專題18 矩形菱形正方形（共20道）（解析版）

專題18矩形菱形正方形（20道）一、單選題1．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，，，點P是邊上一點（不與點A，D重合），連接．點M，N分別是的中點，連接，，，點E在邊上，，則的最小值是（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線三角形斜邊中線的性質可得，，通過證明四邊形是平行四邊形，可得，則，作點C關于直線的對稱點M，則，點B，P，M三點共線時，的值最小，最小值為．【詳解】解：四邊形是矩形，，，點M，N分別是的中點，，，，，，，，又，四邊形是平行四邊形，，，如圖，作點C關于直線的對稱點M，連接，，則，當點B，P，M三點共線時，的值最小，最小值為，在中，，，，的最小值，故選C．【點睛】本題考查矩形的性質，直線三角形斜邊中線的性質，中位線的性質，平行四邊形的判定與性質，軸對稱的性質，勾股定理，線段的最值問題等，解題的關鍵是牢固掌握上述知識點，熟練運用等量代換思想．2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標系中，菱形的頂點A的坐標為，．將菱形沿x軸向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，得到菱形，其中點的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，過作軸于，求解，，可得，求解，，可得，再利用平移的性質可得．【詳解】解：如圖，過作軸于，

∵菱形的頂點A的坐標為，．∴，，∴，∴，，∴，∵將菱形沿x軸向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，∴；故選A【點睛】本題考查的是菱形的性質，勾股定理的應用，銳角三角函數(shù)的應用，圖形的平移，熟練的求解B的坐標是解本題的關鍵．3．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，點E為延長線上一點，F(xiàn)為的中點，以B為圓心，長為半徑的圓弧過與的交點G，連接．若，，則（

）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【答案】C【分析】利用直角三角形斜邊中線的性質求得，在中，利用勾股定理即可求解.【詳解】解：∵矩形中，∴，∵F為的中點，，∴，在中，，故選：C.【點睛】本題考查了矩形的性質，直角三角形斜邊中線的性質，勾股定理，掌握“直角三角形斜邊中線的長等于斜邊的一半”是解題的關鍵.4．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長為4，點，分別在邊，上，且，平分，連接，分別交，于點，，是線段上的一個動點，過點作垂足為，連接，有下列四個結論：①垂直平分；②的最小值為；③；④．其中正確的是（

）

A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③【答案】D【分析】根據(jù)正方形的性質和三角形全等即可證明，通過等量轉化即可求證，利用角平分線的性質和公共邊即可證明，從而推出①的結論；利用①中的部分結果可證明推出，通過等量代換可推出③的結論；利用①中的部分結果和勾股定理推出和長度，最后通過面積法即可求證④的結論不對；結合①中的結論和③的結論可求出的最小值，從而證明②不對.【詳解】解：為正方形，，，，，.,,，，.平分，.，.，，垂直平分，故①正確.由①可知，，，，，，由①可知，.故③正確.為正方形，且邊長為4，，在中，.由①可知，，，.由圖可知，和等高，設高為，，，，.故④不正確.由①可知，，，關于線段的對稱點為，過點作，交于，交于，最小即為，如圖所示，

由④可知的高即為圖中的，.故②不正確.綜上所述，正確的是①③.故選：D.【點睛】本題考查的是正方形的綜合題，涉及到三角形相似，最短路徑，三角形全等，三角形面積法，解題的關鍵在于是否能正確找出最短路徑以及運用相關知識點.5．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在正方形中，對角線相交于點O，E，F(xiàn)分別為，上的一點，且，連接．若，則的度數(shù)為(

)

A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)正方形的性質得到，，然后結合得到，然后證明出，最后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】∵四邊形是正方形∴，∵∴，∴∴又∵，∴∴∴∴故選：C．【點睛】此題考查了正方形的性質，全等三角形的性質和判定，等腰直角三角形三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．二、解答題6．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，作對角線BD的垂直平分線EF，垂足為O，分別交AD，BC于E，F(xiàn)，連接BE，DF．求證：四邊形BFDE是菱形．

【答案】證明見解析.【詳解】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質以及全等三角形的判定方法證明出△DOE≌△BOF，得到OE=OF，利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD是平行四邊形，進而利用對角線互相垂直的平行四邊形是菱形得出四邊形BFDE為菱形．【詳解】∵在?ABCD中，O為對角線BD的中點，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）,∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四邊形EBFD是平行四邊形，∵EF⊥BD，∴四邊形BFDE為菱形．【點睛】本題考查了菱形的判定，平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質等知識，得出OE=OF是解題關鍵．7．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）已知四邊形是平行四邊形，點在對角線上，點在邊上，連接，，．

