2021-2022學(xué)年山東省濟(jì)南市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(解析版)

第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat6頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)實(shí)用文檔2021-2022學(xué)年山東省濟(jì)南市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知空間向量，，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量垂直得，即可求出的值.【詳解】.故選：B.2．拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】求出，即得拋物線的準(zhǔn)線方程.【詳解】因?yàn)?，所以，故?zhǔn)線方程為．故選：D3．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將直線方程轉(zhuǎn)化為斜截式，進(jìn)而可得傾斜角.【詳解】由直線，即，所以傾斜角滿足，，所以，故選：C.4．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比，且滿足，則（

）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】A【分析】根據(jù)是等比數(shù)列，則通項(xiàng)為，然后根據(jù)條件可解出，進(jìn)而求得【詳解】由為等比數(shù)列，不妨設(shè)首項(xiàng)為由，可得：又，則有：則故選：A5．如圖，在四面體中，，，，，為線段的中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解．【詳解】由已知，故選：D．6．若圓上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則半徑的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出圓心到直線的距離為，由此可知當(dāng)圓的半徑為時(shí)，圓上恰有三點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)圓的半徑時(shí)，圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故半徑的取值范圍是，即可求出答案.【詳解】由已知條件得的圓心坐標(biāo)為，圓心到直線為，∵圓上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，∴圓的半徑的取值范圍是，即，即半徑的取值范圍是.故選：.7．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的定義求得，利用可得離心率范圍．【詳解】因?yàn)?，又，所以，，又，即，，所以離心率．故選：C．8．如圖甲是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（簡(jiǎn)稱ICME—7）的會(huì)徽?qǐng)D案，其主體圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.已知，，，，為直角頂點(diǎn)，設(shè)這些直角三角形的周長(zhǎng)從小到大組成的數(shù)列為，令，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】由題意可得的邊長(zhǎng)，進(jìn)而可得周長(zhǎng)及，進(jìn)而可得，可得解.【詳解】由，可得，，，，所以，，所以前項(xiàng)和，所以，故選：B.二、多選題9．已知橢圓與橢圓，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B．短軸長(zhǎng)相等 C．離心率相等 D．焦距相等【答案】ABC【分析】分別求出這兩個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦距，比較即可得到答案.【詳解】由已知條件得橢圓中，，，，則該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，離心率為，焦距為；橢圓中，焦點(diǎn)在軸上，，，，故這兩個(gè)橢圓只有焦距相等.故選：.10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若，則是等差數(shù)列C．若數(shù)列為等差數(shù)列，，，則D．若數(shù)列為等差數(shù)列，，，則時(shí)，最大【答案】BD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，逐項(xiàng)分析即可得到結(jié)果.【詳解】由于，當(dāng)時(shí)，，若，則當(dāng)時(shí)，，又，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋?dāng)時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，上式亦滿足，所以；所以，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；故B正確；若數(shù)列為等差數(shù)列，，，則，即，所以，故C錯(cuò)誤；若數(shù)列為等差數(shù)列，，，所以，，所以，，即，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，所以等差數(shù)列是遞減數(shù)列，所以在等差數(shù)列中，當(dāng)且時(shí)，當(dāng)且時(shí)，所以時(shí)，最大，故D正確.故選：BD.11．?dāng)?shù)學(xué)著作《圓錐曲線論》中給出了圓的一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)頂點(diǎn)，距離之比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓.若兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)的軌跡圍成區(qū)域的面積為B．面積的最大值為C．點(diǎn)到直線距離的最大值為D．若圓上存在滿足條件的點(diǎn)，則半徑的取值范圍為【答案】ABD【分析】根據(jù)直接法求點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系及圓與圓的位置關(guān)系分別判斷各選項(xiàng).