專題09 規(guī)律探究題-2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊期末選填解答壓軸題必刷專題訓(xùn)練（華師大版）（解析版）

09華師版數(shù)學(xué)八上規(guī)律探究題1．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，且最大直角三角形的斜邊長為a，若按照第1個圖至第3個圖的規(guī)律設(shè)計圖案，則在第n個圖中所有正方形面積的和為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：如下圖所示，，∴，∴第1個圖的所有正方形面積為，同理可得第2個圖的所有正方形面積為，第3個圖的所有正方形面積為，…∴第n個圖中所有正方形面積的和為，故選A．2．如圖，正方形的邊長為1，其面積為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積記為…，按此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：正方形的邊長為1，為等腰直角三角形，，，．觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，，，，，．當(dāng)時，．故選：C．3．如圖甲，直角三角形的三邊a，b，c，滿足的關(guān)系．利用這個關(guān)系，探究下面的問題：如圖乙，是腰長為1的等腰直角三角形，，延長至，使，以為底，在外側(cè)作等腰直角三角形，再延長至，使，以為底，在外側(cè)作等腰直角三角形，……，按此規(guī)律作等腰直角三角形（，n為正整數(shù)），則的長及的面積分別是（

）A．2， B．4， C．， D．2，【答案】A【詳解】由題意可得：，，∵為等腰直角三角形，且“直角三角形的三邊a，b，c，滿足的關(guān)系”，∴根據(jù)題意可得：，∴，∴，，∴總結(jié)出，∵，，，∴歸納得出一般規(guī)律：，∴，故選：A．4．如圖甲，直角三角形ABC的三邊a，b，c，滿足a2+b2＝c2的關(guān)系．利用這個關(guān)系，探究下面的問題：如圖乙，△OAB是腰長為1的等腰直角三角形，∠OAB＝90°，延長OA至B1，使AB1＝OA，以O(shè)B1為底，在△OAB外側(cè)作等腰直角三角形OA1B1，再延長OA1至B2，使A1B2＝OA1，以O(shè)B2為底，在△OA1B1外側(cè)作等腰直角三角形OA2B2，…，按此規(guī)律作等腰直角三角形OAnBn（n≥1，n為正整數(shù)），則A2B2的長及△OA2021B2021的面積分別是（）A．2，22020 B．4，22021 C．2，22020 D．2，22019【答案】A【詳解】解：∵△OAB是腰長為1的等腰直角三角形，∴OA＝AB＝1，∵AB1＝OA，∴OB1＝2，∴A1B1＝OA1＝OB1＝，∵A1B2＝OA1，∴OB2＝2，∴A2B2＝OA2＝OB2＝2＝（）2，∵A2B3＝OA2，∴OB3＝4，∴A3B3＝OA3＝OB3＝2＝（）3，???∴A2021B2021＝（）2021，∴△OA2021B2021的面積＝×（）2021×（）2021＝22020．故選：A．5．如圖①，，為的平分線上一點，連接，；如圖②，，，為的平分線上兩點，連接，，，；如圖③，，，，為的平分線上三點，連接，，，，，；．依此規(guī)律，第個圖形中全等三角形有_______對．【答案】【詳解】解：由題知，第1個圖形中全等三角形的對數(shù)為：1；第2個圖形中全等三角形的對數(shù)為：；第3個圖形中全等三角形的對數(shù)為：；第4個圖形中全等三角形的對數(shù)為：；…第n個圖形中全等三角形的對數(shù)為：，第8個圖形中全等三角形的對數(shù)是；故答案為：36．6．觀察下列各式的規(guī)律：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3，（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4……可得到（a﹣b）（a2021+a2020b+……+ab2020+b2021）＝_____．【答案】##【詳解】解：觀察下列各式的規(guī)律：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3，（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4，……可得到（a﹣b）（a2021+a2020b+……+ab2020+b2021）＝a2022﹣b2022．故答案為：a2022﹣b2022．7．如圖是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會的會徽圖案，它是由一串有公共頂點O的直角三角形組成的，圖中的，按此規(guī)律，在線段，，，，中，長度為整數(shù)的線段有___________條．【答案】【詳解】解：∵如圖是由一串有公共頂點O的直角三角形組成的，圖中的，∴由勾股定理可得：，，……∴，∴在線段，，，，中，完全平方數(shù)有，，．∴故長度為整數(shù)的線段有條．故答案為：．8．