專題1.9銳角三角函數(shù)（知識梳理+典例剖析+變式訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍（解析版）【蘇科版】

2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【蘇科版】專題1.9銳角三角函數(shù)精講精練【目標(biāo)導(dǎo)航】【知識梳理】1.銳角三角函數(shù)的定義在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．即sinA=∠A的對邊除以斜邊=（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．即cosA=∠A的鄰邊除以斜邊=．（3）正切：銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．即tanA=∠A的對邊除以∠A的鄰邊=．（4）三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．2.特殊角的三角函數(shù)值（1）30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值（2）應(yīng)用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記．（3）特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛，一是它可以當(dāng)作數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，二是具有三角函數(shù)的特點(diǎn)，在解直角三角形中應(yīng)用較多．3.解直角三角形：（1）解直角三角形的定義在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的關(guān)系①銳角、直角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°；②三邊之間的關(guān)系：③邊、角之間的關(guān)系：sinA==，cosA=，tanA=，（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊）．4.解直角三角形的應(yīng)用：（1）通過解直角三角形能解決實(shí)際問題中的很多有關(guān)測量問．如：測不易直接測量的物體的高度、測河寬等，關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的長度，計(jì)算出所要求的物體的高度或長度．（2）解直角三角形的一般過程是：①將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）．②根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實(shí)際問題的答案．5.坡度、坡角問題（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個(gè)比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i=1：m的形式．（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為：i=h/l=tanα．（3）在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實(shí)際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問題．應(yīng)用領(lǐng)域：①測量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等．6.俯角、仰角問題：（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角．（2）解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時(shí)，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問題以一個(gè)實(shí)際問題的形式給出時(shí)，要善于讀懂題意，把實(shí)際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決．【典例剖析】【考點(diǎn)1】銳角三角函數(shù)的定義【例1】（2022秋?姑蘇區(qū)校級期中）在直角三角形中，若各邊都擴(kuò)大為原來的2倍，則其銳角的三角函數(shù)值（）A．都擴(kuò)大為原來的2倍 B．都縮小為原來的一半 C．都沒有變化 D．不能確定【分析】在直角三角形中，銳角三角函數(shù)值即為邊的比值；根據(jù)銳角三角函數(shù)值的概念進(jìn)行分析即可得到答案．【解答】解：根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知如果各邊都擴(kuò)大原來的2倍，則其銳角的三角函數(shù)值不變．故選：C．【變式1.1】（2017秋?