高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)1 第1講　隨機(jī)抽樣、用樣本估計(jì)總體

第1講隨機(jī)抽樣、用樣本估計(jì)總體課標(biāo)要求考情分析1.理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性．2．會(huì)用簡單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法．3．了解頻率分布的意義和作用，會(huì)列頻率分布表，會(huì)畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點(diǎn)．4．理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差．5．能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)學(xué)特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并給出合理的解釋．6．會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征，理解用樣本估計(jì)總體的思想.在抽樣方法的考查中，系統(tǒng)抽樣、分層抽樣是考查的重點(diǎn)，題型主要以選擇題和填空題為主，屬于中低檔題．用樣本估計(jì)總體，是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)．以考查頻率分布直方圖、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差為主，同時(shí)考查對(duì)樣本估計(jì)總體的思想的理解.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算1．簡單隨機(jī)抽樣(1)定義：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣．(2)常用方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法．2．系統(tǒng)抽樣(1)定義：當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)較多時(shí)，可以將總體分成均衡的幾部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到所需的樣本，這種抽樣的方法叫做系統(tǒng)抽樣．(2)適用范圍：適用于總體中的個(gè)體數(shù)較多時(shí)．3．分層抽樣(1)定義：在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．(2)適用范圍：適用于總體由差異比較明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)．4．統(tǒng)計(jì)圖表(1)頻率分布直方圖的畫法步驟①求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)；②決定組距與組數(shù)；③將數(shù)據(jù)分組；④列頻率分布表；⑤畫頻率分布直方圖．(2)頻率分布折線圖和總體密度曲線①頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖；②總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線．(3)莖葉圖的畫法步驟第一步：將每個(gè)數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩部分；第二步：將最小莖與最大莖之間的數(shù)按大小次序排成一列；第三步：將各個(gè)數(shù)據(jù)的葉依次寫在其莖的兩側(cè)．5．樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．(2)中位數(shù)：把n個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．(3)平均數(shù)：把eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)稱為a1，a2，…，an這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)．(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2])，s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]．常用結(jié)論1．頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的關(guān)系(1)最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)．(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．2．巧用四個(gè)有關(guān)的結(jié)論(1)若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為meq\o(x,\s\up6(－))＋a；(2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x′1＝x1＋a，x′2＝x2＋a，…，x′n＝xn＋a的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變；(3)若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2；(4)s2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－eq\o(x,\s\up6(－))2，即各數(shù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．