2021年上海高考數(shù)學(xué)選擇題壓軸題 講次1 函數(shù)（教師版）

備戰(zhàn)2021高考黃金30題系列之?dāng)?shù)學(xué)選擇題壓軸題【上海版】

專題1函數(shù)

1.(2021上海市南洋模范中學(xué)高三期中)已知函數(shù)/。)=/與11無(wú)各項(xiàng)均不相等的數(shù)列｛%｝滿足

|x,.|<|(z=1,2,3,???,?),令尸(〃)=a+X2+L+X?)-[/(%,)+/(X2)+L+/(x,)](〃eN*).給出下列

三個(gè)命題：(1)存在不少于3項(xiàng)的數(shù)列｛玉｝,使得F(〃)=0；(2)若數(shù)列｛x,J的通項(xiàng)公式為

當(dāng)=(一g)"(〃eN*)，則/(2幻>°對(duì)左eN*恒成立；(3)若數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，則/(“)2°對(duì)〃eN*

恒成立，其中真命題的序號(hào)是()

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)

【答案】D

【分析】由題意，函數(shù)f(x)=x2.sinx是奇函數(shù)，只需考查函數(shù)在xe0,^的性質(zhì)，此時(shí)y=/,y=sinx

JI

都是增函數(shù)，；./(x)=x2-sinx在xw0,彳上也是增函數(shù)，即玉+馬中0時(shí)，

JT7T

(x,+x2).[/(x,)+y(x2)]>0,對(duì)于(1),--<x,=-xy<-,x2=Q,即可判斷；對(duì)于(2),運(yùn)用等比

數(shù)列求和公式和和三角函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷；對(duì)于(3),運(yùn)用等差數(shù)列求和公式，及不等式的性質(zhì)，結(jié)

合函數(shù)/(X)的單調(diào)性，即可判斷；

【解析】由題意得/(-x)=(-x)2.sin(-x)=-%2.sinx=1/(x),/(x)=r.sinx是奇函數(shù)，只需考查

兀JI

函數(shù)在xe0,—的性質(zhì)，此時(shí)y=f,y=sinx都是增函數(shù)，.?./(%)=x2.sinx在xe0,—上也是增

函數(shù)，即函數(shù)y(x)=尤2.sinx在xe-萬(wàn)，萬(wàn)上也是增函數(shù)，設(shè)e

若無(wú)]+%2<。,則％<—工2,，/(玉)</(一%2)=一/(%2)，即/(藥)+/(七)<。

若玉+工2>。,則%>一々,；?/(玉)>/(—%2)=—/(x2)，即/(玉)+/(々)>。

二%+x2H0時(shí)，(X]+々>"'(%)+/(工2)]>。，

TTTT

X寸于(1),MX--<X,=-x3<—,x2=0,F(3)=(X]+x2+x3)-[f(xt)+/(x2)+f(x3)]=0,故(1)正

確;

對(duì)于(2),Qx“=(-/)"(〃wN"),

n

<0

2

、2x2A、2A

+sin

2)2；

Ts唱

、2々2k-\\2k-\

令已fl，則；

2ay=-4sin(+sin=-4sin2a+sina

2)J712

=-8sinacosa+sina=sina(l—8cosa)

又ZeN*，知0<a〈L,則sina>0,cos’Wcosacl,WO-7<l-8coscif<l-8cos-,

444

?7n17t71、71TC.71.71y/2+y/61

Qcos—=cos----cos—cos——I-sin—sin一----->一,

12I34>34344-------8

11

又尸以為工在［引上單減,171即>

o,/.COS—>COS—,4-8-/.1—8cos—<0

4124

/］產(chǎn)1.(評(píng)

sin6z(l-8coscr)<0,即一4sin—in—+

+sin<0,則/U24-1)f(x2k)<0,

由人的任意性可知，f(xt)+f(x2)+L+f(x2k)<0,

>O

又M+W+L+x2k<0,F(2k)=(%1+x2+L+X2")?"(X1)+/(X2)+L+/(^2A)1-故(2)正確;

對(duì)于（3）,數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列,

若玉+W+…+/=0,則尸（〃）=0：

若為+玉〉0,即玉〉一天，又"X）是奇函數(shù)也是增函數(shù)有/（不）＞/（一七）=一/（毛），可得

/(X1)+/(x“)>0；同理:

若％+>o,可得)+/(x?.l)>0：

若馬+土一2>0,可得/(尤3)+/(%2)>°；

相加可得：若玉+/+L+x.>0,可得/■(X1)+/(X2)+L+/(x.)>0,即F(〃)>0：

同理若X1+4+L+x?<0,可得/G)+/(X2)+L+/(%?)<0,即/(〃)>0,故⑶正確，故選D.

【名師點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查真假命題的判斷，關(guān)鍵是要理解新定義的函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，考查了函

數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的問題，考查了等差等比數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用，考查了學(xué)生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解

能力，屬于難題.

