2020年百校聯(lián)考高考百日沖刺數(shù)學(xué)試卷（理科）（一）（全國(guó)Ⅰ卷）（附答案詳解）

2020年百校聯(lián)考高考百日沖刺數(shù)學(xué)試卷（理科）（一）（全

國(guó)I卷）

1.已知集合4={xs4},B={x\-4<x<2],則4nB=（）

A.F={x|-2<x<2}B.B={x|-4<%<2）

C.（-2,—1,0,1,2}D.{-2,—1,0,1}

2.已知復(fù)數(shù)z=（a+i）（l-2i）（aGR）的實(shí)部為3,其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的虛部

為（）

A.-1B.—iC.1D.i

3.已知向量五=（1,一2）,5=（3,—3），c=（l,t））若向量五與向量方+口共線，則實(shí)數(shù)

t=（）

A.5B.—5C.1D.—1

4.已知函數(shù)/（X）=cos|一遮5也]的圖象為。為了得到關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，只要

把C上所有的點(diǎn)（）

A.向左平移W個(gè)單位B.向左平移等個(gè)單位

C.向右平移三個(gè)單位D.向右平移詈個(gè)單位

5.函數(shù)/'（X）=羨三的圖象大致為（）

6.在0+2）5的展開(kāi)式中，一定含有（）

A.常數(shù)項(xiàng)B.%項(xiàng)C.x-i項(xiàng)D.%3項(xiàng)

7.已知直線m,n和平面a,/7,y,有如下四個(gè)命題：

①若m_La,m//（i,則a_L伙

②若?n_La,m〃7i,nu0,則a_L￡；

③若n1a,n1/?,7nla,則7nl/7；

④若m_La,mln,貝ijn〃a.

其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

8.風(fēng)雨橋是侗族最具特色的建筑之一，風(fēng)雨橋由橋、塔、亭組成，其塔俯視圖通常是

正方形、正六邊形和正八邊形.右下圖是風(fēng)雨橋中塔的俯視圖.該塔共5層，若

B0B1=B1B2=B2B3=B3B4=0.5m,A0B0=8nl.這五層正六邊形的周長(zhǎng)總和為

（）

9.已知圓E的圓心在y軸上，且與圓C：/+y2—2%=。的公共弦所在直線的方程為

x—V3y=0＞則圓E的方程為（）

A.x2+（y—\/3）2=2B.x2+（y+V3）2=2

C.x2+（y-V3）2=3D.x2+（y+V3）2=3

10.某項(xiàng)針對(duì)我國(guó)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)少的研究中，列出各個(gè)學(xué)段每個(gè)主題所包含

的條目數(shù)（如表），如圖是將統(tǒng)計(jì)表的條目數(shù)轉(zhuǎn)化為百分比，按各學(xué)段繪制的等高條

形圖，由圖表分析得出以下四個(gè)結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是（）

學(xué)段第一學(xué)段（1一3第二階段（4-6第三學(xué)段（7-9

合計(jì)

主題年級(jí)）年級(jí)）年級(jí)）

數(shù)與代數(shù)21284998

圖形幾何182587130

統(tǒng)計(jì)概率381122

綜合實(shí)踐34310

合計(jì)4565150260

第2頁(yè)，共40頁(yè)

5ft)催二

80%

40<0%

60%

40%

20%46.8%

0%

第一學(xué)段第二學(xué)段第三學(xué)段

匚口數(shù)號(hào)代數(shù)r―1由衫幾何□攝?跳計(jì)匚二]才合實(shí)u

A.除了“綜合與實(shí)踐”外，其它三個(gè)領(lǐng)域的條目數(shù)都隨著學(xué)段的升高而增加，尤

其“圖形與幾何”在第三學(xué)段增加較多，約是第二學(xué)段的3.5倍

B.所有主題中，三個(gè)學(xué)段的總和“圖形與幾何”條目數(shù)最多，占50%,綜合與實(shí)

踐最少，約占4%

C.第一、二學(xué)段“數(shù)與代數(shù)”條目數(shù)最多，第三學(xué)段“圖形與幾何”條目數(shù)最多

D.“數(shù)與代數(shù)”條目數(shù)雖然隨著學(xué)段的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，而其百分比卻一直在減少，

“圖形與幾何”條目數(shù)，百分比都隨學(xué)段的增長(zhǎng)而增長(zhǎng).

11.已知數(shù)列｛冊(cè)｝的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和Sn滿足4S”=嫌+2an,(neN*),設(shè)垢=

n

(-l)-anan+1,一為數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和,則Ro=()

A.110B.220C.440D.880

12.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為F「F2,焦距為2c,過(guò)點(diǎn)&的直線與橢圓C交于點(diǎn)P,Q,若IPF2I=

2c,且|PFi|=1|QFi|,則橢圓C的離心率為()

B.：C.|D.|

13.一名信息員維護(hù)甲乙兩公司的5G網(wǎng)絡(luò)，一天內(nèi)甲公司需要維護(hù)和乙公司需要維護(hù)

相互獨(dú)立，它們需要維護(hù)的概率分別為0.4和0.3,則至少有一個(gè)公司不需要維護(hù)的

概率為_(kāi)_

14.等差數(shù)列｛%｝中,%=1,公差de[1,2],且。3+4。9+&5=15,則實(shí)數(shù)；I的最大

值為?

