《運(yùn)籌學(xué)》胡運(yùn)權(quán)清華版-13-05層次分析法

第五節(jié)層次分析法層次分析法〔AHP〕美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家于本世紀(jì)70年代提出的層次分析法〔AnalyticalHierar-chyProcess，簡(jiǎn)稱AHP方法)，是一種定性與定量相結(jié)合的決策分析方法。它是一種將決策者對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的決策思維過(guò)程模型化、數(shù)量化的過(guò)程。層次分析法〔AHP〕應(yīng)用這種方法，決策者通過(guò)將復(fù)雜問(wèn)題分解為假設(shè)干層次和假設(shè)干因素，在各因素之間進(jìn)行簡(jiǎn)單的比較和計(jì)算，就可以得出不同方案的權(quán)重，為最正確方案的選擇提供依據(jù)。層次分析法〔AHP〕根本原理：AHP法首先把問(wèn)題層次化，按問(wèn)題性質(zhì)和總目標(biāo)將此問(wèn)題分解成不同層次，構(gòu)成一個(gè)多層次的分析結(jié)構(gòu)模型，分為最低層〔供決策的方案、措施等〕，相對(duì)于最高層〔總目標(biāo)〕的相對(duì)重要性權(quán)值確實(shí)定或相對(duì)優(yōu)劣次序的排序問(wèn)題。層次分析法〔AHP〕特點(diǎn)：分析思路清楚，可將系統(tǒng)分析人員的思維過(guò)程系統(tǒng)化、數(shù)學(xué)化和模型化；分析時(shí)需要的定量數(shù)據(jù)不多，但要求對(duì)問(wèn)題所包含的因素及其關(guān)系具體而明確；層次分析法〔AHP〕特點(diǎn)：這種方法適用于多準(zhǔn)那么、多目標(biāo)的復(fù)雜問(wèn)題的決策分析，廣泛用于地區(qū)經(jīng)濟(jì)開(kāi)展方案比較、科學(xué)技術(shù)成果評(píng)比、資源規(guī)劃和分析以及企業(yè)人員素質(zhì)測(cè)評(píng)。層次分析法〔AHP〕具體步驟：明確問(wèn)題遞階層次結(jié)構(gòu)的建立建立兩兩比較的判斷矩陣層次單排序?qū)哟尉C合排序?qū)哟畏治龇ā睞HP〕具體步驟：明確問(wèn)題在分析社會(huì)、經(jīng)濟(jì)的以及科學(xué)管理等領(lǐng)域的問(wèn)題時(shí)，首先要對(duì)問(wèn)題有明確的認(rèn)識(shí)，弄清問(wèn)題的范圍，了解問(wèn)題所包含的因素，確定出因素之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系和隸屬關(guān)系。層次分析法〔AHP〕具體步驟：遞階層次結(jié)構(gòu)的建立根據(jù)對(duì)問(wèn)題分析和了解，將問(wèn)題所包含的因素，按照是否共有某些特征進(jìn)行歸納成組，并把它們之間的共同特性看成是系統(tǒng)中新的層次中的一些因素，而這些因素本身也按照另外的特性組合起來(lái)，形成層次分析法〔AHP〕具體步驟：更高層次的因素，直到最終形成單一的最高層次因素。最高層是目標(biāo)層中間層是準(zhǔn)那么層……..最低層是方案層或措施層層次分析法〔AHP〕具體步驟：建立兩兩比較的判斷矩陣判斷矩陣表示針對(duì)上一層次某單元〔元素〕，本層次與它有關(guān)單元之間相對(duì)重要性的比較。一般取如下形式：Cs

p1p2……pnp1b11b12……b1np2b21b22……b2n………………………………pnbn1bn2……bnn判斷矩陣在層次分析法中，為了使判斷定量化，關(guān)鍵在于設(shè)法使任意兩個(gè)方案對(duì)于某一準(zhǔn)那么的相對(duì)優(yōu)越程度得到定量描述。一般對(duì)單一準(zhǔn)那么來(lái)說(shuō)，兩個(gè)方案進(jìn)行比較總能判斷出優(yōu)劣，層次分析法采用1-9標(biāo)度方法，對(duì)不同情況的評(píng)比給出數(shù)量標(biāo)度。標(biāo)度定義與說(shuō)明1兩個(gè)元素對(duì)某個(gè)屬性具有同樣重要性3兩個(gè)元素比較，一元素比另一元素稍微重要5兩個(gè)元素比較，一元素比另一元素明顯重要7兩個(gè)元素比較，一元素比另一元素重要得多9兩個(gè)元素比較，一元素比另一元素極端重要2,4,6,8表示需要在上述兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)之間拆衷時(shí)的標(biāo)度1/bij兩個(gè)元素的反比較判斷矩陣B具有如下特征：

