高數(shù)點積叉積

1.向量的兩種表示方式（直觀，坐標(biāo)）2.向量的兩個要素（長度、方向）的表示3.向量的線性運算（直觀，坐標(biāo)）復(fù)習(xí)向量的表示及線性運算

-------模與方向余弦4.向量的平行的充要條件（直觀，坐標(biāo)）5.向量在坐標(biāo)軸上的投影及投影向量2021/5/91解

因1.

設(shè)求向量在x

軸上的投影、在y軸上的分向量在y

軸上的分向量為故在x

軸上的投影為及與平行的單位向量.與平行的單位向量為2021/5/92解2021/5/932021/5/94*三、向量的混合積第三節(jié)一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積數(shù)量積向量積*混合積

第八章2021/5/95一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動,1.定義設(shè)向量的夾角為

,稱

記作數(shù)量積(點積).引例.

設(shè)一物體在常力F作用下,位移為s,則力F

所做的功為2021/5/96記作故2.性質(zhì)為兩個非零向量,則有

2021/5/973.運算律(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律事實上,當(dāng)時,顯然成立;2021/5/98例1.

證明三角形余弦定理證:如圖.則設(shè)2021/5/994.數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)則當(dāng)為非零向量時,由于[兩向量的夾角公式]

,得2021/5/910例2.

已知三點

AMB.解:則求故2021/5/911為

).求單位時間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量P(流體密度例3.

設(shè)均勻流速為的流體流過一個面積為A的平面域,與該平面域的單位垂直向量解:單位時間內(nèi)流過的體積:的夾角為且為單位向量2021/5/912二、兩向量的向量積引例.

設(shè)O為杠桿L的支點,有一個與杠桿夾角為符合右手規(guī)則矩是一個向量

M:的力F作用在杠桿的P點上,則力F

作用在杠桿上的力2021/5/9131.定義定義向量方向:(叉積)記作且符合右手規(guī)則模:向量積,

稱引例中的力矩思考:

右圖三角形面積S＝2021/5/9142.性質(zhì)為非零向量,則∥∥3.運算律(2)分配律(3)結(jié)合律(證明略)證明:2021/5/9154.向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)則2021/5/916向量積的行列式計算法2021/5/917例4.已知三點角形

ABC

的面積.解:

如圖所示,求三2021/5/918*三、向量的混合積1.定義已知三向量稱數(shù)量混合積

.記作幾何意義

為棱作平行六面體,底面積高故平行六面體體積為則其2021/5/9192.混合積的坐標(biāo)表示設(shè)2021/5/9203.性質(zhì)(1)三個非零向量共面的充要條件是(2)輪換對稱性:(可用三階行列式推出)2021/5/921例5.

已知A(1,2,0)、B(2,3,1)、C(4,2,2)、四點共面,求點M的坐標(biāo)x、y、z

所滿足的方程.解:

A、B、C、M

四點共面展開行列式即得點M的坐標(biāo)所滿足的方程AM、AB、AC

三向量共面即2021/5/922內(nèi)容小結(jié)設(shè)1.向量運算加減:數(shù)乘:點積:叉積:2021/5/923混合積:2.向量關(guān)系:2021/5/924思考與練習(xí)1.設(shè)計算并求夾角

的正弦與余弦.答案:2.用向量方法證明正弦定理:2021/5/925證:由三角形面積公式所以因2021/5/926P2891,2,3,4,5,6,7，8，9第三節(jié)作業(yè)2021/5/927備用題1.已知向量的夾角且解：2021/5/928備用題1.已知向量的夾角且解：2021/5/929備用題1.已知向量的夾角且解：2021/5/930備用題1.已知向量的夾角且解：2021/5/931在頂點為三角形中,求AC

邊上的高BD.解：三角形ABC的面積為2.而故有2021/5/932在頂點為三角形中,求AC

邊上的高BD.解：三角形ABC的面積為2.而故有2021/5/933在頂點為三角形中,求AC

邊上的高BD.解：三角形ABC的面積為2.而故有2021/5/934在頂點為三角形中,求AC

邊上的高BD.解：三角形ABC的面積為2.而故有2021/5/935在頂點為三角形中,求AC

邊上的高BD.解：三角形ABC的面積為2.而故有2021/5/936備用題1.已知