專題25：第5章相似三角形之A字型相似-備戰(zhàn)2021中考數(shù)學(xué)解題方法系統(tǒng)訓(xùn)練（全國(guó)通用）【有答案】

25第5章相似三角形之A字型相似學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．如圖，已知若的面積為，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，代入求出即可．【詳解】解：∵△ADE∽△ABC，AD：AB＝1：3，∴，∵△ABC的面積為9，∴，∴S△ADE＝1，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)定理，能熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解此題的關(guān)鍵．2．如圖，△ABO的頂點(diǎn)A在函數(shù)y＝（x>0）的圖象上，∠ABO＝90°，過AO邊的三等分點(diǎn)M、N分別作x軸的平行線交AB于點(diǎn)P、Q．若△ANQ的面積為1，則k的值為（）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】D【解析】【分析】易證△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性質(zhì)：面積比等于相似比的平方可求出△ANQ的面積，進(jìn)而可求出△AOB的面積，則k的值也可求出．【詳解】解：∵NQ∥MP∥OB，

∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，

∵M(jìn)、N是OA的三等分點(diǎn)，

∴，，

∴，

∵四邊形MNQP的面積為3，

∴，

∴S△ANQ=1，

∵，

∴S△AOB=9，

∴k=2S△AOB=18，

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及反比例函數(shù)k的幾何意義，正確的求出S△ANQ=1是解題的關(guān)鍵．3．直線l1∥l2∥l3，且l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，把一塊含有45°角的直角三角形如圖放置，頂點(diǎn)A，B，C恰好分別落在三條直線上，AC與直線l2交于點(diǎn)D，則線段BD的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】分別過點(diǎn)A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先根據(jù)全等三角形的判定定理得出△BCE≌△ACF，故可得出CF及CE的長(zhǎng)，在Rt△ACF中根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD的長(zhǎng)，在Rt△BCD中根據(jù)勾股定理即可求出BD的長(zhǎng)．【詳解】如圖，分別過點(diǎn)A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∵∠EBC+∠BCE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，∴∠EBC＝∠ACF，∠BCE＝∠CAF，在△BCE與△ACF中，∴△CBE≌△ACF（ASA）∴CF＝BE，CE＝AF，∵l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，∴CF＝BE＝3，CE＝AF＝3+1＝4，在Rt△ACF中，∵AF＝4，CF＝3，∴AC＝5，∵AF⊥l3，DG⊥l3，∴△CDG∽△CAF，，，，在Rt△BCD中，∵，BC＝5，所以．故答案為：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形是解答此題的關(guān)鍵．4．如圖，，，、分別交于點(diǎn)、，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，再變形，結(jié)合相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可判斷各個(gè)選項(xiàng)．【詳解】解：∵AB∥CD∴∴A選項(xiàng)正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴△CEG∽△CDH，∴,∴,∵AB∥CD，∴,∴,∴,∴，∴B選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AF=DE，∵AE∥DF，∴，；∴C選項(xiàng)正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴△BFH∽△BAG，∴，∴D選項(xiàng)正確，不符合題目要求．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能根據(jù)定理得出比例式是解此題的關(guān)鍵．5．如圖．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，則圖中相似三角形有（）A．2對(duì) B．3對(duì) C．4對(duì) D．5對(duì)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴△ACD∽△ADE，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵∠B=∠DCE，∴△CDE∽△BCD，故共4對(duì)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定．注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．二、填空題6．如圖，小明在打網(wǎng)球時(shí)，使球恰好能打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)4米的位置上，則球拍擊球的高度h為．【答案】1.5米．【解析】如圖，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB．∴．∴，解得h=1.5（米）．7．在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E是AD上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥BD交AB于F，將△AEF沿EF折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在△BCD的邊上時(shí)，AE的長(zhǎng)為_____________．