2022年數(shù)學(xué)(百色專用)一輪復(fù)習(xí)專題特訓(xùn)4三角形

專題特訓(xùn)四三角形、四邊形的證明與計算題型1與全等三角形有關(guān)的證明與計算1．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求證：CB＝CD.證明：連接AC.∵AE＝AF，CE＝CF，AC＝AC，∴△AEC≌△AFC(SSS).∴∠CAB＝∠CAD.∵∠B＝∠D＝90°，∴CB＝CD.2．(2021·銅仁中考)如圖，AB交CD于點(diǎn)O，在△AOC與△BOD中，有下列三個條件：①OC＝OD，②AC＝BD，③∠A＝∠B.請你在上述三個條件中選擇兩個為條件，另一個能作為這兩個條件推出來的結(jié)論，并證明你的結(jié)論(只要求寫出一種正確的選法)．(1)你選的條件為____，____，結(jié)論為____；(2)證明你的結(jié)論．解：(1)①；③；②(答案不唯一)；(2)證明：在△AOC和△BOD中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠B，,∠AOC＝∠BOD，,OC＝OD，)))∴△AOC≌△BOD(AAS).∴AC＝BD.3．如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D為AB延長線上一點(diǎn)，BD＝BC，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接BE，CD.(1)求證：AB＝BF；(2)求∠AEB的度數(shù)；(3)當(dāng)∠A＝60°時，求eq\f(BE,BF)的值．(1)證明：∵∠ABC＝90°，DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∠A＋∠ACB＝90°，∠A＋∠ADE＝90°.∴∠ACB＝∠FDB.∵BC＝BD，∠ABC＝∠DBF＝90°，∴△ABC≌△FBD(ASA).∴AB＝BF；(2)解：過點(diǎn)B作BG⊥AC于點(diǎn)G，作BH⊥DF于點(diǎn)H.∵△ABC≌△FBD，∴AC＝DF，S△ABC＝S△FBD.∴eq\f(1,2)AC·BG＝eq\f(1,2)DF·BH.∴BG＝BH.又∵BG⊥AC，BH⊥DF，∴∠AEB＝∠DEB＝eq\f(1,2)∠AED＝45°；(3)解：∵∠AEB＝45°，∴∠EBG＝∠BEG＝45°.∴BG＝EG.∴BE＝eq\r(2)BG.∵∠A＝60°，∴sinA＝eq\f(BG,AB)＝eq\f(\r(3),2).∴AB＝eq\f(2\r(3),3)BG.∴BF＝eq\f(2\r(3),3)BG.∴eq\f(BE,BF)＝eq\f(\r(6),2).題型2特殊四邊形的證明與計算4．(2021·株洲中考)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在線段CD上，點(diǎn)F在線段AB的延長線上，連接EF交線段BC于點(diǎn)G，連接BD，若DE＝BF＝2.(1)求證：四邊形BFED是平行四邊形；(2)若tan∠ABD＝eq\f(2,3)，求線段BG的長度．(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴DC∥AB，即DE∥BF.又∵DE＝BF，∴四邊形BFED是平行四邊形；(2)解：∵四邊形BFED是平行四邊形，∴DB∥EF.∴∠ABD＝∠F.∴tan∠ABD＝tanF＝eq\f(2,3)，即eq\f(BG,BF)＝eq\f(2,3).又∵BF＝2，∴BG＝eq\f(4,3).5．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線BD的垂直平分線與邊AD，BC分別相交于點(diǎn)M，N.(1)求證：四邊形BNDM是菱形；(2)若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周長．(1)證明：∵AD∥BC，∴∠DMO＝∠BNO.∵M(jìn)N是對角線BD的垂直平分線，∴OB＝OD，MN⊥BD.∵∠MOD＝∠NOB，∴△MOD≌△NOB(AAS).∴OM＝ON.又∵OB＝OD，∴四邊形BNDM是平行四邊形．∵M(jìn)N⊥BD，∴四邊形BNDM是菱形；(2)解：∵四邊形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，∴BM＝BN＝DM＝DN，OB＝eq\f(1,2)BD＝12，OM＝eq\f(1,2)MN＝5.在Rt△BOM中，由勾股定理，得BM＝eq\r(OM2＋OB2)＝eq\r(52＋122)＝13.∴菱形BNDM的周長為4BM＝4×13＝52.6．如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，EF經(jīng)過點(diǎn)O，分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，F(xiàn)E的延長線交CB的延長線于點(diǎn)M.(1)求證：OE＝OF；(2)若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的長．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，AB∥CD，BC＝AD.∴∠OAE＝∠OCF.∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA).∴OE＝OF；(2)解：過點(diǎn)O作ON∥BC交AB于點(diǎn)N，則△AON∽△ACB.∵OA＝OC，∴ON＝eq\f(1,2)BC＝2，BN＝eq\f(1,2)AB＝3.∵ON∥BC，∴△ONE∽△MBE.∴eq\f(ON,BM)＝eq\f(NE,BE)，即eq\f(2,1)＝eq\f(3－BE,BE).∴BE＝1.拓展題型三角形、四邊形的幾何探究7．如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動點(diǎn)，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF.【問題解決】如圖1，若點(diǎn)D在邊BC上，求證：CE＋CF＝CD；【類比探究】如圖2，若點(diǎn)D在邊BC的延長線上，請?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖2))【問題解決】證明：圖1中，在CD上截取CH＝CE.∵△ABC是等邊三角形，∴∠ECH＝60°.∴△CEH是等邊三角形．∴EH＝CE＝CH，∠CEH＝60°.∵△DEF是等邊三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°.∴∠DEH＋∠HEF＝∠FEC＋∠HEF＝60°.∴∠DEH＝∠FEC.又∵EH＝EC，∴△DEH≌△FEC(SAS).∴DH＝CF.∴CD＝CH＋DH＝CE＋CF.∴CE＋CF＝CD；【類比探究】解：CE＋CD＝CF.理由：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝60°.圖2中，過點(diǎn)D作DG∥AB，交AC的延長線于點(diǎn)G，則∠GDC＝∠B＝∠A＝∠