(1)如圖①，求證；(2)如圖②，若，過點作交于點，在不添加任何軸助線的情況下，請直接寫出圖②中四個角（除外），使寫出的每個角都與相等．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）由平行四邊形的性質得，，進而有，從而利用即可證明結論成立；（2）先證四邊形是菱形，得，又證，得，由（）得得，根據(jù)等角的補角相等即可證明．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，∴；（2）解：，理由如下：∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形，，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，由（）得，∴，∵，∴．

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、菱形的判定及性質、等邊對等角、全等三角形的判定及性質以及等角的補角相等．熟練掌握全等三角形的判定及性質是解題的關鍵．8．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是平行四邊形，，且分別交對角線于點M，N，連接．

(1)求證：；(2)若．求證：四邊形是菱形．【答案】見解析【分析】（1）連接，交于點，證明，推出四邊形為平行四邊形，得到，即可得證；（2）先證明四邊形是菱形，得到，進而得到，即可得證．【詳解】（1）證明：連接，交于點，

∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴；（2）∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是菱形，∴，∴，∴平行四邊形是菱形．【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質，菱形的判定和性質．熟練掌握相關知識點，是解題的關鍵．9．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．

(1)尺規(guī)作圖：①作線段的垂直平分線，交于點D，交于點O；②在直線上截取，使，連接．（保留作圖痕跡）(2)猜想證明：作圖所得的四邊形是否為菱形？并說明理由．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)四邊形是菱形，見解析【分析】（1）①根據(jù)垂直平分線的畫法作圖；②以點O為圓心，為半徑作圓，交于點E，連線即可；（2）根據(jù)菱形的判定定理證明即可．【詳解】（1）①如圖：直線即為所求；②如圖，即為所求；

；（2）四邊形是菱形，理由如下：∵垂直平分，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是菱形．【點睛】此題考查了基本作圖－線段垂直平分線，截取線段，菱形的判定定理，熟練掌握基本作圖方法及菱形的判定定理是解題的關鍵．10．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，，垂足分別為E、F．求證：．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)定理證出，再根據(jù)全等三角形的性質即可得證．【詳解】證明：四邊形是矩形，，，，，，在和中，，，．【點睛】本題考查了矩形的性質、三角形全等的判定與性質等知識點，熟練掌握矩形的性質是解題關鍵．11．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，是邊上的中線，點在的延長線上，連接，過點作交的延長線于點，連接、，求證：四邊形是菱形．

【答案】證明見解析【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質，得到垂直平分，進而得到，，，再利用平行線的性質，證明，得到，進而得到，即可證明四邊形是菱形．【詳解】證明：，是邊上的中線，垂直平分，，，，，，，在和中，，，，，四邊形是菱形．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，垂直平分線的性質，全等三角形的判定和性質，菱形的判定，靈活運用相關知識點解決問題是解題關鍵．12．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形中，為線段的中點，連接，，延長，交于點，連接，．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求四邊形的面積．【答案】(1)證明，見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質，得，根據(jù)平行線的性質，得，；再根據(jù)為線段的中點，全等三角形的判定，則，根據(jù)矩形的判定，即可；（2）過點作于點，根據(jù)勾股定理，求出的長，再根據(jù)四邊形的面積等于，即可．【詳解】（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，，∵為線段的中點，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是矩形．（2）過點作于點，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴四邊形的面積等于，∵，，∵點是對角線的中心，∴，∴，∴平行四邊形的面積為：．

【點睛】本題考查矩形，平行四邊形，全等三角形的知識，解題的關鍵是矩形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質．13．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，點是的中點，將矩形沿所在的直線折疊，的對應點分別為，，連接交于點．

(1)若，求的度數(shù)；(2)連接EF，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．【答案】(1)的度數(shù)為(2)矩形，理由見詳解【分析】（1）根據(jù)點是的中點，沿所在的直線折疊，可得是等腰三角形，根據(jù)三角形的外角的性質即可求解；（2）如圖所示，連接，點是上的一點，根據(jù)矩形和折疊的性質可得四邊形是平行四邊形，如圖所示，連接，，過點作于點，可證四邊形是平行四邊形，再根據(jù)折疊的性質得，由此即可求證．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，點是的中點，∴，∵沿所在的直線折疊，的對應點分別為，，∴，∴，則是等腰三角形，∴，∵，即，∴，∴的度數(shù)為．（2）解：如圖所示，連接，點是上的一點，