淮陰區(qū)校級月考）△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，tanB的值是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)正切的定義計(jì)算即可．【解答】解：如圖：∵∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，∴AC＝＝＝12，∴tanB＝＝，故選：D．【變式1.2】（2022秋?高新區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函數(shù)表示正確的是（）A． B． C． D．【分析】先利用勾股定理求出BC的長，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義對各選項(xiàng)分別進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝3，∴sinA＝，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；cosA＝，故選項(xiàng)B正確，符合題意；tanA＝，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；tanB＝，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意．故選：B．【變式1.3】（2021秋?姜堰區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，AB＝10，那么∠A的正弦值為（）A． B． C． D．【分析】利用勾股定理求出BC，再利用銳角三角函數(shù)求出結(jié)果即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，AB＝10，由勾股定理得，BC＝＝＝6，所以sinA＝＝＝，故選：C．【考點(diǎn)2】同角三角函數(shù)【例2】（2022秋?惠山區(qū)校級月考）x為銳角，，則cosx的值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系：sin2x+cos2x＝1解答即可．【解答】解：∵sin2x+cos2x＝1，，∴cosx＝＝＝．故選：B．【變式2.1】（2022?鐘樓區(qū)校級模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，則cosA等于（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)tanA＝求出第三邊長的表達(dá)式，求出cosA即可．【解答】解：如圖：設(shè)BC＝5x，∵tanA＝，∴AC＝12x，AB＝＝13x，∴cosA＝＝＝．故選：D．【變式2.2】（2020秋?靖江市校級月考）在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，那么tanA等于（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)cosA＝，設(shè)出關(guān)于兩邊的代數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)勾股定理求出第三邊長的表達(dá)式即可推出tanA的值．【解答】解：∵cosA＝知，設(shè)b＝3x，則c＝5x，根據(jù)a2+b2＝c2得a＝4x．∴tanA＝＝＝．故選：D．【變式2.3】（2019?秦淮區(qū)一模）已知Rt△ABC，∠C＝90°，若∠A＞∠B，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．sinA＜sinB B．cosA＜cosB C．tanA＜tanB D．sinA＜cosA【分析】根據(jù)大角對大邊定理以及三角函數(shù)的定義即可求出答案．【解答】解：設(shè)∠A，∠B，∠C對應(yīng)的邊為a，b，c∵∠A＞∠B，∴a＞b，∵sinA＝，sinB＝，cosA＝，cosB＝，∴sinA＞sinB，cosA＜cosB，故選：B．【考點(diǎn)3】特殊角的三角函數(shù)【例3】（2020秋?亭湖區(qū)校級期末）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，則∠C的度數(shù)是（）A．45° B．75° C．105° D．120°【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)系式，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A、∠B的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【解答】解：由題意得，sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，即sinA＝，＝cosB，解得，∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，故選：C．