【答案】2或【解析】【分析】分落在BD上或BC上兩種情況，分別畫出示意圖，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：當(dāng)落在BD上時(shí)，如下圖：∵在矩形ABCD中，，，∴根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，∵EF∥BD∴∴∴；當(dāng)落在BC上時(shí)，如下圖：∵∴∴∴∵∴∵∴∴∴∴∴故答案為：2或．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)，考查的范圍較廣，但難度不大，根據(jù)題意畫出示意圖是解此題的關(guān)鍵．8．如圖，小楊將一個(gè)三角板放在上,使三角板的一直角邊經(jīng)過圓心,測(cè)得,,則的半徑長(zhǎng)為______cm．【答案】3.4【解析】【分析】作OH⊥BC于H，如圖，則CH=BH，先利用勾股定理計(jì)算出BC=，則CH=，再證明Rt△COH∽R(shí)t△CBA，然后利用相似比計(jì)算OC即可．【詳解】連接BC，作OH⊥BC于H，則CH=BH，在Rt△ACB中，BC=，∴CH=，∵∠OCH=∠BCA，∴Rt△COH∽R(shí)t△CBA，∴，即，解得，OC=3.4．故答案為：3.4．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了垂徑定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．9．如圖，王華晚上由路燈下的處走到處時(shí)，測(cè)得影子的長(zhǎng)為1米，繼續(xù)往前走2米到達(dá)處時(shí)，測(cè)得影子的長(zhǎng)為2米，已知王華的身高是1.5米，那么路燈的高度等于_________．【答案】4.5【解析】【分析】設(shè)之間的距離為x米，根據(jù)題意可得，，即，，代入數(shù)值解得x=2，進(jìn)而求得AB，即可求得路燈的高度．【詳解】如圖，設(shè)之間的距離為x米，根據(jù)題意可得，，∴∴，，∴，，即，，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是所列方程的解，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是所列方程的解，故路燈的高為4.5米．故答案為：4.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)、解分式方程等知識(shí)，會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)列出方程是解答的關(guān)鍵．10．平行于BC的直線DE把△ABC的面積平分，且交邊AB、AC分別于點(diǎn)D、E，則的值為__________．【答案】．【解析】【分析】利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】∵平行于BC的直線DE把△ABC的面積平分，∴，∵DE∥BC，∴△ADE△ABC，∴，即，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握“相似三角形面積的比等于相似比的平方”是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（教材呈現(xiàn)）下圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第77頁的部分內(nèi)容．（定理證明）請(qǐng)根據(jù)教材內(nèi)容，結(jié)合圖①，寫出證明過程．（定理應(yīng)用）如圖②，在矩形ABCD中，AC為矩形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E在邊AB上，且AE=2BE，點(diǎn)F在邊CB上，CF=2BF．O為AC的中點(diǎn)，連結(jié)EF、OE、OF．（1）EF與AC的數(shù)量關(guān)系為__________．（2）與的面積比為___________．【答案】【定理證明】證明見解析；【定理應(yīng)用】（1）EF與AC的數(shù)量關(guān)系為；（2）與的面積比為．【解析】【分析】定理證明：先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的判定即可得證；定理應(yīng)用：（1）先根據(jù)線段的比例關(guān)系可得，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可得；（2）如圖（見解析），先根據(jù)三角形中位線定理可得，設(shè)，再根據(jù)三角形的面積公式分別求出與的面積，由此即可得出答案．【詳解】定理證明：點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，，在和中，，，，，且；定理應(yīng)用：（1），，在和中，，，，即；（2）如圖，過點(diǎn)O作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N，四邊形ABCD是矩形，，即，，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，、是的兩條中位線，，設(shè)，則，，，，，，，即與的面積比．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2），通過作輔助線，運(yùn)用到三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．12．如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，圓是的外接圓．（1）求證：為圓的切線；（2）若，，求圓的半徑．【答案】（1）證明見詳解；（2）圓的半徑為3.【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)半徑所形成的等腰三角形和平分可以得到，從而證出，即可得證；（2）根據(jù)角度的轉(zhuǎn)化，結(jié)合得到，可以證明，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可以得到，同時(shí)，利用角度相等則三角函數(shù)值相等可以得到，從而分別求出，即可求出半徑；【詳解】（1）連接圓是的外接圓平分即為圓的切線（2）由（1）證得：在和中：，且，圓是的外接圓,且是圓的直徑圓的半徑為3【點(diǎn)睛】本題主要借助平行線進(jìn)行圓切線的判定，同時(shí)考查了圓和三角形的相似，綜合度比較高，準(zhǔn)確的作出輔助線并找到相似三角形是求解本題的關(guān)鍵.13．如圖，BD為的直徑，交BC于．（1）求AB的長(zhǎng)．（2）延長(zhǎng)DB到F，使得，求證：直線FA與相切．【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）先證明△ABE∽△ADB，利用相似三角形的性質(zhì)可求得AB的長(zhǎng)；