bii

=1

bji

=1/bij

bij

=bik/bjk(i,j,k=1,2,….n)判斷矩陣中的bij是根據(jù)資料數(shù)據(jù)、專家的意見(jiàn)和系統(tǒng)分析人員的經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過(guò)反復(fù)研究后確定。應(yīng)用層次分析法保持判斷思維的一致性是非常重要的，只要矩陣中的bij滿足上述三條關(guān)系式時(shí)，就說(shuō)明判斷矩陣具有完全的一致性。判斷矩陣一致性指標(biāo)C.I.(ConsistencyIndex)C.I.=

max-nn-1一致性指標(biāo)C.I.的值越大，說(shuō)明判斷矩陣偏離完全一致性的程度越大，C.I.的值越小，說(shuō)明判斷矩陣越接近于完全一致性。一般判斷矩陣的階數(shù)n越大，人為造成的偏離完全一致性指標(biāo)C.I.的值便越大；n越小，人為造成的偏離完全一致性指標(biāo)C.I.的值便越小。對(duì)于高階判斷矩陣，引入平均隨機(jī)一致性指標(biāo)R.I.(RandomIndex),下表給出了1-15階矩陣計(jì)算1000次得到的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)。n12345678RI000.580.901.121.241.321.41n9101112131415RI1.461.491.521.541.561.581.59當(dāng)n<3時(shí)，判斷矩陣永遠(yuǎn)具有完全一致性。判斷矩陣一致性指標(biāo)C.I.與同階平均隨機(jī)一致性指標(biāo)R.I.之比稱為隨機(jī)一致性比率C.R.(ConsistencyRatio)。C.R.=C.IR.I.當(dāng)C.R.<0.10時(shí)，便認(rèn)為判斷矩陣具有可以接受的一致性。當(dāng)C.R.≥0.10時(shí)，就需要調(diào)整和修正判斷矩陣，使其滿足C.R.<0.10，從而具有滿意的一致性。層次分析法〔AHP〕具體步驟：層次單排序?qū)哟螁闻判蚓褪前驯緦铀懈髟貙?duì)上一層來(lái)說(shuō)，排出評(píng)比順序，這就要計(jì)算判斷矩陣的最大特征向量，最常用的方法是和積法和方根法。和積法具體計(jì)算步驟：將判斷矩陣的每一列元素作歸一化處理，其元素的一般項(xiàng)為：(i,j=1,2,….n)將每一列經(jīng)歸一化處理后的判斷矩陣按行相加為：(i=1,2,….n)對(duì)向量W=〔W1，W2……Wn)T歸一化處理:(i=1,2,….n)W=〔W1，W2……Wn)T即為所求的特征向量的近似解。計(jì)算判斷矩陣最大特征根

max方根法具體計(jì)算步驟：將判斷矩陣的每一行元素相乘,再開(kāi)n次方根.(i=1,2,….n)對(duì)向量W=〔W1，W2……Wn)T歸一化處理:(i=1,2,….n)W=〔W1，W2……Wn)T即為所求的特征向量的近似解。計(jì)算判斷矩陣最大特征根

max層次分析法〔AHP〕具體步驟：層次總排序利用層次單排序的計(jì)算結(jié)果，進(jìn)一步綜合出對(duì)更上一層次的優(yōu)劣順序，就是層次總排序的任務(wù)。層次分析法實(shí)例某單位擬從三名干部中提拔一人擔(dān)任領(lǐng)導(dǎo)工作，干部的優(yōu)劣〔由上級(jí)人事部門提出〕，用六個(gè)屬性來(lái)衡量：健康狀況、業(yè)務(wù)知識(shí)、寫作水平、口才、政策水平、工作作風(fēng)，分別用p1、p2、p3、p4、p5、p6來(lái)表示。判斷矩陣如下B。B