2.(2021上海長(zhǎng)寧區(qū)?高三二模)在數(shù)列的極限一節(jié)，課本中給出了計(jì)算由拋物線y=%2、x軸以及直線％=1

所圍成的曲邊區(qū)域面積S的一種方法：把區(qū)間［0,1］平均分成〃份，在每一個(gè)小區(qū)間上作一個(gè)小矩形，使得

每個(gè)矩形的左上端點(diǎn)都在拋物線y=/上(如圖)，則當(dāng)〃―8時(shí)，這些小矩形面積之和的極限就是S.已

知F+22+3?+…+〃2=,〃(〃++利用此方法計(jì)算出的由曲線y=?、％軸以及直線尤=1所

AV686c2口2

3243

【答案】D

【分析】由于y=?,xe［0,曰與y=f,xe［0,l］互為反函數(shù)，畫出y=f,xe［0,l］的圖象，所求的曲邊

區(qū)域的面積等于圖中陰影部分的面積，再通過對(duì)區(qū)間［0』進(jìn)行分割、近似代替、求和、取極限的方法，求

出拋物線y=/、x軸及內(nèi)線x=l所圍成的曲邊區(qū)域面積S,即可得出陰影部分的面積，即可得出曲線

y=G、%軸及直線x=l所圍成的曲邊區(qū)域的面積.

【解析】由于y=6,xe[0,l]與y=￡,xe[o,i[無(wú)為反函數(shù)，

可知，所求的曲邊區(qū)域的面積等于下圖中陰影部分的面積，

根據(jù)題意，拋物線y=/、x軸及直線x=l所圍成的曲邊區(qū)域面積S,

可知這些小矩形的底邊長(zhǎng)都是上,

高依次為…,

n

.?.S=lim-

S8n

『+22+32+…+—l(n-l)n(2n-l)

=lim---------------——L=lim-5--------------=-，

xfgn18H3

12

???陰影部分的面積為：1-5=1--=一，

33

2

即曲線y=4、X軸及直線X=1所圍成的曲邊區(qū)域的面積為：y.

故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題考查類比推理和定積分的概念，通過對(duì)區(qū)間進(jìn)行分割、近似代替、求和、取極限的方法

求曲邊區(qū)域的面積，考查化歸轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.

3.（2021徐匯區(qū)?上海中學(xué)高三期中）給出下列命題：

（1）若|/（X|）+/（X2）同g（5）+g（X2）|對(duì)任意王，工2eR恒成立，且y=/（%）是奇函數(shù)，則函數(shù)y=g（x）

也是奇函數(shù);

（2）若"00—/但）閆g（X1）—g（%2）l對(duì)任意XR/CR恒成立，且y=/（x）是周期函數(shù)，則函數(shù)

y=g（x）也是周期函數(shù)；

（3）若"a）-/（X2）|>|g?）-g（X2）l對(duì)任意不相等的實(shí)數(shù)再、z恒成立，且y=/（x）是R上的增函

數(shù)，則函數(shù)y=/(x)+g(x)與函數(shù)y=/(x)-g(x)也都是R上的單調(diào)遞增函數(shù)；

(4)若|/(%)-f(x2)|>|g(x.)-g(%)|對(duì)任意X?X2GR恒成立,且"/(%)在R上有最大值和最小值，

則函數(shù)y=g(x)在R上也有最大值和最小值；

其中真命題的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】(1)根據(jù)已知條件，依據(jù)函數(shù)的奇偶性，周期性的定義，不難證明正確；根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定

義，結(jié)合不等式的性質(zhì)可以證明C；根據(jù)己知條件和#x)既有最大值又有最小值的定義，利用不等式的基本

性質(zhì)，可以證明g(x)既有最大值又有最小值.

【解析】對(duì)于(1),?。?x,%2=r，則|/(X)+/(T)閆g(x)+g(-x)|，；丁=/(x)是奇函數(shù)，

，/(x)+/(-x)=。，，。21g(x)+g(-X)|，，g(x)+g(-x)=O,，g(x)為奇函數(shù)；

對(duì)于(2)設(shè)段)的周期為7(。>0),取％=X,X2=X+T,則|/(x)-/(x+T)國(guó)g(x)-g(x+T)|,；y=/'(x)

以7為周期，二/(》)一/(》+7)=0,二02卜(力一8(%+7)],二8(%)-8(%+7)=0,；.8(%)為以7為

周期；

對(duì)于(3)設(shè)為<%,y=/(x)是R上的增函數(shù)，,|/(玉)一/(々)|>|8(%|)-8(%2)1即

為f\xx)-/(x2)<g(x()-g(x2)<f(x2)-/(%])即為f(xl)-g(xi)<f(x2)-g(x2),

g(X)+/(X)<g(X2)+/(X2)，

:?函數(shù)y=/(x)+g(x)與函數(shù)y=f(x)-g(x)也都是R上的單調(diào)遞增函數(shù)：

對(duì)于(4)y=/(x)在R上有最大值和最小值，...存在。,方，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)X恒

成立，\g(x)-g(a)|<|/(x)-f(a)\=f(x)-f(a),\g(x)-g(b)f(x)-f(b)\=f(b)-f(x)

即g(x)-g(a)<f(x)-f\d)①，g(x)-g(a)>f(a)-f(x)②，g(x)-g(b)<f(b)-f(x)③，

g(x)-g(b)>f(x)-f(b)④.

