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2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【蘇科版】專題1.9銳角三角函數(shù)精講精練【目標(biāo)導(dǎo)航】【知識梳理】1.銳角三角函數(shù)的定義在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)正弦:我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦,記作sinA.即sinA=∠A的對邊除以斜邊=(2)余弦:銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦,記作cosA.即cosA=∠A的鄰邊除以斜邊=.(3)正切:銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切,記作tanA.即tanA=∠A的對邊除以∠A的鄰邊=.(4)三角函數(shù):銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).2.特殊角的三角函數(shù)值(1)30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值(2)應(yīng)用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值,一是按值的變化規(guī)律去記,正弦逐漸增大,余弦逐漸減小,正切逐漸增大;二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記.(3)特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛,一是它可以當(dāng)作數(shù)進(jìn)行運(yùn)算,二是具有三角函數(shù)的特點(diǎn),在解直角三角形中應(yīng)用較多.3.解直角三角形:(1)解直角三角形的定義在直角三角形中,由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.(2)解直角三角形要用到的關(guān)系①銳角、直角之間的關(guān)系:∠A+∠B=90°;②三邊之間的關(guān)系:③邊、角之間的關(guān)系:sinA==,cosA=,tanA=,(a,b,c分別是∠A、∠B、∠C的對邊).4.解直角三角形的應(yīng)用:(1)通過解直角三角形能解決實(shí)際問題中的很多有關(guān)測量問.如:測不易直接測量的物體的高度、測河寬等,關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形,通過測量角的度數(shù)和測量邊的長度,計(jì)算出所要求的物體的高度或長度.(2)解直角三角形的一般過程是:①將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題(畫出平面圖形,構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題).②根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形,得到數(shù)學(xué)問題的答案,再轉(zhuǎn)化得到實(shí)際問題的答案.5.坡度、坡角問題(1)坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比,又叫做坡比,它是一個(gè)比值,反映了斜坡的陡峭程度,一般用i表示,常寫成i=1:m的形式.(2)把坡面與水平面的夾角α叫做坡角,坡度i與坡角α之間的關(guān)系為:i=h/l=tanα.(3)在解決坡度的有關(guān)問題中,一般通過作高構(gòu)成直角三角形,坡角即是一銳角,坡度實(shí)際就是一銳角的正切值,水平寬度或鉛直高度都是直角邊,實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問題.應(yīng)用領(lǐng)域:①測量領(lǐng)域;②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域:④工程領(lǐng)域等.6.俯角、仰角問題:(1)概念:仰角是向上看的視線與水平線的夾角;俯角是向下看的視線與水平線的夾角.(2)解決此類問題要了解角之間的關(guān)系,找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形,當(dāng)圖形中沒有直角三角形時(shí),要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形,另當(dāng)問題以一個(gè)實(shí)際問題的形式給出時(shí),要善于讀懂題意,把實(shí)際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決.【典例剖析】【考點(diǎn)1】銳角三角函數(shù)的定義【例1】(2022秋?