有一個面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在他的左右肩上生出兩個小正方形（如圖1），三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”后，生出了4個正方形（如圖2），如果按此規(guī)律繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”．在“生長”了2022次后形成的圖形中所有正方形的面積和是______．【答案】2023【詳解】設(shè)第一個直角三角形的是三條邊分別是a，b，c．根據(jù)勾股定理，得，由圖1可知，“生長”1次后，以直角三角形兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積，即所有正方形的面積和是；由圖2可知，“生長”2次后，所有的正方形的面積和是，···“生長”了2022次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是．故答案為：2023.9．觀察下列結(jié)論：（1）如圖①，在正三角形ABC中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝CM，∠NOC＝60°；（2）如圖2，在正方形ABCD中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝DM，∠NOD＝90°；（3）如圖③，在正五邊形ABCDE中點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝EM，∠NOE＝108°；…根據(jù)以上規(guī)律，在正n邊形A1A2A3A4…An中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，即點M，N是A1A2，A2A3上的點，且A1M＝A2N，A1N與AnM相交于O．也會有類似的結(jié)論，你的結(jié)論是__．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）A1N＝AnM，∠NOAn＝．【詳解】解∵（1）如圖①，在正三角形中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，在△ABN和△ACM中，，∴△ABN≌△ACM（SAS），∴∠BAN＝∠ACM，AN＝CM，∴∠NOC＝∠OAC+∠ACM＝∠OAC+∠BAN＝∠BAC＝60°．則AN＝CM，；（2）如圖2，在正方形ABCD中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，同理：△ABN≌△ADM（SAS），∴∠BAN＝∠ADM，AN＝DM，∴∠NOD＝90°則AN＝DM，；（3）同理：如圖③，在正五邊形ABCDE中點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝EM，；…根據(jù)以上規(guī)律，在正n邊形A1A2A3A4…An中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，即點M，N是A1A2，A2A3上的點，且A1M＝A2N，A1N與AnM相交于O．也有類似的結(jié)論是A1N＝AnM，∠NOAn＝．故答案為：A1N＝AnM，∠NOAn＝．10．如圖，在等腰中，已知，，且邊在直線上．將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到位置①可得到點，此時；將位置①的三角形繞點順時針旋轉(zhuǎn)到位置②，可得到點，此時；將位置②的三角形繞點順時針旋轉(zhuǎn)到位置③，可得到點，此時；···，按此規(guī)律繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，直至得到點為止，則________．【答案】【詳解】解：觀察圖形的變化可知：AP1＝；AP2＝1+；AP3＝2+；AP4＝2+2；AP5＝3+2；AP6＝4+2＝2（2+）；…．發(fā)現(xiàn)規(guī)律：AP3n＝n（2+）；AP3n+1＝n（2+）+；AP3n+2＝n（2+）++1．∴AP2022＝AP674×3＝674（2+）＝1348+674．故答案為：1348+674．11．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝用三角形系數(shù)表解釋二項和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”．“楊輝三角”給出了（a+b）n（n＝1，2，3，4…）的展開式的系數(shù)規(guī)律（按a的次數(shù)由大到小的順序）：若……，請根據(jù)上述規(guī)律，寫出的值等于_____．【答案】2【詳解】解：∵……∴當(dāng)時，……=∴∴故答案為：212．在學(xué)習(xí)整式乘法的時候，我們發(fā)現(xiàn)一個有趣的問題：將下圖中等號右邊的式子的各項系數(shù)排成下表，如圖：圖叫做“楊輝三角”，請觀察這些系數(shù)的規(guī)律，直接寫出=___________．【答案】【詳解】解：由圖中信息可以得出的系數(shù)依次為：1，5，10，10，5，1．則的系數(shù)依次為：1，6，15，20，15，6，1．由多項式的每項代數(shù)式的指數(shù)和為6，則=．故答案為：13．如圖，在中，，，以為直角邊作等腰直角，再以為直角邊作等腰直角，…，按照此規(guī)律作圖，則的長度為______，的長度為______．【答案】

