人教A版數(shù)學(xué)選修2-2講義第1章1.11.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義Word版含答案

1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．了解導(dǎo)函數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．2．會(huì)求導(dǎo)函數(shù)．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程．(重點(diǎn))4．正確理解曲線“過某點(diǎn)”和“在某點(diǎn)”處的切線，并會(huì)求其方程．(易混點(diǎn))1．通過導(dǎo)數(shù)幾何意義的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象及直觀想象的核心素養(yǎng)．2．借助切線方程的求解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)切線的定義如圖所示，對于割線PPn，當(dāng)點(diǎn)Pn趨近于點(diǎn)P時(shí)，割線PPn趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線PT稱為點(diǎn)P處的切線．(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k，即k＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝f′(x0)．(3)切線方程：曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．導(dǎo)函數(shù)對于函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)x＝x0時(shí)，f′(x0)是一個(gè)確定的數(shù)，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)便是x的一個(gè)函數(shù)，我們稱它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱為導(dǎo)數(shù))，即f′(x)＝y(tǒng)′＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).思考：f′(x0)與f′(x)有什么區(qū)別？[提示]f′(x0)是一個(gè)確定的數(shù)，而f′(x)是一個(gè)函數(shù)．1．若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程為2x＋y＋1＝0，則()A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＝0C．f′(x0)＜0 D．f′(x0)不存在C[由題意可知，f′(x0)＝－2＜0，故選C.]2．已知函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)為f′(x0)＝1，則函數(shù)f(x)在x0處切線的傾斜角為________．45°[設(shè)切線的傾斜角為α，則tanα＝f′(x0)＝1，又α∈[0°，180°)，∴α＝45°.]3．若函數(shù)f(x)在點(diǎn)A(1,2)處的導(dǎo)數(shù)是－1，那么過點(diǎn)A的切線方程是________．x＋y－3＝0[切線的斜率為k＝－1.∴點(diǎn)A(1,2)處的切線方程為y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.]導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用【例1】(1)已知y＝f(x)的圖象如圖所示，則f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是()A．f′(xA)＞f′(xB)B．f′(xA)＜f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能確定(2)若曲線y＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則()A．a(chǎn)＝1，b＝1 B．a(chǎn)＝－1，b＝1C．a(chǎn)＝1，b＝－1 D．a(chǎn)＝－1，b＝－1(1)B(2)A[(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f′(xA)，f′(xB)分別是切線在點(diǎn)A、B處切線的斜率，由圖象可知f′(xA)＜f′(xB)．(2)由題意，知k＝y(tǒng)′|x＝0＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(0＋Δx2＋a0＋Δx＋b－b,Δx)＝1，∴a＝1.又(0，b)在切線上，∴b＝1，故選A.]1．本例(2)中主要涉及了兩點(diǎn)：①f′(0)＝1，②f(0)＝b.2．解答此類問題的關(guān)鍵是理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．3．與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相關(guān)的題目往往涉及解析幾何的相關(guān)知識(shí)，如直線的方程、直線間的位置關(guān)系等，因此要綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解題．1．設(shè)曲線y＝ax2在點(diǎn)(1，a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，則a等于()A．1 B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－1A[由題意可知，f′(1)＝2.又eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(a1＋Δx2－a,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))(aΔx＋2a)＝2a.故由2a＝2得a＝1.]2．如圖，函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)P(2，y)處的切線是l，則f(2)＋f′(2)等于()A．－4 B．3C．－2 D．1D[直線l的方程為eq\f(x,4)＋eq\f(y,4)＝1，即x＋y－4＝0.又由題意可知f(2)＝2，f′(2)＝－1，∴f(2)＋f′(2)＝2－1＝1.]求切點(diǎn)坐標(biāo)【例2】過曲線y＝x2上某點(diǎn)P的切線滿足下列條件，分別求出P點(diǎn)．(1)平行于直線y＝4x－5；(2)垂直于直線2x－6y＋5＝0；(3)與x軸成135°的傾斜角．[解]f′(x)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(x＋Δx2－x2,Δx)＝2x，設(shè)P(x0，y0)是滿足條件的點(diǎn)．(1)∵切線與直線y＝4x－5平行，∴2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)是滿足條件的點(diǎn)．(2)∵切線與直線2x－6y＋5＝0垂直，∴2x0·eq\f(1,3)＝－1，得x0＝－eq\f(3,2)，y0＝eq\f(9,4)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(9,4)))是滿足條件的點(diǎn)．(3)∵切線與x軸成135°的傾斜角，∴其斜率為－1.即2x0＝－1，得x0＝－eq\f(1,2)，y0＝eq\f(1,4)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4)))是滿足條件的點(diǎn)．1．本題關(guān)鍵是由條件得到直線的斜率，從而得知函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)．2．根據(jù)切線斜率求切點(diǎn)坐標(biāo)的步驟(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)(x0，y0)；(2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；(3)求切線的斜率f′(x0)；(4)由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于x0的方程，解方程求x0；(5)將x0代入f(x)求y0得切點(diǎn)坐標(biāo)．3．已知曲線y＝2x2－7在點(diǎn)P處的切線方程為8x－y－15＝0，求切點(diǎn)P的坐標(biāo)．