專題23.2 模型構(gòu)建專題：旋轉(zhuǎn)中的常見模型(原卷版)

專題23.2模型構(gòu)建專題：旋轉(zhuǎn)中的常見模型【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一“手拉手”模型】 1【變式1等邊三角形——等腰直角三角形】 3【變式2特殊三角形——矩形】 12【變式3特殊三角形——正方形】 16【類型二“半角”模型】 22【典型例題】【類型一“手拉手”模型】例題：（2023秋·河南信陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）和△ADE都是等邊三角形．將△ADE繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，連接并延長相交于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)重合），有（或）成立．

(1)將△ADE繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，連接相交于點(diǎn)，連接，猜想線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；(2)將△ADE繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，連接相交于點(diǎn)，連接，猜想線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不需要證明．【變式1等邊三角形——等腰直角三角形】例題：（2023春·吉林長春·七年級(jí)校考期末）【閱讀材料】兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，若它們的頂角具有公共的頂點(diǎn)，且當(dāng)把它們底角的頂點(diǎn)連接起來時(shí)會(huì)形成一組全等三角形，則把具有這種規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形，如圖1，在“手拉手”圖形中，若，，，則≌．(1)【材料理解】在圖1中證明．(2)【問題解決】如圖2，和都是等腰三角形，，，，線段與線段交于點(diǎn)F，延長交于點(diǎn)，求證：．下面是小明的部分證明過程：證明：∵，，∴，∵，∴．請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過程．(3)【結(jié)論應(yīng)用】如圖3，是等腰三角形，，、分別為邊、上的點(diǎn)，且滿足，連接，將以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)線段與的腰有交點(diǎn)，且直線垂直于的腰時(shí)，直接寫出的值．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河北張家口·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知和都是等腰直角三角形（），．

(1)如圖①，連，，求證：；(2)若將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．①如圖②，當(dāng)點(diǎn)恰好在邊上時(shí)，求證：；②當(dāng)點(diǎn)，，在同一條直線上時(shí)，若，，請(qǐng)直接寫出線段的長．2．（2023春·江西吉安·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1，在中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，且，連接．現(xiàn)將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，如圖2，連接，，．(1)當(dāng)時(shí)，如圖2，求證：；(2)當(dāng)時(shí)，如圖3，延長交于點(diǎn)，求證：垂直平分；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，直接寫出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)和的面積．【變式2特殊三角形——矩形】例題：（2023春·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）矩形的邊長，，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到矩形，點(diǎn)、、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、、．

(1)如圖，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，求的長；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，連結(jié)、．①四邊形是何特殊的四邊形？請(qǐng)說明理由；②證明點(diǎn)、、三點(diǎn)共線．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【探索發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長相等，我們知道，無論正方形繞點(diǎn)O怎么轉(zhuǎn)動(dòng)，總有，連接，求證：．【類比遷移】（2）如圖2，矩形的中心O是矩形的一個(gè)頂點(diǎn)，與邊相交于點(diǎn)E，與邊相交于點(diǎn)F，連接，矩形可繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，判斷（1）中的結(jié)論是否成立，若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；【遷移拓展】（3）如圖3，在中，，，，直角的頂點(diǎn)D在邊的中點(diǎn)處，它的兩條邊和分別與直線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，可繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，直接寫出線段的長度．

【變式3特殊三角形——正方形】例題：（2023·山西大同·校聯(lián)考三模）綜合與實(shí)踐：問題情景：如圖1、正方形與正方形的邊，在一條直線上，正方形以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，在旋轉(zhuǎn)過程中，兩個(gè)正方形只有點(diǎn)A重合，其它頂點(diǎn)均不重合，連接，．

(1)操作發(fā)現(xiàn)：當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置時(shí)，求證：；(2)操作發(fā)現(xiàn)：如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在延長線上時(shí)，連接，求的度數(shù)；(3)問題解決：如圖4，如果，，，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G到的距離．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）問題情境：小紅同學(xué)在學(xué)習(xí)了正方形的知識(shí)后，進(jìn)一步進(jìn)行以下探究活動(dòng)：在正方形的邊上任意取一點(diǎn)G，以為邊長向外作正方形，將正方形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．

特例感知：（1）當(dāng)在上時(shí)，連接相交于點(diǎn)P，小紅發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P恰為的中點(diǎn)，如圖①．針對(duì)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請(qǐng)給出證明；（2）小紅繼續(xù)連接，并延長與相交，發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)恰好也是中點(diǎn)P，如圖②，根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請(qǐng)判斷△APE的形狀，并說明理由；規(guī)律探究：（3）如圖③，將正方形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，點(diǎn)P是中點(diǎn)，連接，，，△APE的形狀是否發(fā)生改變？請(qǐng)說明理由．【類型二“半角”模型】例題：（2023春·福建漳州·八年級(jí)?？计谥校?）【發(fā)現(xiàn)證明】老師在數(shù)學(xué)課上提出一個(gè)問題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊、上，，請(qǐng)?jiān)嚺袛?、、之間的數(shù)量關(guān)系，小聰把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)你利用圖1證明上述結(jié)論．（2）【類比引申】如圖2，四邊形中，，，，點(diǎn)E、F分別在邊、上，要使得仍然成立，則與應(yīng)滿足什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．（3）【探究應(yīng)用】如圖3，在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形．已知米，，，，道路、上分別有景點(diǎn)E、F，且，）米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路EF的長，

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河南信陽·八年級(jí)?？计谥校┩ㄟ^類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的，下面是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整．原題：如圖，點(diǎn)、分別在正方形的邊、上，，連接，則，試說明理由．

(1)梳理，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)