15.若%1，%2是函數(shù)f(x)=/-7%+4的兩個(gè)極值點(diǎn)，則=；f(%)+

f(%2)=?

16.現(xiàn)有一批大小不同的球體原材料，某工廠要加工出一個(gè)四棱錐零件，要求零件底面

4BCC為正方形，AB=2,側(cè)面△P4。為等邊三角形，線段BC的中點(diǎn)為E,若PE=1.

則所需球體原材料的最小體積為.

17.筆、墨、紙、硯是中國(guó)獨(dú)有的文書(shū)工具，即“文房四寶”.筆、墨、紙、硯之名，

起源于南北朝時(shí)期，其中的“紙”指的是宣紙，宣紙“始于唐代，產(chǎn)于涇縣”，而

唐代涇縣隸屬于宣州府管轄，故因地而得名“宣紙”，宣紙按質(zhì)量等級(jí)，可分為正

牌和副牌（優(yōu)等品和合格品），某公司年產(chǎn)宣紙10000刀（每刀100張），公司按照某種

質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)值x給宣紙確定質(zhì)量等級(jí)，如表所示：

X(48,52](44,48]U(52,56](0,44]U(56,100]

質(zhì)量等級(jí)正牌副牌廢品

公司在所生產(chǎn)的宣紙中隨機(jī)抽取了一刀（100張）進(jìn)行檢驗(yàn)，得到頻率分布直方圖如

圖所示，已知每張正牌紙的利潤(rùn)是10元，副牌紙的利潤(rùn)是5元，廢品虧損10元.

（I）估計(jì)該公司生產(chǎn)宣紙的年利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）；

（n）該公司預(yù)備購(gòu)買(mǎi)一種售價(jià)為100萬(wàn)元的機(jī)器改進(jìn)生產(chǎn)工藝，這種機(jī)器的使用壽

命是一年，只能提高宣紙的質(zhì)量，不影響產(chǎn)量，這種機(jī)器生產(chǎn)的宣紙的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)值

X的頻率，如表所示：

X(%—2,x4-2](%—6,%4-6]

頻率0.68260.9544

其中工為改進(jìn)工藝前質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)值X的平均值，改進(jìn)工藝后，每張正牌和副牌宣紙的利

第4頁(yè)，共40頁(yè)

18.在△4BC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a=4ccosB.

(I)求證：sinBcosC=3smecosB；

(口)求8-。的最大值.

19.四棱錐P—4BCD中，4BCD為直角梯形，BC〃A￡),

AD1DC,BC=CD=1,AD=2,PA=PD,E為

PC中點(diǎn)，平面PADJ?平面4BCD,尸為AD上一點(diǎn)，

PA〃平面8EF.

(I)求證：平面BEF_L平面PAD；

(口)若「。與底面48。。所成的角為60。.求二面角？一

BF-4的余弦值.

20.已知點(diǎn)4(0,1),點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上，以48為邊做菱形4BCD,且菱形ABCD對(duì)角線

的交點(diǎn)在x軸上，設(shè)點(diǎn)。的軌跡為曲線E.

(1)求曲線后的方程；

(口)過(guò)點(diǎn)時(shí)(巾,0),其中1＜機(jī)＜4,作曲線E的切線，設(shè)切點(diǎn)為N,求A4MN面積

的取值范圍.

21.已知函數(shù)f(x)=mlnx^(x)=—(%＞0).

(I)討論函數(shù)F(%)=/(%)-g(x)在(0,+8)上的單調(diào)性；

(II)是否存在正實(shí)數(shù)TH,使y=/(%)與y=g(x)的圖象有唯一一條公切線，若存在,

求出m的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，工軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。的極坐

(_G2\[5

%=2——t

標(biāo)方程為02=二%(。€[0幣)，直線1的參數(shù)方程為12(t為參數(shù)).

3+sme2(y=3+gt

(I)求曲線C的參數(shù)方程與直線/的普通方程；

(n)設(shè)點(diǎn)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M和點(diǎn)N為直線/上的點(diǎn)，且滿足APMN為等邊三

角形，求△PMN邊長(zhǎng)的取值范圍.

第6頁(yè)，共40頁(yè)

23.已知函數(shù)/(%)=m-2|,mER,g(x)=|x+3|.

(1)當(dāng)?shù)趢/?時(shí)，有/(x)Wg(x),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

(口)若不等式/(%)>0的解集為[1,3],正數(shù)a,b滿足ab-2a-b=3m-1,求a+b

的最小值.