姑蘇區(qū)校級期中)在直角三角形中,若各邊都擴(kuò)大為原來的2倍,則其銳角的三角函數(shù)值()A.都擴(kuò)大為原來的2倍 B.都縮小為原來的一半 C.都沒有變化 D.不能確定【分析】在直角三角形中,銳角三角函數(shù)值即為邊的比值;根據(jù)銳角三角函數(shù)值的概念進(jìn)行分析即可得到答案.【解答】解:根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念,知如果各邊都擴(kuò)大原來的2倍,則其銳角的三角函數(shù)值不變.故選:C.【變式1.1】(2017秋?淮陰區(qū)校級月考)△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,tanB的值是()A. B. C. D.【分析】根據(jù)勾股定理求出AC,根據(jù)正切的定義計(jì)算即可.【解答】解:如圖:∵∠C=90°,BC=5,AB=13,∴AC===12,∴tanB==,故選:D.【變式1.2】(2022秋?高新區(qū)期中)如圖,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,下列三角函數(shù)表示正確的是()A. B. C. D.【分析】先利用勾股定理求出BC的長,然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義對各選項(xiàng)分別進(jìn)行計(jì)算.【解答】解:∵∠ACB=90°,AB=5,AC=4,∴BC==3,∴sinA=,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤,不符合題意;cosA=,故選項(xiàng)B正確,符合題意;tanA=,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤,不符合題意;tanB=,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤,不符合題意.故選:B.【變式1.3】(2021秋?姜堰區(qū)期末)如圖,在△ABC中,∠C=90°,如果AC=8,AB=10,那么∠A的正弦值為()A. B. C. D.【分析】利用勾股定理求出BC,再利用銳角三角函數(shù)求出結(jié)果即可.【解答】解:在△ABC中,∠C=90°,如果AC=8,AB=10,由勾股定理得,BC===6,所以sinA===,故選:C.【考點(diǎn)2】同角三角函數(shù)【例2】(2022秋?惠山區(qū)校級月考)x為銳角,,則cosx的值為()A. B. C. D.【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系:sin2x+cos2x=1解答即可.【解答】解:∵sin2x+cos2x=1,,∴cosx===.故選:B.【變式2.1】(2022?鐘樓區(qū)校級模擬)在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=,則cosA等于()A. B. C. D.【分析】根據(jù)tanA=求出第三邊長的表達(dá)式,求出cosA即可.【解答】解:如圖:設(shè)BC=5x,∵tanA=,∴AC=12x,AB==13x,∴cosA===.故選:D.【變式2.2】(2020秋?靖江市校級月考)在△ABC中,∠C=90°,cosA=,那么tanA等于()A. B. C. D.【分析】根據(jù)cosA=,設(shè)出關(guān)于兩邊的代數(shù)表達(dá)式,再根據(jù)勾股定理求出第三邊長的表達(dá)式即可推出tanA的值.【解答】解:∵cosA=知,設(shè)b=3x,則c=5x,根據(jù)a2+b2=c2得a=4x.∴tanA===.故選:D.【變式2.3】(2019?秦淮區(qū)一模)已知Rt△ABC,∠C=90°,若∠A>∠B,則下列選項(xiàng)正確的是()A.sinA<sinB B.cosA<cosB C.tanA<tanB D.sinA<cosA【分析】根據(jù)大角對大邊定理以及三角函數(shù)的定義即可求出答案.【解答】解:設(shè)∠A,∠B,∠C對應(yīng)的邊為a,b,c∵∠A>∠B,∴a>b,∵sinA=,sinB=,cosA=,cosB=,∴sinA>sinB,cosA<cosB,故選:B.【考點(diǎn)3】特殊角的三角函數(shù)【例3】(2020秋?亭湖區(qū)校級期末)在△ABC中,若|sinA﹣|+(﹣cosB)2=0,則∠C的度數(shù)是()A.45° B.75° C.105° D.120°【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)系式,根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A、∠B的度數(shù),根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可.