【詳解】解：∵，∴同理可得，?故答案為：，．14．如圖，正方形的邊長為2，其面積標(biāo)記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為，…，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為___________．【答案】【詳解】解：如圖所示，△CDE為等腰直角三角形，則CE=DE，，∴，即，同理可得：，，∴．故答案為：．15．如圖，△OAB是腰長為1的等腰直角三角形，OAB90°，延長OA至B1，使AB1OA，以O(shè)B1為底，在△OAB外側(cè)作等腰直角三角形OA1B1，再延長OA1至B2，使A1B2OA1，以O(shè)B2為底，在△OA1B1外側(cè)作等腰直角三角形OA2B2，……，按此規(guī)律作等腰直角三角形OAnBn（n1，n為正整數(shù)），回答下列問題：（1）A3B3的長是_____________；（2）△OA2020B2020的面積是_____________．【答案】

【詳解】（1）∵△OAB是腰長為1的等腰直角三角形，OAB90°，延長OA至B1，使AB1OA，以O(shè)B1為底，在△OAB外側(cè)作等腰直角三角形OA1B1，∴OB1=2OA=2，設(shè)A1O=x，則A1O=A1B1=x根據(jù)A1O2+A1B12=OB12，x2+x2=22，得x=,故A1B1=同理可得A2B2=A1B1=2AB，A3B3=A2B2=AB=，∴A3B3=；（2）∵△OAB是腰長為1的等腰直角三角形∴△OAB的面積為=；∵A1B1=AB=∴△OA1B1的面積為=；∵A2B2=A1B1=2∴△OA2B2的面積為；∵A3B3=2∴△OA3B3的面積為；…∴△OAnBn的面積為；故△OA2020B2020的面積是故填：(1).

(2).16．如圖（1），△AB1C1是邊長為1的等邊三角形；如圖（2），取AB1的中點C2，畫等邊三角形AB2C2，連接B1B2；如圖（3），取AB2的中點C3；畫等邊三角形AB3C3，連接B2B3；如圖（4），取AB3的中點C4，畫等邊三角形AB4C4，連接B3B4，則B3B4的長為_____．若按照這種規(guī)律一直畫下去，則BnBn+1的長為_____（用含n的式子表示）【答案】

，

【詳解】如圖，過點C2作C2D⊥B1B2于點D，∵△AB1C1是邊長為1的等邊三角形，C2是AB1的中點，∴B1C2＝B2C2＝．∵△AB2C2是等邊三角形，∴∠B1C2B2＝120°，B1C2＝B2C2，∴∠DB1C1＝∠DB2C2＝30°，∴B1D＝B1C2?cos30°＝，∴B1B2＝2B1D＝，同理可得，B2B3＝，B3B4＝…，∴BnBn+1＝．故答案為：，．17．觀察下列各式：，，，……請利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計算，其結(jié)果為___________．【答案】【詳解】由題意得：，故答案為：．18．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，且AC邊在直線l上，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到位置①可得到點P1，此時AP1＝2；將位置①的三角形繞點P1順時針旋轉(zhuǎn)到位置②，可得到點P2，此時AP2＝2+；將位置②的三角形繞點P2順時針旋轉(zhuǎn)到位置③，可得到點P3，此時AP3＝3+；……，其中P1、P2、P3、……都在直線l上，按P3規(guī)律繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，直至得到點P2022為止，則AP2022＝_____．【答案】【詳解】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2，BC=，∴將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到①,可得到點，此時=2；將位置①的三角形繞點順時針旋轉(zhuǎn)到位置②，可得到點，此時=2+；將位置②的三角形繞點順時針旋轉(zhuǎn)到位置，可得到點，此時=3+；由此可得：=3++2=5+；=5++=5+2；=5+2+1=6+2=2(3+)；故每旋轉(zhuǎn)3次為一個循環(huán)，∵2022÷3=674，=674(3+)=2022+674故答案為：2022+674．19．如圖，為等腰直角三角形，，以斜邊為直角邊作等腰直角三角形，再以為直角邊作等腰直角三角形，，按此規(guī)律作下去，則的長度為______．【答案】【詳解】解：為等腰直角三角形，，，為等腰直角三角形，．為等腰直角三角形，．為等腰直角三角形，．的長度為．故答案為：．20．設(shè)四邊形ABCD是邊長為1的正方形，以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第二個正方形AEGH，如此下去……．⑴記正方形ABCD的邊長為，按上述方法所作的正方形的邊長依次為，請求出的值；⑵根據(jù)以上規(guī)律寫出的表達(dá)式．【答案】（1）a2＝，a3＝2，a4＝2；（2）an＝（n為正整數(shù)）．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝1，∠B＝90°．∴在Rt△ABC中，AC＝＝＝．同理：AE＝2，EH＝2