24.已知集合4={x|4%2-3%<0},B={制y=72x_1},則4n8=()

A.[0,|]B.0C.[Oj]D.8勺

25.設(shè)復(fù)數(shù)z=若，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

26.已知某地區(qū)在職特級(jí)教師、高級(jí)教師.中級(jí)教師分別有100人,900人,2000人,

為了調(diào)查該地區(qū)不同職稱的教師的工資情況，研究人員在該地區(qū)按照分層抽樣的方

法隨機(jī)抽取了60人進(jìn)行調(diào)查，則被抽取的高級(jí)教師有()

A.2人B.18人C.40人D.36人

27.已知雙曲線C：5-真=l(a>0,b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為M,點(diǎn)N(b,0),若|MN|=3b,

則雙曲線C的漸近線方程為()

A.y=+V2xB.y=±當(dāng)％C.y=+2V2xD.y=±號(hào)工

28.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入x的值為256,則輸出x的值為()

A.8B.3C.log23D.log2（log23）

29.仇章算術(shù)（卷第五）?商功》中有如下問(wèn)題：“今有冥谷上廣二丈，袤七丈，下廣

八尺，袤四丈，深六丈五尺，問(wèn)積幾何”.譯文為：“今有上下底面皆為長(zhǎng)方形的

墓坑，上底寬2丈，長(zhǎng)7丈；下底寬8尺，長(zhǎng)4丈，深6丈5尺，問(wèn)它的容積量是多少？”

則該幾何體的容積為（）（注：1丈=10尺.）

A.45000立方尺B.52000立方尺C.63000立方尺D.72000立方尺

1

30.已知等差數(shù)列｛6｝的前n項(xiàng)和為治,若59=54,a4=5,則數(shù)列｛=｝前2019項(xiàng)的

和為（）

A2018R1009「40362019

'2019-1010-20191010

31.如圖，小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫(huà)出的是某兒何體的三視

圖，則該幾何體的棱長(zhǎng)不可能為（）

A.2V5

B.4V3

C.4V2

D.2V2

第8頁(yè)，共40頁(yè)

27214aa

32.設(shè)(1+2x+3x)=Q()+arx+a2xd---Fa14xf則+%+他+io+i2+

@14=()

A.129927B.129962C.139926D.139962

33.設(shè)拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)尸到其準(zhǔn)線2的距離為2,點(diǎn)48在拋物線C上，

且4B,F三點(diǎn)共線，作垂足為E,若直線EF的斜率為4,則|4F|=()

34.已知函數(shù)若Znw恒成立，則實(shí)數(shù)6的取值范

I-xz—2x—2,x<0

圍為()

A.[2-2V2,2]B.[2-272,1]C.[2-2&,e]D.[2-2Ve,e]

12

35.已知數(shù)列｛a”-n｝的前n項(xiàng)和為Sn,且￡匕[%+1+(-l)^]=n,S2ois=1，則a[=

()

A.|B.jC.|D.2

36.已知菱形ABC。的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E為線段8c的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段BC上靠近C的三等分

點(diǎn).若N4BC=120°,則荏-DF=.

%+1>y

37.已知實(shí)數(shù)x,y滿足|x+2yW2,貝ijz=2x-y的最小值為

,%<2y4-2

38.已知函數(shù)/(%)=4s譏(3X+0)(/>0,3>0)的部分圖象4|“

如圖所示，其中M?,3)是圖象的一個(gè)最高點(diǎn)，N(g,O)是圖

象與x軸的交點(diǎn)，將函數(shù)〃x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短飛?\

到原來(lái)的行后，再向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的

圖象，則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

39.已知函數(shù)/(x)=爐一6/+12%-6,若直線/與曲線y=/(%)交于M,N,P三點(diǎn)，

且|MN|=\NP\=V2，則直線/的方程為.

40.在AaBC中，Z-BAC=PAB=2,BC=—,M是線段AC上的一點(diǎn)，且tan乙4MB=

42

-2V2.

(I)求4"的長(zhǎng)度；

(口)求48?！钡拿娣e.

41.如圖所示，在三棱錐S-BCD中，平面SB。1平面BCD,A

是線段SD上的點(diǎn)，△SB。為等邊三角形，NBCO=30。，

CD=2DB=4.

(I)^SA=AD,求證：SD1CA-,

(口)若直線84與平面SCO所成角的正弦值為史叵，求4D

65

的長(zhǎng).