【解答】解:由題意得,sinA﹣=0,﹣cosB=0,即sinA=,=cosB,解得,∠A=30°,∠B=45°,∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=105°,故選:C.【變式3.1】(2022?泗陽縣一模)已知∠A為銳角,且sinA=,那么∠A等于()A.15° B.30° C.45° D.60°【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解.【解答】解:∵sinA=,∠A為銳角,∴∠A=30°.故選:B.【變式3.2】(2021秋?金壇區(qū)月考)已知銳角α滿足tan(α+10°)=1,則銳角α的度數(shù)為()A.20° B.35° C.45° D.50°【分析】根據(jù)45°的正切值為1解答即可.【解答】解:∵tan(α+10°)=1,tan45°=1,∴α+10°=45°,∴α=35°,故選:B.【變式3.3】(2022?淮陰區(qū)模擬)如圖,以O(shè)為圓心,任意長為半徑畫弧,與射線OA交于點(diǎn)B,再以B為圓心,BO長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)C,畫射線OC,則sin∠AOC的值為()A. B. C. D.【分析】根據(jù)作圖的方法得出△OBC是等邊三角形,進(jìn)而利用特殊角的三角函數(shù)值求出答案.【解答】解:連接BC,由題意可得:OB=OC=BC,則△OBC是等邊三角形,故sin∠AOC=sin60°=.故選:D.【考點(diǎn)4】三角函數(shù)的表格問題【例4】(2022秋?靖江市期中)如圖,在6×6正方形網(wǎng)格中,△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都在網(wǎng)格線上,且都是小正方形邊的中點(diǎn),則sinA的值為()A. B.2 C. D.【分析】通過平移將△ABC的頂點(diǎn)A、B、C移到格點(diǎn)上,利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形及直角邊的長,由勾股定理求出斜邊的長,由銳角三角函數(shù)的定義可得答案.【解答】解:△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都在網(wǎng)格線上,且都是小正方形邊的中點(diǎn),因此可將△ABC向右平移正方形邊長的一半得到△A′B′C′,如圖所示,則點(diǎn)A′、B′、C′在格點(diǎn)上,過點(diǎn)C′作C′D⊥AB,垂足為D,則A′D=3,C′D=4,∴A′C′==5,∴sinA=sinA′==,故選:C.【變式4.1】(2022?工業(yè)園區(qū)模擬)如圖,在正方形方格紙中,每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形,A,B,C,D都在格點(diǎn)處,AB與CD相交于點(diǎn)P,則sin∠APC的值為()A. B. C. D.【分析】把AB向上平移一個(gè)單位到DE,連接CE,則DE∥AB,由勾股定理逆定理可以證明△DCE為直角三角形,所以sin∠APC=sin∠EDC即可得答案.【解答】解:把AB向上平移一個(gè)單位到DE,連接CE,如圖.則DE∥AB,∴∠APC=∠EDC.在△DCE中,有EC==,DC==2,DE==5,∵EC2+DC2=DE2,故△DCE為直角三角形,∠DCE=90°.∴sin∠APC=sin∠EDC==.故選:D.【變式4.2】(2022?從化區(qū)一模)如圖,將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中,點(diǎn)A,B,C在格點(diǎn)上,則∠A正切值是()A. B. C.2 D.【分析】取格點(diǎn)D,E,連接BD,可得∠ADB=90°,再由勾股定理求得線段AD、AB的長,然后由銳角三角函數(shù)定義求解即可.【解答】解:取格點(diǎn)D,E,連接BD,如圖,∵∠ADE=∠BDE=45°,∴∠ADB=90°,由勾股定理得:AD==2,BD==,∴tanA===,故選:D.【變式4.3】(2022秋?靖江市校級月考)如圖,在4×4正方形網(wǎng)格中,點(diǎn)A,B,C為網(wǎng)格交點(diǎn),AD⊥BC,垂足為D,則sin∠BAD的值為()A. B. C. D.【分析】先利用等面積法求出AD,在△ABD中,再利用勾股定理求出BD,利用正弦的定義求出sin∠BAD即可.【解答】解:法一:如圖,連接AC,在Rt△BEC中,BC==5,∵AD⊥BC,∴=8,即,解得AD=,在Rt△ADB中,BD=,∴sin∠BAD=.法二:在Rt△BEC中,BC==5,∵AD⊥BC,∴∠ABD+∠BAD=90°,∵∠ABD+∠CBE=90°,∴∠BAD=∠CBE,∴sin∠BAD=sin∠CBE=.故選:C.【考點(diǎn)5】解直角三角形【例5】(2022秋?惠山區(qū)期中)如圖,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,已知tanB=,S△ACD=2,則S△ABC=10.