①+③得2g(x)-g(a)-g(b)<f(b)~于(a),

即g(x)/3fg⑷+g(絲

②+④得2g(x)-g(a)-g(b)>f(a)-f(b),

即g(x)J⑷-叱g⑷+g("

由可知函數(shù)y=g(x)在R上也有最大值和最小值；

綜上，真命題的個(gè)數(shù)為4,故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判定，涉及函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，周期性，最值，不等式和絕對(duì)值不

等式，屬于難題.關(guān)鍵在于將奇偶性、周期性、單調(diào)性和最大值最小值的定義與已知不等式相結(jié)合，利用

不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)和論證.

20

4.(2021上海市奉賢區(qū)曙光中學(xué)高三期中)已知/(%)=土二人(丸>0),若對(duì)于任意，e(2,4),總存在正

X

數(shù)〃？，使得/。一〃2)+/(/+加)=0成立，則實(shí)數(shù)2的取值范圍是()

A.(0,4]B.(0,4)C.(0,16)D.(0,16]

【答案】C

【分析】分析函數(shù)/(%)為奇函數(shù)，由/("〃?)+/"+相)=。推導(dǎo)出2=/一加2有解，求得,"的取值范

圍，進(jìn)而可求得正實(shí)數(shù)2的取值范圍.

【解析】當(dāng)4>o時(shí)，函數(shù)〃尤)=匕2的定義域?yàn)椴封?o},/(_力=匕上2==_/(力，

X-XX

...函數(shù)/(X)為奇函數(shù).

?.-/(x)=x-1,則函數(shù)〃x)在區(qū)間(f,o)和(0,+8)上均為增函數(shù)，

/、/、力丸22—x.}

若玉W/且/(玉)=/(/),即玉---=X2----，即玉一元2=--------=----------，

：.2=-X1X2，

對(duì)于任意fw(2,4),總存在正數(shù)加，使得/(r—m)+/。+加)=0成立，

則/(f+m)=_/(/_，％)=/(m—Z),+>0,

.1.re(2,4),m>0,：.m<t,即有0<，〃<2,

:.A=t2-w2e(0,16),故選C.

【名師點(diǎn)睛】對(duì)于函數(shù)的新定義的問題，應(yīng)準(zhǔn)確理解新定義的實(shí)質(zhì)，緊扣新定義進(jìn)行推理論證，把其轉(zhuǎn)化

為我們熟知的函數(shù)的基本性質(zhì)的問題.

5.(2021上海市建平中學(xué)高三月考)對(duì)于定義在H上的函數(shù)/(X),若存在正常數(shù)。、A,使得

/(x+a)W/(x)+Z?對(duì)一切xeR均成立，則稱/(x)是“控制增長(zhǎng)函數(shù)在以下四個(gè)函數(shù)中：①

=+X+1；②〃力=桐；③/(x)=sin(%2)；④〃x)=x-sinx.是“控制增長(zhǎng)函數(shù)”的有()

個(gè)

A.]B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】假設(shè)各函數(shù)均為“控制增長(zhǎng)函數(shù)”，根據(jù)定義推導(dǎo),f(x+a)W/(x)+萬(wàn)恒成立的條件，判斷出。、h

的存在性即可得出答案.

【解析】對(duì)于①，/(x+a)?/(x)+Z?可化為+(x+a)+lMx?+》+1+8，

即2atW一。+人，即%《一"一一"+"對(duì)一切xeR恒成立，

2a

由函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镠可知，不存在滿足條件的正常數(shù)。、b,

二函數(shù)/(x)=f+x+l不是“控制增長(zhǎng)函數(shù)”；

對(duì)于②，若函數(shù)/(》)=桐為“控制增長(zhǎng)函數(shù)”，

則/(x+a)W/(X)+?？苫癁?|x+a]<+b,

.,.|%+a|<\x\+b2+2久相對(duì)一切xeR恒成立，

又|x+a|wW+a,若k|+a<k|+〃+2Z?J同成立，則洞之一1,顯然，當(dāng)。<從時(shí)，不等式恒成立，

函數(shù)/(x)=洞為“控制增長(zhǎng)函數(shù)”；

對(duì)于③，.../(x+a)-/(x)w2,

當(dāng)且。為任意正實(shí)數(shù)時(shí)，/(x+a)W/(x)+。恒成立，

二函數(shù)/(x)=sin(d)是，，控制增長(zhǎng)函數(shù)，，；

對(duì)于④，若函數(shù)/(x)=x,sinx是“控制增長(zhǎng)函數(shù)”，則(x+a)-sin(x+a)?xsinx+力恒成立，

?J(x+a)-sin(x+a)Wx+a,x+a<xs\nx+b<x+b,即

二函數(shù)/(x)=x-sinx是“控制增長(zhǎng)函數(shù)”.