∵四邊形是矩形，∴，，即，∵沿所在的直線折疊，的對應點分別為，，∴，，是的角平分線，由（1）可知，，∴，∴，且，∴四邊形是平行四邊形，則，，如圖所示，連接，，過點作于點，

∵點是的中點，，∴點是線段的中點，則，∴在中，，∴，∴，，∵沿所在的直線折疊，的對應點分別為，，∴，，，在中，，∴，∴，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是矩形．【點睛】本題主要考查矩形的性質，矩形的判定，折疊的性質，全等三角形的判定和性質的綜合，掌握矩形折疊的性質，全等三角形的判定和性質，圖形結合分析是解題的關鍵．14．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點E，F(xiàn)分別在，上，，．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用平行四邊形的性質求出，證明四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形得出結論；（2）證明是等腰直角三角形，可得，然后再解直角三角形求出即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是矩形；（2）解：由（1）知四邊形是矩形，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質，矩形的判定和性質以及解直角三角形，熟練掌握相關判定定理和性質定理是解題的關鍵．15．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形中，點E是對角線上一點，連接，且．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）如圖所示，連接與交于O，先由平行四邊形對角線互相平分得到，再利用證明得到，進而證明，得到，由此即可證明平行四邊形是菱形；（2）先由菱形的性質得到，再解，得到，利用勾股定理求出，則，，則．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接與交于O，∵四邊形是平行四邊形，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴平行四邊形是菱形；

（2）解：∵四邊形是菱形，∴，在中，，∴，∵，∴，∴（負值舍去），∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了菱形的性質與判定，平行四邊形的性質，解直角三角形，全等三角形的性質與判定，勾股定理等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．16．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，延長至D，使得，過點A，D分別作，，與相交于點E．下面是兩位同學的對話：

小星：由題目的已知條件，若連接，則可證明．小紅：由題目的已知條件，若連接，則可證明．

(1)請你選擇一位同學的說法，并進行證明；(2)連接，若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）選擇小星的說法，先證四邊形是平行四邊形，推出，再證明四邊形是矩形，即可得出；選擇小紅的說法，根據(jù)四邊形是矩形，可得，根據(jù)四邊形是平行四邊形，可得，即可證明；（2）根據(jù)，可得，再用勾股定理解即可．【詳解】（1）證明：①選擇小星的說法，證明如下：如圖，連接，

，，四邊形是平行四邊形，，，，又，點D在的延長線上，，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是矩形，；②選擇小紅的說法，證明如下：如圖，連接，，

由①可知四邊形是矩形，，四邊形是平行四邊形，，．（2）解：如圖，連接，

，，，，在中，，，解得即的長為．【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質，矩形的判定與性質，勾股定理等，解題的關鍵是掌握平行四邊形和矩形的判定方法．17．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）將兩個完全相同的含有角的直角三角板在同一平面內(nèi)按如圖所示位置擺放．點A，E，B，D依次在同一直線上，連結、．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)已知，當四邊形是菱形時．的長為__________．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由題意可知易得，即，依據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證明；（2）如圖，在中，由角所對的直角邊等于斜邊的一半和直角三角形銳角互余易得，；由菱形得對角線平分對角得，再由三角形外角和易證即可得，最后由求解即可．【詳解】（1）證明：由題意可知，，，，四邊形地平行四邊形；（2）如圖，在中，，，，，，四邊形是菱形，平分，，，，，，，故答案為：．

【點睛】本題考查了全等三角形的性質，平行四邊形的判定，菱形的性質，角所對的直角邊等于斜邊的一半和直角三角形銳角互余，三角形外角及等角對等邊；解題的關鍵是熟練掌握相關知識綜合求解．三、填空題18．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）如圖在正方形中，點E在上，連接，，F(xiàn)為的中點連接．若，則的長為．

【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質得到，，設，根據(jù)勾股定理求出的值，再根據(jù)勾股定理即可求出的長．【詳解】解：正方形，F(xiàn)為的中點，設，在中，即解得故，在中解得（負值舍去）故答案為：