【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)求出CD與BD的比,由相似三角形面積的比等于相似比的平方求出△CBD的面積,進(jìn)而可以求出△ABC的面積.【解答】解:∵CD⊥AB,tanB=,∴=,∵△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,∴△ACD∽△CBD,∴S△ACD:S△CBD=1:4,∵S△ACD=2,∴S△CBD=8,∴S△ABC=S△ACD+S△CBD=2+8=10.故答案為:10.【變式5.1】(2022秋?工業(yè)園區(qū)校級期中)在△ABC中,sinB=,AC=2,AD是BC邊上的高,∠ACD=45°,則BC的長為2或6.【分析】利用勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)先求出CD、AD,再利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出AB,勾股定理求出BD,最后利用線段的和差阿關(guān)系求出BC.【解答】解:當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí),∵AD是BC邊上的高,∠ACD=45°,∴CD=AD.∵AC2=CD2+AD2,AC=2,∴CD=AD=2.∵sinB==,∴AB=2.在Rt△ABD中,BD====4.∴BC=BD﹣CD=4﹣2=2.若點(diǎn)D在線段BC上時(shí),同理可求BD=4,CD=2,∴BC=6,故答案為:2或6.【變式5.2】(2022?常州)如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,DB平分∠ADC.若AD=1,CD=3,則sin∠ABD=.【分析】過點(diǎn)D作DE⊥BC,垂足為E,如圖,由已知∠A=∠ABC=90°,可得AD∥BC,由平行線的性質(zhì)可得∠ADB=∠CBD,根據(jù)角平分線的定義可得∠ADB=∠CDB,則可得CD=CB=3,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AD=BE,即可得CE=BC﹣BE,在Rt△CDE中,根據(jù)勾股定理DE=,在Rt△ADB中,根據(jù)勾股定理可得,根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義進(jìn)行求解即可得出答案.【解答】解:過點(diǎn)D作DE⊥BC,垂足為E,如圖,∵∠A=∠ABC=90°,∴AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∵DB平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB,∴CD=CB=3,∵AD=BE=1,∴CE=BC﹣BE=3﹣1=2,在Rt△CDE中,DE===,∵DE=AB,在Rt△ADB中,==,∴sin∠ABD==.故答案為:.【變式5.3】(2022春?宿豫區(qū)期中)如圖,在△ABC中,AC=2,∠A=15°,∠B=30°,則△ABC的面積為(﹣1).【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)D,在Rt△ADC中,運(yùn)用三角函數(shù)求AD=CD的長,在Rt△ABD中,運(yùn)用三角函數(shù)求出BD的長,最后運(yùn)用三角形面積公式計(jì)算.【解答】解:過點(diǎn)A作AD⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)D,∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∵∠A=15°,∠B=30°,∴∠DAC=∠DCA=30°+15°=45°,AB=2AD,∴AD=CD,在Rt△ADC中,AC=2,∴AD=CD=,在Rt△ABD中,BD=,∴S△ABC=S△ABD﹣S△ADC===﹣1,故答案為:(﹣1).【考點(diǎn)6】三角函數(shù)與幾何問題【例6】(2022秋?虎丘區(qū)校級期中)(1)在△ABC中,∠C=90°.已知c=8,∠A=60°,求∠B,a,b;(2)如圖,在△ABC中,∠C=90°,sinA=,D為AC上一點(diǎn),∠BDC=45°,CD=6.求AD的長.【分析】(1)由∠A與∠B互余即可求出∠B,由直角三角形中30°的直角邊等于斜邊的一半可求b,由銳角的正切定義可求a;(2)由銳角的正弦定義,勾股定理可求AD長.【解答】解:(1)∵∠C=90°,∠A=60°,∴∠B=90°﹣∠A=30°,∴b=c=4,∵tanA=,∴a=btanA,∴a=4×=12;(2)∵∠C=90,∠BDC=45°,∴△BDC是等腰直角三角形,∴BC=CD=6,∵sinA=,∴AB==10,∵AC2=AB2﹣BC2,∴AC2=102﹣62,∴AC=8,∴AD=AC﹣DC=2.【變式6.1】(2022秋?清江浦區(qū)月考)如圖,在△ABC中,sinB=,tanC=,AB=3,求AC、BC的長.