【變式3.1】（2022?泗陽縣一模）已知∠A為銳角，且sinA＝，那么∠A等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解．【解答】解：∵sinA＝，∠A為銳角，∴∠A＝30°．故選：B．【變式3.2】（2021秋?金壇區(qū)月考）已知銳角α滿足tan（α+10°）＝1，則銳角α的度數(shù)為（）A．20° B．35° C．45° D．50°【分析】根據(jù)45°的正切值為1解答即可．【解答】解：∵tan（α+10°）＝1，tan45°＝1，∴α+10°＝45°，∴α＝35°，故選：B．【變式3.3】（2022?淮陰區(qū)模擬）如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OA交于點(diǎn)B，再以B為圓心，BO長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C，畫射線OC，則sin∠AOC的值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)作圖的方法得出△OBC是等邊三角形，進(jìn)而利用特殊角的三角函數(shù)值求出答案．【解答】解：連接BC，由題意可得：OB＝OC＝BC，則△OBC是等邊三角形，故sin∠AOC＝sin60°＝．故選：D．【考點(diǎn)4】三角函數(shù)的表格問題【例4】（2022秋?靖江市期中）如圖，在6×6正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點(diǎn)，則sinA的值為（）A． B．2 C． D．【分析】通過平移將△ABC的頂點(diǎn)A、B、C移到格點(diǎn)上，利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形及直角邊的長，由勾股定理求出斜邊的長，由銳角三角函數(shù)的定義可得答案．【解答】解：△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點(diǎn)，因此可將△ABC向右平移正方形邊長的一半得到△A′B′C′，如圖所示，則點(diǎn)A′、B′、C′在格點(diǎn)上，過點(diǎn)C′作C′D⊥AB，垂足為D，則A′D＝3，C′D＝4，∴A′C′＝＝5，∴sinA＝sinA′＝＝，故選：C．【變式4.1】（2022?工業(yè)園區(qū)模擬）如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于點(diǎn)P，則sin∠APC的值為（）A． B． C． D．【分析】把AB向上平移一個(gè)單位到DE，連接CE，則DE∥AB，由勾股定理逆定理可以證明△DCE為直角三角形，所以sin∠APC＝sin∠EDC即可得答案．【解答】解：把AB向上平移一個(gè)單位到DE，連接CE，如圖．則DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC．在△DCE中，有EC＝＝，DC＝＝2，DE＝＝5，∵EC2+DC2＝DE2，故△DCE為直角三角形，∠DCE＝90°．∴sin∠APC＝sin∠EDC＝＝．故選：D．【變式4.2】（2022?從化區(qū)一模）如圖，將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C在格點(diǎn)上，則∠A正切值是（）A． B． C．2 D．【分析】取格點(diǎn)D，E，連接BD，可得∠ADB＝90°，再由勾股定理求得線段AD、AB的長，然后由銳角三角函數(shù)定義求解即可．【解答】解：取格點(diǎn)D，E，連接BD，如圖，∵∠ADE＝∠BDE＝45°，∴∠ADB＝90°，由勾股定理得：AD＝＝2，BD＝＝，∴tanA＝＝＝，故選：D．【變式4.3】（2022秋?靖江市校級月考）如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C為網(wǎng)格交點(diǎn)，AD⊥BC，垂足為D，則sin∠BAD的值為（）A． B． C． D．【分析】先利用等面積法求出AD，在△ABD中，再利用勾股定理求出BD，利用正弦的定義求出sin∠BAD即可．【解答】解：法一：如圖，連接AC，在Rt△BEC中，BC＝＝5，∵AD⊥BC，∴＝8，即，解得AD＝，在Rt△ADB中，BD＝，∴sin∠BAD＝．法二：在Rt△BEC中，BC＝＝5，∵AD⊥BC，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠ABD+∠CBE＝90°，∴∠BAD＝∠CBE，∴sin∠BAD＝sin∠CBE＝．故選：C．【考點(diǎn)5】解直角三角形【例5】（2022秋?惠山區(qū)期中）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，已知tanB＝，S△ACD＝2，則S△ABC＝10．【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)求出CD與BD的比，由相似三角形面積的比等于相似比的平方求出△CBD的面積，進(jìn)而可以求出△ABC的面積．