p1p2p3p4p5p6p1111411/2p2112411/2p311/21531/2p41/41/41/511/31/3p5111/3311p6222311判斷矩陣組織部門給三個(gè)人，甲、乙、丙對(duì)每個(gè)目標(biāo)的層性打分。B1甲乙丙甲11/41/2乙413丙21/31健康狀況p1組織部門給三個(gè)人，甲、乙、丙對(duì)每個(gè)目標(biāo)的層性打分。B2甲乙丙甲11/41/5乙411/2丙521業(yè)務(wù)水平p2組織部門給三個(gè)人，甲、乙、丙對(duì)每個(gè)目標(biāo)的層性打分。B3甲乙丙甲131/5乙1/311丙511寫作水平p3組織部門給三個(gè)人，甲、乙、丙對(duì)每個(gè)目標(biāo)的層性打分。B4甲乙丙甲11/35乙317丙1/51/71口才p4組織部門給三個(gè)人，甲、乙、丙對(duì)每個(gè)目標(biāo)的層性打分。B5甲乙丙甲117乙117丙1/71/71政策水平p5組織部門給三個(gè)人，甲、乙、丙對(duì)每個(gè)目標(biāo)的層性打分。B6甲乙丙甲179乙1/715丙1/91/51工作作風(fēng)p6解：1畫出層次分析圖提拔一位干部擔(dān)任領(lǐng)導(dǎo)工作健康狀況業(yè)務(wù)水平寫作水平口才政策水平工作作風(fēng)甲乙丙w1w2w3w4w5w6總目標(biāo)方案層子目標(biāo)B

p1p2p3p4p5p6p1111411/2p2112411/2p311/21531/2p41/41/41/511/31/3p5111/3311p6222311判斷矩陣

求出目標(biāo)層的權(quán)數(shù)估計(jì)用和積法計(jì)算其最大特征向量和積法具體計(jì)算步驟：將判斷矩陣的每一列元素作歸一化處理，其元素的一般項(xiàng)為：(i,j=1,2,….n)B

p1p2p3p4p5p6p1111411/2p2112411/2p311/21531/2p41/41/41/511/31/3p5111/3311p6222311

6.255.756.53207.333.83B

p1p2p3p4p5p6p10.160.170.150.200.140.13p20.160.170.300.200.140.13p30.160.090.150.250.420.13p40.040.040.030.050.050.09p50.160.170.050.150.140.26p60.320.340.300.150.140.26

6.255.756.53207.333.83將每一列經(jīng)歸一化處理后的判斷矩陣按行相加為：(i=1,2,….n)B

p1p2p3p4p5p6p10.160.170.150.200.140.13p20.160.170.300.200.140.13p30.160.090.150.250.420.13p40.040.040.030.050.050.09p50.160.170.050.150.140.26p60.320.340.300.150.140.26

對(duì)向量W=〔W1，W2……Wn)T歸一化處理:(i=1,2,….n)W=〔W1，W2……Wn)T即為所求的特征向量的近似解。B

p1p2p3p4p5p6p10.160.170.150.200.140.13p20.160.170.300.200.140.13p30.160.090.150.250.420.13p40.040.040.030.050.050.09p50.160.170.050.150.140.26p60.320.340.300.150.140.265.99

B

p1p2p3p4p5p6p10.160.170.150.200.140.13p20.160.170.300.200.140.13p30.160.090.150.250.420.13p40.040.040.030.050.050.09p50.160.170.050.150.140.26p60.320.340.300.150.140.260.160.180.200.050.160.25W用和積法計(jì)算其最大特征向量為：W=〔W1，W2……Wn)T=〔0.16,0.18,0.20,0.05,0.16,0.25)T即為所求的特征向量的近似解。計(jì)算判斷矩陣最大特征根

max(BW)=111411/2112411/211/21531/21/41/41/511/31/3111/33112223110.160.180.200.050.160.25=1.0251.2251.3050.3091.0661.64=1.0256*0.160.3096*0.051.0666*0.161.2256*0.181.3056*0.201.6406*0.25+++++=1.0680.8581.1101.1341.08751.093+++++=6.35判斷矩陣一致性指標(biāo)C.I.(ConsistencyIndex)C.I.=

max-nn-1判斷矩陣一致性指標(biāo)C.I.(ConsistencyIndex)C.I.=6.35-66-1=0.07隨機(jī)一致性比率C.R.(ConsistencyRatio)。C.R.=C.IR.I.0.071.24==0.056<0.103求出方案層對(duì)目標(biāo)層的最大特征向量(同2〕，求得〔W11W21W31〕=〔0.14,0.62,0.24)〔W12