種選法，所以共有：Ceq\o\al(6,10)－Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)－Ceq\o\al(6,6)＝185(種)抽調(diào)方法．(3)“至多2名”包括“沒有”“有1名”“有2名”三種情況，分類解答．①?zèng)]有外科專家參加，有Ceq\o\al(6,6)種選法；②有1名外科專家參加，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)種選法；③有2名外科專家參加，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)種選法．所以共有Ceq\o\al(6,6)＋Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＝115(種)抽調(diào)方法.組合在幾何中的應(yīng)用【例3】平面內(nèi)有12個(gè)點(diǎn)，其中有4個(gè)點(diǎn)共線，此外再無任何3點(diǎn)共線．以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，可構(gòu)成多少個(gè)不同的三角形？【精彩點(diǎn)撥】解答本題可以從共線的4個(gè)點(diǎn)中選取2個(gè)、1個(gè)、0個(gè)作為分類標(biāo)準(zhǔn)，也可以從反面考慮，任意三點(diǎn)的取法種數(shù)減去共線三點(diǎn)的取法種數(shù)．【解】法一：以從共線的4個(gè)點(diǎn)中取點(diǎn)的多少作為分類標(biāo)準(zhǔn)．第1類：共線的4個(gè)點(diǎn)中有2個(gè)點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,8)＝48個(gè)不同的三角形；第2類：共線的4個(gè)點(diǎn)中有1個(gè)點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,8)＝112個(gè)不同的三角形；第3類：共線的4個(gè)點(diǎn)中沒有點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，共有Ceq\o\al(3,8)＝56個(gè)不同的三角形．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(個(gè))．法二(間接法)：從12個(gè)點(diǎn)中任意取3個(gè)點(diǎn)，有Ceq\o\al(3,12)＝220種取法，而在共線的4個(gè)點(diǎn)中任意取3個(gè)均不能構(gòu)成三角形，即不能構(gòu)成三角形的情況有Ceq\o\al(3,4)＝4種．故這12個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成三角形的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(3,12)－Ceq\o\al(3,4)＝216個(gè)．1．解決幾何圖形中的組合問題，首先應(yīng)注意運(yùn)用處理組合問題的常規(guī)方法分析解決問題，其次要注意從不同類型的幾何問題中抽象出組合問題，尋找一個(gè)組合的模型加以處理．2．圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點(diǎn)、共線、共面、異面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法．3．四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其他頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們與點(diǎn)A在同一平面上，有多少種不同的取法？【解】如圖所示，含頂點(diǎn)A的四面體的3個(gè)面上，除點(diǎn)A外每個(gè)面都有5個(gè)點(diǎn)，從中取出3點(diǎn)必與點(diǎn)A共面，共有3Ceq\o\al(3,5)種取法，含頂點(diǎn)A的三條棱上各有三個(gè)點(diǎn)，它們與所對(duì)的棱的中點(diǎn)共面，共有3種取法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的取法有3Ceq\o\al(3,5)＋3＝33種.排列、組合的綜合應(yīng)用[探究問題]1．從集合{1,2,3,4}中任取兩個(gè)不同元素相乘，有多少個(gè)不同的結(jié)果？完成的“這件事”指的是什么？【提示】共有Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(4×3,2)＝6(個(gè))不同結(jié)果．完成的“這件事”是指：從集合{1,2,3,4}中任取兩個(gè)不同元素并相乘．2．從集合{1,2,3,4}中任取兩個(gè)不同元素相除，有多少個(gè)不同結(jié)果？這是排列問題，還是組合問題？完成的“這件事”指的是什么？【提示】共有Aeq\o\al(2,4)－2＝10(個(gè))不同結(jié)果；這個(gè)問題屬于排列問題；完成的“這件事”是指：從集合{1,2,3,4}中任取兩個(gè)不同元素并相除．3．完成“從集合{0,1,2,3,4}中任取三個(gè)不同元素組成一個(gè)是偶數(shù)的三位數(shù)”這件事需先分類，還是先分步？有多少個(gè)不同的結(jié)果？【提示】由于0不能排在百位，而個(gè)位必須是偶數(shù).0是否排在個(gè)位影響百位與十位的排法，所以完成這件事需按0是否在個(gè)位分類進(jìn)行．第一類：0在個(gè)位，則百位與十位共Aeq\o\al(2,4)種排法；第二類：0不在個(gè)位且不在百位，則需先從2,4中任選一個(gè)排個(gè)位再從剩下非零數(shù)字中取一個(gè)排百位，最后從剩余數(shù)字中任取一個(gè)排十位，共Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)＝18(種)不同的結(jié)果，由分類加法計(jì)數(shù)原理，完成“這件事”共有Aeq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)＝30(種)不同的結(jié)果．