（2）連接OA，在Rt△ABD中可求得BD，可證明△AOB為等腰三角形，結(jié)合BF=BO可證明∠OAF=90°，證得結(jié)論．【詳解】解：，，∽，，，，，解得；證明：如圖，連接OA，為直徑，為直角三角形，在中，，，，，，，，，又，直線FA與相切．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的判定及相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，掌握切線的判定方法是解題的關(guān)鍵，即有切點(diǎn)時(shí)連接圓心和切點(diǎn)，然后證明垂直，沒有切點(diǎn)時(shí)，過圓心作垂直，證明圓心到直線的距離等于半徑．14．如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點(diǎn)R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC、CD于點(diǎn)P、Q．（1）求證：△PCQ∽△RDQ；（2）求BP：PQ：QR的值．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)，即可證明；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)，即可求解．【詳解】解：（1）∵，∴．又∵．∴．（2）∵四邊形和四邊形都是平行四邊形，∴，．∴，．又∵點(diǎn)是中點(diǎn)，∴．由（1）知，∴，∴．又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的問題，掌握平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)以及判定定理是解題的關(guān)鍵．15．有這樣一道題：已知：如圖（1），點(diǎn)在內(nèi)部，連，，，點(diǎn)，，分別在，，上，且，，．（1）求證：∽；（2）若將這題圖（1）中的點(diǎn)移到外，如圖（2），其他條件不變，試問：與有何關(guān)系？請(qǐng)你完成圖（2），寫出你的結(jié)論（不需證明）．【答案】(1)見解析;(2)見解析.【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，證明三角形相似．【詳解】（1）證明：∵∴∴∴∴（2）如圖，∵∴,∴∴∴,∴∴【點(diǎn)睛】本題圖形復(fù)雜，主要考查了相似三角形的判定以及平行線成比例定理，正確掌握平行線分線段成比例定理是解題關(guān)鍵.16．如圖，，，求證：．【答案】見解析【解析】【分析】由推出，由推出，再由相似三角形的性質(zhì)證得，并證出，然后容易證明．【詳解】解：∵∴∴∵∴∴∴∵∴∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定定理，靈活使用性質(zhì)定理和判定定理是解題關(guān)鍵．17．（1）如圖，在中，點(diǎn)、、分別在、、上，且，交于點(diǎn)，求證：．（2）如圖，中，，正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在的邊上，連結(jié)，分別交于，兩點(diǎn)．①如圖，若，直接寫出的長(zhǎng)；②如圖，求證：．【答案】(1)見解析;(2)①；②見解析.【解析】【分析】（1）可證明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，從而得出;（2）①根據(jù)三角形的面積公式求出BC邊上的高，根據(jù)△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的邊長(zhǎng)，根據(jù)等于高之比即可求出MN；②由，得．又為正方形，得出，同理，有，又因?yàn)椤祝?，所以．【詳解】?）證明：如圖1在中，由于，∴∽，∴．同理在△ACQ和△AEP中，，∴．（2）①如圖2,作AQ⊥BC于點(diǎn)Q．∵BC邊上的高∵DE=DG=GF=EF=BG=CF