【解答】解：∵CD⊥AB，tanB＝，∴＝，∵△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴△ACD∽△CBD，∴S△ACD：S△CBD＝1：4，∵S△ACD＝2，∴S△CBD＝8，∴S△ABC＝S△ACD+S△CBD＝2+8＝10．故答案為：10．【變式5.1】（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）在△ABC中，sinB＝，AC＝2，AD是BC邊上的高，∠ACD＝45°，則BC的長為2或6．【分析】利用勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)先求出CD、AD，再利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出AB，勾股定理求出BD，最后利用線段的和差阿關(guān)系求出BC．【解答】解：當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，∵AD是BC邊上的高，∠ACD＝45°，∴CD＝AD．∵AC2＝CD2+AD2，AC＝2，∴CD＝AD＝2．∵sinB＝＝，∴AB＝2．在Rt△ABD中，BD＝＝＝＝4．∴BC＝BD﹣CD＝4﹣2＝2．若點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，同理可求BD＝4，CD＝2，∴BC＝6，故答案為：2或6．【變式5.2】（2022?常州）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC．若AD＝1，CD＝3，則sin∠ABD＝．【分析】過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，如圖，由已知∠A＝∠ABC＝90°，可得AD∥BC，由平行線的性質(zhì)可得∠ADB＝∠CBD，根據(jù)角平分線的定義可得∠ADB＝∠CDB，則可得CD＝CB＝3，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AD＝BE，即可得CE＝BC﹣BE，在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理DE＝，在Rt△ADB中，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義進(jìn)行求解即可得出答案．【解答】解：過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，如圖，∵∠A＝∠ABC＝90°，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，∴CD＝CB＝3，∵AD＝BE＝1，∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，在Rt△CDE中，DE＝＝＝，∵DE＝AB，在Rt△ADB中，＝＝，∴sin∠ABD＝＝．故答案為：．【變式5.3】（2022春?宿豫區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AC＝2，∠A＝15°，∠B＝30°，則△ABC的面積為（﹣1）．【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)D，在Rt△ADC中，運(yùn)用三角函數(shù)求AD＝CD的長，在Rt△ABD中，運(yùn)用三角函數(shù)求出BD的長，最后運(yùn)用三角形面積公式計(jì)算．【解答】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)D，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠A＝15°，∠B＝30°，∴∠DAC＝∠DCA＝30°+15°＝45°，AB＝2AD，∴AD＝CD，在Rt△ADC中，AC＝2，∴AD＝CD＝，在Rt△ABD中，BD＝，∴S△ABC＝S△ABD﹣S△ADC＝＝＝﹣1，故答案為：（﹣1）．【考點(diǎn)6】三角函數(shù)與幾何問題【例6】（2022秋?虎丘區(qū)校級期中）（1）在△ABC中，∠C＝90°．已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b；（2）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，D為AC上一點(diǎn)，∠BDC＝45°，CD＝6．求AD的長．【分析】（1）由∠A與∠B互余即可求出∠B，由直角三角形中30°的直角邊等于斜邊的一半可求b，由銳角的正切定義可求a；（2）由銳角的正弦定義，勾股定理可求AD長．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴b＝c＝4，∵tanA＝，∴a＝btanA，∴a＝4×＝12；（2）∵∠C＝90，∠BDC＝45°，∴△BDC是等腰直角三角形，∴BC＝CD＝6，∵sinA＝，∴AB＝＝10，∵AC2＝AB2﹣BC2，∴AC2＝102﹣62，∴AC＝8，∴AD＝AC﹣DC＝2．【變式6.1】（2022秋?