因此，是‘‘控制增長(zhǎng)函數(shù)”的序號(hào)是②③④，故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)新定義的理解，以及函數(shù)存在性與恒成立問題，理解題中新定義是解題的關(guān)鍵，

考查推理能力，屬了難題.

6.(2021上海青浦區(qū)?高三二模)已知函數(shù)/(x)=sinx+2卜inx|,關(guān)于x的方程廣⑸一右=()有

以下結(jié)論：

①當(dāng)a20時(shí)，方程/(刀)一6/(x)-1=0在［0,2乃］最多有3個(gè)不等實(shí)根；

64I—

②當(dāng)0<a</時(shí)，方程尸⑴_(tái)_1=。在［0,2〃］內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根；

③若方程/(￡)一G/(x)-1=0在［0,6汨內(nèi)根的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則所有根之和為15萬(wàn)；

④若方程/⑺一-1=0在［0,6句根的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則所有根之和為36〃.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是()

A.②④B.①④C.①③D.①②③

【答案】C

【分析】先研究/(x)在［0,27］內(nèi)的圖象，求其值域，進(jìn)而研究方程/2(幻一行/意)一1=。兩根的取值范

圍，結(jié)合圖象研究四個(gè)命題的正誤.

f3sinx,xe［0,^l

【解析】由已知得f(x)=sinx+2|sinx|=.;做出圖象如下：

［-sinx,x€(7,21|

令/+河/歷顯然a.0,.?d.」，t2<0(舍).

22

原方程的根看成y=4與y=f(x)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

對(duì)于①，如圖所示：???小」，當(dāng)a=on寸，彳=1,y=，與y=/(x)恰好有三個(gè)交點(diǎn)：”】。>0時(shí)，分別有

對(duì)于③，如圖所示，由題意，只能滿足：了=:只與丁=/。)在［0,刈，Q不，3汨，［4萬(wàn)，5劃上的圖象

各有兩個(gè)交點(diǎn).

易知這六個(gè)零點(diǎn)分別關(guān)于x=I，x=苧,犬=等對(duì)稱，.?.六個(gè)根的和為：2xg+2x￥+2x亭=15%.

222222

故③正確，④錯(cuò)誤.故正確命題的序號(hào)是①③.故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的求法，利用數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化思想解決問題的能力,

屬于較難的題目.

7.(2021.上海金山區(qū).高三一模)已知定義在R上的函數(shù)“X)是奇函數(shù)，且滿足/(x+3)=/(x),

〃1)=—3,數(shù)列｛叫滿足S“=2a,+〃(其中S”為應(yīng)｝的前〃項(xiàng)和)，則/(%)+/(4)=()

A.-3B.-2C.3D.2

【答案】C

【分析】山S,,=2a“+〃求出%、%的值，再利用函數(shù)，(力的奇偶性和周期性的性質(zhì)可求得結(jié)果.

(解析】對(duì)任意的“eN*，S“=2a,+n.

當(dāng)〃=1時(shí)，。［=百=24+1,解得4=-1；

當(dāng)〃N2時(shí)，由S“=2a"+”可得S"_|=2a,i+"-1,

上述兩式作差得%=2a“-2a,i+l,即=24TT，；?%—1=2(41T—1),

二數(shù)列｛4—1｝是首項(xiàng)為4-1=-2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，

a“一1=—2?2"T=—2",g|la?=1-2",:.a5=-3l,ak=-63,

???函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則/(O)=O，

函數(shù)/(x)滿足〃x+3)=/(x),"1)=—3,

.-./(?5)=/(-31)=-/(31)=-/(1)=3,/(a6)=/(-63)=f(0)=0,

3

因此，/(?5)+/(?6)=-

故選C

【名師點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性和周期性，在高考中一般不會(huì)單獨(dú)命題，而是常將它們綜合

在一起考查，其中單調(diào)性與奇偶性結(jié)合、周期性與抽象函數(shù)相結(jié)合，并結(jié)合奇偶性求函數(shù)值，多以選擇題、

填空題的形式呈現(xiàn)，且主要有以下幾種命題角度；

(1)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性相結(jié)合，注意函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性.

(2)周期性與奇偶性相結(jié)合，此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值

的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解；

(3)周期性、奇偶性與單調(diào)性相結(jié)合，解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用

奇偶性和單調(diào)性求解.

8.(2021上海交通大學(xué)附屬中學(xué)浦東實(shí)驗(yàn)高中高三期中)下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間卜1』上單調(diào)遞

減的是()

A./(x)=(1)xB./(x)=lg|x|C./(x)=-xD./(x)=g

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，排除選項(xiàng)得到答案.

【解析】A./(x)=(1)\非奇非偶函數(shù)，排除；

B./(-x)=lg|-x|=lg|x|=/(x),函數(shù)為偶函數(shù)，排除;

c.f(-x)=x=-f\x),函數(shù)為奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，正確；

D./(-%)=--=-/(%),函數(shù)為奇函數(shù)，在［-1,0)和(0,1］單調(diào)遞減，排除，故選C.