【詳解】由題意，設(shè)點(diǎn)，又，所以，化簡(jiǎn)可得，所以點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，所以點(diǎn)的軌跡圍成的區(qū)域面積為，A選項(xiàng)正確；又點(diǎn)滿足，所以，B選項(xiàng)正確；點(diǎn)到直線的距離，所以直線與圓相離，所以點(diǎn)到直線距離的最大值為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由D選項(xiàng)可知圓與圓有公共點(diǎn)，所以，且，即，所以，D選項(xiàng)正確；故選：ABD.12．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為側(cè)面的中心，是棱的中點(diǎn)，若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的長(zhǎng)最小值為B．的最小值為C．若，則平面截正方體所得截面的面積為D．若正方體繞旋轉(zhuǎn)角度后與其自身重合，則的值可以是【答案】BCD【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，得，然后用空間向量法求得，判斷A，求得數(shù)量積計(jì)算最小值判斷B，由線面平行得線線平行，確定截面的形狀、位置，從而可計(jì)算出截面面積，判斷C，結(jié)合正方體的對(duì)稱性，利用是正方體的外接球直徑判斷D．【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，正方體棱長(zhǎng)為1，則，，，，，設(shè)，，所以，，，所以時(shí)，，A錯(cuò)；，，所以時(shí)，，B正確；，則是上靠近的三等分點(diǎn)，，取上靠近的三等分點(diǎn)，則，，顯然與平面的法向量垂直，因此平面，所以截面與平面的交線與平行，作交于點(diǎn)，設(shè)，則，由得，解得，則與重合，因此取中點(diǎn)，易得，截面為，它是等腰梯形，，，，梯形的高為，截面面積為，C正確；，，，，，，，同理，所以是平面的一個(gè)法向量，即平面，設(shè)垂足為，則，是正方體的外接球的直徑，因此正方體繞旋轉(zhuǎn)角度后與其自身重合，至少旋轉(zhuǎn)．D正確．故選：BCD．三、填空題13．已知直線和互相平行，則實(shí)數(shù)的值為___________.【答案】【分析】根據(jù)直線平行的充要條件即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】由直線和互相平行，得，即.故答案為：.14．已知等差數(shù)列的公差為1，且是和的等比中項(xiàng)，則前10項(xiàng)的和為___________.【答案】【分析】利用等比中項(xiàng)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出前10項(xiàng)的和.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，由已知條件得，即，，解得，則.故答案為：.15．如圖，把正方形紙片沿對(duì)角線折成直二面角，則折紙后異面直線，所成的角為___________.【答案】30°【分析】過(guò)點(diǎn)E作CE∥AB，且使得CE=AB，則四邊形ABEC是平行四邊形，進(jìn)而（或其補(bǔ)角）是所求角，算出答案即可.【詳解】過(guò)點(diǎn)E作CE∥AB，且使得CE=AB，則四邊形ABEC是平行四邊形，設(shè)所求角為，于是.設(shè)原正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，取AC的中點(diǎn)O，連接DO,BO，則且，而平面平面，且交于AC，所以平面ABEC，則.易得，，，而則于是，,.在中，，取DE的中點(diǎn)F，則，所以，即，于是.故答案為：.16．拋物線的聚焦特點(diǎn)：從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)過(guò)拋物線反射后，光線都平行于拋物線的對(duì)稱軸.另一方面，根據(jù)光路的可逆性，平行于拋物線對(duì)稱軸的光線射向拋物線后的反射光線都會(huì)匯聚到拋物線的焦點(diǎn)處.已知拋物線，一條平行于拋物線對(duì)稱軸的光線從點(diǎn)向左發(fā)出，先經(jīng)拋物線反射，再經(jīng)直線反射后，恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.【答案】【分析】根據(jù)拋物線的聚焦特點(diǎn)，經(jīng)過(guò)拋物線后經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)，再經(jīng)直線反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則根據(jù)反射特點(diǎn)，列出相關(guān)方程，解出方程即可.【詳解】設(shè)光線與拋物線的交點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，則可得：拋物線的焦點(diǎn)為：則直線的方程為：設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，則有：解得：則過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線的方程為：根據(jù)題意可知：點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上設(shè)點(diǎn)，的中點(diǎn)為，則有：直線垂直于，則有：點(diǎn)在直線上，則有：點(diǎn)在直線上，則有：化簡(jiǎn)得：又故故答案為：【點(diǎn)睛】直線關(guān)于直線對(duì)稱對(duì)稱，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線與直線垂直的特點(diǎn)建立方程，根據(jù)題意列出隱含的方程是關(guān)鍵四、解答題17．已知，以點(diǎn)為圓心的圓被軸截得的弦長(zhǎng)為.(1)求圓的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)垂徑定理，可直接計(jì)算出圓的半徑；（2）根據(jù)直線的斜率是否存在分類討論，斜率不存在時(shí)，可得到直線方程為的直線滿足題意，斜率存在時(shí)，利用直線與圓相切，即到直線的距離等于半徑，然后解出關(guān)于斜率的方程即可.