清江浦區(qū)月考）如圖，在△ABC中，sinB＝，tanC＝，AB＝3，求AC、BC的長．【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ABD中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出AD，從而求出BD，再在Rt△ADC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD，利用勾股定理求出AC，最后求出BC即可．【解答】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ABD中，sinB＝，AB＝3，∴AD＝AB?sinB＝3×＝1，∴BD＝＝＝＝2，在Rt△ADC中，tanC＝，∴CD＝＝＝，∴AC＝＝＝，∴BC＝BD+CD＝2+＝3，∴AC的長為，BC長為3．【變式6.2】（2022?宿豫區(qū)校級開學(xué)）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．連接AC，AC⊥CD．如果sin∠ACB＝，求AD的長．【分析】先在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝2，sin∠ACB＝，∴AC＝＝＝6，∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∵CD＝8，∴AD＝＝＝10，∴AD的長為10．【變式6.3】（2022秋?姑蘇區(qū)校級期中）小華同學(xué)學(xué)習(xí)了《解直角三角形》后，對求三角形的面積方法進(jìn)行了研究，得到了新的結(jié)論．（1）如圖1，已知銳角△ABC．求證：S△ABC＝AB?AC?sinA．（2）根據(jù)題（1）得到的信息，請完成下題：如圖2，在等腰△ABC中，AB＝AC＝12cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著邊AB移動(dòng)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿著邊CA移動(dòng)，點(diǎn)Q的速度是1cm/s，點(diǎn)P的速度是點(diǎn)Q速度的2倍，若它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為ts．當(dāng)t為何值時(shí)，＝？【分析】（1）△ABC的面積等于AB與AB邊上高的乘積的一半，要證明結(jié)論，只需證明AB邊上的高等于AC?sinA；（2）點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著邊AB移動(dòng)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿著邊CA移動(dòng)，點(diǎn)P的速度是點(diǎn)Q速度的2倍，則AP＝2CQ；設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，用含有t的代數(shù)式結(jié)合三角形的面積公式分別表示出S△APQ和S△ABC，再結(jié)合已知即可解答．【解答】（1）證明：如圖所示，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則sinA＝，∴CD＝AC?sinA，∵S△ABC＝AB?CD，∴S△ABC＝AB?AC?sinA；（2）解：設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP＝2t，CQ＝t，AQ＝12﹣t，由（1）得：S△APQ＝AP?AQ?sinA＝×（12﹣t）×2t×sinA＝t（12﹣t）sinA．S△ABC＝AB?AC?sinA＝×12×12sinA＝72sinA，當(dāng)＝時(shí)，＝，∴整理得出：t2﹣12t+27＝0，（t﹣3）（t﹣9）＝0，解得：t1＝3，t2＝9（不合題意舍去），∴當(dāng)t＝3秒時(shí)，＝．【考點(diǎn)7】銳角三角函數(shù)的應(yīng)用：坡度坡角問題【例7】（2022秋?高新區(qū)校級期中）如圖1，居家網(wǎng)課學(xué)習(xí)時(shí)，小華先將筆記本電腦水平放置在桌子上，顯示屏OB與底板OA所在水平線的夾角150°，側(cè)面示意圖如圖2；如圖3，使用時(shí)為了散熱，他在底板下墊入散熱架ACO'后，電腦轉(zhuǎn)到AO'B'位置，側(cè)面示意圖如圖4．已知OA＝OB，O'C⊥OA于點(diǎn)C，AO'：O'C＝5：3，AC＝40cm．（1）求OA的長；（2）墊入散熱架后，顯示屏頂部B'比原來升高了多少cm？【分析】（1）設(shè)AO′＝5xcm，O′C＝3xcm，利用勾股定理得到AO′＝4x，則4x＝40，解方程可得到AO′＝50cm，O′C＝30cm，所以AO為50cm；（2）過B點(diǎn)作BH⊥AO于H點(diǎn)，如圖，先計(jì)算出∠BOH＝30°，利用30的正弦得到BH＝25cm，再計(jì)算CB′＝80cm，然后計(jì)算B′C′﹣BH即可．