X

【名師點(diǎn)睛】熟悉函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是解題關(guān)鍵.

9.(2021上海閔行區(qū)?高三一模)若lg2=a,\g3=h,則logsl2等于()

2a+b2b2a+b2b

A.-----B.—aC.-----D.a—

\+a1+a1-a1-a

【答案】C

【分析】利用對(duì)數(shù)的換底公式可將logs12用a、匕表示.

【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)的換底公式得，

1幅12=*=恒3+愴4Jg3+21g2=2

51g5lgl0-lg2l-lg21-a

【名師點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)對(duì)數(shù)的運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是熟記換底公式以及對(duì)數(shù)的運(yùn)

算性質(zhì)，利用運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)、運(yùn)算，其中l(wèi)g5=lgl0-lg2是題目的一個(gè)難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn).

10.(2021上海高三一模)設(shè)人、。均為實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程x2+MM+c=0在復(fù)數(shù)集。上給出下列兩個(gè)

結(jié)論：

①存在b、c,使得該方程僅有兩個(gè)共朝虛根；

②存在匕、C,使得該方程最多有6個(gè)互不相等的根.

其中正確的是().

A.①與②均正確B.①正確，②不正確

C.①不正確，②正確D.①與②均不正確

【答案】A

【分析】取匕=O,c=l可知①正確；分析根為實(shí)根和虛根的兩種情況，討論根的個(gè)數(shù)即可.

【解析】令b=0,c為正實(shí)數(shù)，則存在兩個(gè)共軌的虛根，如b=O,c=l,則存在兩個(gè)共甄虛根，x=±i,

故①正確；

若X為實(shí)數(shù)，則方程可看做國(guó)2+。兇+。=0,只需保證W有兩個(gè)正解即可，此時(shí)方程有四個(gè)實(shí)根；若X為

虛數(shù)，則設(shè)x=，"+應(yīng)，有％2+0國(guó)+。=(),等價(jià)于加—〃2+2團(tuán)市+艮而+/+c=0，二

2mn=0,又x為虛數(shù)，；.〃/0,則有機(jī)=0,即一〃2+司司+。=0,即〃？一同H一。=。最多

有兩個(gè)根，，方程最多有6個(gè)解.

從-4c>0

只需|從+4c>0即可，如8=—3,。=2,方程有一1,一2,1,2四個(gè)實(shí)根，有-3+S3-皿兩個(gè)虛

29

b<0

根.故②正確，故選A.

【名師點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求解.

易錯(cuò)點(diǎn)睛：(1)根為復(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)x=%+〃i,代入口?算，可得雁=0；

(2)把握求實(shí)根和虛根時(shí)，兩個(gè)方程之間的關(guān)系，保證一個(gè)最多方程4個(gè)根，一個(gè)方程最多2個(gè)根.

11.(2021上海楊浦區(qū).高三期中)設(shè)函數(shù)/(x)=xlgx滿足/(a)/S)/(c)<0(a<人<c),/(力的零點(diǎn)為

則下列選項(xiàng)中一定錯(cuò)誤的是()

A.x0G(4Z,c)B.x0C.』€(",<?)D.$w(G+oo)

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，結(jié)合零點(diǎn)的存在定理，進(jìn)行分類討論判定，即可求解.

【解析】由題意，函數(shù)/(x)=xlgx的定義域?yàn)?0,+8),且/(力的零點(diǎn)為％,即〃/)=0,解得%=1，

又f(a)f(b)f(c)<0(a<b<c),

可得中，有1個(gè)負(fù)數(shù)、兩個(gè)正數(shù)，或3個(gè)都是負(fù)數(shù)，

若〃a),/S)J(c)中，有1個(gè)負(fù)數(shù)、兩個(gè)正數(shù)，

可得，即0<a<l</?<c,

根據(jù)零點(diǎn)的存在定理，可得改)w(。力)或/G(a,c).

若/(a)J(O)J(c)中，3個(gè)都是負(fù)數(shù)，則滿足〃可<0,/。)<0,/?<0,

即0<a<b<c<l,此時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)X。G(C,+CO).故選C.

【名師點(diǎn)睛】有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的判定方法及策略：

(1)直接法：令/(x)=O,有幾個(gè)解，函數(shù)就有幾個(gè)零點(diǎn)；

⑵零點(diǎn)的存在定理法：要求函數(shù)/(%)在區(qū)間回上連續(xù)不斷的曲線，且了(。)〃。)<0,再結(jié)合函數(shù)

的圖象與性質(zhì)確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(3)圖象法：利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出兩函數(shù)的圖象，觀察其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，得出函數(shù)/(力的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

'|2A-l|,x<2

12.(2021上海黃浦區(qū)?格致中學(xué)高三期中)設(shè)函數(shù)/*)=?'，若實(shí)數(shù)4,4。滿足。<。<。且

-x+5,x>2

/(a)=/(。)=/(c),則2"+2"+2’的取值范圍為()

A.(5,34)B.(5,37)C.(18,34)D.(18,37)

【答案】C

【分析】畫出函數(shù)圖象可得ce(4,5)且與+2〃=2,則可求出.