42.為了感謝消費(fèi)者對(duì)超市的購(gòu)物支持，超市老板決定對(duì)超市積分卡上積分超過(guò)10000

分的消費(fèi)者開(kāi)展年終大回饋活動(dòng)，參加活動(dòng)之后消費(fèi)者的積分將被清空.回饋活動(dòng)

設(shè)計(jì)了兩種方案：

方案一：消費(fèi)者先回答一道多選題，從第二道開(kāi)始都回答單選題；

方案二：消費(fèi)者全部選擇單選題進(jìn)行回答；

其中單選題答對(duì)得2分，多選題答對(duì)得3分，無(wú)論單選題還是多選題答錯(cuò)得0分；每

名參賽的消費(fèi)者至多答題3次，答題過(guò)程中得到3分或3分以上立刻停止答題，得到

超市回饋的獎(jiǎng)品.為了調(diào)查消費(fèi)者對(duì)方案的選擇，研究人員在有資格參與回饋活動(dòng)

的500名消費(fèi)者中作出調(diào)研，所得結(jié)果如表所示：

男性消費(fèi)者女性消費(fèi)者

選擇方案一15080

選擇方案二150120

(I)是否有99%的把握認(rèn)為消費(fèi)者的性別與方案的選擇有關(guān);

(n)小明回答單選題的正確率為0.8,多選題的正確率為0.75.

第10頁(yè)，共40頁(yè)

(i)若小明選擇方案一，記小明的得分為X,求X的分布列以及期望；

(ii)如果你是小明，你覺(jué)得通過(guò)哪種方案更有可能獲得獎(jiǎng)品，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.

n(ad-bc)2

附：*n=Q+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

Pg>k)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

43.已知△PF/2中，&(一1,0),F2(1，0)，仍&1=4,點(diǎn)Q在線段PF1上，且|PQ|=|(2七1?

(I)求點(diǎn)Q的軌跡E的方程；

(口)若點(diǎn)時(shí)，N在曲線E上，且M,N,Fi三點(diǎn)共線，求AFzMN面積的最大值.

44.已知函數(shù)/(x)=——x+Tn/nximeR).

(1)若771=-1,證明：/(X)>0;

(口)記函數(shù)g(x)=f(%)-7x,戈2是。'(%)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且%1<%2，若關(guān)

于修的不等式篝>外4-匕)恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

45.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為匕二氏(。為參數(shù))，點(diǎn)M是

—D十DSITlU

曲線C上的任意一點(diǎn)，將點(diǎn)M繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)N.以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn),

工軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(I)求點(diǎn)N的軌跡C'的極坐標(biāo)方程；

(口)若曲線y=—^Y(y>0)與曲線C,分別交于點(diǎn)4,B,點(diǎn)。(-6,0),求△ABD

的面積.

46.已知函數(shù)/(x)=|x-1|+|3x+5].

(I)求不等式fQ)>8的解集；

(口)若關(guān)于x的不等式/(x)+mW2x2+|3x+5|在R上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范

圍.

第12頁(yè)，共40頁(yè)

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：集合4={%GZ\x2<4}=(-2,-1AU},

AC\B—{-2,—1,0,1),

故選：D.

先求出集合4再利用集合交集的運(yùn)算即可算出結(jié)果.

本題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z=(a+j)(l-2i)=(a+2)+(1-2a)i；

a+2=3=>a=1；

z的虛部為：1-2a=-1.

故選:A.

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、實(shí)部與虛部的定義即可得出.

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、實(shí)部與虛部的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

因?yàn)橄蛄縒與向量方+下共線，即兩向量平行，根據(jù)兩向量平行的坐標(biāo)表示求解即可.

本題主要考查平面向量共線的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：由題,a=(1,-2),3=(3,—3)，c=(l.t),

■,?/>+?=(4,t—3),

■:向量五與向量方+共線，即五〃@+菖)，

則1x(t-3)=-2x4,

解得t=-5.

故選：B.

4.【答案】A

【解析】解：函數(shù)/0）=85|-7^嗚=2曲弓+》的圖象為。，為了得到關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)稱的圖象，

只要把C上所有的點(diǎn)向左平移g個(gè)單位，可得y=2cosc+?+9=siW的圖象，

OZOOZ

顯然，y=sin］的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

故選：A.

由題意利用函數(shù)丫=4$譏（3%+平）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)

論.

本題主要考查函數(shù)y=4sin（3x+＜p）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于

基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x。0},==即函數(shù)f（x）

為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可排除CD；

又/（1）=/匕＜°，可排除4

故選:B.

先判斷函數(shù)的奇偶性，可排除選項(xiàng)CD,再由/（1）＜0,可排除選項(xiàng)A,進(jìn)而得出

正確選項(xiàng).

本題考查利用函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)圖象，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：在（X+妥）5的展開(kāi)式中，通項(xiàng)公式為7r+i=禺■r=0,1,2,3,

4,5,

故5-3r不會(huì)等于0,不會(huì)等于1,不會(huì)等于3,故排除4、B、D,

令5-3r=—1,可得r=2,

第14頁(yè)，共40頁(yè)

故它的展開(kāi)式中一定含有項(xiàng)，

故選：C.

由題意根據(jù)(％+點(diǎn))5的通項(xiàng)公式，得出結(jié)論.

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于

基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】

【分

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：線面垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，線面平行的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，

主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及空間思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.

直接利用線面垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，線面平行的判定和性質(zhì)的應(yīng)用求出正確的結(jié)果.