【小題自測(cè)】1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)簡單隨機(jī)抽樣是一種不放回抽樣．()(2)在抽簽法中，先抽的人抽中的可能性大．()(3)系統(tǒng)抽樣在起始部分抽樣時(shí)采用簡單隨機(jī)抽樣．()(4)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大．()(5)在頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間內(nèi)的頻率越大．()(6)莖葉圖中的數(shù)據(jù)要按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√(6)×2．(教材改編)一個(gè)容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.25，則該組樣本的頻數(shù)為()A．4 B．8C．12 D．16解析：選B.設(shè)頻數(shù)為n，則eq\f(n,32)＝0.25，所以n＝32×eq\f(1,4)＝8.3．(教材改編)某校高三(1)班共有48人，學(xué)號(hào)依次為1，2，3，…，48，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為6的樣本．已知學(xué)號(hào)為3，11，19，35，43的同學(xué)在樣本中，則還有一個(gè)同學(xué)的學(xué)號(hào)應(yīng)為()A．27 B．26C．25 D．24解析：選A.根據(jù)系統(tǒng)抽樣的規(guī)則，“等距離”抽取也就是抽取的號(hào)碼差相等．根據(jù)抽出的序號(hào)可知學(xué)號(hào)之間的差為8，所以在19與35之間還有一個(gè)27號(hào)，故選A.4．(識(shí)圖不清致誤)如圖是100位居民月均用水量的頻率分布直方圖，則月均用水量在[2，2.5)范圍內(nèi)的居民有________人．解析：由頻率分布直方圖可知，月均用水量為[2，2.5)范圍內(nèi)的居民所占頻率為0.5×0.5＝0.25，所以月均用水量在[2，2.5)范圍內(nèi)的居民人數(shù)為100×0.25＝25(人)．答案：255．已知一組數(shù)據(jù)4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是________．解析：5個(gè)數(shù)的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5,5)＝5.1，所以它們的方差s2＝eq\f(1,5)[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.答案：0.1考點(diǎn)一隨機(jī)抽樣(自主練透)1．(2022·成都摸底測(cè)試)某校高二(1)班有40名學(xué)生，學(xué)號(hào)為01到40，現(xiàn)采用隨機(jī)數(shù)表法從該班抽取5名學(xué)生參加“全國愛眼日”宣傳活動(dòng)．已知隨機(jī)數(shù)表中第6行至第7行的各數(shù)如下：第6行：16227794394954435482173793237887352096438426349164第7行：84421753315724550688770474476721763350258392120676若從隨機(jī)數(shù)表第6行第9列的數(shù)開始向右讀，則抽取的第5名學(xué)生的學(xué)號(hào)是()A．17 B．23C．35 D．37解析：選C.根據(jù)隨機(jī)數(shù)表，抽取的5名學(xué)生的學(xué)號(hào)分別為39，17，37，23，35，所以抽取的第5名學(xué)生的學(xué)號(hào)為35.2．某工廠生產(chǎn)A，B，C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，其數(shù)量之比依次是3∶4∶7，現(xiàn)在用分層抽樣的方法抽出樣本容量為n的樣本，樣本中A型號(hào)產(chǎn)品有15件，那么n＝()A．50 B．60C．70 D．80解析：選C.根據(jù)分層抽樣的定義和方法，可得eq\f(3,3＋4＋7)＝eq\f(15,n)，解得n＝70.3．(2022·南昌NCS項(xiàng)目第一次模擬)將120個(gè)個(gè)體依次編號(hào)：1，2，…，120，用系統(tǒng)(等距)抽樣的方法從中抽取出一個(gè)容量為10的樣本，若抽到的第一個(gè)個(gè)體的編號(hào)為9，則最后一個(gè)個(gè)體的編號(hào)為________．解析：抽樣間隔為eq\f(120,10)＝12，若抽到的第一個(gè)個(gè)體的編號(hào)是9，則最后一個(gè)個(gè)體的編號(hào)是9＋12×9＝117.答案：117(1)系統(tǒng)抽樣中所抽取編號(hào)的特點(diǎn)系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣，所以依次抽取的樣本對(duì)應(yīng)的號(hào)碼就是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)就是第1組所抽取樣本的號(hào)碼，公差為間隔數(shù)，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式就可以確定每一組內(nèi)所要抽取的樣本號(hào)碼．