【例4】有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選出5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：(1)有女生但人數(shù)必須少于男生；(2)某女生一定擔(dān)任語文課代表；(3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表；(4)某女生一定要擔(dān)任語文課代表，某男生必須擔(dān)任課代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表．【精彩點(diǎn)撥】(1)按選中女生的人數(shù)多少分類選取．(2)采用先選后排的方法．(3)先安排該男生，再選出其他人擔(dān)任4科課代表．(4)先安排語文課代表的女生，再安排“某男生”課代表，最后選其他人擔(dān)任余下三科的課代表．【解】(1)先選后排，先選可以是2女3男，也可以是1女4男，共有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,3)種，后排有Aeq\o\al(5,5)種，共(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,3))·Aeq\o\al(5,5)＝5400種．(2)除去該女生后，先選后排，有Ceq\o\al(4,7)·Aeq\o\al(4,4)＝840種．(3)先選后排，但先安排該男生，有Ceq\o\al(4,7)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝3360種．(4)先從除去該男生、該女生的6人中選3人有Ceq\o\al(3,6)種，再安排該男生有Ceq\o\al(1,3)種，其余3人全排有Aeq\o\al(3,3)種，共Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝360種．解決排列、組合綜合問題要遵循兩個(gè)原則1．按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．2．按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類．解決時(shí)通常從以下三個(gè)途徑考慮：(1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；(2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；(3)先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)．4．某班班會(huì)準(zhǔn)備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩名同學(xué)至少有一人參加，且若甲、乙同時(shí)參加，則他們發(fā)言時(shí)不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序的種數(shù)為()A．360B．520C．600D．720【解析】分兩類：第一類，甲、乙中只有一人參加，則有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)＝2×10×24＝480種選法．第二類，甲、乙都參加時(shí)，則有Ceq\o\al(2,5)(Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3))＝10×(24－12)＝120種選法．所以共有480＋120＝600種選法．【答案】C1．樓道里有12盞燈，為了節(jié)約用電，需關(guān)掉3盞不相鄰的燈，則關(guān)燈方案有()A．72種 B．84種C．120種 D．168種【解析】需關(guān)掉3盞不相鄰的燈，即將這3盞燈插入9盞亮著的燈的空中，所以關(guān)燈方案共有Ceq\o\al(3,10)＝120(種)．故選C.【答案】C2．編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7的七盞路燈，晚上用時(shí)只亮三盞燈，且任意兩盞亮燈不相鄰，則不同的開燈方案有()A．60種 B．20種C．10種 D．8種【解析】四盞熄滅的燈產(chǎn)生的5個(gè)空檔中放入三盞亮燈，即Ceq\o\al(3,5)＝10.【答案】C3．將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有________種．(用數(shù)字作答)【解析】有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝36種滿足題意的分配方案．其中Ceq\o\al(1,3)表示從3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)中任選定1個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，且其中某2名大學(xué)生去的方法數(shù)；Ceq\o\al(2,4)表示從4名大學(xué)生中任選2名到上一步選定的鄉(xiāng)鎮(zhèn)的方法數(shù)；Aeq\o\al(2,2)表示將剩下的2名大學(xué)生分配到另2個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去的方法數(shù)．【答案】364．在直角坐標(biāo)平面xOy上，平行直線x＝n(n＝0,1,2，…，5)與平行直線y＝n(n＝0,1,2，…，5)組成的圖形中，矩形共有________個(gè)．【解析】在垂直于x軸的6條直線中任取2條，在垂直于y軸的6條直線中任取2條，四條直線相交得出一個(gè)矩形，所以矩形總數(shù)為Ceq\o\al(2,6)×Ceq\o\al(2,6)＝15×15＝225個(gè)．【答案】2255．車間有11名工人，其中5名是鉗工，4名是車工，另外兩名老師傅既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工，現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺(tái)機(jī)床，問有多少種選派方法．【解】法一：設(shè)A，B代表兩名老師傅．A，B都不在內(nèi)的選派方法有：Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(4,4)＝5(種)；A，B都在內(nèi)且當(dāng)鉗工的選派方法有：Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(4,4