【解答】

解：已知直線m,九和平面a,6,y,有如下四個(gè)命題：

①若m_La,m///?,則在/?內(nèi)，作？i〃?n,所以九la,由于幾u(yù)a,則al/?,故正確；

②若mla,m〃幾，所以九la,由于nu/?,則a1伙故正確.

③若九la,nl0,所以a〃氏由于m_La,則mJ■儀故正確.

④若mln,則幾〃a也可能幾u(yù)a內(nèi)，故錯(cuò)誤.

故選：C.

8.【答案】C

【解析】解：B°Bi=B$2—B2B3=B3B4=0.5m,A0B0=87n.

利用等邊三角形的性質(zhì)可得：Bi&=7.5,B2A2=7,83/3=6.5,B4A4=6.

這五層正六邊形的周長(zhǎng)總和=6X(8+7.5+7+6.54-6)=210m.

故選：C.

利用正六邊形與等邊三角形的性質(zhì)即可得出.

本題考查了正六邊形與等邊三角形的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式，考查了推理

能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】C

【解析】解：??,圓E的圓心在y軸上，，設(shè)圓心E的坐標(biāo)為(0,b),設(shè)半徑為r,

222

則圓E的方程為：x+(y—b)2=丫2,即％2+y2-2by+&—r=0,

又??,圓C的方程為：%24-y2—2%=0,

兩圓方程相加得公共弦所在直線的方程為：x-by+了=0,

又???公共弦所在直線的方程為x-V3y=0,

二居1。,解得憶￡，

二圓E的方程為：x2+(y-V3)2=3>

故選：C.

設(shè)圓心E的坐標(biāo)為(0,b),設(shè)半徑為r,則圓E的方程為：x2+(y-b)2=r2,兩圓方程

相加得公共弦所在直線的方程為：X-by+彳=0,又公共弦所在直線的方程為x-

V3y=0,從而求出b,r的值，得到圓E的方程.

本題主要考查了圓的方程，以及兩圓的公共弦所在直線的方程，是中檔題.

10.【答案】D

【解析】解：由圖可知圖形與幾何第一、二學(xué)段百分比依次為40%,38.5%,可知降低

了，則D錯(cuò)，

故選：D.

根據(jù)表格和條形圖分別判斷選項(xiàng)，可判斷.

本題考查對(duì)表格，條形圖的數(shù)據(jù)提取能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】D

【解析】解：由題意，當(dāng)n=l,時(shí),4%=4Si=山+2d1，

整理，得欣-2%=0,

解得的=0，或%=2,

van>0,nEN*,

?e?a1-2,

第16頁(yè)，共40頁(yè)

當(dāng)九22時(shí)，由4sH=c^+2an,可得：

4Sn_i=W_i+2an_i，

兩式相減，可得4an=W+2an-W-i-2an_「

整理，得(an+an_i)(an-Qn_i-2)=0,

???an+an_i>0,

???an—Qn_i—2=0,B|Jan—an-r=2,

??.數(shù)列｛&J是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

an=2+2(n-1)=2n,nEN*,

nn

?.?bn=(-l),anan+1=(-l)-4n(n+1),

則720=瓦+匕2+匕3+b4+…+瓦9+匕20

=-4xlx2+4x2x3—4x3x4+4x4x5-----4x19x20+4x20x21

=(-4xlx2+4x2x3)+(-4x3x4+4x4x5)+…+(-4x19x20+4x20

x21)

=4x2x(3-1)+4x4x(5-3)+-+4x20x(21-19)

=4x2x2+4x4x2+…+4x20x2

=16x(1+2+…+10)

=16x55

=880.

故選：D.

本題先根據(jù)公式%l=險(xiǎn);]>2并結(jié)合題干進(jìn)行計(jì)算可判別出數(shù)列聞｝是以2為

首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即可計(jì)算出數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步計(jì)算出數(shù)列出"的

通項(xiàng)公式，然后運(yùn)用分組求和可計(jì)算出Ro的值.

本題主要考查數(shù)列求通項(xiàng)公式，以及運(yùn)用分組求和求前n項(xiàng)和問(wèn)題.考查了轉(zhuǎn)化與化歸

思想，分類(lèi)討論法，邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.本題屬中檔題.

12.【答案】C

y

【解析】解：不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，如圖所示，t

V\PF2\=2c,則|PF1|=2a-2c.p/\

???IP&TIQ&I，.

二IQF1I=：(2a—2c)=|(a-c),

貝“QF2I=2a-|(a-c)(+|,

在等腰△PF1F2中，可得COS4PFIF2=回"￡.

IaEI2c

在6QF/2中，山余弦定理可得cos4Q&F2=式;)：妻；法：：)2,

.^(a-c)2+4c2-^(a+3c)2

由COSNPF1F2+COSNQ&F2=0,~2X2CXW("----=0，

整理得：哼&=0,5a=7c,

6c

c5

a7

故選：C.