12'r-l|,x<2

【解析】畫出函數(shù)/(x)=f1的圖像如圖所示：

-x+5,x>2

互不相等的實(shí)數(shù)。，"c,滿足/(a)=/(8)=/(c),

可得ae(T?,0),/?e(O,l),ce(4,5),

?.?，―1|=慟一1|,1，.?.2"+2”=2,

???4<c<5,.?.16<2'<32，.?.18<2"+2"+2c<34,

則20+2、+2。的取值范圍是(18,34),故選C.

【名師點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得出c?4,5)

且2"+2"=2，即可求出結(jié)果.

13.(2021上海市進(jìn)才中學(xué)高三期中)關(guān)于函數(shù)/(x)=sinx+」一，下列觀點(diǎn)正確的是

sinx

A.的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱B.“X)的圖象關(guān)于直線尤=(對(duì)稱

C./(X)的圖象關(guān)于直線X='對(duì)稱D.“X)的圖象關(guān)于直線X=7對(duì)稱

【答案】c

【分析】利用“/(a-x)=/(a+%)等價(jià)于/(x)的圖象關(guān)于直線x=。對(duì)稱”或反例逐項(xiàng)檢驗(yàn)后可得正確的

選項(xiàng).

—2，故/圖力/(_。故A錯(cuò).

［解析］對(duì)于A,=1+1==

p,..q兀兀/*(冗5j,(7V卜佃子

對(duì)于B,?:f-----=/—=-,7—4-一

U12廠切2，412

故怖4M尹如故B-

對(duì)于C,f\x］=cosx+,

12Jcosx

/萬(wàn).(71)1

f\—+x=sin—+X+---；-----=COSX+

12JI/川cosx12),

故"X)的圖象關(guān)于直線x=］對(duì)稱，故C正確.

對(duì)于D,/1一1)=2,/(乃+?=_2/Hl，

故D錯(cuò).

故選C.

【名師點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：(1)如果函數(shù)/(x)滿足〃。一.r)=/(?+%),則/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，反之也成

立；⑵如果函數(shù)/(x)滿足_/(ar)+〃a+x)=&,則/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(6。)對(duì)稱，反之也成立.

14.(2021上海普陀區(qū)?高三月考)關(guān)于函數(shù)，有下列敘述：

①存在函數(shù),f(x)滿足，對(duì)任意xsR都有/(sin2x)=sinx；

②存在函數(shù)/(x)滿足，對(duì)任意xeR都有/(sin2x)=x2+x；

③存在函數(shù)/(x)滿足，對(duì)任意xwR都有+2x)=|x+l|；

④存在函數(shù)/(x)滿足，對(duì)任意xeR都有/(丁+1)=|%+1|；

其中，敘述正確的是()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義結(jié)合賦值法可得①②④的正誤，利用換元法可得③正確.

【解析】①令x=(),則sin2x=0,/(0)=0,令x=g則sin2x=0,，/(0)=1,矛盾，故不存

在；

②令x=0,則sin2x=0,.../(())=0,令*=乃，則sin2x=0,，/(0)=%2+萬(wàn)，矛盾，故不存在；

③令x+1=r,則/(f+2x)=|x+11化為/(r一])=“令/_]=],則工=，???/(>)=A/X+T,

正確；

④令x=l,得/(2)=2,令彳=一1,得/(2)=0,矛盾，故不存在；

,正確的個(gè)數(shù)是1個(gè)，故選A.

【名師點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷函數(shù)的存在性，一般依據(jù)函數(shù)的定義來判斷，注意根據(jù)復(fù)合函數(shù)的形式尋找

合適的賦值方法.

15.(2021上海崇明區(qū)?高三月考)關(guān)于函數(shù)的周期有如下三個(gè)命題：

甲：已知函數(shù)y=/(x)和y=g(x)定義域均為R,最小正周期分別為匯、T2,如果JeQ,則函數(shù)

y=f(x)+g(x)一定是周期函數(shù)；

乙：y=/(x)不是周期函數(shù)，/(x)l一定不是周期函數(shù)；

丙：函數(shù)y=/(x)在R上是周期函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)在[0,+8)上也是周期函數(shù).

其中正確的命題的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)周期的定義，依次判斷即可.

【解析】對(duì)甲：設(shè)U='eQ，eZ,則"(=根(，設(shè)7=〃1=加7；,對(duì)于任意的xeR,則

12n

f(x+T)+g(x+T)=f(x+nTl)+g(x+nT2)=f(x)+g(x),故甲說法正確;

對(duì)乙：f(x)=sin國(guó)不是周期函數(shù)，但|/(刈=卜訶幻|是周期函數(shù)，故乙說法錯(cuò)誤；

對(duì)丙：函數(shù)y=/(x)在R上是周期函數(shù)，則存在非零常數(shù)T，對(duì)任意xeR都有/(x+T)=/(x)，故當(dāng)

xNO時(shí)，也有/(x+T)=/(%),

即“X)仍是周期為T的函數(shù)，故丙說法正確，故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)周期的定義的運(yùn)用.

