專題七 立體幾何-2023屆高考數(shù)學(xué)公式定律速記清單

專題七

立體幾何——2023屆高考數(shù)學(xué)公式定律速記清單（一）空間幾何體的表面積與體積1.棱柱體積：．(S為底面積，h為高)表面積：2．棱錐體積：.(S為底面積，h為高)表面積：3．棱臺體積：(S、為底面積，h為高)表面積：4．圓柱體積：(r為底面半徑，h為高)表面積：．(r為底面半徑，l為母線長)5.圓錐體積：(r為底面半徑，h為高)表面積：．(r為底面半徑，l為母線長)6.圓臺體積：(r、r′為底面半徑，h為高)表面積：7.球體積：(R為球的半徑)表面積：8.多面體與球切、接問題的求解方法(1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解．(2)若球面上四點P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，根據(jù)4R2＝a2＋b2＋c2求解．（二）點，直線，平面之間的位置關(guān)系1.線面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理名稱文字語言圖形語言符號語言線面平行的判定定理平面外一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線與此平面平行線面平行的性質(zhì)定理一直線與一個平面平行，則過這條直線的任何一個平面與此平面的交線與該直線平行線面垂直的判定定理一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直線面垂直的性質(zhì)定理垂直于同一平面的兩條直線平行2.面面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理名稱文字語言圖形語言符號語言面面平行的判定定理如果一個平面內(nèi)有兩條相交的直線都平行于另一平面，那么這兩個平面平行面面平行的性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行面面垂直的判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直面面垂直的性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直（三）利用空間向量證明平行與垂直關(guān)系1.利用向量方法證明平行與垂直設(shè)直線l，m的方向向量分別為．平面的法向量分別為．(1)線線平行．(2)線線垂直(3)線面平行(4)線面垂直．(5)面面平行(6)面面垂直.2.向量法求空間角（1）異面直線所成的角：設(shè)分別為異面直線a，b的方向向量，則兩異面直線所成的角滿足．(2)線面角設(shè)l是斜線l的方向向量，n是平面α的法向量，則斜線l與平面α所成的角滿足．(3)二面角①如圖(ⅰ)，AB，CD是二面角α－l－β的兩個半平面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大?。谌鐖D(ⅱ)(ⅲ)，分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足或.(4)點到平面的距離的向量求法如圖，設(shè)AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則點B到平面α的距離．3.模、夾角和距離公式(1)設(shè)，則，，．(2)距離公式設(shè)，則4.利用空間向量求線線角、線面角的思路(1)異面直線所成的角，可以通過兩直線的方向向量的夾角求得，即(2)直線與平面所成的角主要通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角求得，即5.利用空間向量求二面角的思路二面角的大小可以利用分別在兩個半平面內(nèi)與棱垂直的直線的方向向量的夾角(或其補角)或通過二面角的兩個面的法向量的夾角求得，它等于兩個