由題意畫(huà)出圖形，由IPF2I=2c,|Pa|=、Q&|,利用橢圓的定義可得：|PFi|=2a-2c,

進(jìn)一步求出|Q&|,IQF2I，在等腰APaFz中，求得得COSNP&F2.在△Q&F2中，由余弦

定理可得8S4Q&F2,利用COS4P&F2+COS4QFIF2=0,化簡(jiǎn)求得5a=7c,則答案可

求.

本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查三角形中余弦定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力,

屬于中檔題.

13.【答案】0.88

【解析】解：一名信息員維護(hù)甲乙兩公司的5G網(wǎng)絡(luò)，

一天內(nèi)甲公司需要維護(hù)和乙公司需要維護(hù)相互獨(dú)立，

它們需要維護(hù)的概率分別為0.4和0.3,

至少有一個(gè)公司不需要維護(hù)的概率為：

P=1-0.4x0.3=0.88.

故答案為：0.88.

利用相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式和對(duì)立事件概率計(jì)算公式直接求解.

本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式和對(duì)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)

知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

14.【答案】一：

第18頁(yè)，共40頁(yè)

【解析】解：a3+Aa9+a15=15=(2+A)a9=(2+4)(1+8d),

二底盤(pán)一2,又松差d€[L2],

2——__2——工

Amax~1+83

故填：

由a?+Aa9+a15=15得出4與d之間的關(guān)系式，然后求4的最大值.

本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式及衍生出的最值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】2

65

4ln2———

4

【解析】

【分析】

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，是中檔題.

先求出導(dǎo)函數(shù)(。)，由題意可得%1，%2是方程2/-7%+4=0的兩個(gè)根，可得與+冷=

I，%1%2=2，代入f(%i)+/(%2)即可求得結(jié)果.

【解答】

解：?.,函數(shù)/(%)=/-7%+4Znx,xE(0,+oo),

c"、c.42x2—7x+4

.-./(x)=2x-7n+-=—―)

令f'(X)=0得：2/—7x4-4=0,

???%i，右是方程2M-7x+4=0的兩個(gè)根，

7

,,,%1+%2=~，%^%2=2,

-fg+/(%2)

=好—城—

7x1+41nxi+7X2+41nx2

2x

=(%i+%2)—2/％2—7(久1+z)+4ln(x1x2)

=(|)2-2x2-7x(+41n2=4ln2--,

故答案為：2,4ln2—

4

16.【答案】紀(jì)至

【解析】解：所需原材料體積最小的球體即為四Ri'

棱錐P-48CD的外接球，k/C

如圖，設(shè)F為AD中點(diǎn)，G為正方形ABCD中心，???△/^二一fJ1/

PAD為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，二PF=%,又A

PE=1,EF=2,???APEF=60°

???PE=EB=EC=1,?是4PBC的外心，過(guò)E作面PBC的垂線與過(guò)G與面48co的垂

線交于0,則。為四棱錐P-ABCD外接球的球心.

v/.0EG=￡.0EP-/.FEP=90°-60°=30°,又GE=2,.,.在直角三角形。GE中求出

OG=—,

3

又直角AOAG中，AG=V2.OA=即球半徑/?="，二％=：兀/?3=喑17r.

故答案為：絲包兀

27

首先判斷原材料體積最小的球體即為四棱錐P-ABCD的外接球，???E是直角△PBC的外

心，.?.過(guò)E作面PBC的垂線與過(guò)正方形48CD的中心G與面4BCD的垂線交于。，則。為四

棱錐P-ABCD外接球的球心.再利用題中所給長(zhǎng)度大小關(guān)系，可求球半徑，求球體積.

本題考查四棱錐的外接球問(wèn)題，通過(guò)找球心，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)

系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

17.【答案】解：(I)由頻率分布直方圖得：

一刀(100張)宣紙中有正牌宣紙100x0.1x4=40張，

有副牌宣紙100x0.05x4x2=40張，有廢品100x0.025x4x2=20張,

二該公司一刀宣紙的利潤(rùn)為：

40x10+40x5+20X(-10)=400元，

.??估計(jì)該公司生產(chǎn)宣紙的年利潤(rùn)為：400萬(wàn)元.

(II)由頻率分布直方圖得：

%=4X(42x0.0254-46x0.054-50X0.1+54X0.05+58x0.025)=50,

這種機(jī)器生產(chǎn)的宣紙質(zhì)量指標(biāo)X的頻率如下表所示：

X(48,52](44,56]

頻率0.68260.9544

第20頁(yè)，共40頁(yè)

則一刀(100張)宣紙中正牌的張數(shù)約為100x0.6826=68.26張，

副牌的張數(shù)約為100X(0.9544-0.6826)=27.18張,

廢品的張數(shù)約為100x(1-0.9544)=4.56張，

估計(jì)一刀宣紙(100張)的利潤(rùn)為：

68.26x(10-2)+27.18x(5-2)+4.56x(-10)=582.02元.