【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足為D,在Rt△ABD中,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出AD,從而求出BD,再在Rt△ADC中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD,利用勾股定理求出AC,最后求出BC即可.【解答】解:過點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足為D,在Rt△ABD中,sinB=,AB=3,∴AD=AB?sinB=3×=1,∴BD====2,在Rt△ADC中,tanC=,∴CD===,∴AC===,∴BC=BD+CD=2+=3,∴AC的長為,BC長為3.【變式6.2】(2022?宿豫區(qū)校級開學(xué))如圖,在四邊形ABCD中,∠B=90°,AB=2,CD=8.連接AC,AC⊥CD.如果sin∠ACB=,求AD的長.【分析】先在Rt△ABC中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長,然后在Rt△ACD中,利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答.【解答】解:∵∠B=90°,AB=2,sin∠ACB=,∴AC===6,∵AC⊥CD,∴∠ACD=90°,∵CD=8,∴AD===10,∴AD的長為10.【變式6.3】(2022秋?姑蘇區(qū)校級期中)小華同學(xué)學(xué)習(xí)了《解直角三角形》后,對求三角形的面積方法進(jìn)行了研究,得到了新的結(jié)論.(1)如圖1,已知銳角△ABC.求證:S△ABC=AB?AC?sinA.(2)根據(jù)題(1)得到的信息,請完成下題:如圖2,在等腰△ABC中,AB=AC=12cm,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿著邊AB移動(dòng),點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā),沿著邊CA移動(dòng),點(diǎn)Q的速度是1cm/s,點(diǎn)P的速度是點(diǎn)Q速度的2倍,若它們同時(shí)出發(fā),設(shè)移動(dòng)時(shí)間為ts.當(dāng)t為何值時(shí),=?【分析】(1)△ABC的面積等于AB與AB邊上高的乘積的一半,要證明結(jié)論,只需證明AB邊上的高等于AC?sinA;(2)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿著邊AB移動(dòng),點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā),沿著邊CA移動(dòng),點(diǎn)P的速度是點(diǎn)Q速度的2倍,則AP=2CQ;設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒,用含有t的代數(shù)式結(jié)合三角形的面積公式分別表示出S△APQ和S△ABC,再結(jié)合已知即可解答.【解答】(1)證明:如圖所示,過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D,則sinA=,∴CD=AC?sinA,∵S△ABC=AB?CD,∴S△ABC=AB?AC?sinA;(2)解:設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒,則AP=2t,CQ=t,AQ=12﹣t,由(1)得:S△APQ=AP?AQ?sinA=×(12﹣t)×2t×sinA=t(12﹣t)sinA.S△ABC=AB?AC?sinA=×12×12sinA=72sinA,當(dāng)=時(shí),=,∴整理得出:t2﹣12t+27=0,(t﹣3)(t﹣9)=0,解得:t1=3,t2=9(不合題意舍去),∴當(dāng)t=3秒時(shí),=.【考點(diǎn)7】銳角三角函數(shù)的應(yīng)用:坡度坡角問題【例7】(2022秋?高新區(qū)校級期中)如圖1,居家網(wǎng)課學(xué)習(xí)時(shí),小華先將筆記本電腦水平放置在桌子上,顯示屏OB與底板OA所在水平線的夾角150°,側(cè)面示意圖如圖2;如圖3,使用時(shí)為了散熱,他在底板下墊入散熱架ACO'后,電腦轉(zhuǎn)到AO'B'位置,側(cè)面示意圖如圖4.已知OA=OB,O'C⊥OA于點(diǎn)C,AO':O'C=5:3,AC=40cm.(1)求OA的長;(2)墊入散熱架后,顯示屏頂部B'比原來升高了多少cm?【分析】(1)設(shè)AO′=5xcm,O′C=3xcm,利用勾股定理得到AO′=4x,則4x=40,解方程可得到AO′=50cm,O′C=30cm,所以AO為50cm;(2)過B點(diǎn)作BH⊥AO于H點(diǎn),如圖,先計(jì)算出∠BOH=30°,利用30的正弦得到BH=25cm,再計(jì)算CB′=80cm,然后計(jì)算B′C′﹣BH即可.