【解答】解：（1）∵AO'：O'C＝5：3，∴設(shè)AO′＝5xcm，O′C＝3xcm，∵O'C⊥OA，∴∠ACO′＝90°，∵AO′＝＝4x，∴4x＝40，解得x＝10，∴AO′＝50cm，O′C＝30cm，∴AO＝AO′＝50cm；答：OA的長為50cm；（2）過B點(diǎn)作BH⊥AO于H點(diǎn)，如圖，∴∠AOB＝150°，∴∠BOH＝30°，∵BH＝OB＝25cm，∵CB′＝O′B′+CO′＝50+30＝80（cm）∴B′C′﹣BH＝80﹣25＝55（cm），∴顯示屏的頂部B′比原來升高了55cm．【變式7.1】（2022秋?高新區(qū)期中）如圖，水壩的橫截面是梯形ABCD（DC∥AB），迎水坡BC的坡角α為30°，背水坡AD的坡度i為1：1.2，壩頂寬DC＝2.5米，壩高5米．求：（1）壩底寬AB的長（結(jié)果保留根號）；（2）在上題中，為了提高堤壩的防洪能力，市防汛指揮部決定加固堤壩，要求壩頂CD加寬0.5米，背水坡AD的坡度改為1：1.4，求橫截面增加的面積．（結(jié)果保留根號）【分析】（1）作DF⊥AB于點(diǎn)F，根據(jù)坡度的概念求出AF，根據(jù)正切的定義求出BE，得到壩底寬AB的長；（2）作D′G⊥A′B于點(diǎn)G，求出CD′、A′B，再根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：（1）作DF⊥AB，垂足為F，∵DC∥EF，DF∥CE，DF⊥AB，∴四邊形DFEC為矩形，∴FE＝DC＝2.5，DF＝CE＝5，在Rt△AFD中，坡AD的坡度i為1：1.2，∴AF＝1.2DF＝1.2×5＝6，在Rt△CEB中，tanα＝，∴BE＝＝5，∴AB＝AF+FE+EB＝（+5）米；（2）如圖，作D′G⊥A′B于G，在Rt△A'GD′中，A′G＝1.4D′G＝7，∴A′A＝A′G+GF﹣AF＝1.5，∴梯形D′A′AD的面積＝×（0.5+1.5）×5＝5，答：橫截面增加的面積為5平方米．【變式7.2】（2022秋?惠山區(qū)校級月考）某中學(xué)廣場上有旗桿如圖1所示，在學(xué)習(xí)解直角三角形以后，數(shù)學(xué)興趣小組測量了旗桿的高度．如圖2，某一時(shí)刻，旗桿AB的影子一部分落在平臺上，另一部分落在斜坡上，測得落在平臺上的影長BC為4米，落在斜坡上的影長CD為3米，AB⊥BC，同一時(shí)刻，光線與水平面的夾角為72°，1米的豎立標(biāo)桿PQ在斜坡上的影長QR為2米．（1）直接寫出∠BAD＝18°；（2）求旗桿的高度．（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）【分析】（1）過點(diǎn)D作DE⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)E，可得∠ADE＝72°，即可得∠BAD＝180°﹣90°﹣72°＝18°．（2）過點(diǎn)C作CM∥AB，交AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥AB于點(diǎn)N，由平行投影可得，可求得CM＝BN＝米，在Rt△AMN中，tan72°＝≈3.08，求出AN的值，根據(jù)AB＝AN+BN可得答案．【解答】解：（1）過點(diǎn)D作DE⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)E，由題意得，∠ADE＝72°，∴∠BAD＝180°﹣90°﹣72°＝18°．故答案為：18°．（2）過點(diǎn)C作CM∥AB，交AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥AB于點(diǎn)N，由題意得，∠AMN＝72°，CM＝BN，MN＝BC＝4米，由平行投影可得，，即，解得CM＝，∴BN＝米，在Rt△AMN中，tan72°＝≈3.08，解得AN≈12.3，∴AB＝AN+BN≈13.8米．∴旗桿的高度約為13.8米．【變式7.3】（2022?姜堰區(qū)二模）2022年2月20日，舉世矚目的北京冬奧會圓滿落下帷幕．本次冬奧會的成功舉辦掀起了全民冰雪運(yùn)動(dòng)的熱潮．圖1、圖2分別是一名滑雪運(yùn)動(dòng)員在滑雪過程中某一時(shí)刻的實(shí)物圖與示意圖，已知運(yùn)動(dòng)員的小腿ED與斜坡AB垂直，大腿EF與斜坡AB平行，G為頭部，假設(shè)G，E，D三點(diǎn)共線且頭部到斜坡的距離GD為1.04m，上身與大腿夾角∠GFE＝53°，膝蓋與滑雪板后端的距離EM長為0.8m，∠EMD＝30°．（1）求此滑雪運(yùn)動(dòng)員的小腿ED的長度；（2）求此運(yùn)動(dòng)員的身高．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）【分析】（1）在Rt△DEM中，EM＝0.8m，∠EMD＝30°，sin30°＝＝，即可得出DE．（2）由（1）得，DE＝0.4m，則GE＝GD﹣ED＝0.64（m），在Rt△GEF中，tan53°＝≈，sin53°＝≈，解得EF＝0.48，F(xiàn)G＝0.8，根據(jù)運(yùn)動(dòng)員的身高為GF+EF+DE可得出答案．【解答】解：（1）在Rt△DEM中，EM＝0.8m，∠EMD＝30°，sin30°＝＝，解得DE＝0.4，∴此滑雪運(yùn)動(dòng)員的小腿ED的長度為0.4m．