(2)分層抽樣問題類型及解題思路①求某層應(yīng)抽個(gè)體數(shù)量，根據(jù)該層所占總體的比例計(jì)算；②已知某層個(gè)體數(shù)量，求總體容量，根據(jù)分層抽樣即按比例抽樣，列比例式進(jìn)行計(jì)算；③確定是否應(yīng)用分層抽樣，分層抽樣適用于總體中個(gè)體差異較大的情況．考點(diǎn)二頻率分布直方圖(師生共研)(2021·高考全國卷甲)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是()A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%C．估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D．估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間【解析】對(duì)于A，根據(jù)頻率分布直方圖知該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為(0.02＋0.04)×1×100%＝6%，正確；對(duì)于B，根據(jù)頻率分布直方圖知該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為(0.04＋0.02＋0.02＋0.02)×1×100%＝10%，正確；對(duì)于C，根據(jù)頻率分布直方圖知該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值估計(jì)為3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(萬元)，錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)頻率分布直方圖知該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的農(nóng)戶比率估計(jì)為(0.10＋0.14＋0.20＋0.20)×1×100%＝64%>50%，正確．【答案】C謹(jǐn)記頻率分布直方圖的相關(guān)公式(1)直方圖中各小長方形的面積之和為1；(2)直方圖中縱軸表示eq\f(頻率,組距)，故每組樣本的頻率為組距×eq\f(頻率,組距)，即矩形的面積；(3)直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率×總數(shù)．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．在樣本頻率分布直方圖中，共有9個(gè)小長方形，若中間一個(gè)小長方形的面積等于其他8個(gè)長方形的面積和的eq\f(2,5)，且樣本容量為140，則中間一組的頻數(shù)為()A．28 B．40C．56 D．60解析：選B.設(shè)中間一組的頻數(shù)為x，因?yàn)橹虚g一個(gè)小長方形的面積等于其他8個(gè)長方形的面積和的eq\f(2,5)，所以其他8組的頻數(shù)和為eq\f(5,2)x，由x＋eq\f(5,2)x＝140，解得x＝40.2．(2022·蘭州高三診斷考試)2019年1月1日，“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺(tái)在全國上線，某單位組織全體黨員登錄學(xué)習(xí)，統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)積分得到的頻率分布直方圖如圖所示．若學(xué)習(xí)積分在[1，1.5)(單位：萬分)的黨員人數(shù)是32，則該單位共有________名黨員，若學(xué)習(xí)積分不低于2萬分的黨員可獲得“學(xué)習(xí)達(dá)人”稱號(hào)，則該單位有________名黨員能獲得該稱號(hào)．解析：由頻率分布直方圖知，學(xué)習(xí)積分在[1，1.5)(單位：萬分)的頻率為0.8×0.5＝0.4，所以該單位共有黨員32÷0.4＝80(名)；由頻率分布直方圖知，學(xué)習(xí)積分不低于2萬分的頻率為0.2×0.5＝0.1，所以獲得“學(xué)習(xí)達(dá)人”稱號(hào)的黨員有80×0.1＝8(名)．答案：808考點(diǎn)三統(tǒng)計(jì)圖表及應(yīng)用(多維探究)考向1莖葉圖(2022·東北三校第二次考試)在一次跳繩比賽中，35名運(yùn)動(dòng)員在一分鐘內(nèi)跳繩個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖所示，若將運(yùn)動(dòng)員按跳繩個(gè)數(shù)由少到多編為1～35號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取7人，把7人按跳繩個(gè)數(shù)由少到多排成一列，第1個(gè)人的跳繩個(gè)數(shù)是133，則第5個(gè)人的跳繩個(gè)數(shù)是________．【解析】利用系統(tǒng)抽樣的方法從35名運(yùn)動(dòng)員中抽取7人，可以先把35名運(yùn)動(dòng)員分為7組，每組5人，第一組抽到的是編號(hào)為3的運(yùn)動(dòng)員，所以第5組抽到的是編號(hào)為3＋5×(5－1)＝23的運(yùn)動(dòng)員，由莖葉圖可知，編號(hào)為23的運(yùn)動(dòng)員的跳繩個(gè)數(shù)為145，故抽取的第5個(gè)人的跳繩個(gè)數(shù)是145.