【解答】解:(1)∵AO':O'C=5:3,∴設(shè)AO′=5xcm,O′C=3xcm,∵O'C⊥OA,∴∠ACO′=90°,∵AO′==4x,∴4x=40,解得x=10,∴AO′=50cm,O′C=30cm,∴AO=AO′=50cm;答:OA的長為50cm;(2)過B點(diǎn)作BH⊥AO于H點(diǎn),如圖,∴∠AOB=150°,∴∠BOH=30°,∵BH=OB=25cm,∵CB′=O′B′+CO′=50+30=80(cm)∴B′C′﹣BH=80﹣25=55(cm),∴顯示屏的頂部B′比原來升高了55cm.【變式7.1】(2022秋?高新區(qū)期中)如圖,水壩的橫截面是梯形ABCD(DC∥AB),迎水坡BC的坡角α為30°,背水坡AD的坡度i為1:1.2,壩頂寬DC=2.5米,壩高5米.求:(1)壩底寬AB的長(結(jié)果保留根號);(2)在上題中,為了提高堤壩的防洪能力,市防汛指揮部決定加固堤壩,要求壩頂CD加寬0.5米,背水坡AD的坡度改為1:1.4,求橫截面增加的面積.(結(jié)果保留根號)【分析】(1)作DF⊥AB于點(diǎn)F,根據(jù)坡度的概念求出AF,根據(jù)正切的定義求出BE,得到壩底寬AB的長;(2)作D′G⊥A′B于點(diǎn)G,求出CD′、A′B,再根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算,得到答案.【解答】解:(1)作DF⊥AB,垂足為F,∵DC∥EF,DF∥CE,DF⊥AB,∴四邊形DFEC為矩形,∴FE=DC=2.5,DF=CE=5,在Rt△AFD中,坡AD的坡度i為1:1.2,∴AF=1.2DF=1.2×5=6,在Rt△CEB中,tanα=,∴BE==5,∴AB=AF+FE+EB=(+5)米;(2)如圖,作D′G⊥A′B于G,在Rt△A'GD′中,A′G=1.4D′G=7,∴A′A=A′G+GF﹣AF=1.5,∴梯形D′A′AD的面積=×(0.5+1.5)×5=5,答:橫截面增加的面積為5平方米.【變式7.2】(2022秋?惠山區(qū)校級月考)某中學(xué)廣場上有旗桿如圖1所示,在學(xué)習(xí)解直角三角形以后,數(shù)學(xué)興趣小組測量了旗桿的高度.如圖2,某一時(shí)刻,旗桿AB的影子一部分落在平臺上,另一部分落在斜坡上,測得落在平臺上的影長BC為4米,落在斜坡上的影長CD為3米,AB⊥BC,同一時(shí)刻,光線與水平面的夾角為72°,1米的豎立標(biāo)桿PQ在斜坡上的影長QR為2米.(1)直接寫出∠BAD=18°;(2)求旗桿的高度.(結(jié)果精確到0.1米).(參考數(shù)據(jù):sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08)【分析】(1)過點(diǎn)D作DE⊥AB,交AB的延長線于點(diǎn)E,可得∠ADE=72°,即可得∠BAD=180°﹣90°﹣72°=18°.(2)過點(diǎn)C作CM∥AB,交AD于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN⊥AB于點(diǎn)N,由平行投影可得,可求得CM=BN=米,在Rt△AMN中,tan72°=≈3.08,求出AN的值,根據(jù)AB=AN+BN可得答案.【解答】解:(1)過點(diǎn)D作DE⊥AB,交AB的延長線于點(diǎn)E,由題意得,∠ADE=72°,∴∠BAD=180°﹣90°﹣72°=18°.故答案為:18°.(2)過點(diǎn)C作CM∥AB,交AD于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN⊥AB于點(diǎn)N,由題意得,∠AMN=72°,CM=BN,MN=BC=4米,由平行投影可得,,即,解得CM=,∴BN=米,在Rt△AMN中,tan72°=≈3.08,解得AN≈12.3,∴AB=AN+BN≈13.8米.∴旗桿的高度約為13.8米.【變式7.3】(2022?姜堰區(qū)二模)2022年2月20日,舉世矚目的北京冬奧會圓滿落下帷幕.本次冬奧會的成功舉辦掀起了全民冰雪運(yùn)動(dòng)的熱潮.圖1、圖2分別是一名滑雪運(yùn)動(dòng)員在滑雪過程中某一時(shí)刻的實(shí)物圖與示意圖,已知運(yùn)動(dòng)員的小腿ED與斜坡AB垂直,大腿EF與斜坡AB平行,G為頭部,假設(shè)G,E,D三點(diǎn)共線且頭部到斜坡的距離GD為1.04m,上身與大腿夾角∠GFE=53°,膝蓋與滑雪板后端的距離EM長為0.8m,∠EMD=30°.(1)求此滑雪運(yùn)動(dòng)員的小腿ED的長度;(2)求此運(yùn)動(dòng)員的身高.(參考數(shù)據(jù):sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈)【分析】(1)在Rt△DEM中,EM=0.8m,∠EMD=30°,sin30°==,即可得出DE.(2)由(1)得,DE=0.4m,則GE=GD﹣ED=0.64(m),在Rt△GEF中,tan53°=≈,sin53°=≈,解得EF=0.48,F(xiàn)G=0.8,根據(jù)運(yùn)動(dòng)員的身高為GF+EF+DE可得出答案.