∴DE：BC=1：3

又∵DE∥BC，

∴AD：AB=1：3，∵DE邊上的高為,故答案為②證明：如圖3∵，∴．又∵為正方形，∴，∴，∴．同理，在中有，∴，∴．又因?yàn)椤?，∴，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，是一道綜合題目，注意利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解決問題．18．如圖，在中，，，．若動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度．過點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，的長(zhǎng)為．（1）求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)為何值時(shí)，的面積有最大值或最小值，最大值或最小值為多少？【答案】(1);(2)x=2時(shí)，s有最大值，且最大值為6.【解析】【分析】(1)分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，∽，然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得，用x、y表示該比例式中的線段的長(zhǎng)度整理后即可；②當(dāng)在延長(zhǎng)線上時(shí)，，用x、y表示該比例式中的線段的長(zhǎng)度整理后即可；（2）①當(dāng)在線段上時(shí)，求得，化成頂點(diǎn)式，可求最值；②當(dāng)在延長(zhǎng)線上時(shí)，，化成頂點(diǎn)式，可求最值．【詳解】（1）①如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，∴∽，∴又，，，，∴，∴．②如圖，當(dāng)在延長(zhǎng)線上時(shí)，∵，∴，∴，∴．（2）①如圖，當(dāng)在線段上時(shí)，．∴當(dāng)時(shí)，．∴當(dāng)時(shí)，有最小值，且最小值為．不符合題意舍去．②如圖，當(dāng)在延長(zhǎng)線上時(shí)，．綜上所述：當(dāng)時(shí)，有最大值，且最大值為6．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定、平行線截線段成比例定理、三角形的面積及二次函數(shù)的最值問題，找到等量比是解題的關(guān)鍵．19．矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．將矩形折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為DE．（1）如圖①，若點(diǎn)P恰好在邊BC上，連接AP，求的值；（2）如圖②，若E是AB的中點(diǎn)，EP的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，求BF的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）BF＝3．【解析】【分析】（1）如圖①中，取DE的中點(diǎn)M，連接PM．證明△POM∽△DCP，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．

（2）如圖②中，過點(diǎn)P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．設(shè)EG=x，則BG=4-x．證明△EGP∽△PHD，推出，推出PG=2EG=3x，DH=AG=4+x，在Rt△PHD中，由PH2+DH2=PD2，可得（3x）2+（4+x）2=122，求出x，再證明△EGP∽△EBF，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）如圖①中，取DE的中點(diǎn)M，連接PM．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠C＝90°，由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，在Rt△EPD中，∵EM＝MD，∴PM＝EM＝DM，∴∠3＝∠MPD，∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，∵∠ADP＝2∠3，∴∠1＝∠ADP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠DPC，∴∠1＝∠DPC，∵∠MOP＝∠C＝90°，∴△POM∽△DCP，∴，∴．（2）如圖②中，過點(diǎn)P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．則四邊形AGHD是矩形，設(shè)EG＝x，則BG＝4﹣x∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，∴∠EPG＝∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴，∴PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2，∴（3x）2+（4+x）2＝122，解得：x＝（負(fù)值已經(jīng)舍棄），∴BG＝4﹣＝，在Rt△EGP中，GP＝，∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，∴，∴，∴BF＝3．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．20．如圖，點(diǎn)O是△ABC邊BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交AB，AC所在直線于點(diǎn)M，N，且＝m，＝n．（1）若點(diǎn)O是線段BC中點(diǎn)．①求證：m+n＝2；②求mn的最大值；（2）若＝k（k≠0）求m，n之間的關(guān)系（用含k的代數(shù)式表示）．【答案】（1）①證明見解析；②mn有最大值1；（2）n＝k﹣km+1．【解析】【分析】設(shè)AM＝a