【答案】145考向2折線圖(2022·長春高三質(zhì)量監(jiān)測(cè))某學(xué)校為了解學(xué)校學(xué)生組成的跑步社團(tuán)每月跑步的平均里程，收集并整理了2021年1月至2021年12月期間跑步社團(tuán)成員每月跑步的平均里程(單位：千米)的數(shù)據(jù)，繪制成如圖所示的折線圖．根據(jù)折線圖，下列結(jié)論正確的是()A．月跑步平均里程的中位數(shù)為6月對(duì)應(yīng)的平均里程數(shù)B．月跑步平均里程逐月增加C．月跑步平均里程的高峰期大致在8月、9月D．1月至6月的月跑步平均里程相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)【解析】對(duì)于A，由折線圖可知月跑步平均里程比6月高的有9月、10月、11月、12月，共4個(gè)月，比6月低的有1月、2月、3月、4月、5月、7月、8月，共7個(gè)月，故6月對(duì)應(yīng)的平均里程數(shù)不是中位數(shù)，故A不正確；對(duì)于B，月跑步平均里程在1月到2月，6月到7月，7月到8月，10月到11月都是減少的，故不是逐月增加，故B不正確；對(duì)于C，月跑步平均里程的高峰期大致在9月、10月、11月、12月，8月的月跑步平均里程是相對(duì)較低的，故C不正確；對(duì)于D，從折線圖來看，1月至6月的月跑步平均里程相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)，故D正確．【答案】D考向3扇形圖某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如圖所示的餅圖：則下面結(jié)論中不正確的是()A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半【解析】設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為a，則建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入為2a，由題圖可得下表，種植收入第三產(chǎn)業(yè)收入其他收入養(yǎng)殖收入建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入0.6a0.06a0.04a0.3a建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入0.74a0.56a0.1a0.6a根據(jù)上表可知B，C，D中的結(jié)論均正確，A中的結(jié)論不正確，故選A.【答案】A(1)通過扇形統(tǒng)計(jì)圖可以很清楚的表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系．(2)折線圖可以顯示隨時(shí)間(根據(jù)常用比例放置)而變化的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等時(shí)間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢(shì)．(3)莖葉圖的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)①“葉”的位置只有一個(gè)數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一．②重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏．③給定兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，估計(jì)數(shù)字特征，莖上的數(shù)字由小到大排列，一般“重心”下移者平均數(shù)較大，數(shù)據(jù)集中者方差較?。緦?duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2022·昆明三診一模)甲、乙兩個(gè)樣本莖葉圖如圖．將甲中的一個(gè)數(shù)據(jù)調(diào)入乙，使調(diào)整后兩組數(shù)據(jù)的平均值都比調(diào)整前增大，則這個(gè)數(shù)據(jù)可以是________．(填一個(gè)數(shù)據(jù)即可)解析：根據(jù)莖葉圖計(jì)算可得eq\o(x,\s\up6(－))甲＝80，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝75，要使調(diào)整后的兩組數(shù)據(jù)的平均值都比調(diào)整前增大，則從甲調(diào)入乙的數(shù)x應(yīng)該滿足75<x<80，故從76，77，78中任選一個(gè)即可．答案：76，77，78(任選一個(gè)即可)2．(2022·昆明三診一模)昆明市市花為云南山茶花，又名滇山茶，原產(chǎn)云南，國家二級(jí)保護(hù)植物．為了監(jiān)測(cè)滇山茶的生長情況，從不同林區(qū)隨機(jī)抽取100株滇山茶測(cè)量胸徑(單位：厘米)作為樣本，得到樣本頻率分布直方圖如圖所示，這100株滇山茶胸徑不超過m厘米的占90%，超過m厘米的占10%，將胸徑超過m厘米的作為重點(diǎn)監(jiān)測(cè)對(duì)象，則m約為________．(精確到0.1)解析：胸徑超過m厘米的占10%，即胸徑超過m厘米的頻率是0.1，落在[25，30]內(nèi)的頻率是5×0.004＝0.02，落在[20，25)內(nèi)的頻率是5×0.012＝0.06，所以m應(yīng)落在[15，20)內(nèi)，所以(20－m)×0.030＝0.1－0.02－0.06，所以m≈20－0.667＝19.333≈19.3.