二改進(jìn)工藝后生產(chǎn)宣紙的利潤(rùn)為582.02-100=482.02元，

???482.2>400,.?.該公司應(yīng)生產(chǎn)這種設(shè)備.

【解析】(I)由頻率分布直方圖求出一刀(100張)宣紙中有正牌宣紙40張，有副牌宣紙40

張，有廢品20張，由此能求出該公司一刀宣紙的利潤(rùn)為400元，由此能求出估計(jì)該公司

生產(chǎn)宣紙的年利潤(rùn).

(n)由頻率分布直方圖得工=4x(42x0.025+46x0.054-50x0.1+54x0.05+

58x0.025)=50,求出這種機(jī)器生產(chǎn)的宣紙質(zhì)量指標(biāo)x的頻率，則一刀(100張)宣紙中

正牌的張數(shù)約為100X0.6826=68,26張,副牌的張數(shù)約為100X(0.9544-0.6826)=

27.18張，廢品的張數(shù)約為100x(1-0.9544)=4.56張，估計(jì)一刀宣紙(100張)的利潤(rùn)

為582.02元.從而改進(jìn)工藝后生產(chǎn)宣紙的利潤(rùn)為582.02-100=482.02元，由此該公司

應(yīng)生產(chǎn)這種設(shè)備.

本題考查利潤(rùn)的求法及應(yīng)用，考查平均數(shù)、頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)

據(jù)分析能力、運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

18.【答案】證明：（I）a=4ccosB,

???sinA=4sinCcosB,

???sin（8+C）=4sinCcosB,

???sinBcosC+sinCcosB=4sinCcosB,

:，sinBcosC=3sinCcosB；

解：（口）由（1）可知sinBcosC=3sinCcosB,

則=3tanC,

.廣、一tanB~tanC_3tanC-tanC_2tanC_22_V5

22

??）i+tanBtanCl+3tanCl+3tanC—^—+3tanC-oIi一73，當(dāng)且

僅當(dāng)/：=3tanC,即tanC=更時(shí)取等號(hào)，

tanC3

:.B—CW—,

6

即B-C的最大值為《

o

【解析】(I利用正弦定理將邊化為角即可證明，

(II)由(I)化簡(jiǎn)得出tanB和tanC的關(guān)系，再代入兩角差的正切公式，利用基本不等式求

出最大值.

本題考查了三角函數(shù)的恒等變換和正弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，屬于中檔題.

19.【答案】(I)證明：連接AC交BE與G,連接EG,

PA//^-^BEF,PAu平面P4C,平面PZCn平面

BEF=EG,：.PA//EG,

又E為PC的中點(diǎn)，二G為AC的中點(diǎn)，KUAFG^BCG,

得AF=BC=^AD=1.

??.F為4。的中點(diǎn)，

vBC//FD,且BC=FD,.?.四邊形。CB尸為平行四邊

形,

AD1DC,■■BF1AD,

又BFu平面4BCD,平面PAD1平面4BCD,平面R4Dn平面ABC。=AD,

二BFL平面R4D,又BFu平面BEF,

???平面BEF1平面P4D；

(口)解：連接PF,PA=PD,F為4D的中點(diǎn)，.4D,

又PFu平面24。，平面24。_L平面ABC。，平面24。C平面4BCD=AD,

PF_1_底面48￡7),又

以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以F4FB,FP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)P(0,0,t),C(-l,l,0),

取平面4BCD的法向量元=(0,0,1),PC=(-1,1,-t),B(0,l,0)，

??.sin6(T=|萼需，即卷=歸解得t=倔

I也||PC|Vt2+22

設(shè)平面E8F的法向量為荻=(居％z),

.[TI-2,FE=—xH—y+'z=0人yzn."

由2—22y2，令z=l,得運(yùn)=(而(J1).

(n^?FB=y=0

設(shè)二面角E—B尸一4的平面角為仇則|cos0|=萼獸=?,

'|nil|n2|7

第22頁(yè)，共40頁(yè)

又。為鈍角，：，cos。=——.

7

即二面角E-BF-4的余弦值為一叱.

7

【解析】(I)連接4C交BE與G,連接EG,由已知結(jié)合線面平行的性質(zhì)可得P4〃EG,再

由E為PC的中點(diǎn)，得G為4c的中點(diǎn)，貝l"4FG三△BCG,得到4F=BC==1,即F

為4。的中點(diǎn)，可得四邊形。CBF為平行四邊形，再由4。1DC,得BF140,可得BF1

平面PAD,進(jìn)一步得到平面BEFL平面PAD；

(II)連接PF,證明PFLOIMBCD,又BF_LAD,以尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以FA,FB,FP

所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P(0,0,t),由PC與底面4BCD所成的角為

60。求解t,然后分別求出平面48F與EBF的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可

得二面角E-BF-4的余弦值.

本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量

求解空間角，是中檔題.