(1)不妨設(shè)圓的半徑為，根據(jù)垂徑定理，可得：解得：則圓的方程為：(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則有：故此時(shí)直線與圓相切，滿足題意當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線的斜率為，點(diǎn)的直線的距離為直線的方程為：則有：解得：，此時(shí)直線的方程為：綜上可得，直線的方程為：或18．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為線段，的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.可根據(jù)題意寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面的法向量和的坐標(biāo)，點(diǎn)到平面的距離.計(jì)算即可求出答案.（2）由（1）知平面的法向量，在把平面的法向量表示出來(lái)，平面與平面夾角的余弦值為，計(jì)算即可求出答案.(1)以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由于正方體的棱長(zhǎng)為2和，分別為線段，的中點(diǎn)知，.設(shè)平面的法向量為..則..故點(diǎn)到平面的距離.(2)平面的法向量，平面與平面夾角的余弦值.19．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)到短袖的一個(gè)端點(diǎn)的距離為.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線，與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可得，根據(jù)點(diǎn)到短袖的一個(gè)端點(diǎn)的距離為，然后根據(jù)即可；（2）先設(shè)聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后根據(jù)韋達(dá)定理得到，兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，然后根據(jù)建立關(guān)于直線的斜率的不等式，解出不等式即可.(1)根據(jù)題意，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，則有：點(diǎn)到短袖的一個(gè)端點(diǎn)的距離為，則有：則有：故橢圓的方程為：(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線的方程為：聯(lián)立直線與橢圓的方程可得：則有：,直線過(guò)點(diǎn)，所以恒成立，不妨設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：，則有：又且則有：將，代入后可得：若，則有：解得：或20．如圖，在梯形中，，四邊形為矩形，且平面，.(1)求證：；(2)點(diǎn)在線段（不含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線與平面所成角為，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）過(guò)作，垂足為，利用正余弦定理可證，再利用線線垂足證明線面垂直，進(jìn)而可得證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求線面夾角的正弦值.(1)證明：由已知可得四邊形是等腰梯形，過(guò)作，垂足為，則，在中，，則，可得，在中，由余弦定理可得，，則，，又平面，平面，，，，平面，平面，又為矩形，，則平面，而平面，；(2)平面，且，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，則，又，設(shè)平面的法向量為，由，取，得，又，，，，則.21．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為2，公差為8.在中每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使它們與原數(shù)列的項(xiàng)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，，，，是從中抽取的若干項(xiàng)按原來(lái)的順序排列組成的一個(gè)等比數(shù)列，，，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由題意在中每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使它們與原數(shù)列的項(xiàng)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，可知的公差，進(jìn)而可求出其通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)題意可得，進(jìn)而得到，再代入中得，利用錯(cuò)位相減即可求出前項(xiàng)和.(1)由于等差數(shù)列的公差為8，在中每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使它們與原數(shù)列的項(xiàng)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，則的公差，的首項(xiàng)和首項(xiàng)相同為2，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)由于，是等比數(shù)列的前兩項(xiàng)，且，，則，則等比數(shù)列的公比為3，則，即，.①.②.①減去②得..22．已知圓，點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡記為曲線.(1)求曲線的方程；(2)已知曲線上一點(diǎn)，動(dòng)圓，且點(diǎn)在圓外，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線分別交曲線于點(diǎn)，.（i）求證：直線的斜率為定值；（ii）若直線與交于點(diǎn)，且時(shí)，求直線的方程.【答案】(1)(2)（i）答案見解析（ii）或【分析】（1）通過(guò)幾何關(guān)系可知，且,由此可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)，且實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線，通過(guò)雙曲線的定義即可求解；（2）（i）設(shè)點(diǎn)，，直線的方程為，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理及求出，即得到直線的斜率為定值；（ii）由（i）可知，由已知可得，聯(lián)立