答案：19.3考點(diǎn)四樣本的數(shù)字特征(師生共研)[(2021·高考全國卷乙)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為eq\o(y,\s\up6(－))和eq\o(y,\s\up6(－))，樣本方差分別記為seq\o\al(2,1)和seq\o\al(2,2).(1)求eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))，seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)；(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(y,\s\up6(－))≥2eq\r(\f(seq\o\al(2,1)＋seq\o\al(2,2),10))，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高)．【解】(1)由表格中的數(shù)據(jù)易得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(9.8＋10.3＋10.0＋10.2＋9.9＋9.8＋10.0＋10.1＋10.2＋9.7,10)＝10.0，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(10.1＋10.4＋10.1＋10.0＋10.1＋10.3＋10.6＋10.5＋10.4＋10.5,10)＝10.3，seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,10)×[(9.8－10.0)2＋(10.3－10.0)2＋(10.0－10.0)2＋(10.2－10.0)2＋(9.9－10.0)2＋(9.8－10.0)2＋(10.0－10.0)2＋(10.1－10.0)2＋(10.2－10.0)2＋(9.7－10.0)2]＝0.036，seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,10)×[(10.1－10.3)2＋(10.4－10.3)2＋(10.1－10.3)2＋(10.0－10.3)2＋(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋(10.6－10.3)2＋(10.5－10.3)2＋(10.4－10.3)2＋(10.5－10.3)2]＝0.04.(2)由(1)中數(shù)據(jù)可得eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(x,\s\up6(－))＝10.3－10.0＝0.3，2eq\r(\f(seq\o\al(2,1)＋seq\o\al(2,2),10))＝2eq\r(\f(0.036＋0.04,10))＝2eq\r(0.0076)，則0.3＝eq\r(0.09)>2eq\r(0.0076)＝eq\r(0.0304)，所以可判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高．總體數(shù)字特征估計(jì)的依據(jù)(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定；(2)用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，則該學(xué)習(xí)小組成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是()A．85分、85分、85分 B．87分、85分、86分C．87分、85分、85分 D．87分、85分、90分解析：選C.由題意知，該學(xué)習(xí)小組共有10人，因此眾數(shù)和中位數(shù)都是85，平均數(shù)為eq\f(100＋95＋2×90＋4×85＋80＋75,10)＝87.2．(2022·貴陽第一學(xué)期監(jiān)測(cè)考試)數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的平均數(shù)為1，則數(shù)據(jù)10x1＋1，10x2＋2，…，10x10＋10的平均數(shù)為()A．14.5 B．15.5C．16.5 D．10解析：選B.由平均數(shù)的計(jì)算公式，知10x1＋1，10x2＋2，…，10x10＋10的平均數(shù)為eq\f(10（x1＋x2＋…＋x10）＋（1＋2＋…＋10）,10)＝(x1＋x2＋…＋x10)＋eq\f(1＋2＋…＋10,10)＝10×1＋eq\f(55,10)＝15.5.3．(2022·東北三校第一次聯(lián)考)如圖所示的莖葉圖是甲、乙兩位同學(xué)在學(xué)校舉辦的知識(shí)競賽的幾輪比賽中的得分，則下列說法正確的是()A．甲得分的平均數(shù)大于乙得分的平均數(shù)B．甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)C．甲得分的方差大于乙得分的方差D．甲得分的方差小于乙得分的方差解析：選C.因?yàn)閑q\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,9)×(59＋45＋32＋38＋24＋26＋11＋12＋14)＝29，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,9)×(51＋43＋30＋34＋20＋25＋27＋28＋12)＝30，所以甲得分的平均數(shù)小于乙得分的平均數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)榧椎梅值闹形粩?shù)為26，乙得分的中位數(shù)為28，所以甲得分的中位數(shù)小于乙得分的中位數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)閟eq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,9)×[302＋162＋32＋92＋(－5)2＋(－3)2＋(－18)2＋(－17)2＋(－15)2]≈235.3，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,9)×[212＋132＋02＋42＋(－10)2＋(－5)2＋(－3)2＋(－2)2＋(－18)2]≈120.9，所以甲得分的方差大于乙得分的方差，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確．