山東省濟(jì)南市、濰坊市、淄博市部分學(xué)校2024屆上學(xué)期高三10月份階段監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省濟(jì)南市、濰坊市、淄博市部分學(xué)校2024屆上學(xué)期高三10月份階段監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，解得，所以，又，所以，.

故選：C.2.已知等差數(shù)列的公差不為0，若，，成等比數(shù)列，則這個等比數(shù)列的公比是（）A. B. C.2 D.4〖答案〗B〖解析〗等差數(shù)列,設(shè)公差為d，因為，，成等比數(shù)列，故，又因為公差不為0，，所以，則這個等比數(shù)列的公比是.故選：B.3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗解不等式可得，解絕對值不等式可得或，由于為或的真子集，據(jù)此可知“”是“”的充分不必要條件．故選：A.4.陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，它可以近似地視為由一個圓錐和一個圓柱組合而成的幾何體，如圖1是一種木陀螺，其直觀圖如圖2所示，，分別為圓柱上、下底面圓的圓心，為圓錐的頂點，若圓錐的底面圓周長為，高為，圓柱的母線長為2，則該幾何體的體積是（）圖1圖2A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗圓錐底面圓周長為，所以底面半徑為，設(shè)柱體體積為，圓錐體積為，.故選：C.5.某地投資億元進(jìn)行基礎(chǔ)建設(shè)，年后產(chǎn)生的社會經(jīng)濟(jì)效益為億元，若該地投資基礎(chǔ)建設(shè)4年后產(chǎn)生的社會經(jīng)濟(jì)效益是投資額的2倍，且再過年，該項投資產(chǎn)生的社會經(jīng)濟(jì)效益是投資額的16倍，則（）A.4 B.8 C.12 D.16〖答案〗C〖解析〗依題意，顯然，即，所以，則，所以，令，即，所以，即，所以，所以該地投資基礎(chǔ)建設(shè)年后產(chǎn)生的社會經(jīng)濟(jì)效益是投資額的倍，所以.故選：C.6.若，是函數(shù)（，）的兩個不同的零點，且，，這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則關(guān)于的不等式的解集為（）A.或 B.或C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，是函數(shù)的兩個不同的零點，則，，且；不妨設(shè)，因為，，可排列成等差數(shù)列，則等差數(shù)列為或，故，又排成等比數(shù)列，則等比數(shù)列為或，故.故，即，解得，.故，，則不等式，解得或.故選：D7.設(shè)集合是關(guān)于的不等式的解集，且，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗∵的解集包含，∴當(dāng)時，不等式恒成立，即在上恒成立，∴，即，∴，∴在上恒成立，∴，∴，所以實數(shù)的取值范圍是．故選:B.8.已知實數(shù)滿足，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，函數(shù)單調(diào)遞減，且，，即，即，，；設(shè)，，取，，，，，故，函數(shù)單調(diào)遞增，，在上恒成立，在上恒成立，且函數(shù)單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，，即，當(dāng)時，，即，綜上所述：，即.故選：B.二、多項選擇題9.若函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A.B.的定義域為C.的值域是D.在上是增函數(shù)〖答案〗AC〖解析〗對于函數(shù)，則，解得且，因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，此時定義域為，且，即為奇函數(shù)，符合題意，故A正確，B錯誤，D錯誤；又，當(dāng)時，當(dāng)且時，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，又，所以當(dāng)且時，則，所以，即的值域是，故C正確；故選：AC.10.已知兩個平面，，及兩條直線，，則下列命題正確的是（）A.若，，，，則B.若，，，則C若，，，，則D.若，是異面直線，，，，，則〖答案〗ABD〖解析〗對于A，若，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得，A正確；對于B，若，，則，又，則，B正確；對于C，若，則與可以相交或平行，C錯誤；對于D，因為，所以存在直線，因為是異面直線，所以與'相交，因為，所以，又因為，所以，D正確.故選：ABD11.已知數(shù)列滿足，則（）A.B.的前項和為C.的前100項和為D.的前20項和為284〖答案〗ABD〖解析〗當(dāng)時，，當(dāng)時，，兩式相減可得：，所以，當(dāng)時，滿足，故，故A正確；的前項和為，故B正確；令，的前100項和為：，故C錯誤；令，所以的前20項和為：，故D正確.故選：ABD.12.已知函數(shù)，（其中）．對于不相等的實數(shù)，，設(shè)，，則（）A.對于任意不相等的實數(shù)，，都有B.對于任意的及任意不相等的實數(shù)，，都有C.對于任意的，一定存在不相等的實數(shù)，，使得D.若存在不相等的實數(shù)，，使得，則的取值范圍是〖答案〗ACD〖解析〗對任意不相等的實數(shù)，，不妨設(shè)，對于選項A，因為，，因為單調(diào)遞增，則，所以；故選項A正確；對于選項B，，即，當(dāng)，，時，，故選項B錯誤；對于選項C，若對于任意的，一定存在不相等的實數(shù)，，使得，即，只需要，即需要，即需要，令，則因為，即需要，下面證明對于任意的，一定存在不相等的實數(shù)，，使：由，得，令，則，令，得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又逼近于時，逼近于，當(dāng)逼近于時，逼近于，所以對于任意的，一定存在不相等的實數(shù)，，使，故選項C正確；對于選項D，若存在不相等的實數(shù)，，使得，即，即，即，所以，令，即，即，由，所以，當(dāng)，即時，，在單調(diào)遞增，此時不存在不相等的實數(shù)，使得.當(dāng)，即或，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，此時不存在不相等實數(shù)，使得.當(dāng)時，令，則或，令，得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又當(dāng)逼近于時，逼近于，當(dāng)逼近于時，逼近于，所以對于任意的，一定存在不相等的實數(shù)，，使，所以若存在不相等的實數(shù)，，使得，則的取值范圍是，故選項D正確.