【解答】解:(1)在Rt△DEM中,EM=0.8m,∠EMD=30°,sin30°==,解得DE=0.4,∴此滑雪運(yùn)動(dòng)員的小腿ED的長度為0.4m.(2)由(1)得,DE=0.4m,∴GE=GD﹣ED=1.04﹣0.4=0.64(m),∵EF∥AB,∴∠GEF=∠EDB=90°,在Rt△GEF中,∠GFE=53°,GE=0.64m,tan53°=≈,sin53°=≈,∴EF=0.48,F(xiàn)G=0.8,∴運(yùn)動(dòng)員的身高為GF+EF+DE=0.8+0.48+0.4=1.68(m).【考點(diǎn)8】銳角三角函數(shù)的應(yīng)用:仰角俯角問題【例8】(2022秋?惠山區(qū)期中)如圖,小明和小華住在同一個(gè)小區(qū)不同單元樓,他們想要測量小明家所在單元樓AB的高度.首先他們在兩棟單元樓之間選定一點(diǎn)E,然后小華在自己家陽臺C處測得E處的俯角為∠1.小明站在E處,眼睛F望向樓頂A的仰角為∠2,發(fā)現(xiàn)∠1與∠2互余.過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G.已知BG=1.5米,BE=CD=20米,BD=60米,點(diǎn)B、E、D在一條直線上.AB⊥BD,F(xiàn)E⊥BD,CD⊥BD,試求單元樓AB的高.(注:BE=FG,BG=EF,∠1與∠3互余).【分析】根據(jù)題意得四邊形BEFG是矩形,求得FG=BE=20米,BG=EF=1.5米,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【解答】解:由圖可得∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,∴∠2=∠3,∵FG⊥AB,CD⊥BD,∴∠AGF=∠EDC=90°,∵BE=CD,F(xiàn)G=BE,∴FG=CD=20,在△AFG與△EDC中,,∴△AFG≌△ECD(ASA),∴AG=DE=BD﹣BE=40米,∴AB=AG+BG=40+1.5=41.5(米),答:單元樓AB的高為41.5米.【變式8.1】(2022?鼓樓區(qū)校級二模)越來越多太陽能路燈的使用,既點(diǎn)亮了城市的風(fēng)景,也使節(jié)能環(huán)保的舉措得以落實(shí).某校學(xué)生開展綜合實(shí)踐活動(dòng),測量太陽能路燈電池板離地面的高度.如圖,測傾器的高度為1.6米,在測點(diǎn)A處安置測傾器,測得點(diǎn)M的仰角∠MBC=33°,在與點(diǎn)A相距3.5米的測點(diǎn)D處安置測傾器,測得點(diǎn)M的仰角∠MEC=45°(點(diǎn)A、D與N在一條直線上),求電池板離地面的高度MN(結(jié)果精確到1米).參考數(shù)據(jù):tan33°≈0.65,sin33°≈0.54,cos33°≈0.84.【分析】延長BC交MN于點(diǎn)F,則DE=AB=FN=1.6米,BE=AD=3.5米,∠MFB=90°,設(shè)MF=x米,然后在Rt△MFE中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出EF的長,再在Rt△BFM中,利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程,進(jìn)行計(jì)算即可解答.【解答】解:延長BC交MN于點(diǎn)F,則DE=AB=FN=1.6米,BE=AD=3.5米,∠MFB=90°,設(shè)MF=x米,在Rt△MFE中,∠MEF=45°,∴EF==x(米),∴BF=BE+EF=(x+3.5)米,在Rt△BFM中,∠MBF=33°,∴tan33°==≈0.65,解得:x=6.5,經(jīng)檢驗(yàn):x=6.5是原方程的根,∴MF=6.5米,∴MN=MF+FN=6.5+1.6≈8(米),∴電池板離地面的高度MN約為8米.【變式8.2】(2022秋?靖江市校級月考)某數(shù)學(xué)小組為了測量萬樓主樓高度,進(jìn)行了如下操作:如圖,用一架無人機(jī)在樓基A處起飛,沿直線飛行120米至點(diǎn)B,在此處測得樓基A的俯角為60°,再將無人機(jī)沿水平方向向右飛行30米至點(diǎn)C,在此處測得樓頂D的俯角為30°.(1)填空:∠EBA=60度,∠ECD=30度;(2)求萬樓主樓AD的高度.(結(jié)果保留整數(shù),≈1.41,≈1.73)【分析】(1)由題意可得結(jié)論;(2)在Rt△ABE中和Rt△CDE中,AB=120米,∠ABE=60°,∠DCE=30°,CE=BE+CB,根據(jù)解直角三角形的應(yīng)用,在Rt△ABE中,可計(jì)算出BE和AE的長度,在Rt△CDE中,可計(jì)算出AD的長度,由AD=AE﹣DE計(jì)算即可得出答案.【解答】解:(1)由題意可得,∠EBA=60度,∠ECD=30度;故答案為:60,30;(2)在Rt△ABE中,∵AB=120米,∠ABE=60°,∴BE=AB=120=60(米),AE=sin60°?AB=×120=60(米),在Rt△CDE中,∵∠DCE=30°,CE=BE+CB=60+30=90(米),∴DE=tan30°?CE=×90=30(米),∴AD=AE﹣DE=60﹣30=30≈52(米).