16.(2021上海市控江中學(xué)高三月考)已知/(x),g(x)都是定義在R上的函數(shù)，下列兩個(gè)命題：

①若/(X)、g(x)都不是單調(diào)函數(shù)，則/(g(x))不是增函數(shù).

②若/*)、g(x)都是非奇非偶函數(shù)，則/(gW)不是偶函數(shù).

則()

A.①②都正確B.①正確②錯(cuò)誤C.①錯(cuò)誤②正確D.①②都錯(cuò)誤

【答案】D

【分析】舉反例即可得答案.

一,xH0

【解析】：當(dāng)/(x)=g(x)=《x，則/(g(x))=x,故①不正確；

0,x=0

當(dāng)/(x)=(x+l)2,g(x)=x-l,則f(g(x))=x2,故②不正確.

.?.①②都錯(cuò)誤.故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性.

17.(2021徐匯區(qū)?上海中學(xué)高三期中)設(shè)平行于％軸的直線/分別與函數(shù)y=2、與y=2田的圖像相交于點(diǎn)

A,B,若函數(shù)＞=2',的圖像上存在點(diǎn)C,使得AABC為等邊三角形，則這樣的直線/()

A.不存在B.有且只有一條C.有且只有兩條D.有無(wú)數(shù)條

【答案】B

【分析】設(shè)直線/的方程為丁=。（。>0）,求得點(diǎn)A（log2a,a）、B（log2a-l,a）,得到|人卻=1,再由

CDLAB,得點(diǎn)C,根據(jù)點(diǎn)C在函數(shù)y=2'的圖象匕得到關(guān)于a的方程，即可求解.

【解析】設(shè)直線/的方程為y=a（a>0）,由2、=a，得x=log2。，...點(diǎn)A（log24,a）：

由2*+i=a，得x=log2a-l,.,.點(diǎn)5（log2aT,a）,從而|陰=1；

如圖，取A3的中點(diǎn)O，連接8,

?；AABC為等邊三角形，則CDLAB,

目」A￡）|=g,=.,?點(diǎn)Clog2a-y,a—J-

???點(diǎn)。在函數(shù)y=T的圖象上，則a—*=210g2a—；=親,

A

解得a尸，.?.直線/有且只有一條.

2-V2

故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以

及根據(jù)三角形的性質(zhì)，合理列出關(guān)于實(shí)數(shù)”的方程是解答問題的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的

能力，屬于常考題型.

18.（2021上海市七寶中學(xué)高三月考）已知xeR,符號(hào)田表示不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù)

/（x）=@一a（xwO）有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是（）

X

3434

A.B.C.D.u

4?53'2j4'53引

【答案】D

【分析】先將函數(shù)/(x)=@-a(xwO)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為g(x)=@(xwO)與>的圖像有且

XX

僅有3個(gè)不同的交點(diǎn)，再畫出函數(shù)g(x)=@(xHO)的部分圖象，最后求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

X

【解析】函數(shù)/")=區(qū)一a*HO)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)就是g(x)=L@(xoO)與丁=。的圖像有且僅有3

XX

個(gè)不同的交點(diǎn).

當(dāng)0cx<1時(shí)，則［x］=o，此時(shí)g(x)=o；

當(dāng)l?x<2時(shí)，則［尤］=1,此時(shí)g(x)=L此時(shí)，<g(x)Wl；

九2

2?

當(dāng)2Wx<3時(shí)，則國(guó)=2,此時(shí)g(x)=—，此時(shí)、<g(x)?l；

x3

33

當(dāng)3Kx<4時(shí)，則［n=3,此時(shí)g(尤)=二，此時(shí)z<g(x)Wl；

當(dāng)4Kx<5時(shí)，則［可=4,此時(shí)g(x)=±此時(shí)［<g(x)?l；

若當(dāng)一lWx<()時(shí)，則國(guó)=-1,此時(shí)g(x)=-J此時(shí)g(x)il；

若當(dāng)-2Wx<-l時(shí)，則國(guó)=-2,此時(shí)g(x)=--,此時(shí)lsg(x)<2；

若當(dāng)-3Wx<-2時(shí)，則國(guó)=-3,此時(shí)g(x)=一一,此時(shí)lWg(x)<a：

若當(dāng)T?x<—3時(shí)，貝ij［x］=T,此時(shí),g(x)=-3,此時(shí)l?g(x)<*

畫函數(shù)g(x)=Lq(xoO)的部分圖象如圖，

X

易得卜uI)

故選D.