故選C.[A級(jí)基礎(chǔ)練]1．某工廠生產(chǎn)的30個(gè)零件編號(hào)為01，02，…，29，30，現(xiàn)利用如下隨機(jī)數(shù)表從中抽取5個(gè)進(jìn)行檢測(cè)．若從表中第1行第5列的數(shù)字開始，從左往右依次讀取2個(gè)數(shù)字，則抽取的第5個(gè)零件編號(hào)為()3457078636046896082323457889078442125331253007328632211834297864540732524206443812234356773578905642A.25 B．23C．12 D．07解析：選C.由題意可知抽取的前5個(gè)零件編號(hào)依次是07，04，08，23，12，故抽取的第5個(gè)零件編號(hào)為12，故選C.2.若某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()A．91.5和91.5 B．91.5和92C．91和91.5 D．92和92解析：選A.因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)由小到大排列為87，89，90，91，92，93，94，96，所以中位數(shù)是eq\f(91＋92,2)＝91.5，平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96,8)＝91.5.3．如圖，某學(xué)校共有教師120人，從中選出一個(gè)30人的樣本，其中被選出的青年女教師的人數(shù)為()A．12 B．6C．4 D．3解析：選D.青年教師的人數(shù)為120×30%＝36.所以青年女教師為12人，故青年女教師被選出的人數(shù)為12×eq\f(30,120)＝3.故選D.4．(2022·鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))下圖是某統(tǒng)計(jì)部門網(wǎng)站發(fā)布的《某市2021年2～12月國民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》中居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)(CPI)月度漲跌幅度折線圖．(注：同比是今年第n個(gè)月與去年第n個(gè)月相比，環(huán)比是現(xiàn)在的統(tǒng)計(jì)周期與上一個(gè)統(tǒng)計(jì)周期相比)下列說法錯(cuò)誤的是()①2021年9月CPI環(huán)比上升0.5%，同比上漲2.1%②2021年9月CPI環(huán)比上升0.2%，同比無變化③2021年3月CPI環(huán)比下降1.1%，同比上漲0.2%④2021年3月CPI環(huán)比下降0.2%，同比上漲1.7%A．①③ B．①④C．②④ D．②③解析：選D.由題意可知，題圖中上面的折線為月度同比、下面的折線為月度環(huán)比，觀察題圖中數(shù)據(jù)可知，9月CPI環(huán)比上升0.5%，同比上漲2.1%，3月CPI環(huán)比下降0.2%，同比上漲1.7%，所以正確的說法是①④，錯(cuò)誤的說法是②③，故選D.5．(2022·綿陽二診)對(duì)全班45名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到平均數(shù)為80，方差為25，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)收集時(shí)有兩個(gè)錯(cuò)誤，其中一個(gè)95分記錄成了75分，另一個(gè)60分記錄成了80分．糾正數(shù)據(jù)后重新計(jì)算，得到平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2，則()A．eq\o(x,\s\up6(－))＝80，s2<25 B．eq\o(x,\s\up6(－))＝80，s2＝25C．eq\o(x,\s\up6(－))＝80，s2>25 D．eq\o(x,\s\up6(－))<80，s2>25解析：選C.因?yàn)?5＋60＝75＋80，所以兩次的平均數(shù)沒有變化，即x＝80；由于記錄錯(cuò)誤的兩個(gè)數(shù)據(jù)均比較靠近平均數(shù)，而原始數(shù)據(jù)均偏離平均數(shù)較遠(yuǎn)，故s2>25.故選C.6．(2022·湖北十一校高三第二次聯(lián)考)從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量(單位：度)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50度到350度之間，頻率分布直方圖如圖所示，則直方圖中的x的值為________．解析：由題意可知(0.0024＋0.0036＋0.0060＋x＋0.0024＋0.0012)×50＝1，解得x＝0.0044.答案：0.00447．