答:萬樓主樓AD的高度約為52米.【變式8.3】(2022?淮安二模)我市里運(yùn)河風(fēng)光帶的國師塔,高大挺拔,古樸雄渾,別具一格.小明想知道國師塔的高度,在附近一高層小區(qū)頂樓A處,測得國師塔塔頂D處的俯角∠EAD=9.7°,塔底C處俯角∠EAC=26.6°,小明所在位置高度AB=95m.(1)求兩棟建筑物之間的水平距離BC;(2)求國師塔高度CD.(結(jié)果精確到1m)(參考數(shù)據(jù):sin9.7°≈0.17,tan9.7°≈0.17,sin26.6°≈0.45,tan26.6°≈0.50)【分析】(1)延長CD交AE于點(diǎn)F,根據(jù)題意得:CF=AB,CF⊥AE,從而在Rt△ACF中,利用tan∠CAF=,求得兩建筑物底部之間水平距離;(2)在Rt△AFD中利用∠FAD=9.7°,求得DF,然后即可求得CD的長.【解答】解:(1)延長CD交AE于點(diǎn)F,根據(jù)題意得:CF=AB,CF⊥AE,在Rt△ACF中,tan∠CAF=,∴tan26.6°=≈0.5,∴AF≈190,∴BC=AF=190米,答:兩建筑物底部之間水平距離BD的長度為190米;(2)在Rt△AFD中,∠FAD=9.7°,∴DF=AF?tan∠FAD=190×0.17≈32.3,又∵FC=95米,∴CD=95﹣32.3≈63(米).答:國師塔高度為63米.【考點(diǎn)9】銳角三角函數(shù)的應(yīng)用:方向角問題【例9】(2022秋?虎丘區(qū)校級期中)如圖,在一筆直的海岸線l上有A,B兩個(gè)觀測站,A在B的正東方向.有一艘漁船在點(diǎn)P處,從A處測得漁船在北偏西60°的方向,從B處測得漁船在其東北方向,且測得B,P兩點(diǎn)之間的距離為20海里.(1)求觀測站A,B之間的距離(結(jié)果保留根號);(2)漁船從點(diǎn)P處沿射線AP的方向航行一段時(shí)間后,到點(diǎn)C處等待補(bǔ)給,此時(shí),從B測得漁船在北偏西15°的方向.在漁船到達(dá)C處的同時(shí),一艘補(bǔ)給船從點(diǎn)B出發(fā),以每小時(shí)20海里的速度前往C處,請問補(bǔ)給船能否在82分鐘之內(nèi)到達(dá)C處?(參考數(shù)據(jù):≈1.73)【分析】(1)過點(diǎn)P作PD⊥AB于D點(diǎn),可得∠BDP=∠ADP=90°,然后在Rt△PBD中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出BD,DP的長,再在Rt△PAD中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長,進(jìn)行計(jì)算即可解答;(2)過點(diǎn)B作BF⊥AC,垂足為F,根據(jù)題意得:∠ABC=105°,∠PAD=30°,從而求出∠C=45°,然后在Rt△ABF中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出BF的長,再在Rt△BCF中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長,進(jìn)行計(jì)算即可解答.【解答】解:(1)過點(diǎn)P作PD⊥AB于D點(diǎn),∴∠BDP=∠ADP=90°,在Rt△PBD中,∠PBD=90°﹣45°=45°,BP=20海里,∴PD=BP?sin45°=20×=10(海里),BD=BP?cos45°=20×=10(海里),在Rt△PAD中,∠PAD=90°﹣60°=30°,∴AD===10(海里),∴AB=BD+AD=(10+10)海里,∴觀測站A,B之間的距離為(10+10)海里;(2)補(bǔ)給船能在82分鐘之內(nèi)到達(dá)C處,理由:過點(diǎn)B作BF⊥AC,垂足為F,∴∠AFB=∠CFB=90°由題意得:∠ABC=90°+15°=105°,∠PAD=90°﹣60°=30°,∴∠C=180°﹣∠ABC﹣∠PAD=45°,在Rt△ABF中,∠BAF=30°,∴BF=AB=(5+5)海里,在Rt△BCF中,∠C=45°,∴BC===(10+10)海里,∴補(bǔ)給船從B到C處的航行時(shí)間=×60=30+30≈81.9(分鐘)<82分鐘,∴補(bǔ)給船能在82分鐘之內(nèi)到達(dá)C處.【變式9.1】(2022?東??h二模)如圖輪船從島M向島N行駛,島M位于碼頭A的正南方向80海里處,在M處測得碼頭B在M的北偏西45°方向上,輪船行駛60海里到達(dá)島N,此時(shí)測得島M在島N的北偏東63°方向上,碼頭C在N的北偏西30°方向上,已知碼頭B,C都在碼頭A的正西方向,求碼頭B與碼頭C之間的距離.(結(jié)果精確到0.1海里.參考數(shù)據(jù):sin63°≈0.89,cos63°≈0.45,tan63°≈1.96,≈1.73)【分析】證△ABM是等腰直角三角形,則AB=AM=80海里,過點(diǎn)N作ND⊥AC于D,過點(diǎn)M作ME⊥ND于E,再由銳角三角函數(shù)定義求出A
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