[解]設(shè)切點(diǎn)P(m，n)，切線斜率為k，由y′＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f([2x＋Δx2－7]－2x2－7,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))(4x＋2Δx)＝4x，得k＝y(tǒng)′|x＝m＝4m由題意可知4m＝8，∴m代入y＝2x2－7得n＝1.故所求切點(diǎn)P為(2,1)．求曲線的切線方程[探究問題]1．如何求曲線f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程？[提示]y－y0＝k(x－x0)．即根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的導(dǎo)數(shù)，即曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，再由直線方程的點(diǎn)斜式求出切線方程．2．曲線f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線與曲線過點(diǎn)(x0，y0)的切線有什么不同？[提示]曲線f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線，點(diǎn)(x0，f(x0))一定是切點(diǎn)，只要求出k＝f′(x0)，利用點(diǎn)斜式寫出切線方程即可；而曲線f(x)過某點(diǎn)(x0，y0)的切線，給出的點(diǎn)(x0，y0)不一定在曲線上，即使在曲線上也不一定是切點(diǎn)．3．曲線在某點(diǎn)處的切線是否與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)？[提示]不一定．曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線l與曲線y＝f(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè)，如圖所示．【例3】已知曲線C：y＝x3.(1)求曲線C在橫坐標(biāo)為x＝1的點(diǎn)處的切線方程；(2)求曲線C過點(diǎn)(1,1)的切線方程．思路探究：(1)eq\x(求y′|x＝1)→eq\x(求切點(diǎn))→eq\x(點(diǎn)斜式方程求切線)(2)eq\x(設(shè)切點(diǎn)x0，y0)→eq\x(求y′|x＝x0)→eq\x(由y′|x＝x0＝\f(y0－1,x0－1)求x0，y0)→eq\x(寫切線方程)[解](1)將x＝1代入曲線C的方程得y＝1，∴切點(diǎn)P(1,1)．y′|x＝1＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(1＋Δx3－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))[3＋3Δx＋Δx2]＝3.∴k＝y(tǒng)′|x＝1＝3.∴曲線在點(diǎn)P(1,1)處的切線方程為y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)設(shè)切點(diǎn)為Q(x0，y0)，由(1)可知y′|x＝x0＝3xeq\o\al(2,0)，由題意可知kPQ＝y(tǒng)′|x＝x0，即eq\f(y0－1,x0－1)＝3xeq\o\al(2,0)，又y0＝xeq\o\al(3,0)，所以eq\f(x\o\al(3,0)－1,x0－1)＝3xeq\o\al(2,0)，即2xeq\o\al(2,0)－x0－1＝0，解得x0＝1或x0＝－eq\f(1,2).①當(dāng)x0＝1時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，相應(yīng)的切線方程為3x－y－2＝0.②當(dāng)x0＝－eq\f(1,2)時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,8)))，相應(yīng)的切線方程為y＋eq\f(1,8)＝eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，即3x－4y＋1＝0.1．(變結(jié)論)第(1)小題中的切線與曲線C是否還有其他的公共點(diǎn)？[解]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x－2，,y＝x3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－8，))從而求得公共點(diǎn)為P(1,1)或M(－2，－8)，即切線與曲線C的公共點(diǎn)除了切點(diǎn)外，還有另一公共點(diǎn)(－2，－8)．2．(變條件)求曲線y＝f(x)＝x2＋1過點(diǎn)P(1,0)的切線方程．[解]設(shè)切點(diǎn)為Q(a，a2＋1)，eq\f(fa＋Δx－fa,Δx)＝eq\f(a＋Δx2＋1－a2＋1,Δx)＝2a＋Δx，當(dāng)Δx趨于0時(shí)，(2a＋Δx)趨于2a，所以所求切線的斜率為2a.因此，eq\f(a2＋1－0,a－1)＝2a，解得a＝1±eq\r(2)，所求的切線方程為y＝(2＋2eq\r(2))x－(2＋2eq\r(2))或y＝(2－2eq\r(2))x－(2－2eq\r(2))．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的方法(1)若已知點(diǎn)(x0，y0)在已知曲線上，求在點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程，先求出函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)若點(diǎn)(x0，y0)不在曲線上，求過點(diǎn)(x0，y0)的切線方程，首先應(yīng)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出等式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線方程．1．曲線f(x)在x0附近的變化情況可通過在x0處的切線刻畫：f′(x0)>0說明曲線在x0處的切線斜率為正值，在x0附近曲線是上升的；f′(x0)<0說明曲線在x0處的切線斜率為負(fù)值，在x0附近曲線是下降的．2．曲線在某點(diǎn)處切線斜率的大小反映了曲線在相應(yīng)點(diǎn)處的變化情況，由切線的傾斜程度，可以判斷出曲線升降的快慢．3．在求曲線上某點(diǎn)處的切線方程時(shí)，要注意區(qū)分切線、切線的斜率和該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)這三者之間的關(guān)系，函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)是曲線在該點(diǎn)處存在切線的充分不必要條件．因此，在求曲線上某點(diǎn)處的切線方程時(shí)，如果導(dǎo)數(shù)不存在，可由切線的定義來求切線方程．1．已知曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為2x－y＋2＝0，則f′(1)＝()A．4 B．－4C．－2 D．2D[由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f′(1)＝2，故選D.]2．下面說法正確的是()A．若f′(x0)不存在，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處沒有切線B．若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處有切線，則f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線斜率不存在D．若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處沒有切線，則f′(x0)有可能存在C[根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切線的定義知曲線在(x0，y0)處有導(dǎo)數(shù)，則切線一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D錯(cuò)誤．]3．已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)在A，B兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f′(a)與f′(b)的大小關(guān)系為：f′(a)________f′(b)(填“＜”或“＞”)．＞[f′(a)與f′(b)分別表示函數(shù)圖象在點(diǎn)A，B處的切線斜率，由圖象可得f′(a)＞f′(b)．]4．曲線f(x)＝eq\f(2,x)在點(diǎn)(－2，－1)處的切線方程為________．x＋2y＋4＝0[f′(－2)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f－2＋Δx－f－2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(\f(2,－2＋Δ