（2）由（1）得，DE＝0.4m，∴GE＝GD﹣ED＝1.04﹣0.4＝0.64（m），∵EF∥AB，∴∠GEF＝∠EDB＝90°，在Rt△GEF中，∠GFE＝53°，GE＝0.64m，tan53°＝≈，sin53°＝≈，∴EF＝0.48，F(xiàn)G＝0.8，∴運(yùn)動(dòng)員的身高為GF+EF+DE＝0.8+0.48+0.4＝1.68（m）．【考點(diǎn)8】銳角三角函數(shù)的應(yīng)用：仰角俯角問題【例8】（2022秋?惠山區(qū)期中）如圖，小明和小華住在同一個(gè)小區(qū)不同單元樓，他們想要測量小明家所在單元樓AB的高度．首先他們在兩棟單元樓之間選定一點(diǎn)E，然后小華在自己家陽臺C處測得E處的俯角為∠1．小明站在E處，眼睛F望向樓頂A的仰角為∠2，發(fā)現(xiàn)∠1與∠2互余．過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G．已知BG＝1.5米，BE＝CD＝20米，BD＝60米，點(diǎn)B、E、D在一條直線上．AB⊥BD，F(xiàn)E⊥BD，CD⊥BD，試求單元樓AB的高．（注：BE＝FG，BG＝EF，∠1與∠3互余）．【分析】根據(jù)題意得四邊形BEFG是矩形，求得FG＝BE＝20米，BG＝EF＝1.5米，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：由圖可得∠1+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，∴∠2＝∠3，∵FG⊥AB，CD⊥BD，∴∠AGF＝∠EDC＝90°，∵BE＝CD，F(xiàn)G＝BE，∴FG＝CD＝20，在△AFG與△EDC中，，∴△AFG≌△ECD（ASA），∴AG＝DE＝BD﹣BE＝40米，∴AB＝AG+BG＝40+1.5＝41.5（米），答：單元樓AB的高為41.5米．【變式8.1】（2022?鼓樓區(qū)校級二模）越來越多太陽能路燈的使用，既點(diǎn)亮了城市的風(fēng)景，也使節(jié)能環(huán)保的舉措得以落實(shí)．某校學(xué)生開展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測量太陽能路燈電池板離地面的高度．如圖，測傾器的高度為1.6米，在測點(diǎn)A處安置測傾器，測得點(diǎn)M的仰角∠MBC＝33°，在與點(diǎn)A相距3.5米的測點(diǎn)D處安置測傾器，測得點(diǎn)M的仰角∠MEC＝45°（點(diǎn)A、D與N在一條直線上），求電池板離地面的高度MN（結(jié)果精確到1米）．參考數(shù)據(jù)：tan33°≈0.65，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84．【分析】延長BC交MN于點(diǎn)F，則DE＝AB＝FN＝1.6米，BE＝AD＝3.5米，∠MFB＝90°，設(shè)MF＝x米，然后在Rt△MFE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出EF的長，再在Rt△BFM中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：延長BC交MN于點(diǎn)F，則DE＝AB＝FN＝1.6米，BE＝AD＝3.5米，∠MFB＝90°，設(shè)MF＝x米，在Rt△MFE中，∠MEF＝45°，∴EF＝＝x（米），∴BF＝BE+EF＝（x+3.5）米，在Rt△BFM中，∠MBF＝33°，∴tan33°＝＝≈0.65，解得：x＝6.5，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝6.5是原方程的根，∴MF＝6.5米，∴MN＝MF+FN＝6.5+1.6≈8（米），∴電池板離地面的高度MN約為8米．【變式8.2】（2022秋?靖江市校級月考）某數(shù)學(xué)小組為了測量萬樓主樓高度，進(jìn)行了如下操作：如圖，用一架無人機(jī)在樓基A處起飛，沿直線飛行120米至點(diǎn)B，在此處測得樓基A的俯角為60°，再將無人機(jī)沿水平方向向右飛行30米至點(diǎn)C，在此處測得樓頂D的俯角為30°．（1）填空：∠EBA＝60度，∠ECD＝30度；（2）求萬樓主樓AD的高度．（結(jié)果保留整數(shù)，≈1.41，≈1.73）【分析】（1）由題意可得結(jié)論；（2）在Rt△ABE中和Rt△CDE中，AB＝120米，∠ABE＝60°，∠DCE＝30°，CE＝BE+CB，根據(jù)解直角三角形的應(yīng)用，在Rt△ABE中，可計(jì)算出BE和AE的長度，在Rt△CDE中，可計(jì)算出AD的長度，由AD＝AE﹣DE計(jì)算即可得出答案．【解答】解：（1）由題意可得，∠EBA＝60度，∠ECD＝30度；故答案為：60，30；（2）在Rt△ABE中，∵AB＝120米，∠ABE＝60°，∴BE＝AB＝120＝60（米），AE＝sin60°?AB＝×120＝60（米），在Rt△CDE中，∵∠DCE＝30°，CE＝BE+CB＝60+30＝90（米），∴DE＝tan30°?CE＝×90＝30（米），∴AD＝AE﹣DE＝60﹣30＝30≈52（米）．答：萬樓主樓AD的高度約為52米．【變式8.3】（2022?