【名師點(diǎn)睛】

本題考查分段函數(shù)的圖象、利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，還考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

19.(2020上海普陀區(qū).高三二模)定義域均為。的三個(gè)函數(shù)“X),g(x),/i(x)滿足條件：對(duì)任意xeO，

點(diǎn)(x,g(x))與點(diǎn)(x,//(%))都關(guān)于點(diǎn)(左,〃切對(duì)稱，則稱〃(％)是g(x)關(guān)于/(x)的“對(duì)稱函數(shù)已知函

數(shù)g(x)=JT^,h⑶=忌,〃(x)是g(x)關(guān)于“X)的"對(duì)稱函數(shù)“，記/(X)的定義域?yàn)?。，若?duì)任

意SGD,都存在teD,使得2/(s)=/+2/+儲(chǔ)+。一1成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A..[-l,0]u[l,2]B..{-1}U[O,2]C..[-2,-l]U[0,l]D..{l}u[-2,0]

【答案】C

【分析】求得了(x)的解析式和導(dǎo)數(shù)，以及單調(diào)性和極值、最值，進(jìn)而得到的值域；判斷

加”)=產(chǎn)+”+。2+。_1在[0,1]遞增，可得其值域，再由題意可得/(X)的值域包含在加(f)的值域內(nèi)，可

得。的不等式組，解不等式可得所求范圍.

【解析】由函數(shù)g(x)=Jl—x,h(x)=y/3x,力(x)是g(x)關(guān)于/(x)的“對(duì)稱函數(shù)”，

可得/(x)=；(J1-x+,啜！k1,/(x)>0,/'(x)=^(-,

3

可得/'(幻=0的解為尤==，

由7(0)=；，f(1)=—，f(；)=i，

331

且/(x)在。一)遞增，(一,1)遞減，可得的最小值為5,最大值為1,

442

可得/(幻的值域?yàn)槠撸?],

而〃?Q)=/+2r+/+a-l在[0,1]遞增,可得加⑺的值域?yàn)閐+a-l,a2+a+2],

由題意可得“，2]c[a2+a-l,a2+a+2],

f-2到1

即有。2+。一1(鼓i<2a2+a+2,即為1—?

口國(guó))或a-1

解得01冊(cè)1或-2融-1,

則a的范圍是

故選c.

【名師點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的新定義的理解和運(yùn)用，考查函數(shù)恒成立問題解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)的單調(diào)性，考

查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力.

20.(2021上海市建平中學(xué)高三月考)已知函數(shù)/(x)=「Fi(xe。)，有下列四個(gè)結(jié)論：

1-囚

①對(duì)任意xe。，〃—x)+/(x)=0恒成立；

②對(duì)任意加€(0,1),方程|/(力|="有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

③存在函數(shù)g(x)使得g(尤)的圖象與/(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱；

④對(duì)任意人41,+8),函數(shù)g(X)=〃X)-丘在￡)上有三個(gè)零點(diǎn).

則上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】①根據(jù)解析式計(jì)算f(-x)+/(x)=0；②畫出函數(shù)y=|/(x)|的圖象，由圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷實(shí)

數(shù)根的個(gè)數(shù)；③假設(shè)存在函數(shù)g(x)滿足條件，再根據(jù)函數(shù)的定義，判斷選項(xiàng)；④根據(jù)/(X)=0,求

方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，再判斷定義域上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【解析】①函數(shù)的定義域是｛x|xx±l｝，/(-x)+/(x)=j-p^+j-^=0,故①正確；

②川小)卜缶1]”,函數(shù)的圖象如圖所示:

1+X

>=加與函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故②正確；

③設(shè)函數(shù)g(x)上的任一點(diǎn)為P(x,y)關(guān)于V=%的對(duì)稱點(diǎn)為(y,x)在函數(shù)/(x)上，

yr?

則x=1??,當(dāng)y>°時(shí)，y=-r->當(dāng)時(shí)，y=----，當(dāng)x=2時(shí)，y=一或y=-2，存在一個(gè)“

1-IX元+11-x3

對(duì)著兩個(gè)y的值，.?.不存在函數(shù)g(x)使得g(x)的圖象與“X)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，故③不正確;

當(dāng)x=o時(shí)，滿足方程，，方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根是x=0,

當(dāng)x00時(shí),，k=%~j—?，3=當(dāng)4>1時(shí)，i__L>o,x=±(l

1一N11kkIk

滿足方程g(x)=,f(x)-履=0的有三個(gè)實(shí)數(shù)根據(jù)0,函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，故④正確.

故正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)，故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，零點(diǎn)，重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合分析問題的能力，推理能力型.

21.(2021上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高三月考)已知在R上的減函數(shù)y=f(x),若不等式

/(V—3x)V-/(-丁_3y)成立，函數(shù)y=/(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱，則當(dāng)1VxW4時(shí)，5的

取值范圍是()

A.—1,—B.f-1,—C.(—2,1]D,—2,—

4」I4」L4_

【答案】D

【分析】由對(duì)稱性得函數(shù)是奇函數(shù)，由奇函數(shù)的定義及單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式為具體的不等式，變形為兩

個(gè)不等式組，在平面直角坐標(biāo)系中作出這兩個(gè)不等式組表示的平面區(qū)域在直線x=l和％=4之間的部分，』

X

表示這部分的點(diǎn)到原點(diǎn)連線的斜率，由圖可得其取值范圍.

即得結(jié)論.