某單位在崗職工共620人，為了調(diào)查工人用于上班途中的時(shí)間，決定抽取62名工人進(jìn)行調(diào)查，若采用系統(tǒng)抽樣方法將全體工人編號(hào)等距分成62段，再用簡單隨機(jī)抽樣法得到第1段的起始編號(hào)為4，則第40段應(yīng)抽取的個(gè)體編號(hào)為________．解析：將620人的編號(hào)分成62段，每段10個(gè)編號(hào)，按系統(tǒng)抽樣，所抽取工人編號(hào)成等差數(shù)列．因此第40段的編號(hào)為4＋(40－1)×10＝394.答案：3948．已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的方差是2，則數(shù)據(jù)2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的標(biāo)準(zhǔn)差為________．解析：由s2＝eq\f(1,5)eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝2，得2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差是eq\f(1,5)eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))(2xi－2eq\o(x,\s\up6(－)))2＝4s2＝8，標(biāo)準(zhǔn)差為2eq\r(2).答案：2eq\r(2)9．由于受到網(wǎng)絡(luò)電商的沖擊，某品牌的洗衣機(jī)在線下的銷售受到影響，造成了一定的經(jīng)濟(jì)損失，現(xiàn)將A地區(qū)200家實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失統(tǒng)計(jì)如圖所示．(1)求a的值；(2)求A地區(qū)200家實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失的眾數(shù)以及中位數(shù)．解：(1)依題意，(0.00015＋0.00020＋a＋0.00006)×2000＝1，解得a＝0.00009.(2)由題圖可知，A地區(qū)200家實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失的眾數(shù)為3000，第一個(gè)小矩形的面積S1＝0.3，第二個(gè)小矩形的面積S2＝0.4，故所求中位數(shù)在[2000，4000)內(nèi)，故所求中位數(shù)為2000＋eq\f(0.5－0.3,0.00020)＝3000.10．某車間將10名技工平均分成甲、乙兩組加工某種零件，在單位時(shí)間內(nèi)每個(gè)技工加工的合格零件數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，已知兩組技工在單位時(shí)間內(nèi)加工的合格零件的平均數(shù)都為10.(1)求出m，n的值；(2)求出甲、乙兩組技工在單位時(shí)間內(nèi)加工的合格零件的方差seq\o\al(2,甲)和seq\o\al(2,乙)，并由此分析兩組技工的加工水平．解：(1)根據(jù)題意可知，eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,5)(7＋8＋10＋12＋10＋m)＝10，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,5)(9＋n＋10＋11＋12)＝10，所以m＝3，n＝8.(2)seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(7－10)2＋(8－10)2＋(10－10)2＋(12－10)2＋(13－10)2]＝5.2，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(8－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝2，因?yàn)閑q\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，所以甲、乙兩組的平均水平相當(dāng)，乙組更穩(wěn)定一些．[B級(jí)綜合練]11．甲、乙兩人在相同條件下各打靶10次，每次打靶的成績情況如圖所示：(1)請(qǐng)?zhí)顚懴卤恚浩骄鶖?shù)中位數(shù)命中9環(huán)以上的次數(shù)(含9環(huán))甲7乙(2)從下列三個(gè)不同角度對(duì)這次測(cè)試結(jié)果進(jìn)行分析：①從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看，誰的成績好些？②從平均數(shù)和命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看，誰的成績好些？③從折線圖中兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢(shì)看，誰更有潛力？解：(1)由題圖可知，甲打靶的成績?yōu)?，4，6，8，7，7，8，9，9，10；乙打靶的成績?yōu)?，5，7，8，7，6，8，6，7，7.甲的平均數(shù)是7，中位數(shù)是7.5，命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)是3；乙的平均數(shù)是7，中位數(shù)是7，命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)是1.平均數(shù)中位數(shù)命中9環(huán)以上的次數(shù)(含9環(huán))甲77.53乙771(2)①甲、乙的平均數(shù)相同，甲的中位數(shù)比乙的中位數(shù)大，所以甲成績較好．②甲、乙的平均數(shù)相同