淮安二模）我市里運(yùn)河風(fēng)光帶的國師塔，高大挺拔，古樸雄渾，別具一格．小明想知道國師塔的高度，在附近一高層小區(qū)頂樓A處，測得國師塔塔頂D處的俯角∠EAD＝9.7°，塔底C處俯角∠EAC＝26.6°，小明所在位置高度AB＝95m．（1）求兩棟建筑物之間的水平距離BC；（2）求國師塔高度CD．（結(jié)果精確到1m）（參考數(shù)據(jù)：sin9.7°≈0.17，tan9.7°≈0.17，sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50）【分析】（1）延長CD交AE于點(diǎn)F，根據(jù)題意得：CF＝AB，CF⊥AE，從而在Rt△ACF中，利用tan∠CAF＝，求得兩建筑物底部之間水平距離；（2）在Rt△AFD中利用∠FAD＝9.7°，求得DF，然后即可求得CD的長．【解答】解：（1）延長CD交AE于點(diǎn)F，根據(jù)題意得：CF＝AB，CF⊥AE，在Rt△ACF中，tan∠CAF＝，∴tan26.6°＝≈0.5，∴AF≈190，∴BC＝AF＝190米，答：兩建筑物底部之間水平距離BD的長度為190米；（2）在Rt△AFD中，∠FAD＝9.7°，∴DF＝AF?tan∠FAD＝190×0.17≈32.3，又∵FC＝95米，∴CD＝95﹣32.3≈63（米）．答：國師塔高度為63米．【考點(diǎn)9】銳角三角函數(shù)的應(yīng)用：方向角問題【例9】（2022秋?虎丘區(qū)校級期中）如圖，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個(gè)觀測站，A在B的正東方向．有一艘漁船在點(diǎn)P處，從A處測得漁船在北偏西60°的方向，從B處測得漁船在其東北方向，且測得B，P兩點(diǎn)之間的距離為20海里．（1）求觀測站A，B之間的距離（結(jié)果保留根號）；（2）漁船從點(diǎn)P處沿射線AP的方向航行一段時(shí)間后，到點(diǎn)C處等待補(bǔ)給，此時(shí)，從B測得漁船在北偏西15°的方向．在漁船到達(dá)C處的同時(shí)，一艘補(bǔ)給船從點(diǎn)B出發(fā)，以每小時(shí)20海里的速度前往C處，請問補(bǔ)給船能否在82分鐘之內(nèi)到達(dá)C處？（參考數(shù)據(jù)：≈1.73）【分析】（1）過點(diǎn)P作PD⊥AB于D點(diǎn)，可得∠BDP＝∠ADP＝90°，然后在Rt△PBD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BD，DP的長，再在Rt△PAD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）過點(diǎn)B作BF⊥AC，垂足為F，根據(jù)題意得：∠ABC＝105°，∠PAD＝30°，從而求出∠C＝45°，然后在Rt△ABF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BF的長，再在Rt△BCF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）過點(diǎn)P作PD⊥AB于D點(diǎn)，∴∠BDP＝∠ADP＝90°，在Rt△PBD中，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，BP＝20海里，∴PD＝BP?sin45°＝20×＝10（海里），BD＝BP?cos45°＝20×＝10（海里），在Rt△PAD中，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝＝＝10（海里），∴AB＝BD+AD＝（10+10）海里，∴觀測站A，B之間的距離為（10+10）海里；（2）補(bǔ)給船能在82分鐘之內(nèi)到達(dá)C處，理由：過點(diǎn)B作BF⊥AC，垂足為F，∴∠AFB＝∠CFB＝90°由題意得：∠ABC＝90°+15°＝105°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠PAD＝45°，在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝（5+5）海里，在Rt△BCF中，∠C＝45°，∴BC＝＝＝（10+10）海里，∴補(bǔ)給船從B到C處的航行時(shí)間＝×60＝30+30≈81.9（分鐘）＜82分鐘，∴補(bǔ)給船能在82分鐘之內(nèi)到達(dá)C處．【變式9.1】（2022?東?？h二模）如圖輪船從島M向島N行駛，島M位于碼頭A的正南方向80海里處，在M處測得碼頭B在M的北偏西45°方向上，輪船行駛60海里到達(dá)島N，此時(shí)測得島M在島N的北偏東63°方向上，碼頭C在N的北偏西30°方向上，已知碼頭B，C都在碼頭A的正西方向，求碼頭B與碼頭C之間的距離．（結(jié)果精確到0.1海里．參考數(shù)據(jù)：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，≈1.73）【分析】證△ABM是等腰直角三角形，則AB＝AM＝80海里，過點(diǎn)N作ND⊥AC于D，過點(diǎn)M作ME⊥ND于E，再由銳角三角函數(shù)定義求出A