故選：ACD.三、填空題13.已知函數(shù)則__________．〖答案〗〖解析〗因為所以，，所以.故〖答案〗為：.14.如圖，在正四棱臺中，已知，，且棱臺的側(cè)面積為6，則該棱臺的高為__________．〖答案〗〖解析〗如圖所示：設(shè)正四棱臺的側(cè)高為，高為，棱臺的側(cè)面積，所以.所以.故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，對任意的，，恒有，則必為__________函數(shù)（用“偶、奇、非奇非偶”填空）；若，則__________．〖答案〗奇〖解析〗在中，令，則有，或，當(dāng)時，在中，令，則有，所以函數(shù)是既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；當(dāng)時，在中，令，則有，所以函數(shù)是奇函數(shù)，因此函數(shù)必為奇函數(shù)；若，在中，令，得，令，得，令，得，令，得，令，得，令，得，令，得，所以具有周期性，周期為6，且，，故〖答案〗為：奇；.16.在正四面體中，以為直徑作球，點在球與的中垂面相交所得的圓上運動，當(dāng)三棱錐的體積的最小值為時，該正四面體外接球的體積為__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)正四面體的棱長為a，設(shè)點D到平面的距離為h，則當(dāng)h最小時，最小.因為球O的半徑為，如圖所示，當(dāng)D在如圖所示的位置時h最小.取AC的中點F，連接PF、BF，則，所以.因為則，，.所以h最小值為，所以，解得.設(shè)正四面體的外接球的半徑為,球心為.如圖所示，正四面體的棱長為，過P作平面于，由于,所以，利用勾股定理得，所以中，，解得，所以正四面體的外接球的體積為.故〖答案〗為：.四、解答題17.如圖，三棱柱中，，底面，，．（1）求點到平面的距離；（2）若直線與距離為4，求與平面所成角的正弦值．解：（1）因為底面，平面，所以，又，、平面，，所以平面，又平面，所以平面平面，過作交于，又平面平面，平面，所以平面，則的長為點到平面的距離．在中，，，則．所以點到平面的距離為2．（2）連結(jié)，因為，，，所以，所以，過作，交于，則為中點，由直線與距離為4，所以，因為，所以，又點到平面距離也為2，設(shè)與平面所成角為，則．18.已知數(shù)列滿足，（其中，,且）．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，，且，求數(shù)列的前項和為．（1）證明：由得，，又因為，，，,則，.所以，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列．（2）解：由（1）知，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列．又因為，，所以，數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，因為，所以，，，則，所以，，所以，．19.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的一元三次函數(shù)的圖象都有對稱中心，設(shè)是一元三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實數(shù)根，則稱為一元三次函數(shù)的圖象的對稱中心．根據(jù)以上信息和相關(guān)知識解答下列問題：已知函數(shù)．（1）求函數(shù)圖象的對稱中心和的值；（2）若，解關(guān)于的不等式．解：（1）對求導(dǎo)得，繼續(xù)求導(dǎo)得，令可得，因為為三次函數(shù)，且，所以由題意圖象的對稱中心為，故，設(shè)，則，所以，所以，故．（2）由（1）可知，所以可將不等式化為：，且，即：．①當(dāng)時，解得，②當(dāng)時，不等式的解集為，③當(dāng)時，解得；綜上所述，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為.20.如圖，已知四邊形和都是直角梯形，，，，，，，且二面角的大小為．（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點，使得二面角的大小為，若存在，請求出點的位置；若不存在，請說明理由．（1）證明：因為四邊形和都是直角梯形，所以，，且平面，所以，平面，因為平面，所以平面平面．（2）解：過點、分別作直線、的垂線、垂足為、．由已知和平面幾何知識易知，，，則四邊形和四邊形是矩形，所以在和中，，假設(shè)在上存在點，使得二面角的大小為．由（1）知平面，則是二面角的平面角，所以，所以是正三角形．取的中點，則，又平面，所以平面，過點作平行線，則以點為原點，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，則，則，，設(shè)平面的法向量為，由，得，取，又平面的法向量，所以，整理化簡的，解得或（舍去）．所以存在點，使得二面角的大小為，且．21.已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，滿足，，正項數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）在和之間插入1個數(shù)，使，，成等差數(shù)列；在和之間插入2個數(shù)，，使，，，成等差數(shù)列；…；在和之間插入個數(shù)，，…，，使，，，，成等差數(shù)列．（?。┣螅唬áⅲ┣蟮闹担猓海?）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意知，，解得，所以，因為數(shù)列的前項和為，且滿足，當(dāng)時，，當(dāng)時，，經(jīng)驗證當(dāng)時，也滿足上式，綜上得，．（2）（?。┰诤椭g插入個數(shù)，，，因為，，，…，成等差數(shù)列，所以設(shè)公差為，，則．（ⅱ）設(shè)，則，設(shè)，即，，．所以，．22.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若過點的切線分別交軸和軸于兩點，為坐標(biāo)原點，記的面積為，求最小值；（3）設(shè)函數(shù)，且不等式對任意恒成立，求實數(shù)的值．（1）解：由函數(shù)的定義域為，可得，令，可得，由，可得；由，可得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．則列表得：0極小值所以當(dāng)時的極小值為，無極大值．函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）解：由題意得，設(shè)，，所以，