常微分方程錄播1

常微分方程輔導(dǎo)課程一主講教師：王穩(wěn)地一、緒論常微分方程是一門(mén)把數(shù)學(xué)理論和實(shí)際問(wèn)題相勾通的課程。大家知道，微積分是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一。微積分在工程、經(jīng)濟(jì)和生物等領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用。用微積分解決實(shí)際問(wèn)題的重要途徑就是使用微分方程基本概念微分方程：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的等式分類(lèi)常微分方程:

只含一個(gè)自變量的微分方程偏微分方程:

含兩個(gè)或兩個(gè)以上自變量的微分方程方程的階數(shù):

方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)n階常微分方程的一般形式n階線性常微分方程都是已知函數(shù)線性線性非線性非線性非線性方程的解如果則稱(chēng)是方程的一個(gè)解是解方程的通解如果

是（1）的解（1）有n個(gè)任意常數(shù)

是獨(dú)立的則稱(chēng)是方程（1）的通解獨(dú)立例是通解是解含有兩個(gè)任意常數(shù)兩個(gè)任意常數(shù)獨(dú)立定解條件從前面的例子可以看到，一個(gè)微分方程有無(wú)窮多個(gè)解，但在實(shí)際問(wèn)題中，我們需要尋找方程滿足某種條件的解，這種條件就叫做定解條件定解條件有兩種，一種是初始條件，另一種是邊界條件。這兩種定解條件都是源于物理等科學(xué)的需要。我們主要涉及初始條件。對(duì)于n階方程來(lái)說(shuō)，初始條件的一般形式為:這里是已知的n+1個(gè)常數(shù),它們由實(shí)際問(wèn)題來(lái)決定。我們把滿足初始條件的解稱(chēng)為初值問(wèn)題的解例初始條件：從通解中求初值問(wèn)題的解通解：把y(0)=0代入：例：求一個(gè)平面曲線，使其向徑與切線正交，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)解：設(shè)所求的曲線為y=y(x).在曲線上任取一點(diǎn)(x,y(x)).過(guò)這一點(diǎn)的切線斜率為而向徑的斜率為y/x,因此,

例：受到空氣阻力的自由落體運(yùn)動(dòng)設(shè)質(zhì)量為m的物體，在時(shí)間t=0時(shí)下落，在空氣中受到的阻力與物體下落的速度成正比，求物體下落的距離與時(shí)間的關(guān)系解：建立坐標(biāo)系，設(shè)x為下落的距離下落的速度為下落的加速度為物體受力：方程：初始條件：如果k=0,也就是忽略空氣阻力，則有積分兩次得：再由初始條件，得：微分方程的幾何解釋考慮：

設(shè)是一個(gè)解，在xy平面上的圖形叫一個(gè)積分曲線。根據(jù)初始條件，在xy平面做點(diǎn),把這個(gè)點(diǎn)叫做初始點(diǎn)，一個(gè)解滿足初始條件，從幾何上看，就是有一條積分曲線過(guò)初始點(diǎn)，設(shè)是一個(gè)解,則在積分曲線上任取一點(diǎn)，過(guò)這一點(diǎn)的切線斜率為反之，如果一條曲線上任一點(diǎn)的切線斜率為函數(shù)f在這一點(diǎn)的值，則它是積分曲線方向場(chǎng)設(shè)f(x,y)的定義域?yàn)镈,過(guò)D的每一點(diǎn)畫(huà)一小線段