20.【答案】解：(1)設(shè)8(0,-。。>0),菱形ABCD的中心在x軸上，設(shè)為Q點(diǎn).

由題意可知，|0Q|2=|04|0BI,則Q(VEO),又Q為BD的中點(diǎn)，因此點(diǎn)。(2代/)

即點(diǎn)。的軌跡為「二j班(t為參數(shù)且t豐0),

化為標(biāo)準(zhǔn)方程M=4y(%H0).

22

(11)設(shè)點(diǎn)村((1弓)，過(guò)點(diǎn)N的切線方程為：y—?=—辦

點(diǎn)M(zn,0)在該切線方程上，???M?,。)，

即m=由l<m<4,可得2<a<8,

乂AMN=2,^AM~~a1則k時(shí)囚心的=-1,即NM±AM,

S=：IMNIL4Ml=小)2+(9)2.小+⑤2=^1,

可知當(dāng)2<a<8時(shí)，S為關(guān)于a的增函數(shù)，因此S的取值范圍是(1,34).

【解析】(I)設(shè)8(0,-t)(t>0),因?yàn)榱庑?BCD對(duì)角線的交點(diǎn)Q在x軸上，根據(jù)射影定

理，得|0Q『=|0川|0BI,求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得。點(diǎn)坐標(biāo)，去掉參數(shù)，求得。的軌跡

曲線E；

?2

(II)設(shè)點(diǎn)N(a,t)，可列出該點(diǎn)處的切線方程，將M點(diǎn)代入，由l<m<4,求得a的取

4

值范圍，易推得NM14M,Dli」S=?MNIL4M|用a表示出aAMN面積，根據(jù)a的取值范

圍進(jìn)而求得△AMN面積的取值范圍.

本題考查了曲線與方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查了兩直線垂直

斜率乘積為-1,屬于中檔題.

21.【答案】解：（1）/（無(wú)）=/。）-9（乃=山底一?,?'。）=?一晝=號(hào)，

當(dāng)m40時(shí),F'（x）<0,則尸（x）在（0,+8）上單調(diào)遞減；

當(dāng)m>0時(shí)，由F'O）<0得0<%<、，由F'（x）>0得x>&

???函數(shù)產(chǎn)（X）在（0,J上單調(diào)遞減，在&+8）上單調(diào)遞增；

（11）函數(shù)/（無(wú)）=m/nx在點(diǎn)（a,m，na）處的切線方程為y-mlna=:（x-a）,即y=gx+

mlna—m,

函數(shù)g(x)=?在點(diǎn)血1-》處的切線方程為y_(1_》=專(%_b),即yL+

1,

又y=/(%)與y=g(%)的圖象有唯一一條公切線，

故戶表①2,

Imlna—m=l—1(2)

由①得，m二合代入②消去小，整理得〃一2b-alna+a=0③，則此關(guān)于b(b>0)的

方程③有唯一解，

令g(b)=b2—2h—alna+a=(b—l)2—alna+a—1,令h(a)=-alna+a—1,

fi'(a)=—Ina,

由八'(a)>0得0<a<1,由九'(a)<。得a>1,

???函數(shù)九(a)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，則/I(Q)工九(1)=0,

(i)當(dāng)月(。)=0時(shí)，方程③有唯一解b=1,由h(a)=—alna+Q—1=0得a=1,此時(shí)

772——-—1,

b2，

(ii)當(dāng)九(a)<0時(shí)，二次函數(shù)g(b)=(b-l)2-alna+Q-1在bE(1,+8)上顯然有一個(gè)

零點(diǎn)，

b6(0,1)時(shí)，由方程②7nhiQ-m=1-可得加(切。-1)=彳<0,

而m>0,則-1<0,則g(0)=-alna+a=-a(/na—1)>0,

???二次函數(shù)g(b)=(b—l)2-alna+Q-1在bG(0,1)上也有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

第24頁(yè)，共40頁(yè)

綜上，m=1.

【解析】(I)求得F(%),并求導(dǎo)，然后分M40及血>0討論即可得出單調(diào)性情況；

倍=3①

(n)根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得《ab27進(jìn)而得到川一2b-

Imlna-m=1

alna+a=0③，則此關(guān)于b(b>0)的方程③有唯一解，令g(b)=b2-2b-alna+a=

(b—l)2—alna+a—1,h(a)=-alna+a—1,hr(a)=—Ina,則易知九(a)<ft(l)=0,

然后分九(a)=1及九(a)<0討論即可得出結(jié)論.

本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,

二次函數(shù)的零點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)，考查分類(lèi)討論思想，運(yùn)算求解能力，屬于較難題目.

22.【答案】解：(I)曲線C的極坐標(biāo)方程為p2=肅而(。G⑼柒)，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方

程為J+y=l(0<x<2,0<y<V3),

轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程為二徑;(。為參數(shù)，ee[0,5).

2-—t

直線1的參數(shù)方程為1x=信(